Técnicas de Integração

Capítulo 2 Técnicas de Integração TailândiaPA outubro2022 2 Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 7 Técnicas de Integração 2 Técnicas de Integração 21 Integração por partes 22 Integrais trigonométricas 23 Substituições trigonométricas 24 Integração de funções racionais por frações parciais 25 Estratégias de integração 26 Integrais Impróprias 26 Algumas aplicações Comprimento de arco e área de uma superfície de revolução Referência Bibliográfica STEWART James Cálculo Vol 1 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 Sumário Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 71 Integração por Partes 5 Integração por Partes Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração Por exemplo a Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação Aquela que corresponde à Regra do Produto para a derivação é chamada integração por partes A Regra do Produto afirma que se f e g forem funções deriváveis então fxgx fxgx gxfx 6 Integração por Partes Na notação para integrais indefinidas essa equação se torna fxgx gxfx dx fxgx ou fxgx dx gxfx dx fxgx Podemos rearranjar essa equação como A fórmula 1 é chamada fórmula para integração por partes 7 Integração por Partes Talvez seja mais fácil lembrar na seguinte notação Seja u fx e v gx Então as diferenciais são du fxdx e dv gxdx e assim pela Regra da Substituição a fórmula para a integração por partes tornase 8 Exemplo 1 Encontre x sen x dx SOLUÇÃO USANDO A FÓRMULA 1 Suponha que escolhamos fx x e gx sen x Então fx 1 e gx cos xPara g podemos escolher qualquer antiderivada de g Assim utilizando a Fórmula 1 temos x sen x dx fxgx gxfx dx xcos x cos x dx x cos x cos x dx x cos x sen x C 9 Exemplo 1 Solução É aconselhável verificar a resposta derivandoa Se fizermos isso obteremos x sen x como esperado SOLUÇÃO USANDO A FÓRMULA 2 Sejam u x dv sen x dx Então du dx v cos x continuação 10 10 Exemplo 1 Solução de modo que x sen x dx x sen x dx x cos x cos x dx x cos x cos x dx x cos x senx C u v u du continuação u dv 11 11 Integração por Partes Se combinarmos a fórmula de integração por partes com a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo poderemos calcular integrais definidas por partesCalculando ambos os lados da Fórmula 1 entre a e b supondo que f e g contínuas e usando o Teorema Fundamental do Cálculo obtemos Exemplo 2 Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 72 Integrais Trigonométricas 14 Integrais Trigonométricas Nesta seção usaremos as identidades trigonométricas para integrar certas combinações de funções trigonométricas Começaremos com as potências de seno e cosseno Encontre cos³ x dx 16 Exemplo 2 Encontre o sen5x cos2x dx SOLUÇÃO Poderíamos converter cos2x em 1 sen2x mas obteríamos uma expressão em termos de sen x sem nenhum fator extra cos x Em vez disso separamos um único fator de seno e reescrevemos o fator sen4x restante em termos de cos x sen5 x cos2x sen2x2 cos2x sen x 1 cos2x2 cos2x sen x 17 Exemplo 2 Solução Substituindo u cos x temos du sen x dx e assim sen5x cos2x dx sen2x2 cos2x sen x dx 1 cos2x2 cos2x sen x dx 1 u22 u2 du u2 2u4 u6du cos3x cos5x cos7x C continuação 18 Exemplo 3 Calcule SOLUÇÃO Se escrevermos sen2x 1 cos2x a integral não é mais simples de calcular Usando a fórmula do ângulometade para sen2x contudo temos Observe que mentalmente fizemos a substituição u 2x quando integramos cos 2x 19 Integrais Trigonométricas Para resumirmos listamos as regras que devem ser seguidas ao calcular integrais da forma senmx cosnx dx em que m 0 e n 0 são inteiros Integrais Trigonométricas 21 Exemplo 5 Calcule cos4x sen4x dx 22 Integrais Trigonométricas Podemos empregar uma estratégia semelhante para calcular integrais da forma tgmx secnx dx Como ddx tg x sec2x podemos separar um fator sec2x e converter a potência par da secante restante em uma expressão envolvendo a tangente utilizando a identidade sec2x 1 tg2x Ou como ddx sec x sec x tg x podemos separar um fator sec x tg x e converter a potência par da tangente restante para a secante 23 Exemplo 5 Calcule tg6x sec4x dx SOLUÇÃO Se separamos um fator sec2x poderemos expressar o fator sec2x em termos de tangente usando a identidade sec2x 1 tg2x Podemos então calcular a integral substituindo u tg x de modo que du sec2x dx tg6x sec4x dx tg6x sec2x sec2x dx tg6x 1 tg2x sec2x dx u61 u2du u6 u8du tg7x tg9x C 24 Integrais Trigonométricas Os exemplos anteriores mostram as estratégias para calcular integrais da forma tgmx secnx dx para dois casos resumidos aqui 25 Integrais Trigonométricas Para outros casos as regras não são tão simples Talvez seja necessário usar identidades integração por partes e ocasionalmente um pouco de engenhosidade Algumas vezes precisaremos integrar tg x usando a fórmula estabelecida em 555 Também precisaremos da integral indefinida de secante 26 Integrais Trigonométricas Poderíamos verificar a Fórmula 1 derivando o lado direito ou como a seguir Primeiro multiplicamos o numerador e o denominador por x tg x Se substituirmos u sec x tgx então du sec x tg x sec2xdx assim a integral tornase 1u du ln u C Então temos sec x dx ln sec x tg x C 27 Exemplo 7 Encontre tg3x dx SOLUÇÃO Aqui apenas tg x ocorre então usamos tg2x sec2x 1 para reescrever um fator tg 2x em termos de sec2x tg3x dx tg x tg2x dx tg x sec2x 1 dx tg x sec2x dx tg x dx ln sec x C Na primeira integral substituímos mentalmente u tg x de modo que du sec2x dx 28 Integrais Trigonométricas Finalmente podemos usar outras