Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral - Volume 8

H b MATEMATICA z Aref Antar Netc José Luiz Pereira Sampaic Nilton Laps Sidney Luiz Cavallantte m AOÇOES DE Jl VOLUME 8 Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral E INTEGRAL Noções de Matemática VOLUME 8 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Aref Antar neto José Luis Pereira Sampaio Nilton Lapa Sídney Luiz Cavaílantte 148 842037 wwwVestSellercombr Capa Rafael Feitosa Parente CIP Brasil CatalogaçãonaFonte Câmara Brasileira do Livro SP 1 Análise matemática 2 Cálculo integral 3 Funções I Antar Neto Aref 1949 II Série 515 5173 51543 Editora 17 CDD517 18 17 18 Introdução ao Cálculo Diferencial e integral I Aref Antar Neto et al Fortaleza Ed Veslseller 2010 Noções de matemática v8 Índice 9 Capitulo 1 Módulo de um número real 19 Capitulo 2 Intervalos e vizinhanças 27 Capítulo 3 Função 77 Capítulo 4 Definição de limite de uma função Parte II Limites e Continuidade Parte t Conceitos Básicos sobre as Funções 21 22 23 24 41 Idéia intuitiva de limite de uma função 42 Definição formal de limite de uma função Partes de Bi Intervalos Vizinhança completa em R Vizinhança reduzida em R Vizinhanças do infinito 19 21 22 23 11 12 13 14 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Definição de módulo de um número real Interpretação geométrica Um resultado importante Propriedades do módulo 27 30 35 42 43 50 56 60 61 66 73 9 9 10 11 77 31 Reiação e Função Função real A Álgebra das funções Generalidades sobre funções elementares Algumas funções elementares Transformações no gráfico de uma função Outras funções elementares A função exponencial Funções trigonomêtricas 310 Função inversa Exercícios Suplementares 97 Capítulo 5 O conceito de função contínua 109 Capítulo 6 Cálculo de limites 61 133 Capitulo 7 limite e continuidade laterais 141 Capítulo 8 Infinito 148 84 Limite de quando fx L0 e gx 0 165 Capitulo 9 Funções trigonométricas exponenciais e logaritmicas 51 Idéia intuitiva de continuidade 52 Definição de função continua 71 Exemplos iniciais 72 Limites laterais 73 Continuidade lateral 74 Função continua em um intervalo fechado 133 134 135 135 141 144 146 152 154 156 165 166 167 167 168 172 174 178 180 183 183 189 194 97 98 Substituição da função dada por uma função continua Teorema da troca109 62 Propriedades dos limites111 63 Propriedades das funções continuas 125 64 Função composta126 91 Uma desigualdade importante 92 Continuidade da função seno 93 Continuidade das demais funções trigonométricas 94 Teorema do confronto 95 Limite trigonométrico fundamental 96 Continuidade das funções exponenciais 97 Limites das funções exponenciais para 98 Continuidade das funções logaritmicas 99 Limites das funções logaritmicas para 910 Função de variável inteira 911 O número e 912 Logaritmo natural Exercícios Suplementares 81 Limites infinitos 82 Limites para xco 83 Propriedades dos limites infinitos f x A A I imifo Hca 1 L WT 11 I I kV gx 85 Limites de polinômios para x co 86 Limites da função racional para x oo 87 Limite de fx quando fx oo 201 Capitulo 10 Derivados 217 Capítulo 11 Algumas regras de derivaçao 243 Capitulo 12 derivada de uma função composta 271 Capítulo 13 Funções inversas e derivadas 279 Capitulo 14 Algumas aplicações das derivadas 101 Introdução 102 Reta tangente a uma curva 103 Reta tangente ao gráfica de uma função 104 Derivada de uma função em um ponto 105 Continuidade e derivada 10 6Função derivada 107 Notações 14 1 Regra de UHospital 142 Outras formas da regra de L Hospital Parte III Derivadas 201 201 203 205 213 215 216 279 286 243 243 259 260 261 262 265 271 274 276 131 Derivada de uma função inversa 132 Derivadas das funções trigonométrícas inversas 133 Função potência de expoente racional 121 Introdução 122 Regra da cadeia 123 Demonstração da regra da cadeia 124 Função potência de expoente real 125 Derivada de fx gxhl 126 Derivação logaritirnica 127 Derivação implícita 217 217 219 220 220 221 230 231 232 233 237 237 240 240 241 111 Função constante 112 Função potência 113 Função seno 114 Função cosseno 115 Derivada de fx k gx 116 Derivada da soma 117 Derivada do produto 118 Derivada do quociente 119 Função potência de expoente inteiro 1110 Funções tangente cotangente secante ecossecante 1111 Função exponencial 1112 Função logaritimo 1113 Tabela de derivadas 1114 Derivadas de um determinante 1115 Derivadas sucessivas a 299 Capitulo 15 Variação das Funções 339 Capítulo 16 Noções de cálculo integral 357 Capítulo 17 Técnicas de integração 370 375 Capitulo 18 Noções de cálculo integral Parte IV Integração noções básicas 375 376 379 330 382 3S5 336 357 357 359 339 339 350 353 181 Definição 162 Teorema fundamental do cálculo 183 A integral definida e a área 184 A integral definida e a somatória 185 Aplicação à Geometria volume 156 Aplicação ã Física trabalho Exercicios Suplementares 161 Introdução 162 O cálculo de áreas Funções primitivas 163 A integrai indefinida 164 Propriedades da integral indefinida Exercícios de Vestibulares Respostas dos exercícios propostos Respostas dos exercícios suplementares Respostas dos exercicios de vestibulares 389 411 445 452 171 Introdução 172 Técnica I Integração por substituição 173 Técnica II Jfax bdx a 0 174 Técnica lll Integração por partes Integrais da forma 151 Introdução 299 152 Teorema de Weierstrass 299 15 3 Teorema de Fermat 3C1 154 Teorema de Rolle 303 155 Teorema de vaiar médio 3C4 156 Derivadas e crescimento das funções 307 1 57 Pesquisa de máximos e mínimos Aplicação aos gráficos 311 158 Pesquisa de máximos e mínimos Uso da derivada 321 159 Máximos e mínimos algumas aplicações 325 1510Demonstração da regra de LHospital 333 Exercicios Suplementares 336 outros casos de 289 293 297 143 Aplicação da regra de LHospital indeterminação 144 Velocidade e aceleração 145 Taxa de variação PARTE I Módulo de um número real Capítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 Intervalos e vizinhanças Função Capítulo Módulo de um número real 1 11 DEFINIÇÃO DE MÓDULO DE UM NÚMERO REAL lxl X VxxeR xj 0 Finalmente para todo número real x temse xx 12 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA AX By x y yx Observe que para todo número real x temse By Ax x y I x x0 xy 9 Exemplos a O módulo do número real 5 é 5 isto é 5 5 b O módulo do número real zero é zero isto é 0 0 c O módulo do número real 5 é 5 isto é 5 5 5 Para todo número real x o módulo ou valor absoluto de x que se indica por x é definido por x se x 0 x se x0 Observe que se x é positivo ou nulo seu módulo é o próprio x se x é negativo o módulo é obtido trocandose o sinal de x Também note que se x 0 é indiferente dizerse x x ou x Da definição resulta que o número x é nãonegativo e que a igualdade x x dáse quando e somente quando x 0 então Sobre um eixo consideremos os pontos respectivamente A Distância entre os pontos e y é por definição dx y x y A noção de módulo acarreta naturalmente o conceito de distância A e B de abscissas x e y A e B ou entre os números reais x Exemplos O B A 4 3 2 1 3 3 i 13 UNI RESULTADO IMPORTANTE x J32 79 3 x Propriedade Para todo número x temse Demonstração SÊXÍ 0 e dai podemos escrever que xs 10 Na figura ao lado o número real 3 está associado ao ponto A o módulo de 3 ê a distância entre A e O O número real 3 está associado an ponto R o mó dulo de 3 é a distância entre O leilor deve estar atento para o erro que se comete quando se escreve essa igualdade é correta quando x é nãonegativc e é falsa quando x é negativo por exemplo se x 3 temse x se X se 2 3 4 Note inicialmente que x1 x1 e então x e x são raizes quadradas de x1 e se xí 0o número x é a raiz quadrada nãonegativa de xs e se x 0 o número x é a raiz quadrada nãonegativa de x2 Como 7xz é 3 raiz quadrada nãonegativa de x2 temse Um número real x nãonegativo admite uma única raiz quadrada nãonegativa que se indica por X Por exemplo o número S possui duas raízes quadradas 3 e 3 número 3 é a raiz quadrada nãonegativa de 9 e escrevemos 7ã 3 Vxz x se x 0 7x7 x 2 x x Essa igualdade significa que o módulo de x é a distância de x ao número zero ou que é a distância do ponto A de abscissa x à origem de O xllxl x ê OJ 11 0 1 14PROPRIEDADES DO MÓDULO Propriedade 1 Para todo número real x temse Demonstração Se x 0 temse X X á X e coma x x podemos escrever xxx Se x 0 temse x x x e como x x podemos escrever xíxíx que completa a demonstração Propriedade 2 Sexey sao números reais temse WlxW Demonstração xyVxy Jx y X y 11 Is y Uma consequência imediata da Propriedade 2 é que sendo x e y reais e y 0 temse X y x De fato fazendo af temos y y Il a y I ay I y lxl donde resulta a tese Propriedade 3 Se x e a sáo números reais e a 0 temse Demonstração 1 parte 2J parte a concluise que a a 0 a Propriedade 4 Se x e a sao números reais e a 0 temse Demonstração a Como x a o x a ou x a podemos escrever x a a S xí a Veja o exercício 115 12 Hipótese x a Tese a x a Hipótese a x a Tese x a x aca x a Inicialmente sexí 0 temse x j x E como por hipótese x x a Se agora xí 0 temse x x E como por hipótese x a concluise que x a e daí x a Observe que a Propriedade 3 estabeiece que x j a se e somente se x estiver a uma distância menor do que a do número zero Inicialmente consideremos xiO então x x e da hipótese podemos concluir que x a Como a 0 temse a x e daí a x a Agora se x s 0 temos x x e da hipótese x a então x a Como a a x temse a x a o que completa a demonstração xaxaouxa t i I 1 I 1 E claro também que p I x x Propriedade 5 DESIGUALDADE TRIANGULAR Quaisquer que sejam cs números reais xey temse fxyxy Demonstração A Propriedade 1 permitenos escrever Somando membro a membro as desigualdades acima temos I x y í x yx y e daí usando a Propriedade 3 temos a tese Ix ysx yj Exercidos resolvidos 11 Resolva a equaçao na incógnita x x 3 4 Solução S 7 1 4 4 i T T T 7 0 3 12 Resolva a inequação na incógnita x x 3 4 Solução A Propriedade 3 permitenos escrever 4 x3 4 e da i 1 x 7 13 jxíxíx yyyj Hã dois números reais cujo módulo é 4 4 e 4 Então x3 4oux 3 4 Resolvendo as equações acima temos x 7oux 1 Então Observe que as soluçoes da equação são tocos os x que estão à distância 4 do número 3 Então S x 7 1 0 3 13 Se x 3 simplifique a expressão Solução Podemos escrever sucessivamenie Seguese que y 3 x3x 2x Finalmente y 2x 14 Sejam os números reais a e b se a í b definemse mín a b 14 Observe que as scluçoes da inequaçâo são todos os x cujas distâncias ao número 3 são menores do que 4 máx a b b min ai b a V J3x2 J3 x y 3x 3 x y 96x xJ 9 6x X Como x 3 temos 3 x 0 e então 3x 3Xe3 x0e então 3 X 3 X 3x Assim máx 1 3 3 máx 3 3 3 min 4 1 4 e min 3 3 3 Verifique que e IR 1 x 7 a bb a máx a b a blba 2 Solução Sé b a temos máx a b b min a b a e ba ba então Se bí a temos máx a b a mina b b e b a b a a b então 15 se x e y são números reais demonstre que Solução a Observe que podemos escrever 5y y Então a desigualdade triangular dános I xy l x yt s x Iy I E como y y vem a tese IYI IllV I b Observe que podemos escrever xxy y Então a desigualdade triangular dános xxy ylx y y Daí x xyl lyle finaliriente a tese MHy 15 a xyíxy b xyxy c I I x y xy 1 a b 1b 2 2 a bba a bba 2 2 a a b fba xy a 4 b a b 2 a a bab 2 a b b a 2 aíbb 2 2b b s máx a b 2a a min a b 2a r a máx a b 2b b min a b c A propriedade anterior permitenos escrever e dai 1J Então 1 e b daonos xyxyxy e da Propriedade 3 11 x l1 y 11f I xy 16 Demonstre que se x xc Solução Aplicando a desigualdade triangular temos 17 Determine o menor valor de M M 0 para que se tenha Para todo x tal que 2íxí7 Solução 2 x7 x p 2 1 Como para x 2 tem se a x áM não seria satisfeita para todo x tal que 2 x 7 Logo desigualdade 16 1 x j x yxxyf xyxy 2 2 1 2 K 2 xyx0y0s yxyx í M 2 M ê o menor valor 2 I X y x0 y0 I I X XQ y yQ s X x01 I y y01 c e yyaíentão dado qualquer outroM 0 M 1 X Solução Co it o a b c temse Exercícios Propostos 110 Determine x para que se tenha vx 5x 6 xJ 5x 6 1 17 x da b a b a b b a pais b a por hipótese da c I a c a c c a pois c a por hipótese 112 Resolva as equações na incógnita x a x 3 1 3 b x4x 2 0 c x 1 1 I x 2 I 4 dl I 6X7 I I 3 2x e 9x 11 X 114 Verifique que quaisquer que sejam os números reais x e y distintos e não nulos temse 2 c b c a 0 cbc a db c da c 1 c a b a 0 c a b a da c da b y t xy xy y y c x k5 dx k2 111 Considere a expressão Y Quais são as diferentes formas que ela pode assumir segundo os valores de x 113 Resolva as inequaçoes na incógnita x a 2x3l b 2x4 i 8 c jx 3 x8 j 18 Mostre que se a b e c são números reais tais que abc então da bda c eque dbcda c 19 Determine x se a x 4 b x 42 V3 115 Se x e a sao números reais e a X a a t xx a a a3 an a 11B Demonstre que se xxn 2 119 Verifique que x máx x x 1 20 Use a desigualdade triangular para determinar um valor de IV tal que para todo x tal que 2 x 3 49 ab 18 117 Use o método da indução matemática volume 2 desta coleção para demonstrar que ai aj as an n e N temse 121 Seja f a função de 3 em 3 tal que fx 4x3x 1 Calcule em função de a e b a b o quociente 2 fafíb ab x3 2x 11 M 1 I e yy0 4 então 0 demonstre que eduza que se a 2 e b 2 temse fa fb a31 a j xyxc yD C xaoxa ou 116 Se x e y sae números reais demonstre que com y 0 y y I n e N Capítulo Intervalos e vizinhanças 2 21 PARTES DE R INTERVALOS a b b a ab Por exemplo a 19 e b Por exemplo 2 6 x e R 2 x 6 Observe que o intervalo fechado 2 6 não é o conjunto 2 6 por definição os elementos do intervalo 2 6 são todos os números reais entre 2 e 6 incluídos também 2 e 6 enquanto que 2 6 possui somente dois elementos 2 e 6 Geometricamente o intervalo fechado de origem a e de extremidade b é representado pelo diagrama 2o Em R chamase intervalo semiaberto à direita de origem a e de extremidade b à parte de R constituída dos elementos x tais que a x b para representalo usamos a notação Geometricamente esse intervalo a b é representado pelo diagrama Sejam a e b números reais tais que a b 1o Em R chamase intervalo fechado de origem a e de extremidade b á parte de R constituída dos elementos x tais que a x b para representálo usamos a notação 2 4 x e R 2 x 4 a b Por exemplo 1 1 X É i H 1 X 1 a b 0 4 iu ü 4 Ü 4 b a a 20 3o em chamase intervala semiaberto à esquerda de erigem extremidade b à parte de R constituída dos elementos x tais que a x b para representálo usamos a notação Por exemplo 4 x e R 0 X 4 Observe que o intervalo 0 4 e conjunto 0 4 não possuem qualquer elemento comum e que Geometricamente o intervalo a b ê representado pelo diagrama Geometricamente o intervala a b é representado pela diagrama 5o seja a um número real Em R o conjunto dos elementos x tais que xí a chamase intervalo fechado ilimitado à esquerda e de extremidade a para representálo usamos a notação 3 b i 4o Em R chamase intervalo aberto de origem a e de extremidade b à parte de R constituída dos elementos x tais que a x b para representálo usamos a notação O conjunta dos elementos x tais que x a chamase intervalo aberto ilimitado ã esquerda e de extremidade a para representálo usamos a notação a e de a Geometricamente os intervalos acima são representados respectiva mente par a a a a a a a k w 22 VIZINHANÇA COMPLETA FM R Seja x0 um número real Em R chamase vizinhança completa de o a um intervalo aberto l tal que Xo e I Uma vizinhança completa de x0 ê indicada por V x0 Por intervalo aberto o 4 5 21 1 2 Analogamente o conjunto dos elementos x tais que x a chamase intervalo fechado ilimitado à direita e de origem a para representãlci usamos a notação E o conjunto dos elementos x tais que x a chamase intervalo aberto ilimitado ã direita e de origem a para representálo usamos a notação a c a Enfim consideramos R como um intervalo aberto ilimitado nos dois sentidos indicados por exemplo 1 r 5 ê uma vizinhança completa do número 4 pois 4 e I Observe que sendo a b o intervalo a b é uma vizinhança completa do xc se e somente se x0 a b isto é a Xo b a x0S xo XQfiXX0 â ou SXOÒ u ainda x xo S ou também d x xo 5 a x0 6 Vx0 Ô c Vx q 3 1 23 VIZINHANÇA REDUZIDA EM 51 VXo VxQ x0 denominase vizinhança reduzida do x0 22 x0 6 b E Indicase por VxD Ô Observe que sexe VXq S temos Seja xo em número real Se VXn em R é uma vizinhança completa de xD a parte de 12 4 Xo Xo Ô 4 n 2 Note que para construirmos uma tal vizinhança simétrica basta tomarmos 5 min xo a b xo Por exemplo seja a vizinhança completa V3J 1 4 dc número 3 Se tornarmos 8 min 31 4 3 min 2 1 1 toda vizinhança simétríca V3 6 é tal que V3 5 c V3 para 51 temos a vizinhança V3 1 V3 i Em 12 chamase vizinhança completa simétrica de Xo de raio 8 8 e 12 ao intervalo aberto xo 8 Xo É importante observar que se Vx0 ab é uma vizinhança com pleta de xo há uma vizinhança com pleta simétrica de x0 VXo ò tal que V4 Xo Xo B x0 denominase vizinhança reduzida de x0 de raio B V xc B temos Xo rt x Xo íi e X Xo 24VIZINHANÇAS DO INFINITO K chamase vizinhança à esquerda do V V Ca b b a V 23 ou ou ainda ou também Se a e b são números reais tais que a b o complementar em t do intervalo fechado a b denominase vizinhança do infinito indicase com Vas ÓxXoBe xxo 0 I x xn ê 0 dx xD ó a Observe que para obtermos Vxc retiramos o ponto x0 da vizinhança completa VXú Analogamente se