identidades trigonométricas 29 Exemplo 9 Calcule sen 4x cos 5x dx Solução Essa integral poderia ser calculada utilizando a integração por partes mas é mais fácil usar a identidade na Equação 2a como a seguir 30 30 Integrais Trigonométricas Nesta seção usaremos as identidades trigonométricas para integrar certas combinações de funções trigonométricas Começaremos com as potências de seno e cosseno 31 31 Exemplo 2 Encontre o sen5x cos2x dx SOLUÇÃO Poderíamos converter cos2x em 1 sen2x mas obteríamos uma expressão em termos de sen x sem nenhum fator extra cos x Em vez disso separamos um único fator de seno e reescrevemos o fator sen4x restante em termos de cos x sen5 x cos2x sen2x2 cos2x sen x 1 cos2x2 cos2x sen x 32 32 Exemplo 2 Solução Substituindo u cos x temos du sen x dx e assim sen5x cos2x dx sen2x2 cos2x sen x dx 1 cos2x2 cos2x sen x dx 1 u22 u2 du u2 2u4 u6du cos3x cos5x cos7x C continuação 33 33 Exemplo 3 Calcule SOLUÇÃO Se escrevermos sen2x 1 cos2x a integral não é mais simples de calcular Usando a fórmula do ângulometade para sen2x contudo temos Observe que mentalmente fizemos a substituição u 2x quando integramos cos 2x 34 34 Integrais Trigonométricas Para resumirmos listamos as regras que devem ser seguidas ao calcular integrais da forma senmx cosnx dx em que m 0 e n 0 são inteiros Integrais Trigonométricas 36 36 Integrais Trigonométricas Podemos empregar uma estratégia semelhante para calcular integrais da forma tgmx secnx dx Como ddx tg x sec2x podemos separar um fator sec2x e converter a potência par da secante restante em uma expressão envolvendo a tangente utilizando a identidade sec2x 1 tg2x Ou como ddx sec x sec x tg x podemos separar um fator sec x tg x e converter a potência par da tangente restante para a secante 37 37 Exemplo 5 Calcule tg6x sec4x dx SOLUÇÃO Se separamos um fator sec2x poderemos expressar o fator sec2x em termos de tangente usando a identidade sec2x 1 tg2x Podemos então calcular a integral substituindo u tg x de modo que du sec2x dx tg6x sec4x dx tg6x sec2x sec2x dx tg6x 1 tg2x sec2x dx u61 u2du u6 u8du tg7x tg9x C 38 38 Integrais Trigonométricas Os exemplos anteriores mostram as estratégias para calcular integrais da forma tgmx secnx dx para dois casos resumidos aqui 39 39 Integrais Trigonométricas Para outros casos as regras não são tão simples Talvez seja necessário usar identidades integração por partes e ocasionalmente um pouco de engenhosidade Algumas vezes precisaremos integrar tg x usando a fórmula estabelecida em 555 Também precisaremos da integral indefinida de secante 40 40 Integrais Trigonométricas Poderíamos verificar a Fórmula 1 derivando o lado direito ou como a seguir Primeiro multiplicamos o numerador e o denominador por x tg x Se substituirmos u sec x tgx então du sec x tg x sec2xdx assim a integral tornase 1u du ln u C Então temos sec x dx ln sec x tg x C 41 41 Exemplo 7 Encontre tg3x dx SOLUÇÃO Aqui apenas tg x ocorre então usamos tg2x sec2x 1 para reescrever um fator tg 2x em termos de sec2x tg3x dx tg x tg2x dx tg x sec2x 1 dx tg x sec2x dx tg x dx ln sec x C Na primeira integral substituímos mentalmente u tg x de modo que du sec2x dx 42 42 Integrais Trigonométricas Finalmente podemos usar outras identidades trigonométricas 43 43 Exemplo 9 Calcule sen 4x cos 5x dx Solução Essa integral poderia ser calculada utilizando a integração por partes mas é mais fácil usar a identidade na Equação 2a como a seguir 44 44 Exemplo 9 Calcule cos²x sen 2x dx 45 45 Exemplo 9 Calcule sen 3t cos 2t dt 46 46 Exemplo 9 Calcule tan³ t dt Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 73 Substituição Trigonométrica 48 Substituição Trigonométrica Para encontrar a área de um círculo ou uma elipse uma integral da forma dx aparece onde a 0 Se ela fosse a substituição u a2 x2 poderia ser eficaz mas como está dx mais difícil Se mudarmos a variável de x para pela substituição x a sen então a identidade 1 sen2 cos2 permite que nos livremos da raiz porque 49 Substituição Trigonométrica Observe a diferença entre a substituição u a2 x2 na qual a nova variável é uma função da antiga e a substituição x a sen a variável antiga é uma função da nova Em geral podemos fazer uma substituição da forma x gt usando a Regra da Substituição ao contrário Para simplificarmos nossos cálculos presumimos que g tenha uma função inversa isto é g é injetora Nesse caso se substituirmos u por x e x por t na Regra de Substituição obteremos 50 Substituição Trigonométrica Esse tipo de substituição é chamado de substituição inversa Podemos fazer a substituição inversa x a sen desde que esta defina uma função injetora Isso pode ser conseguido pela restrição de no intervalo 2 2 51 Substituição Trigonométrica Na tabela a seguir listamos as substituições trigonométricas que são eficazes para as expressões radicais dadas em razão de certas identidades trigonométricas Em cada caso a restrição de é imposta para assegurar que a função que define a substituição seja injetora 52 Exemplo 1 Calcule SOLUÇÃO Seja x 3 sen onde 2 2 Então dx 3 cos d e Observe que cos 0 porque 2 2 53 Exemplo 1 Solução Assim a Regra de Substituição Inversa fornece continuação 54 Exemplo 1 Solução Como esta é uma integral indefinida devemos retornar à variável original x Isso pode ser feito usando identidades trigonométricas para expressar cotg em termos de sen x3 ou desenhando um diagrama como mostrado na Figura 1 onde é interpretado como um um ângulo de um triângulo retângulo continuação