VxD h é uma vizinhança completa simétrica de x0 a parte de R Observe que se x e o a a e R chamase vizinhança ã Todo intervalo de tipo a a s infinito indicase por V j q Analoqicarnente todo intervalo do tipo j direita do infinito indicase por V V Exercícios Resolvidos 21 Sendo A 2 5 e B 3 7 determine d CfiA aAuB bAnB c A B Solução 0 1 8 9 2 3 4 5 6 7 4 4 4 22 Resolva as inequações a x2 à 1 b xxD S S 0 utilizando na resposta a notaçao para intervalos Solução b A Propriedade 3 permitenos escrever 6 x xc 6 e dai Xq BXXo 5 então S l xD fi x0 S 24 a A B 2 7 x e R 2 í x 7 b AnB 3 5 x 6 K 3 C A B 2 3 x e Lí 2 É x í 3 d CA w 2 u 5 x e K x 2 ou x 5 ê a A Propriedade 4 do capitulo 1 permitenos escrever x2s1oux21 A B AU B AP B A 9 CA UIR x 5 e dai x 1 ou x 3 3 ao 1u 3 co Solução ri min Em particular para fi 1 a vizinhança é V2 1 2 V2 n Solução Qualquer ponto a 1 a 1 6 Solução 25 7i A observação do item 22 permitenos escrever que o raio ri da vizinhança desejada satisfaz a condição Sejam Vxc 61 e Vxo 5 duas vizinhanças completas simétricas de xo com raios 5i e fo respectiva mente então Vx0 íi Jxoriu xo Vxo Ô x0 rij xo 25 Seja x0 um número real Prove que a interseção de duas vizinhanças comple tas simétricas de xa em R s também uma vizinhança completa simétrica de xo 1 a 3 2 a S t õ V0 fi í 0 2 possui vizinhança contida em S a a â Assim por exemplo se a 199 uma vizinhança de a contida em S é V199 0005 J1985 1995 Há outras vizinhanças possíveis basta escolher um raio fi 001 Como mostra a figura o número zero não possui vizinhança contida em S além disso os números 1 e 2 náo possuem vizinhança contida em S Va ô r1 24 Seja S x éü x Co u 1 x 2 quais pontos de S possuem ao menos uma vizinhança completa simétrica contida em S r 31 min 11 1 23 Seja v2 1 uma vizinhança completa do número 2 Determine uma vizinhança completa simétrica do número 2 V2 ri tal que V2 ri c V2 21 2 2 I Se Ô min 81 Sj temse VxC1 Si mVx0 S 5 Exercícios Propostos 26 Se A 31 B 1 2 e C b A B u C c A B C d B nC a AnB nC b a utilizando na resposta a notaçao para inlervaíos uma vizinhança completa do número zero Determine a 26 Vx0 fii n Vx0 j xQ Si x0 i ôi m x0 82 x5 82 l xo õ x0 8 Daí podemos concluir que Vxo 81 n Vk o 82 é uma vizinhança completa simétrica de Xo com raio 8 28 Resolva as inequações a J1 1 2 1 1 x1 29 Seja V0 2 vizinhança completa simétrica do número zero V0 8 de maror raio tal que V 0 8 c V0 210 Seja AxeR1 íxí 1 Quais pontos de A possuem ao menos uma vizinhança completa contida em A Há algum ponto que não pertence a A que possui uma vizinhança reduzida contida em A 1 o5F d 2j determine J 1 27 Determine a 1 3m2 5 b 1 3 2 5 c 1 31 3 d 13u13 e 10w10 f12m2 3 x a b Capítulo Função 3 31 RELAÇÃO E FUNÇÃO Par ordenado a b c d o a c e b d Produto cartesiano A B x y x e A e y e B Nota Se A 0 ou B 0 completase a definição com Exemplo Dados os conjuntos A 2 4 6 e B 1 5 temos A x B 2 1 2 5 4 1 4 5 6 1 6 5 Relação 27 Sejam os conjuntos A e B Uma relação R de A em B é qualquer subconjunto de Ax B Dados os números a e b podemos formar com eles um par ordenado indicado por a b A noçãc de par ordenado é um conceito primitivo Em um par ordenado a ordem é essencial Assim o par 1 3 é distinto do par 3 1 Além disso Recordemos de forma resumida o conceito de relação entre dois conjuntos assunto tratado com detalhes no volume 1 desta coleção Consideremos dois conjuntos não vazios A e B O conjunto de todos os pares ordenados x y com x e Aey é B chamase produto cartesiano de A por B e se indica Ax B A x B 0 Exemplo Correspondência entre dois conjuntos Exemplos A B 1 B 28 2a correspondência relação R2 1a correspondência relação Rí 7 9 1 2 Y 3L 4Z 1 x 2 3 4 V 1 3 5 7 e R3 Dados os conjuntos A 1 2 3 4 e B 1 3 5 7 9 podemos definir várias correspondências entre eles Usando diagramas de flechas temos por exemplo Uma relação de A em B estabelece uma correspondência entre dois conjuntos significando isto que aos elementos de A ficam associados elementos de B por meio da relação As relações podem ser representadas por diagramas de flechas onde as flechas ligam os elementos que compõem cada par ordenado As relações R R2 do exemplo anterior apresentam os seguintes diagramas de flechas 3 r5 Consideremos os conjuntos do exemplo anterior Os subconjuntos de A B Ri2 1 25 6 1 Eb 2 5 65 Ka 4 1 0 R5 A x B são relações de A em B B A 1 9 Conceito de função Definição x y e f y fx 29 3 correspondência relação üj 1 2 3 4 Sejam A e B conjuntos diferentes do conjunto vazio cujos elementos são números Uma função f de A em B é uma correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento em B De uma forma mais precisa função é um tipo especial de relação de acordo com a definição seguinte O conjunto A denominase domínio de f e pode ser indicado com a notação Df Quando uma função tem domínio A dizse que ela está definida em A O conjunto B denominase contradomínio de f e pode ser indicado com a notação CDf Se x é um elemento qualquer de A então o único y de B associado axé denominado imagem de x pela função f ou valor da função f em x e será indicado com a notação fx lêse f de x y fx O conjunto de todos os elementos de B que são imagem de algum elemento de A denominase conjuntoimagem de f e pode ser indicado com a notação lf t Sejam os conjuntos A e B não vazios e seja f uma relação de A em B Dizse que f é uma função de A em B se e somente se para todo x em A existir em correspondência um e um só y em B tal que 3 5 7 lf y e B 3x x e A e Na 2a correspondência há elementos de A que correspondem a mais de um elemento de B De fato ao elemento 1 e A estão associados 1 e 3 em B Também a partir de 3 e A obtemos 5 e 7 em B Na 3a correspondência isto não acontece mas por outro lado temos um elemento 4 e A que não possui correspondente em B Na 1a correspondência todos os elementos de A possuem correspondente único em B Esse tipo de correspondência dá origem ao conceito de função que recordaremos a seguir 1 2 3 Kn c c d í 32FUNÇÃO REAL f332 9 30 é uma função real Observe que a imagem de qualquer elemento x do domínio R é obtida elevandose ao quadrado o número x assim se quisermos a imagem do número 3 Df A 1 2 3 CDf B 0 12 3 lf 0 1 Em nosso trabalho têm interesse as funções nas quais os elementos do domínio e do contradominio são números reais Uma tal função denominase função real de variável real ou simplesmente função real Por exemplo a função f de R em R para a qual fx x2 Exemplo Sejam os conjuntos A 1 2 3 e B 0 1 2 3 e a função f de A em B definida pelo diagrama de flechas abaixo No exemplo acima temos f1 0 f2 1 f3 1 Observe também que De uma outra forma para obtermos a imagem do número 3 f3 na fórmula fx x2 substituímos a letra x pelo número 3 e efetuamos as operações indicadas Vimos que para se definir uma função f dãose dois conjuntos o seu domínio e o seu contradominio e ainda uma lei uma fórmula uma sentença que descreve como se associa a cada elemento do domínio um único elemento no contradominio Na prática entretanto tratandose de função real é comum omitirse o domínio e o contradominio dandose somente a fórmula que estabelece a correspondência entre x e fx Quando isto acontecer está convencionado o seguinte 1o o contradominio da função f é CDf R 2o o domínio da função f Df é o subconjunto de R constituído por todos os valores de x para os quais as operações indicadas na fórmula são possíveis gerando como resultado um número real Exemplos 1 A função f definida pela fórmula fx X 1 Df 1 e CDf R 2o Para a função definida por o domínio é constituído pelos números reais x tais que x 1 0 isto é Df R1 e CDf R Gráfico de uma função real y r l0 G fx fx fx x x A y if ÍG 7T x Df 31 tem para domínio o subconjunto de R constituído por todos os valores de x para os quais x 1 i 0 isto é x a 1 então 1 Toda reta r vertical que passa por um ponto de A Df encontra o gráfico G em um único ponto o que nos dá um critério para decidirmos se uma figura do plano cartesiano pode ser gráfico de uma função 2o Quando se conhece o gráfico G de uma função f o seu domínio pode ser obtido projetandose G sobre Ox na direção Oy o conjuntoimagem de f pode ser obtido projetandose G sobre Oy na direção Ox Seja f uma função real de A em B Fixado um sistema de coordenadas ortogonais xOy o conjunto G da totalidade dos pontos x fx com x em A ê o gráfico de f Observe o seguinte Exercícios Resolvidos 31 Seja a função f de iít em R para a qual fx 2 gx Determine g0 g2 g3 e g2t 2 tem para imaqem gx 2 então E para todo x real tal que x g3 2 Para o cálculo de g2t devermos fazer duas hipóteses 