sen Figura 1 55 Exemplo 1 Solução Como sen x3 marcamos o lado oposto e a hipotenusa como tendo comprimentos x e 3 Pelo Teorema de Pitágoras o comprimento do lado adjacente assim podemor ler simplesmente o valor de cotg a da figura Embora 0 no diagrama essa expressão para cotg é válida quando 0 Como sen x3 temos sen1x3 logo continuação 56 Exemplo 2 Encontre a área delimitada pela elipse SOLUÇÃO Isolando y na equação da elipse temos ou 57 Exemplo 2 Solução Como a elipse é simétrica em relação a ambos os eixos a área total A é quatro vezes a área do primeiro quadrante veja a Figura 2 continuação Figura 2 58 Exemplo 2 Solução A parte da elipse no primeiro quadrante é dada pela função e assim Para calcularmos essa integral substituímos x a sen Então dx a cos d continuação 59 Exemplo 2 Solução Para mudarmos os limites de integração notamos que quando x 0 sen 0 logo 0 quando x a sen 1 assim 2 Além disso Já que 0 2 continuação 60 Exemplo 2 Solução Portanto Mostramos que a área de uma elipse com semieixos a e b é ab Em particular considerando a b r demonstramos a famosa fórmula que diz que a área de um círculo de raio r é r2 continuação 61 Substituição Trigonométrica OBSERVAÇÃO Como a integral no Exemplo 2 era uma integral definida mudamos os limites da integração e não tivemos que converter de volta à variável x original 62 Exemplo 3 Encontre SOLUÇÃO Se x 2 tg 2 2 Então dx 2 sec2 d e Assim temos 63 Exemplo 3 Solução Para calcularmos essa integral trigonométrica colocamos tudo em termos de sen e cos Portanto fazendo a substituição u sen temos continuação 64 Exemplo 3 Solução Usamos a Figura 3 para determinar que cossec e assim continuação Figura 3 65 Exemplo 5 Calcule onde a 0 SOLUÇÃO 1 Seja x a sec onde 0 2 ou 32 Então dx a sec tg d e Portanto 66 Exemplo 5 Solução 1 O triângulo da Figura 4 mostra que tg de modo que temos continuação Figura 4 67 Exemplo 5 Solução 1 Escrevendo C1 C In a temos continuação 68 Exemplo 5 Solução 2 Para x 0 a substituição hiperbólica x a cosh t também pode ser usada Usando a identidade cosh2y senh2y 1 temos Como dx a senh t dt obtemos continuação 69 Exemplo 5 Solução 2 Como cosh t xa temos t cosh1xa e continuação 70 Substituição Trigonométrica OBSERVAÇÃO Como o Exemplo 5 ilustra as substituições hiperbólicas podem ser utilizadas no lugar das substituições trigonométricas e elas às vezes nos levam a respostas mais simples Mas geralmente usamos substituições trigonométricas porque as identidades trigonométricas são mais familiares que as identidades hiperbólicas 71 Exemplo 6 Encontre SOLUÇÃO Primeiro observamos que 4x2 932 portanto a substituição trigonométrica é apropriada Embora não seja exatamente uma expressão da tabela de substituições trigonométricas ela se torna parte delas quando fazemos a substituição preliminar u 2x 72 Exemplo 6 Solução Quando combinamos esta com a substituição da tangente temos x que resulta em e Quando x 0 tg 0 assim 0 quando x tg logo 3 Portanto continuação 73 Exemplo 6 Solução Agora substituímos u cos de forma que du sen d Quando 0 u 1 quando 3 u Portanto continuação Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 74 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 75 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nesta seção mostraremos como integrar qualquer função racional um quociente de polinômios expressandoa como uma soma de frações mais simples chamadas frações parciais que já sabemos como integrar Para ilustrar o método observe que levando as frações 2x 1 e 1x 2 a um denominador comum obtemos 76 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Se agora revertermos o procedimento veremos como integrar a função no lado direito desta equação 2 ln x 1 ln x 2 C 77 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Para vermos como o método de frações parciais funciona em geral consideremos a função racional onde P e Q são polinômios É possível expressar f como uma soma de frações mais simples desde que o grau de P seja menor que o grau de Q Essa função racional é denominada própria 78 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Lembrese de que se Px anxn an 1xn 1 a1x a0 onde an 0 então o grau de P é n e escrevemos grP n Se f for impróprio isto é grP grQ então devemos fazer uma etapa preliminar dividindo Q em P por divisão de polinômios até o resto Rx ser obtido com grR grQ 79 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais O resultado da divisão é onde S e R também são polinômios Como o exemplo a seguir mostra algumas vezes essa etapa preliminar é tudo que precisamos 80 Exemplo 1 Encontre SOLUÇÃO Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador primeiro devemos realizae a divisão Isso nos permite escrever 81 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais A próxima etapa é fatorar o denominador Qx o máximo possível É possível demonstrar que qualquer polinômio Q pode ser fatorado como um produto de fatores lineares da forma ax b e fatores quadráticos irredutíveis da forma ax2 bx c onde b2 4ac 0 Por exemplo se Qx x4 16 poderíamos fatorar como Qx x2 4x2 4 x 2x 2x2 4 82 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais A terceira etapa é expressar a função racional própria RxQx da Equação 1 como uma soma das frações parciais da forma ou Um teorema na álgebra garante que é sempre possível fazer isso Explicamos os detalhes para os quatro casos que ocorrem 83 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais CASO I O denominador Qxé um produto de