1a Se 2t 2 temse g2t 2t 2 2t 2 2a Se 2t 2 temse 920 2 Então se t 1 temse g2t 2t 2 e se t 1 temse g2t 2 33 Dê o dominio da função f definida pela fórmula 32 Solução Temos então 32 Seja a função g de R em R para a qual x 2 se x 2 2 se x 2 Solução Observe que todo x real tal que x 2 tem para imagem gx x 2 então g0 0 2 2 g2 2 2 4 Calcule f0 f2 e com a 0 e fffa Ylx f0 O2 2022 f2 22 2 4 2 2 fpp22k taj VaJ a az ffaJ fa2 2 a2 22 2 a 4a2 2 Solução Para que as operações indicadas na fórmula possíveis devemos ter A inequação da condição 2 é satisfeita para 1 x 1 então Df 1 1 2 3 Solução c Queremos determinar x x Exercícios Propostos 35 Seja a função f de K em R para a qual Fx 3x2 2 Determine df 73 af2 b f4 c f0 e ft 33 X 2 Df Kf x tal que fx 0 x tal que fx 0 AY 2 lf 2 2 e Df tal que sua imagem seja zero devemos procurar os pontos onde o gráfico encontra o eixo Ox a abscissa x desse ponto é tal que a imagem de x é zero isto é fx 0 No exemplo acima encontramos x 1 34 Seja a função f definida pelo gráfico abaixo Determine a b c d d Queremos determinar x x e Df tal que sua imagem seja positiva devemos procurar os pontos para as quais o gráfico está em cima do eixo Ox as abscissas x desses pontos são tais que fx 0 No exemplo acima 1 x 1 responde à questão proposta 1 1 x 0 isto é x t 1 2 0 1x a Para projeto domínio de f projetamos o gráfico de f sobre Ox na direção Oy então Df 1 3 b Para determinarmos conjuntoimagem de f projetamos o gráfico de f sobre Oy na direção Ox então 36 Seja a função g de R e R para a qual gx Determine fgt2 e g29 bgl c g3 d g31 ag2 37 Determine os domínios de cada uma das funções definidas por c fx a fx bfx Vx 2x2 x2 x 2 d fx 38 Determine os domínios de cada uma das funções definidas por a fx I x I c fx b fx d fx 39 Para a função f definida por determine b lf a Df 310 O domínio da função real definida por é Df 2 Determine m se x 3 fx Determine m para que fx gx para todo x 34 lx VX 2 7x2 1 7ixix 1 Vi x ix 311 Sejam as funções f e g definidas respectivamente por gx x3 x2 9 x 3 m se x 3 fx x m se x 3 x 12x se x3 fx Aí 7x212 x 1 312 Considere a função f definida pelo gráfico abaixo 1 2xy3 21 4 5 1 2 Determine e x tal que fx 0 33 A ÁLGEBRA DAS FUNÇÕES Definição Exemplo A função f de R em R definida por fx 1 e a função g de R em R definida por gx são iguais Definições contradomínio fórmula que a define nome da função notaçao domínio R soma R R f R quociente g 35 As funções f de A em B e g de C em D são iguais se e somente se A C B D e fx gx para todo x em A Sejam f e g funções reais A tabela abaixo define quatro novas funções obtidas a partir de f e de g a Df b lf c x tal que fx 0 d x tal que fx 3 diferença produto Df Dg DfDg Df Dg Df n Dg Com gx 0 f gx fx gx fgx fxgx fgx fx gx f g fg f g lgj gx X n se x 0 x 1 se x 1 fx gx Exemplo Sejam as funções feg definidas respectivamente por x DfnDg D Então Definição gjfxj O domínio de gf ê Adotaremos CDgnf CDg 36 f 9 fx VlXs gx Vx Vi xJ Vx xxe A função tem domínio g Dadas as funções feg gf é uma função que se diz composta de g com f definida par e são definidas f gx Vlx2 Vx fgx1x2 f gx 7lr Ví e gxOj Então Df I1 1 Dg 0 Dai as funções f g f g i respectivamente por e DfnDg 0 1 e f g têm dominio 0 1 Dguf MxEDflefxeDg DÍUC 1 gj Exemplo e e E dai Dgjf x e X x a 25 25 Temos também gfx vfx5 JVx 5 g4x gfx f gM fgx a a Determine Df e Dg b Determine os domínios das funções f g f g f g e c Oè as fórmulas que definem cada uma dessas funções 37 313 Sejam as funções feg definidas respectivamente por fx Vx2 gx V5x C domínio da funçáo fé Df 0 s e domínio da função g é Dg 5 oa Então Dadas as funções gef podese pensar em duas funções compostas gsf e fog para as quais se tem respectivamente Sejam as funções feg definidas por fx 7x gx Jx5 Observações Não se deve confundir a notação gof com a notaçào g4 note também que a grafia qof está uãs avessas1 a primeira função que se aplica é f e a segunda é g Dg f x e R I x e Df í g f x e IR I x a 0 Note que pode ocorrer gf bg mas de um modo geral gf fg isto é composição de funções não é uma operação comuativa Exercidos resolvidos fx e Dg f g Solução x e Df n Dg e gx 0 2 5 Então D Para as funções gf e fgb determine b a fórmula que define cada uma delas a o domínio Sotuçao Note qlie Df fx e 3 x S 0 0 eo e Dg R w c Dg f xe R x 0 0 Satisfeita para Todo x e e A inequaçao x3 0 é satisfeita para x 0 e dai Df g x e xà0 0 í 38 Df g x e R Df g x ê R fj g a Df 2 e Dg 5 b Cama Df n Dg 2 5 temse Df g Df g Df g Df o Dg 2 5 Todo elemento x que pertence ao domínio de ê tal que 9 3 14 Sejam as funções feg definidas por fx Vx gx xi cf gx fx gx Vx2 V5X f gx fx gx Vx2 Jí x f gx fx gx Jx2 j5x IgJ gx 5x X 6 Dg 1 I x e r i 4 gj s fxe Dg x3e R i gxE Df a Dgof x e R x e Df e Dg f x e R x ü e Solução Vamos calcular inicialmente f fx fl fx x1 Agora Wx x1 Então f f fx x 316 Solução c f X x2 x x2 X 39 Note que para todo x à 0 temse convenção CDgof CDfcg R nesse caso temos gf fog Para as funções de R em R definidas pelas fórmulas abaixo diga qual é par e qual é ímpar fx x2 x não é impar A função do item c não se classifica segundo o critério acima ou seja ela nem é par nem é impar Seja f uma função real de domínio A para o qual se x e A então x e A Se para todo x de A se tem f x fx f dizse PAR Se para todo x de A se tem f x fx f dizse ÍMPAR fx x1 x x1 c fx X2 X 315 Seja fx determine f f fx a fx x2 L1 ffx1 x1 ffx z1 b fx x3 b gUfx gfx fx3 Vx 3 fgx flgx Vsx x3 Vx3 x3 e como Dgcf Dfcg e por 1 x 1 x 1 X11 X x1 x a f x x2 x2 fx par b f x x3 x3 fx impar fx não é par Exercícios Propostos 317 Seja a função f definida por fx x2 1 Determine cfx 2 h f3x fórmula que definem f q f g f q e e 320 Para a função f definida por fx Vx Verifique que assuma que X hOetiO 321 Sejam as funções reais definidas por gx 2x e fx 40 a Determine gf0Lg4 fef 1 e gg3 b Determine gfx e fcgx a ft b ft 2 319 Dãose abaixo as funções f e g Determine em cada caso o domínio e a fórmula que definem fg e g4 e fx h f fx g fix a fx 2x 5 e gx 4x b fx Jx t 2 e gx J2 x c fx Vx2 e gx Vx3 X se x 1 l X SÊ X 1 310 Daose abaixe as funções f e g Determine em Cada caso o dominio e a f 9 a fx x 1 b fx Ac x k 2 fx h fx 1 h x h Jx gx 2x x 1 e 322 Se fx 2x 3 e fjgx x determine gx 323 Suponha que as funções f e g definidas por fx ax b gx cx d Qual ê a condição para que frg gf 325 Considere as funções C S e T definidas em R tais que Tx 326 Para as funções de R em R definidas pelas fórmulas abaixo diga qual é b fx x 1 d fx 3 x 41 Sx Cx c fx 5 xs X par e qual é impar a fx 3x x3 c Verifique que 1 Tx2 1 x 324 Seja fx Determine f H fx 14 x Cx 3X 3x Sx 3 3x a Calcule os valores dessas funções para x 0 e x 1 b Verifique que Cx2 Sx2 1 1 CxlJ 327 Na figura ao lado está desenhada parte do gráfico da função f cujo domínio é 3 3 Complete o gráfico assumindo que a f é função par b f é função impar 34 GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES REAIS Definição Xi X2 fXi fXj Se Xi 2 implica fXi fXí dizse que f é nao decrescente em I Uma forma equivalente de se colocar a definição acima é Df se ê somente se para tudo par 0 E se tivermos 50 X1 x2 fx fx3 Se x x implica fXi fxl dizse que f é não crescente em I 0 E se tivermos 0 Diremos que f é não crescente em I Exemplo A função de 3 em R definida por fx 2x 3 é crescente em R 42 Consideremos um intervalo I c Df Uma função real f dizse crescente em I I c Df se e somente se para todo par de pontos x e x2 de I temse Diremos que f é nao decrescente em I Definição Podemos dizer também que uma função real f é decrescente em i I c Df se e somente se para todo par de pontos xi e x2 de I x 1 x2 temse Uma função real f dizse decrescente em I I c Df se e somente se para todo par de pontos Xi e Xj de I temse fxifxJ ia fxtfxg X Xj X x2 WfÇxJ xx Uma função real f dizse crescente em I I c de pontos Xi e x2 de l Xi x2 temse De fato sejam x e xi reais tais que x xj 3 2 x x2 ar sendo xi Definição xL 3 7 é limitado Definição fX L 43 Então Xi Xj fXi fíxi para todo x xj e R e a função é crescente em jL Observe que se f é crescente em R é também não decrescente em R Um conjunto A AcE dizse limitado superiormente se existe um número L tal que para todo x de A Um número L com essa propriedade dizse limitante superior de A Observe que A é limitado superiormente se e somente se existe um número L que seja ümitante superior de A Note também se que existe L existirão também outros limitantes superiores de A Por exemplo o intervalo I 3 7 é limitado superiormente número 7 é um limitante superior de I 8 e 9 também o são Um conjunto A AclR dizse limitado inferiormente