fatores lineares distintos Isso significa que podemos escrever Qx a1x b1a2x b2 akx bk onde nenhum fator é repetido e nenhum fator é múltiplo constante do outro 84 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nesse caso o teorema das frações parciais afirma que existem constantes A1 A2 Ak tais que Essas constantes podem ser determinadas como no exemplo seguinte 85 Exemplo 2 Calcule SOLUÇÃO Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador não precisamos dividir Fatoramos o denominador como 2x3 3x2 2x x2x2 3x 2 x2x 1x 2 86 Exemplo 2 Solução Como o denominador tem três fatores lineares distintos a decomposição em frações parciais do integrando tem a forma Para determinarmos os valores de A B e C multiplicamos os lados dessa equação pelo produto dos denominadores x2x 1x 2 obtendo x2 2x 1 A2x 1x 2 Bxx 2 Cx2x 1 continuação 87 Exemplo 2 Solução Expandindo o lado direito da Equação 4 e escrevendoa na forma padrão para os polinômios temos x2 2x 1 2A B 2Cx2 3A 2B Cx 2A Os polinômios na Equação 5 são idênticos então seus coeficientes devem ser iguais O coeficiente de x2 do lado direito 2A B 2C deve ser igual ao coeficiente de x2 do lado esquerdo ou seja 1 Do mesmo modo os coeficientes de x são iguais e os termos constantes também continuação 88 Exemplo 2 Solução Isso resulta no seguinte sistema de equações para A B e C 2A B 2C 1 3A 2B C 2 2A 1 Resolvendo obtemos A B e C e assim continuação 89 Exemplo 2 Solução Ao integrarmos o termo do meio fizemos mentalmente a substituição u 2x 1 que resulta em du 2dx e dx du2 continuação 90 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais OBSERVAÇÃO Podemos usar um método alternativo para encontrar os coeficientes A B e C no Exemplo 2 A Equação 4 é uma identidade é verdadeira para cada valor de x Vamos escolher valores de x que simplificam a equação Se colocarmos x 0 na Equação 4 então o segundo e terceiro termos do lado direito desaparecerão e a equação será 2A 1 ou A Da mesma forma x dá 5B4 e x 2 resulta em 10C 1 assim B e C 91 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais CASO II Qx é um produto de fatores lineares e alguns dos fatores são repetidos Suponha que o primeiro fator linear a1x b1 seja repetido r vezes isto é a1x b1r ocorre na fatoração de Qx Então em vez de um único termo A1a1x b1 na Equação 2 usaríamos 92 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Para ilustrarmos poderíamos escrever mas é preferível detalhar um exemplo mais simples 93 Exemplo 4 Encontre SOLUÇÃO A primeira etapa é dividir O resultado da divisão de polinômios é 94 Exemplo 4 Solução A segunda etapa é fatorar o denominador Qx x3 x2 x 1 Como Q1 0 sabemos que x 1 é um fator e obtemos x3 x2 x 1 x 1x2 1 x 1x 1x 1 x 12x 1 Como o fator linear x 1 ocorre duas vezes a decomposição em frações parciais é continuação 95 Exemplo 4 Solução Multiplicando pelo mínimo denominador comum x 12x 1temos 4x Ax 1x 1 Bx 1 Cx 12 A Cx2 B 2Cx A B C Agora igualamos os coeficientes A C 0 B 2C 4 A B C 0 continuação 96 Exemplo 4 Solução Resolvendo obtemos A 1 B 2 e C 1 assim continuação 97 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais CASO III Qx contém fatores quadráticos irredutíveis nenhum dos quais se repete Se Qx tiver o fator ax2 bx c onde b2 4ac 0 então além das frações parciais nas Equações 2 e 7 a expressão para RxQx terá um termo da forma em que A e B são as constantes a serem determinadas 98 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Por exemplo a função dada por fx xx 2x2 1x2 4 tem uma decomposição em frações parciais da forma O termo dado em pode ser integrado completando o quadrado se necessário e usando a fórmula 99 Exemplo 6 Calcule SOLUÇÃO Como o grau do numerador não é menor que o grau do denominador primeiro dividimos e obtemos 100 Exemplo 6 Solução Observe que o quadrático 4x2 4x 3 é irredutível pois seu discriminante é b2 4ac 32 0 Isso significa que este não pode ser fatorado então não precisamos usar a técnica de frações parciais Para integrarmos a função dada completamos o quadrado no denominador 4x2 4x 3 2x 12 2 Isso sugere que façamos a substituição u 2x 1 continuação 101 Exemplo 6 Solução Então du 2 dx e x u 1 assim continuação 102 Exemplo 6 Solução continuação 103 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais OBSERVAÇÃO O Exemplo 6 ilustra o procedimento geral para se integrar uma fração parcial da forma Completamos o quadrado no denominador e então fazemos uma substituição que traz a integral para a forma Então a primeira integral é um logaritmo e a segunda é expressa em termos de tg1 onde b2 4ac 0 104 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais CASO IV Qx contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos Se Qx tiver um fator ax2 bx cr onde b2 4ac 0 então em vez de uma única fração parcial a soma ocorre na decomposição em frações parciais de RxQx Cada um dos termos pode ser integrado usando uma substituição ou completando primeiramente o quadrado se necessário 105 Exemplo 8 Calcule SOLUÇÃO A forma da decomposição em frações parciais é Multiplicando por xx2 12 temos x3 2x2 x 1 Ax2 12 Bx Cxx2 1 Dx Ex 106 Exemplo 8 Solução Ax4 2x2 1 Bx4 x2 Cx3 x Dx2 Ex A Bx4 Cx3 2A B Dx2 C Ex A Se igualarmos os coeficientes obteremos o sistema A B 0 C 1 2A B D 2 C E 1 A 1 que tem a solução A 1 B 1 C 1 D 1 e E 0 continuação 107 Exemplo 8 Solução de modo que continuação Substituições Racionalizantes 109 Substituições Racionalizantes Algumas funções não racionais podem ser transformadas em funções racionais por meio de substituições apropriadas Em particular quando um integrando contém uma expressão da forma então a substituição pode ser eficaz Outros exemplos aparecem nos exercícios 110 Exemplo 9 Calcule SOLUÇÃO Seja u Então u2 x 4 assim x u2 4 e dx 2u du Portanto 111 Exemplo 9 Solução Podemos calcular essa integral fatorando u2 4 em u 2u 2 e usando as frações parciais ou usando a Fórmula 6 com a 2 continuação Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 75 Estratégias de Integração 113 Estratégias de Integração Nesta seção contudo apresentaremos uma coleção de integrais misturadas aleatoriamente e o principal desafio será reconhecer quais técnicas ou fórmulas deverão ser usadas Regras fáceis e rápidas para a aplicação de um dado método em uma determinada situação não podem ser dadas todavia damos alguns conselhos sobre estratégias que você pode achar útil Um prérequisito para aplicar uma estratégia é o conhecimento das fórmulas básicas de integração Na tabela Fórmulas de Integração juntamos as integrais com várias fórmulas adicionais que aprendemos neste capítulo 114 Estratégias de Integração A maioria delas deveria ser memorizada É útil conhecêlas todas mas aquelas marcadas com asterisco não precisam ser memorizadas porque podem ser facilmente deduzidas A Fórmula 19 pode ser evitada pelo uso de frações parciais e as substituições trigonométricas podem ser utilizadas no lugar da Fórmula 20 Estratégias de Integração 116 Estratégias de Integração 1 Simplifique o Integrando se possível Algumas vezes o uso de manipulação algébrica ou trigonométrica simplifica o integrando e torna o método de integração óbvio Aqui estão alguns exemplos sen cos d sen 2 d 117 Estratégias de Integração sen x cos x2 dx sen2 x 2 sen x cos x cos2 x dx 1 2 sen x cos x dx 2 Procure uma substituição óbvia Tente encontrar alguma função u gx no integrando cujo diferencial du gx dx também ocorra a menos de um fator constante Por exemplo na integral observamos que seu x2 1 então du 2x dx Portanto usamos a substituição u x2 1 em vez do método de frações parciais 118 Estratégias de Integração 3 Classifique o integrando de acordo com a sua forma Se as Etapas 1 e 2 não levaram à solução então olhamos para a forma do integrando fx a Funções trigonométricas Se fx for um produto de potências de sen x e cos x de tg x e sec x ou de cotg x e cossec x então utilizaremos as substituições recomendadas b Funções racionais Se f for uma função racional usamos o procedimento envolvendo as frações parciais 119 Estratégias de Integração c Integração por partes Se fx for um produto de uma potência de x ou um polinômio e uma função transcendental como uma função trigonométrica exponencial ou logarítmica então tentamos a integração por partes escolhendo u e dv d Radicais Tipos particulares de substituição são recomendados quando certos radicais aparecem i Se ocorrer utilizamos uma substituição trigonométrica iiSe ocorrer usamos a racionalização De modo mais geral isso às vezes funciona para 120 Estratégias de Integração 4 Tente Novamente Se as três primeiras etapas não derem resultado lembrese de que existem basicamente apenas dois métodos de integração substituição e por partes a Tente a substituição Mesmo que nenhuma substituição seja óbvia Etapa 2 alguma inspiração ou engenhosidade ou até mesmo desespero pode sugerir uma substituição apropriada b Tente por partes Embora a integração por partes seja usada na maioria das vezes nos produtos da forma descrita na Etapa 3c algumas vezes é eficaz em funções mais simples 121 Estratégias de Integração c Manipule o integrando As manipulações algébricas talvez racionalizando o denominador ou aplicando identidades trigonométricas podem ser úteis na transformação da integral em uma forma mais fácil Essas manipulações podem ser mais substanciais que na Etapa 1 e podem envolver alguma engenhosidade Aqui está um exemplo 122 Estratégias de Integração d Relacione o problema a problemas anteriores Quando tiver adquirido alguma experiência em integração você poderá usar um método em uma dada integral similar ao método anteriormente usado em outra integral Ou até será capaz de expressar a integral dada em termos de uma integral anterior Por exemplo tan2x sec x dx é uma integral desafiadora mas se utilizarmos a identidade tg2x sec2x 1 podemos escrever tg2x sec x dx sec3x dx sec x dx e se sec3x dx tiver sido previamente calculada então esse cálculo poderá ser usado no problema presente 123 Estratégias de Integração e Use vários métodos Algumas vezes dois ou três métodos são necessários para calcular uma integral O cálculo pode envolver várias substituições sucessivas de diferentes tipos ou até combinar a integração por partes com uma ou mais substituições 124 Exemplo 1 Na Etapa 1 reescrevemos a integral A integral é agora da forma tgm x secnx dx com m ímpar Alternativamente se na Etapa 1 tivéssemos escrito 125 Exemplo 1 então poderíamos ter continuado como segue com a substituição u cos x continuação 126 Podemos Integrar Todas as Funções Contínuas 127 Podemos Integrar Todas as Funções Contínuas As funções com as quais temos lidado neste livro são chamadas funções elementares Essas são as funções polinomiais racionais de potências xa exponenciais ax logarítmicas trigonométricas e suas inversas hiperbólicas e suas inversas e todas as funções que podem ser obtidas a partir destas pelas operações de adição subtração multiplicação divisão e composição Por