se existe um número L tal que para todo x de A Um número L çom essa propriedade dizse limitante inferior de A Por exemplo o intervalo I 3 7 é limitado inferiormente o número 3 é um limitante inferior de i 2 e 1 também o são Um conjunto A A c R dizse limitado se ele for limitado superiormente e limitado inferiormente Por exemplo o intervalo I Seja f uma função real Seja o conjunto Afx xe I Ic Df a função f dizse limitada superiormente em I se e somente se conjunto A é limitado superiormente Observe que se f é limitada superiormente em I existe um real L tal que fXifx3 2Xi 3 2x Xj podese concluir que fXi fx2 2Xi xz 0 negativo pois X Xj fXfX3j 0 fx fXí ou ainda Para todo x x e L y M 1 y M M Definição fX fXD fx S f ÍXo para todo x em I 44 Por exemplo a função definida por fx x 1 é limitada em I 1 2 Geometricamente se a função fé limitada em I o seu gráfico está situado entras as retas de equações y Mey M quando x e I Sejam a função real f e o conjunto I I e Df Dizse que f admite um máximo absoluto no conjunto I se existe ao menos um ponto Xo em I tal que Para todo x Xé I Por exemplo a função definida por fx x 1 é limitada superiormente em l 1 2 Analogamente a função f acima dizse limitada inferiormente em I se e somente se o conjunto A ê limitado inferiormente Observe que se f ê limitada inferiormente em I existe um real í tal que fxí para todo x X e I Por exemplo a função definida por fx x 1 é limitada inferiormente em I 1 2 Finalmente a função f acima dizse limitada em I se e somente se o conjunto A é limitado Observe que se f è limitada em I existe um real M M 0 tal que NI fX M X M para toda x em I 0 número fXa chamase máximo absoluto em f em I Dizse que f admite um minimo absoluto no conjunto I se existe ao menos um ponto xc em I tal que O número fxo chamase mínimo absoluto de f em I 1 x x J 0 1 I 0 2 Definição fx fxo para todo x em VxQ y y 2 1 x X Definição fx fx p x X p p p p 45 1 T Sejam a função real em f e o seu domínio Df Dizse que f admite um máximo local em um ponto x q x 0 e Df se existe uma vizinhança completa de xQ Vx0 Vx0 c Df tal que fx S fx0 Também chamado máximo relativo Também chamado mínimo relativo Seja f uma função real Dizse que f ê periódica se existe um número real p p t 0 tal que para todo x em Df x p é elemento de Df e fx p fx O menor p positivo que satisfaz a condição denominase periodo de f máximo absoluto mínimo absoluto mínimo absoluto minlmo y absoluto máximo absoluto xminimo absoluto 2 máximo absoluto máximo local XP I mínimo local mínimo absoluloz não existe máximo absoluto mínimo absoluto para todo x em VxD Analogamente dizse que f admite um mínimo local em um ponto x0 Xq e Df se existe uma vizinhança completa de xD1 Vxo Vx0 c Df tal que Exercícios Resolvidas 320 Seja a função f definida par Solução positivo pois Xi y2 RXn fXz Solução 3 30 Seja a função f definida por fx xz f é limitada em 1 1 Solução 46 Um limitante superior de A s V observe que J nao é elemento de A e que J é o menor dos limitantes superiores de A Um limitante inferior de A é zero observe que zero é o elemento de A e que 0 é o maordos limitantes inferiores de A a Dê o domínio de f b Verifique que f é decrescente em R a O domínio de f é constituído por todos os valores reais de x tais que x 0 isto é Note que para todo x tal que 1 x 1 temse 0 s x3 í 1 isto é 0 S fx í 1 o que mostra quefx é limitada em 1 1 1 fx X X Xt g X x f t positivos pois xi X2 e R fxi Kxz 0 fxõ fx2 Df R 1 1 X b calculemos fXi fXj fXi fx2 j 1 x x x X E dai para todo par Xi x2 em 3 tal que x x2 podemos concluir que Então Xi x fXi fXj e a função f é decrescente em R 329 Seja o conjunto A x e Ü D s x Ji Dê um limitante superior e um limitante inferior de A 1 Solução f 1 Então f f 5 1 1 1 f f 1 3 3 3 f12 f 7 f5 7bf 7 f 7f 7 0 Exercícios Propostos 3 32 Seja a função f definida por fx x2 1 Verifique que f é crescente em 334 0 conjunto A f3 e f 2 b Determine x tal que fx 0 47 As informações do enunciado são traduzidas por fx 5 fx f x fx 336 uma função f de domínio 3 é periódica de período 2 par e tal que fx x para 0 S x 1 16 3 1 3 I 3 1 335 A função definida por fx é limitada em 0 1 r 51 a Determine f I I fí 5 l 3 í 1 331 A função f de R em é periódica de período 5 é ímpar e fj I 3 J 333 Sejam f e g funções de R em R não decrescentes num intervalo I Venfique que h f g ê não decrescente em I x x en e N é limitado n fl6 r291 Determine fl F f í i e f12 f 7 k 3 k 3 35ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES Função constante y fx c 0c x Função identidade à Y fx x 1 1 X fx ax b a t 0 0 b x 48 Seu conjuntoimagem é lf c O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto 0 c Função polinômio de 1 grau É a função de IR em R que associa a cada x real o número ax b com a t 0 então a fórmula que a define é É a função de R em R que associa a todo x real sempre um mesmo número c c e R então a fórmula que a define é É a função de R em R que associa a cada x real o próprio x então a fórmula que a define é Seu conjuntoimagem da função do 1 grau é lf R O gráfico é a reta da equação y ax b Seu conjuntoimagem é lf R O gráfico da função identidade é a reta que contém as bissetrizes dos quadrantes ímpares Função módulo y 1 1 X Função quadrática fx ax2 bx c V onde A b2 4ac é o seu vértice A 0 a 0 A 0a 0 y y v a X X t 2a lf 49 É a função de R em R que associa a cada número real x o número real ax2 bx c a 0 então a fórmula que define ê É a função de R em R que associa a cada real x o número x então a fórmula que a define ê Al Ai 4a fx I X I Seu conjuntoimagem é lf R O gráfico da função módulo é constituído pela união de duas semi retas como mostra a figura b A 2a 4a Se a 0 a concavidade da parábola está voltada para cima se a 0 a concavidade da parábola está voltada para baixo Para o gráfico da função podemos destacar as situações I ycíly JycElyA Num sistema cartesiano ortogonal xOy o gráfico da função quadrática é uma b parábola que tem a reta de equação x como eixo de simetria o ponto 2a A 0a 0 A 0a 0 y y X 0 lf y e R I y s 0 lf y e R y è 0 A 0a 0 A Oa 0 x ÍV x I 10 lf íycpy 36 TRANSFORMAÇÕES NO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO y fx k y fx x 50 Certas transformações translações reflexões podem ser feitas sobre o gráfico de uma função possibilitando a sua construção com alguma facilidade Vamos examinar as transformações mais importantes Seja então a função definida pela sentença aberta y fx e seja o número real k positivo x0 I A 4a A 4a Al 4a j A t 4a I O gráfico da função definida por y fx k pode ser obtido do gráfico da função definida por y fx fazendo este sofrer uma translação de k unidades na direção Oy para cima y e tf y y y Exemplos fx x 1 t T x X y fx y fx k x y fx k y fx Exemplos y fx x x 51 x O gráfico da função fx x sofreu uma translação para cima obtendose o gráfico da função fx x 1 fx x y k cá y k a O gráfico da função fx x sofreu uma translação para a esquerda obtendose o gráfico da função fx x 1 O gráfico da função fx x sofreu uma translação para a direita obtendose o gráfico da função fx x1 O gráfico da função fx x sofreu uma translação para baixo obtendose o gráfico da função fx x 1 O gráfico da função definida por y fx k pode ser obtido do gráfico da função definida por y fx fazendo este sofrer uma translação de k unidades na direção Oy para baixo y fx k vy fx k X O gráfico da função definida por y fx k pode ser obtido do gráfico da função definida por y fx fazendo este sofrer uma translação de k unidades na direção Ox para a direita fx x xí x1 1 X y fxx 1 k y z fx x i II O gráfico da função definida por y fx k pode ser obtido do gráfico da função definida por y fx fazendo este sofrer uma translação de k unidades na direção Ox para a esquerda y fW X y fx y y fx y V X y y Exemplos 2 1 y y x X fx x X Y fx yfl 52 y íx X X X a parte abaixo do eixo Ox reflete em tornodoeixoOx III O gráfico da função definida por y fx pode ser obtido do gráfico da função definida por y fx fazendo este sofrer uma reflexão em relação ao eixo Ox z W M O gráfico da função fx x sofreu uma reflexão em tomo do eixo Ox obtendose o gráfico da função fx 4 y fx x O gráfico da função definida por y f x pode ser obtido do gráfico da função y fx fazendo este sofrer uma reflexão do eixo Oy Se conhecermos o gráfico da função definida por y fx e quisermos o gráfico da função definida por y fxj fazse a parte que está abaixo do eixo Ox do gráfico do y fx sofrer uma reflexão em torno do eixo Ox 1 fX X 1 com x 6 1 1 x é substituído por x y fx x 1 com xe 1 1 T Para x e 1 1 o gráfico da função fx X 1 sofreu uma reflexão em torno do eixo Oy obtendose o gráfico da função fx x 1 este se obtém da primeira substituindose x por x Exercícios Resolvidos 337 Desenhe o gráfico da função f de S em definida por fx 4 Á 3 y 3 2 1 2 x y x 2 Solução y iy 1 x y x 53 y x 11 1 A projeção do gráfico de f sobre Oy nos dá lf co 4 338 Construa o gráfico da função definida por fx x 1 1 translação x para a direita Qual é o conjuntoimagem de f Solução O gráfico da função f é constituído pro duas semiretas e um arco de parábola x 2 se x 1 x2se1 x 2 3 se x à 2 y X2 translaçao para cima 1 4 y X1 1 Se x 1 f é representado pela reta de equação y x 2 2 Se 1 x2fé representada pela parábola y x2 3 Se x 2 f é representada pela reta paralela ao eixo que passa pelo ponto 0 3 2 1 339 Seja a função f de R em R definida por fx Solução y 2 1 1 f0 o 1 Então fx 54 y Solução A definição de módulo de um número real nos dá 340 Desenhe o gráfico da função f definida por fx x1x2 1 se 0 se 1 se ffx 1 se x Ú O gráfico de y íx deslocouse uma unidade para cima x x 0 X 0 x 0 yfx 1 se x 0 J 1 x y fX1 O gráfico de y fx deslocouse para uma unidade para a direita x Para obtermos o gráfico de f desenhamos as parábolas de equações y JC X 2 e y x 3x 2 da primeira tomamos o arco constituído pelos pontos para os quais x 5 0 e da segunda o arco constituído pelo pontos para os quais XíO a Determine conjuntoimagem de f b Desenhe o gráfico de f e deduza os gráficos das funções definidas por y fx1e y fx 1 a Observe que todo real negativo tem imagem 1 zero tem imagem zero e que todo real positivo tem imagem 1 daí lf 1 0 1 x2 x2 se x 0 x23x2 se xíü y fx Se x í 0 x x e fx x 1 x 2 x3 x 2 Se x 0 x xefx x 1 x 2 x2 3x 2 y i X 10 R Solução 5 Daí m2 4 20 e então m 4 ou m 4 Exercícios Propostos 342 Seja a função real definida por 343 Seja a função f definida por fx 55 A 4a 19 4 O gráfico da função f é uma parábola cuja concavidade está voltada para baixo efetivamente f admite um valor máximo dado por a Determine f 2 e f2 b Determine Df c Construa o gráfico de f a Desenhe o gráfico de f b Deduza Df e lf c Desenhe os gráficos das funções definidas por Y fx 1 y fx 1 y f x y 1 fx 1 4 fx x2 x 2 para x 0 fx x2 3x 2 para x 0 1 x 1 341 Seja a função quadrática f definida por fx x2 mx 1 Determine m para que f admita um máximo absoluto igual a 5 m 4 4 fx 12Ü X se 1 x 0 se 0 x S 1 f fx 346 Seja f uma função real de domínio IR tal que b Seja a função p definida por 37 OUTRAS FUNÇÕES ELEMENTARES Função definida peía fórmula fx x1 y 8 fx X 8 56 344 Seja a função quadràtica definida por fx mx2 2x 1 m 0 Determine m para que a função admita um valor máximo em x 1 Consideremos a função f de K em Lí definida por Determine cpD Dê o domínio da função p Qual é a paridade de tp Essa função é crescente em R é impar seu conjuntoimagem é lf 1R O gráfico é mostrado na figura fD 0 fxtxz fx1 fxj 345 Desenhe o gráfico da função definida por xxJ 1 x 1 a Mostre que f I I íx fx2 e quef fxfx3 k 7 2 11 Í1x nj Consideremos a função f de UI em R definida por 1 3 1 2 3 4 x Função maior inteiro Fx x A figura abaixo ilustra qual é a correspondência definida pela função f 3 2 16 Dl 3 2 1 IR 57 É a função f de R em R que associa a cada número real x o número x que é o maior inteiro que não supera x Essa função é decrescente em R e também em R Seu conjunto imagem é R o gráfico é uma hipérbole Note por exemplo que f2 4 2 4 2 f0 7 0 7 0 f2 2 2 f08 0 8 1 f 1 6 16 2 fx l x 1 Função definida pela fórmula fx x 1 1 1 X Observe que lf Z Exercícios Resolvidos lf nt f Solução 349 Seja a função f definida pela fórmula Solução 8 348 Desenhe o gráfico da função f definida por fXX3 a Determine Df b Desenhe o gráfico de f e deduza lf f x 1 fx 0 fx 1 fx 2 2 3 gráfico da função f gráfico jL 2 3 4 O gráfico da função f é o conjunto de segmentos como mostra a figura y 3 2 3 í x 2 fx 3 2 í x 1 fx 2 1 s x 0 0 x 1 1 x 2 2 X 3 3 x 4 fx 3 Para obtermos desenhamos o gráfico da função definida por y x e aquela parte que se situa abaixo do eixo Ox sofre uma reflexão em torno desse eixo sofre reflexão em torno de Ox fx A X 1 a Devemos ter x 1 O isto ê Df 31 1 b Para se obter o gráfico de f desenhamos o gráfico da função g definida 1 por gx e como fx gx 1 deslocamos o gráfico de g para a x direita de 1 unidade 3 2 1 i j i 1 L1J i À7 X y x 1 X if m 350 Seja a função f de R em R definida por Desenhe o gráfico de f e deduza o seu conjuntoimagem Solução x O conjuntoimagem da função é lf 0 1 Exercícios Propostos 351 Desenhe o gráfico da função definida por fx x2 x 59 0 S x 1 x 0 e fx x 1 í x 2 x 1 e fx x 1 2 x 3 x 2 e fx x 2 fx xx Denomina função mantissa 352 Desenhe o gráfico da função definida por 1x fx x 1 x 0 x 1 e f x x 1 2 x 1 x 2 e fx x 2 3 x 2 x 3 efx x 3 A A A Z X u A A A AAAAAAA Z4 3 Z2 Z1 A 1z2Z3 4 y nz Z A 354 Desenhe o gráfico da função definida por fX 1W X 30 A FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real a a Oe ar 1 a função de K em R definida pela fórmula fx a I a 1 ll0a 1 y fx aK a 01 x x2 X 1 x2 Exercícios Propostos 355 Dâ o dominio da função definida por fx 356 Desenhe os gráficos das funções definida por 60 a1 í V31 243 1 Xi X2 o a denominase função exponencial de base a Destacamos as seguintes propriedades da função exponencial 1 se a 1 a função é cresceníe emRseOa1ê decrescente em R 2 n conjuntoimagern é R 3 q gráfico apresenta uma das duas situações a 3 53 Seja a função f definida por fx 1w a Desenhe o gráfico de f b Qual é 0 seu conjuntoimagem c Ela é periódica xi x j q a1 f 1 a fxj b fx 1 21 y fx a A 3a 2 2 A função de R em R para a qual fx cos x denominase função cosseno 2a 61 Seu conjuntoimagem é lf 1 1 é par é periódica de periodo 2a Seu gráfico é a cossenóide P associado ao número real x I cos x X 2 39 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Função seno e função cosseno Dado um número real x a ele associamos sobre a circunferência trigonométrica o ponto P extremidade do arco AP cuja medida algébrica é x A ordenada OPi do ponto P denomina se seno do número real x e a abscissa OPj do ponto P denominase cosseno do número real x 1 Definimos então a função f de R em R para a qual fx sen x Que é denominada função seno A função seno tem conjuntoimagem lf 1 1 é impar é periódica de período 2n O seu gráfico é a senóide yA 3n 2 X 5n 2 Função tangente 2 y T B P tg x sen x definida uma função f de R ktk e Z em R para a qual fx tg x e B 2rr x n 0 2 62 y I X âs 2 3n 2 Na circunferência trigonométrica da figura seja P o ponto associado a um número real x T é o ponto de interseção da reta OP com eixo Az Sabemos que a ordenada AT do ponto Té a tangente do arco de medida algébrica x enquanto que OPi e OP são respectivamente o seno e o cosseno desse mesmo arco Pi ZCOSJ O p2 tgx senx cosx O domínio da função tangente é Df x e R x kn k e Zj seu conjunto imagem é R A função tangente é impar e periódica de período n O seu gráfico ê a tangentoíde Lembrando que se o ponto P coincidir com B ou com B isto ê se X kn 2 não existe a tangente excluindo esses pontos temos associado ao número real x um único número real tg x que sabemos ser igual ao quociente entre sen x e cos x Fica então r j ii 1 Um resumo para outras funções trigonométricas 1 Função cotangente y 1 0 X 1 2 Função secante 7t fx sec x par período 2n 1 0 x 63 7t 4 1 2 1 secx cos x 3rc J 4 Df x e R x kn k e Z f oo1o1 i 7a 2rx 2 4 fx cotg x Df x e R x kn k eZ lf R Impar período n cosx cotg x sen x 3 Função cossecante fx cossec x Df x e R xí ki k e Z impar período 2z cossec x 2jt Exercícios Resolvidos 357 Determine o conjuntoímagem da função definida por fx 2 sen x 1 Solução Dai 2 2 sen xí 2 Isto ê 1 fx 3 Assim if li3l 64 Sabemos que para todo real x temse 1 sen x 1 2 1 0 1 2 e somandose 1 a cada termo de desigualdade 1 2 sen x 1 3 350 Determine domínio da função f definida por 1 2L 4 1 senx 5rc 3t i 7c j 4 T 4 in Í i í x x i k 4 rc 3rt Solução deve existir e ser diferente de zero Então Dai 359 Construa para 0 í x2n o gráfico da função g definida por g x 2 sen x Solução sen x sen x 7t 2 3 Exercícios Propostos 360 Determine o conjuntoimagem da função fx 2 3 sec x 65 X x 3n 2n A partir do gráfico da função fx sen x apôs uma reflexão em torno do eixo Ox e uma translação para baixo de duas unidades obtemos o gráfico da função g 363 A função definida por fx A senkx é periódica de periodo 6n e tem conjuntoimagem 4 4 Determine essa função Devemos impor duas condições para obter o domínio da função f a cotg I x sen x 362 Mostre que a função definida por fx é par 361 Dê o domínio da função fx tgí x I Df J x e IR x kn e xknkeZ n x kn 