exemplo a função é uma função elementar 128 Podemos Integrar Todas as Funções Contínuas Se f for uma função elementar então f é uma função elementar mas fx dx não precisa ser uma função elementar Considere fx Como f é contínua sua integral existe e se definimos a função F por então sabemos pela Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo que Logo fx tem uma primitiva F mas podese demonstrar que F não é uma função elementar 129 Podemos Integrar Todas as Funções Contínuas Logo fx tem uma primitiva F mas podese demonstrar que F não é uma função elementar Isso significa que não importa o quanto tentemos nunca teremos sucesso em calcular dx nos termos das funções que conhecemos O mesmo pode ser dito das integrais a seguir 130 Podemos Integrar Todas as Funções Contínuas De fato a maioria das funções elementares não tem primitivas elementares Você pode ter a certeza entretanto de que todas as integrais nos exercícios a seguir são funções elementares Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 76 Integração Usando Tabelas e Sistemas de Computação Algébrica Tabelas de Integrais 133 133 Tabelas de Integrais As tabelas de integrais indefinidas são muito úteis quando nos deparamos com uma integral que é difícil de calcular manualmente e não temos acesso a um sistema de computação algébrica Geralmente temos que usar a regra de substituição ou manipulação algébrica para transformar uma dada integral em uma das formas da tabela 134 134 Exemplo 1 A região delimitada pelas curvas y arctg x y 0 e x 1 gira em torno do eixo y Encontre o volume do sólido obtido SOLUÇÃO Usando o método de invólucros cilíndricos vemos que o volume é 135 135 Exemplo 1 Solução Na seção da Tabela de Integrais intitulada Formas Trigonométricas Inversas localizamos a Fórmula 92 Então o volume é continuação 136 136 Sistemas de Computação Algébrica 137 137 Sistemas de Computação Algébrica Os computadores são particularmente bons para reconhecer padrões E do mesmo jeito que usamos as substituições com as tabelas um SCA pode fazer substituições que transformam uma integral dada em uma daquelas que ocorrem em suas fórmulas armazenadas Então não é surpresa que um sistema de computação algébrica seja muito bom para fazer integração Para começarmos vamos ver o que acontece quando pedimos que uma máquina integre a função relativamente simples y 13x 2 138 138 Sistemas de Computação Algébrica Usando a substituição u 3x 2 um cálculo manual fácil nos fornece enquanto Derive Mathematica e Maple retornam a resposta In3x 2 A primeira coisa a observar é que os sistemas de computação algébrica omitem a constante de integração 139 139 Sistemas de Computação Algébrica Em outras palavras eles produzem uma primitiva particular não a mais geral Portanto quando usarmos uma integração feita por máquina teremos de adicionar uma constante Segundo os símbolos do valor absoluto são omitidos na resposta da máquina Isso é bom se nosso problema abranger apenas os valores x maiores que Mas se estivermos interessados em outros valores de x então precisaremos inserir o símbolo de valor absoluto 140 140 Exemplo 5 Utilize um sistema de computação algébrica para determinar SOLUÇÃO O Maple responde com O terceiro termo pode ser reescrito utilizandose a identidade arcsenh x lnx 141 141 Exemplo 5 Solução Logo O termo extra resultante In 1 pode ser absorvido na constante de integração continuação 142 142 Exemplo 5 Solução O Mathematica responde O Mathematica combinou os dois primeiros termos do resultado do Maple em um único termo por fatoração O Derive responde continuação Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 77 Integração Aproximada 144 144 Integração Aproximada Existem duas situações nas quais é impossível encontrar o valor exato de uma integral definida A primeira situação surge do fato que para calcularmos usando o Teorema Fundamental do Cálculo precisamos conhecer uma primitiva de f Algumas vezes no entanto é difícil ou mesmo impossível encontrar uma primitiva Por exemplo é impossível calcular as seguintes integrais exatamente 145 145 Integração Aproximada A segunda situação surge quando a função é determinada por um experimento científico por meio de leituras de instrumentos ou dados coletados Pode não haver uma fórmula para a função Em ambos os casos precisamos encontrar valores aproximados para as integrais definidas Já conhecemos um método desse tipo 146 146 Integração Aproximada Lembrese que a integral definida é obtida como um limite das somas de Riemann assim qualquer soma de Riemann pode ser usada como uma aproximação à integral se dividirmos a b em n subintervalos de comprimento igual x b an então temos onde xi é qualquer ponto no iésimo subintervalo xi 1 xi Se xi for escolhido como a extremidade esquerda do intervalo então xi xi 1 e teremos 147 147 Integração Aproximada Se fx 0 então a integral representa uma área e representa uma aproximação dessa área pelos retângulos mostrados na Figura 1a Figura 1a 148 148 Integração Aproximada Se escolhermosxi como a extremidade direita então xi xi e teremos Veja a Figura 1b As aproximações Ln e Rn definidas pelas Equações 1 e 2 são chamadas de aproximação pela extremidade esquerda e aproximação pela extremidade direita respectivamente Figura 1b 149 149 Integração Aproximada Também consideramos o caso onde xi é escolhido como o ponto médio do subintervalo xi1 xi A Figura 1c mostra a aproximação pelo ponto médio Mn que parece ser melhor que Ln ou Rn Figura 1c