4 7r n x kn 4 2 364 Construa o gráfico de cada função definida abaixo c fx 355 Construa o gráfico do cada função definida abaixo bfx 310FUNÇÃO INVERSA O Conceito Dbserve que y fx expressamos x uem x r y Púr exemplo seja a função invertível de U4 em IR definida por y fx x3 66 para obtermos a fórmula que define a função inversa f função de y Seja f uma função invertível de Aem B e seja y fx a fórmula que a define A função inversa f1 de B em A é definida pela fórmula x fy Então dada a fórmula que define a função f 1 Df B lf 2 If A Df 3 y fx o x f y Para obtermos a fórmula que define f partimos da fórmula que define f y x3 Seja f uma função real de A em B Se para cada y em B existe um e um só x em A tal que y fx dizse que a unção f e invertivel Então a função de B em A que associa a cada y de B um mico x em A chamase função inversa de f e é notada com f a fx 2 sen x b fx cosX sen 2x a fx cos x sen x senx cosx lcosxl Cfx Expressando x em função de y Entãc a fórmula que define a função f é y f1X íx é a formula que define f Um resumo Dada a fórmula y fx 1 passo na formula y fx isolase1 x no primeiro membro Uma propriedade geométrica sao simétricas em relaçao ã bissetriz dos Exemplo Seja a função f de R em R invertível tal que A função inversa f é de ik em S e 67 que define a função invertível f se quisermos a fõrmula que define a função f procedemos da segUinle maneira Os gráficos da f e sua inversa f quadrantes impares x fx x3 É comum entretanto na fõrmula x fazermos uma troca de letras x por y e y por x então 2 passa trocase a letra x pela letra y e a letra y pela letra x f 1 J Vx x fy Vy estão na figura abaixo Os gráficos de f em f bisselriz X 2 B 8 x í3 2 8 Exercícios Propostos 366 Seja a funçáo f invertível de K em R definida por Determine f fx Determine f 68 368 Para a função polinomial do 1 grau de R em R definida por fx ax b a r 0 determine a e h sabendo que f f1 2 1 f y x3 2i 9 x 2 2x3 y Ü 8 à 1 2 2 1 em R 21 ía que fx X 3 367 Seja a função f invertível de R em Py VX i8 2 369 Considere a função f de R em R definida por fx 2x 5 Algumas funções importantes 1 A função raiz quadrada Y fx fx Vx1 f x Vx X 2 A função logaritmo Os gráficos de f e f estão desenhados abaixo YA íy ax bissetriz bissetriz 1 a 1 f y a 0 x b1y logax 69 f1y logx x A função f de R em R definida por fx x2 é invertivel A sua inversa f1 é a função de R em R tal que a Determine f b Calcule fof1 x e f1fx 2L 01 A função exponencial de base a a0e a r 1 deR em R tal que fx a é invertivel A sua inversa f é a sua função de R em R definida por 1 f x logax Os gráficos de f e f1 estão desenhados ao lado 3 A função arcoseno em 1 1 tal que fx sen x é invertIvel A sua inversa f A função de definida por f 1 x arc sen x estão desenhados abaixo bisselriz yZk CDf1 4 A função arcocosseno Os gráficos de f e f estão desenhadas a seguir y rr 1 70 f x arc cos x Df CDf1 lF1 0 rr Os gráficos de f e f f1 x arc sen x Df 1 1 x 2 y arc cos x Ü cos y x y arc sen x 0 sen y x y f 2 1 ji 2 K Jt 22 2 1 a n 22 f x arc cos x A função de 0 x em 1 1 tal que fx cos x é invertlvel A sua inversa f 1 é a função de 1 1 em Q nb definida por A1 2 ê a função de 1 1 em 5 A função arcotangente A função de em K tal que fx tg x é ínvertrvel A sua inversa f é a função de R em C1 x arc tg x Os gráficos de f e f estão desenhados abaixo 4 CDT1 Iff1 2 x Exercícios Resolvidos 370 Determine o domínio da função definida por f x logj 1 2x 3arc cos Solução 1 A solução do sistema acima nos dã D 71 f 1 x arc tg x Df1 R 2 As condições que devemos impor sâo 1 2x 0 2 3x1 2 n n 2 2 2 1 3 2 y arc tg x e tgy x Jt K 22 ri n definida por 2 2 371 Dê a conjuntoimagem da função f definida por fx n 2 arc sen x Solução Para todo x 1 x 1 temse e somando t i aos membros da desigualdade 0 OU 0 Ê fx s 2n Logo Df 0 24 372 Construa o gráfico da função g definida por gx are sen x y Qual é o seu conjuntoimagem Solução 1 373 Determine o conjuntoimagem da íunçao definida por fx sen are tg x Solução real qualquer Assim Fazendo u arc tg x temos tg ti x com fx sen u e como a temse 1 sen u 1 isto é if ii 72 X Se fx arc sen x para obtermos o gráfico de gx fx fazemos a parte que está abaixo do eixo Ox do gráfica de fx sofrer uma reflexão em relação a esse eixo ir n í arc sen x 2 2 n 2arc sen x t i 2L 2 n 2 2 t i 2 arc sen x 2n TI 2 1 i 2 H 2 Exercícios Propostos 374 Determine o domínio da função definida por fx log 3x 1 2log x1 375Determine o domínic da função definida por 376 Determine conjuntormagem da função definida par 377 Construa gráfica da função definida por fx aro cos x Exercícios Suplementares 11 Algumas desigualdades em 3 b a 3 Prove que a3 h2 c3 ab bc ca 4 Se a b e c sao reais positivos verifique que a b ca b an sao positivos e a a3 a an 1 mostre que 5 Se aaja 1 ai1 a21 a31 an2 73 6 Os números reais p q e a sao tais que p implicação a b r 1Seaeb são reais não negativos prove que vab 1 Demonstre a 0 q 0 e j x fx 2 arc cos 3 fx f3 arc cos x 3 c 9 a 2 Se a De b 0 prove que b p a7q P a a p q q 12 Seaeb sao reais não nulos compare os números a b c 14 Uma função f de em Z é tal que para todo a a e Z e todo b b Z temse fa b fa fb 15 Sejam as funções f e g definidas respectivamente por fx sen x e gx ax h a 0 calcule a e b sabendo que fcg gf 16 Seja a função g real definida por 17 Seja f a função real tal que fx Verifique que f ê crescente em w 1 I8 Prove que para x 1 temse arc sen x arc cos x 74 a Determine f0 h Verifique que f ê ímpar c Se f1 k determine fn n e N a Qual ê o dominio de g b Resolva a equação gx 0 n 2 Xa 3x 1 x1 X a b l e 11 a b f 13 Seja EcK Um ponto a dizse ponto de acumulaçao de E se toda vizinhança completa de a possui um ponto de E distinto de a X1 X2 9MOg tog Quais sáo os pontos de acumulação do conjunto E 0 2 Qual ê o ponto de acumulação do conjunto E I n e N 7 n J Se a ê um ponto de acumulação de E toda vizinhança Va possui infinitos pontos de E Demonstre PARTE II Limites e Continuidade Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Capítulo 9 Definição de limite de uma função O conceito de função contínua Cálculo de limites Limites e continuidade laterais Infinito Funções trigonométricas Exponenciais e íogarítmicas Capítulo Definição de limite de uma função 4 y 41 IDÉIA INTUITIVA DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO X 1exemplo 3 gx 1 X cujo gráfico se representa ao lado 77 fx fX0 fx 3 x se x 1 3 se x 1 x 5 se x 1 gx 5 1 Neste item apresentamos uma discussão informal das principais idéias a respeito do conceito de limile começando com uma pergunta Dada a função f e um número Xo se tomamos valores de x próximos de xc que número estará próximo dos valores de fx9 x0 í 1 X Se x0 pertence ao domínio de f então o valor de f para x xQ é fx0 Poderiamos pensar então que se tomamos valores de x próximos de xQ os valores de fx devem resultar próximas de fxQ Isto é o que acontece de fato com muitas funções mas há casos como veremos nos exemplos em que embora x tome valores próximos de xQ os valores de fx não se aproximam de fx0 2 exemplo Considere agora o exemplo da função g R R dada por Seja a função f R R dada por fx x2 2 cujo gráfico se representa ao lado Diretamente no gráfico podese ver que 1 f1 3 2 Se x é próximo de 1 então fx é próximo de 3 f1 h K 3 R por podemos representála 3 x 3 hx 3 x X 78 Diretamente no gráfico vêse que 1 gd 3 2 Se x é próximo de 1 do lado direito então gx é próximo de 5 Se x é próximo de 1 do lado esquerdo então gx é próximo de 1 1 não existe h3 pois o valor xo 3 não está no domínio de h 2 se x é próximo de 3 hx é próximo de 6 1 não se define fiO ou seja o valor Xo 0 não pertence ao dominio de fi 2 se x se aproxima de 0 pela direita fix toma valores positivos cada vez maiores Se x se aproxima de 0 pela esquerda fix toma valores negativos mas de valores absolutos cada vez maiores hx 6 x 3x3 x3 logo os pontos do gráfico pertencem a uma reta O gráfico é constituído por todos os pontos dessa reta exceto aquele de abscissa x0 3 Vêse facilmente que 4 exemplo Dada a função fi R 0 R por 1 fx cujo gráfico é mostrado ao lado podese notar que Como se vê neste último caso não é verdade que gx se aproxime de g1 3 quando x se aproxima de 1 Neste exemplo só foi possível considerar a aproximação de gx separadamente pela esquerda e pela direita de xo 1 Examinemos mais exemplos do comportamento que uma função apresenta quando x esta próximo de um dado ponto Xo 3 exemplo Dada a função x9 hXx3 pelo gráfico ao lado Note que para x 3 temos h R 3 S dada por hx Vimos que hx está próxima de 6 quanda X está próximo lim ffx L lim fx Lí lim