Integração Aproximada 151 151 Integração Aproximada Outra aproximação denominada Regra do Trapézio resulta da média das aproximações nas Equações 1 e 2 152 152 Integração Aproximada A razão para o nome Regra do Trapézio pode ser vista na Figura 2 que ilustra o caso com fx 0 e n 4 Figura 2 Aproximação por trapézios 153 153 Integração Aproximada A área do trapézio que está acima do iésimo subintervalo é E se adicionarmos as áreas de todos os trapézios teremos o lado direito da Regra do Trapézio 154 154 Exemplo 1 Use a a Regra do Trapézio e b a Regra do Ponto Médio com n 5 para aproximar a integral SOLUÇÃO a Com n 5 a 1 e b 2 temos x 2 15 02 e assim a Regra Trapezoidal resulta em 155 155 Exemplo 1 Solução Essa aproximação é ilustrada na Figura 3 Figura 3 continuação 156 156 Exemplo 1 Solução b Os pontos médios dos cinco subintervalos são 11 13 15 17 e 19 assim a Regra do Ponto Médio resulta em Essa aproximação é ilustrada na Figura 4 continuação Figura 4 157 157 Integração Aproximada No Exemplo 1 escolhemos deliberadamente uma integral cujo valor pode ser calculado explicitamente de maneira que possamos ver quão precisas são as Regras do Trapézio e do Ponto Médio Pelo Teorema Fundamental do Cálculo O erro no uso de uma aproximação é definido como a quantidade que precisa ser adicionada à aproximação para tornála exata 158 158 Integração Aproximada A partir dos valores no Exemplo 1 vemos que os erros nas aproximações pelas Regras do Trapézio e do Ponto Médio para n 5 são ET 0002488 e EM 0001239 Em geral temos 159 159 Integração Aproximada As tabelas a seguir mostram os resultados de cálculos semelhantes àqueles no Exemplo 1 mas para n 5 10 e 20 e para as aproximações pelas extremidades esquerda e direita assim como para as Regras do Trapézio e do Ponto Médio 160 160 Integração Aproximada Podemos fazer várias observações a partir dessas tabelas 1 Em todos os métodos obtemos aproximações mais precisas ao aumentarmos o valor de n Mas valores muito grandes de n resultam em tantas operações aritméticas que temos que tomar cuidado com os erros de arredondamento acumulados 2 Os erros nas aproximações pelas extremidades esquerda e direita têm sinais opostos e parecem diminuir por um fator de cerca de 2 quando dobramos o valor de n 161 161 Integração Aproximada 3 As Regras do Trapézio e do Ponto Médio são muito mais precisas que as aproximações pelas extremidades 4 Os erros nas Regras do Trapézio e do Ponto Médio têm sinais opostos e parecem diminuir por um fator de cerca de 4 quando dobramos o valor de n 5 O tamanho do erro na Regra do Ponto Médio é cerca de metade do tamanho do erro na Regra do Trapézio 162 162 Integração Aproximada Vamos aplicar essa estimativa de erro à aproximação pela Regra do Trapézio no Exemplo 1 Se fx 1x então fx 1x2 e fx 2x3 Uma vez que 1 x 2 temos 1x 1 logo 163 163 Integração Aproximada Portanto tomando K 2 a 1 b 2 e n 5 na estimativa de erro vemos que Comparando essa estimativa de erro de 0006667 com o erro real de 0002488 vemos que pode acontecer de o erro real ser substancialmente menor que o limitante superior do erro dado por 165 165 Regra de Simpson Uma outra regra para resultados de integração aproximados consiste no uso de parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar uma curva Como antes dividimos a b em n subintervalos de iguais comprimento h x b an mas dessa vez assumimos que n seja um número par Regra de Simpson 166 166 Regra de Simpson Então em cada par consecutivo de intervalos aproximamos a cuva y fx 0 por uma parábola conforme mostrado na Figura 7 Se yi fxi então Pixi yi é o ponto na curva acima de xi Figura 7 167 167 Regra de Simpson Uma parábola típica passa por três pontos consecutivos Pi Pi1 e Pi2 Para simplificarmos nossos cálculos primeiro consideramos o caso onde x0 h x1 0 e x2 h Veja a Figura 8 Figura 8 168 168 Regra de Simpson Sabemos que a equação da parábola que passa por P0 P1 e P2 e da forma y Ax2 Bx C e assim a área sob a parábola de x h até x h é 169 169 Regra de Simpson Mas como a parábola passa por P0h y0 P10 y1 e P2h y2 temos y0 Ah2 Bh C Ah2 Bh C y1 C y2 Ah2 Bh C e portanto y0 4y1 y2 2Ah2 6C Por isso podemos reescrever a área sob a parábola como y0 4y1 y2 170 170 Regra de Simpson Agora movendo essa parábola horizontalmente não mudamos a área sob ela Isso significa que a área sob a parábola por P0 P1 e P2 de x x0 a x x2 na Figura 7 ainda é y0 4y1 y2 Figura 7 171 171 Regra de Simpson Analogamente a área sob a parábola por P2 P3 e P4 de x x2 para x x4 é y2 4y3 y4 Se calculamos as áreas sob todas as parábolas dessa forma e adicionarmos os resultados obteremos 172 172 Regra de Simpson Embora tenhamos deduzido essa aproximação para o caso no qual fx 0 essa é uma aproximação razoável para qualquer função contínua f e é chamada Regra de Simpson em homenagem ao matemático inglês Thomas Simpson 17101761 Observe o padrão dos coeficientes 1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 173 173 Exemplo 4 Use a Regra de Simpson com n 10 para aproximar Solução Colocando fx 1x n 10 e x 01 na Regra de Simpson teremos 174 174 Regra de Simpson A Regra do Trapézio ou a Regra de Simpson pode ainda ser usada para calcular um valor aproximado para a integral de y em relação à x A tabela a seguir mostra como a Regra de Simpson se compara à Regra de Ponto Médio para a integral cujo valor é de aproximadamente 069314718 A segunda tabela mostra como o erro Es na Regra de Simpson diminui por um fator de aproximadamente 16 quando n é duplicado 175 175 Regra de Simpson Isso é consistente com a aparência de n4 no denominador da seguinte estimativa de erro para a Regra de Simpson Ela é semelhante às estimativas dadas em para as Regras de Trapézio e de Ponto Médio mas usa a quarta derivada de f Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 78 Integrais Impróprias 177 177 Integrais Impróprias Nessa seção estendemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e também para o caso onde f tem uma descontinuidade infinita em a b Em ambos os casos a integral é chamada de integral imprópria Tipo 1 Intervalos Infinitos 179 179 Tipo 1 Intervalos Infinitos Considere a região infinita S que está sob a curva y 1x2 acima do x e à direita da reta x 1 Você poderia pensar que como S tem extensão infinita sua área deve ser infinita mas vamos olhar mais de perto A área da parte de S que está à esquerda da reta x t sombreado na Figura 1 é Figura 1 180 180 Tipo 1 Intervalos Infinitos Observe que At 1 independentemente de quão grande t sela escolhido Também observamos que A área da região sombreada se aproxima de 1 quando t veja a Figura 2 assim dizemos que a área da região infinita S é igual a 1 e escrevemos Figura 2 181 181 Tipo 1 Intervalos Infinitos Usando esse exemplo como um guia definimos a integral de ƒ não necessariamente uma função positiva sobre um intervalo infinito como o limite das integrais sobre os intervalos finitos 182 182 Tipo 1 Intervalos Infinitos Qualquer uma das integrais impróprias na Definição 1 pode ser interpretada como uma área desde que f seja uma função positiva Por exemplo no caso a se fx 0 e a integral for convergente então definimos a área da região S x yx a 0 y fx na Figura 3 como Isso é apropriado porque é o limite como t da área sob o gráfico de f de a a t Figura 3 183 183 Exemplo 1 Determine se a integral é convergente ou divergente SOLUÇÃO De acordo com a parte a da Definição 1 temos O limite não existe como um número finito e assim a integral imprópria é divergente 184 184 Tipo 1 Intervalos Infinitos Vamos comparar o resultado do Exemplo 1 com o exemplo dado no início desta seção Figura 4 Figura 5 185 185 Tipo 1 Intervalos Infinitos Geometricamente isso quer dizer que embora as curvas y 1x2 e y 1x pareçam muito semelhantes para x 0 a região sob y 1x2 à direita dex 1 a região sombreada na Figura 4 tem uma área finita enquanto a região correspondente sob y 1x na Figura 5 tem uma área infinita Observe que 1x2 e 1x se aproximam de 0 quando x mas 1x2 se aproxima mais rápido de 0 que 1x Os valores de 1x não diminuem rápido o suficiente para que sua integral tenha um valor finito Resumindo temos 186 186 Tipo 2 Integrados Descontínuos 187 187 Tipo 2 Integrados Descontínuos Suponha que f seja uma função contínua positiva em um intervalo finito a b mas tenha uma assíntota vertical em b Seja S a região delimitada sob o gráfico de f e acima do eixo x entre a e b Para as integrais Tipo 1 as regiões se estendem indefinidamente em uma direção horizontal Aqui a região é infinita em uma direção vertical A área da parte de S entre a e t a região sombreada na Figura 7 é Figura 7 188 188 Tipo 2 Integrados Descontínuos Se acontecer de At se aproximar de um número A quando t b então dizemos que a área da região S é A e escrevemos Usamos essa equação para definir uma integral imprópria do Tipo 2 mesmo quando f não for uma função positiva não importando o tipo de descontinuidade que f tenha em b 189 189 Tipo 2 Integrados Descontínuos 190 190 Exemplo 5 Encontre SOLUÇÃO Observamos primeiro que a integral dada é imprópria porque tem a vertical assíntota x 2 Como a descontinuidade infinita ocorre no extremo esquerdo de 2 5 usamos a parte b da Definição 3 191 191 Exemplo 5 Solução Então a integral imprópria dada é convergente e como o integrando é positivo podemos interpretar o valor da integral como a área da região sombreada na Figura 10 Figura 10 continuação 192 192 Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias 193 193 Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias Algumas vezes é impossível encontrar o valor exato de uma integral imprópria mas ainda assim é importante saber se ela é convergente ou divergente Nesses casos o teorema seguinte é útil Apesar de afirmarmos isso para as integrais do Tipo 1 um teorema análogo é verdadeiro para as integrais do Tipo 2 194 194 Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias Omitiremos a demonstração do Teorema da Comparação mas a Figura 12 o faz parecer plausível Se a área sob a curva superior y fx for finita então a área sob a curva inferior y gx também o é Figura 12 195 195 Um Teste de Comparação para Integrais Impróprias E se a área sob y gx for infinita então a área sob y fx Observe que a recíproca não é necessariamente verdadeira se for convergente ergente pode ou não pode ser convergente e se for divergente pode ou não ser divergente 196 196 Exemplo 9 Mostre que é convergente SOLUÇÃO Não podemos calcular a integral diretamente porque a primitiva de não é uma função elementar Escrevemos e observamos que a primeira integral do lado direito é apenas uma integral definida ordinária 197 197 Na segunda integral usamos o fato de que para x 1 temos x2 x assim x2 x e portanto ex Veja a Figura 13 A integral de ex é calculada facilmente Exemplo 9 Solução continuação Figura 13 198 198 Exemplo 9 Solução Então tomando fx ex e gx no Teorema de Comparação vemos que é convergente Segue que é convergente continuação