fx Lí lim gx 5 e e também para as demais funções lim lim 79 Come podemos observar nos exemplos examinados comportamento que uma função f apresenta quando x esta próximo de um dado ponto x q pode ser bem variado Considere de novo o 3 exemplo aquele da função se fx estiver próximo de Li quando x se aproximar de Xo pelo lado esquerdo e ainda lim gx 1 x1 9 x 3 de 3 ao mesmo tempo em cue não se define o valor numérico h3 Esta função ilustra muito hem o conceito de limite Se os vaiares de uma função f se aproximam de um número L quando x se aproxima de x q dizemos que o limite de fx é L se x tende a xo e escrevemos É hem evidente que lim hx 6 Assim também para as funções dos demais k3 exemplos que vimos podemos notar que lim x3 2 3 que lim gx náo é 3 e se fx estiver próximo de L quando x se aproximar de Xn pelo lado direito Assim no exemplo da função g teremos 1 que lim também não existe Ao investigar o limite de uma função f num ponto xa estamos interessadas em valores de x próximos de xo Veja que pouco interessa o que ocorre com o valor numérico de f para x Xo No caso de funções como a g a noção de limite pode ser adaptada se falarmos em limites iaierais para x tendendo a xo pela esquerda au peta direita Escrevemos lim xir2 3 íL2 6 x3 limx2 3 x 9 6 x3 y X e 5 exemplo a lim fx 7 b lim fx 6 5 4 1 1 3 2 5 3 4 2 1 Encontramos os seguintes significados i lim fx j lim fx k lim fx l limfx m lim fx n lim fx o limfx M m 1 n não existe o não existe a 1 b 2 c não existe d 2 e 1 f não existe g 4 h 4 lim 1T 1 l Ç4 lim o X 0 4 j 7 k x l não existe 1 CO X No caso da função fi R 0 R fix vista no 4 exemplo usaremos o x simbolo co Como sabemos este símbolo se lê infinito e não representa um número real É usado para indicar a idéia de que os valores de uma dada variável tomamse grandes sem limitação Poderemos então escrever 1 CO limfx X 1 i lim fx e lim fx f limfx g lim fx h lim fx Considere agora a função f cujo gráfico é representado ao lado Para as expressões A noção de limite na linguagem que utilizamos até aqui embora intuitivamente tenha ficado clara só estará estabelecida solidamente para futuros desenvolvimentos lógicos se for reescrita numa linguagem mais técnica e formal Devemos estipular rigorosamente o que queremos dizer com as palavras estar próximo ou tender a Tais noções ficam suficientemente claras quando ultilizamos o conceito de intervalo que em nosso estudo recebe o sugestivo nome de vizinhança Nos próximos itens trataremos de introduzir essa linguagem para definirmos rigorosamente a idéia de limite 80 42 DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO 1 exemplo Tomemos primeiramente o exemplo da função h R 2 R dada por hx x2 logo os pontos do gráfico y 2 x 4 01 i ou ainda que 01 4 01 V4 01 X A4 0í A4 01 ou ainda 81 x3 2x2 x2 hx 4 01 7401 x 74 01 e x 2 1 4 01 1 De fato supondo x 2 podese escrever hx x2 Então a condição hx 4 01 fica x2 4 01 donde 401 x2 4 01 01 x2 4 01 x2x 2 x2 pertencem a uma parábola O gráfico é constituído de todos os pontos da parábola com exceção daquele que tem abscissa Xo 2 Intuitivamente é claro que lim hx 4 o que significa que é possível fazer hx ficar tão próximo de 4 quanto quisermos bastando fazer x ficar suficientemente próximo de 2 note que não desejamos que x fique igual a 2 mas unicamente próximo de 2 Para exemplificar suponha que a distância de hx até 4 seja menor o que 01 Isto significa que Podese ver que para conseguir este efeito bastará tomar x dentro do intervalo Para x 2 temos hx I hx4 Graficamente desejamos que hx se situe na faixa do eixo Oy indicada ao lado a qual é a representação da vizinhança É claro portanto que tomandose 7401 resulta rá então I hx4 C 82 I I hx4 E pois sera sempre possível escolher uma vizinhança de 2 hx 4 01 Este intervalo ê o mais amplo possível Na verdade qualquer intervalo aberto contido nesse tendo 2 em seu interior serviria também ao nosso propósito Vèse então que é possível fazer hx ficar uma distância de 4 menor do que 01 basta tomar x dentro de uma vizinhança de 2 contida no intervalo acima Aproximemos hx mais ainda de 4 Se desejamos que a distância de hx até 4 seja menor do que 0001 isto ê que hX4 I 0001 deveremos escolher uma vizinhança de 2 com raio òem menor mas é claro que pormenor que seja a distância que desejarmos de hx até 4 será sempre possível encontrar uma conveniente vizinhança de 2 que funcione bem Generalizando diremos que se tomarmos qualquer número positivo e por menor que seja este valor podemos fazer x 74 01 com x 2 Esta mesma frase pede ser dita assim dada uma vizinhança do número 4 com raio c é possível escolher uma vizinhança do número 2 com raio ô tal que se x e V2 8 então hx e V4 c V2 ô com 0 raio 8 conveniente Para essa vizinhança teremos que seX26exí2l então hx 4 e Ao invés de escrever x2óex2 podemos escrever 0 x 2 8 Veja que a frase Um nx 4 começa a se substituída por outra equivalente mas de significado preciso Para dizer que lim hx 4 dizemos dado qualquer número positivo e é sempre possível escolher outro número positivo 8 tal que Se 0 x2 Sh 2 exemplo 4 3 g 1 gx Podemos dizer que existem os limites laterais lim g x 3 d 3 lgx3 001 83 í 3 SE X 1 3 se x 1 9x3 6 01 É claro que e então i cujo gráfico está representado ao lado É fácil ver que í í h s Considere agora exemplo da função g R 1 3 dada por 3 I x11 X1 3 r 3 3 c os valores á direita de 1 satisfazem a condição pois para eles gx 3 Entretanto a condição gx 3 01 deveria ser satisfeita para todos os pontos da vizinhança V1 ô O mesmo argumento serviría para mostrar que gxj não se aproxima de 4 5 6 ou de qualquer outro número real ou seja não existe lim gx 1 Vamos agora estabelecer formalmente a definição de limite de uma função mas não podemos dizer que lim g x 3 Intuitivamente ê claro que iimgx nao existe Dizer que limgx não ê 3 significa que é possível fazer hxj ficar tão próximo de 3 quando quisermos com x aproximandose de 1 por amüos os iados Para exemplificar suponha que desejamos fazer a distância de gx até 3 ficar menor do que e 01 tomando para isso uma vizinhança conveniente de 1 Veremos que isso ê impossível pois qualquer vizinhança de 1 apresenta pontos á esquerda de 1 para as quais gx 3 lago para esses valores lim g x 3 e 4 Indicamos Um fx L ou ainda X XD Exercícios Resolvidos 41 Seja f R R dada porfx 2x 5 Prove que lím 2x S 3 Solução Se 0 x 4 ô então fx 3 x 4 5 Então temos fx 3 2x53 2x8 2X425 isto ê I fx3 I Assim fica provado que lim2x53 84 Dizemos que a função de f tende ao limite L quando x tende a Xc se para qualquer número positivo s é possive encontrar um número positivo tal que Proposição Devemos provar que para qualquer número positivo c é possível encontrar um número positivo à tal que Se 0 x Xc ò então fx L e Seja f A R uma função e seja xo um número real O número xa pode pertencer ou não ao dominio de f mas suporemos que existe ao menos uma vizinhança reduzida de xç que está inteiramente contida em A Investigação A condição 2x 5 3 e equivale a 2x 8 t ou ainda 2 x 4 e 2 x4 c x4 Parece clara então que devemos escolher 8 fx Í L se Demonstração Dado t 0b vamos escolher â Seja 0 Solução 8 então fx 5 s 1 3X 5 E escrevese e I x2 X 2 I 6 Assim 43 Seja f UÍ 3 K dada por fx Solução Se 0 x 3 5 então fx 6 k 85 Proposição Devemos provar que para qualquer número positivo e é possível encontrar um número positivo ô tal que Se 0 x2 investigação A condição Proposição Devemos provar que para qualquer número positivo e é possível encontrar um número positivo ó tal que lím 1 3x 5 2 x1 9 x3 42 Seja f R R dada por fx 1 3x Prove que lirn 13 5 fx í5 1 3x 5 S 3x 3x6 3x 2 3ô e Portanto 1 3x 5 6 3X 3x 6 3 x 2 Vêse então que devemos escolher í 3 v3 Q Prove que lim 6 Demonstração Dado e 0 tomemos 5 Seja 0 E 3 x 13 Assim a condição Investigação Para Xr 3 temos fx escrevese Basta então tomarmos fi r Demonstração Dado r 0 seja S f Se 0 X 3 S temse Portanto lim 44 Seja f K1 Si dada por fx Prove que im 5 Se 0 x 1 3 então fx 5 t 2x 3 Assim a condição Investigação Para x 1 temos fx 5 F escrevese x 1 86 Solução Proposição Devemos provar que para qualquer número positivo e ê possível encontrar um número positivo fi tal que E 2 2x Xz9 X3 2x X3 x1 Xa 9 x3 2x 3x1 x1 x3x3 X3 2xJ x3 x1 2xJ x 3 x1 6x 36 X3S e j X 4 3 61 x 31 e 3 5 e 2x 2j 2 x 11 c 6 x3 fx5 5 2x 35 2 X 11 28 Portanto tim 5 Solução se 0 x 5 45 então f x 25 e Investigação A condição fx 25 e escrevese Isto é 5 6 4 x 5 11 x5 jx5 1 e x S 87 x2 251 t jx5x 5 e X5l x 5 c Proposição Devemos provar que para qualquer número positivo c ê possível encontrar um número positivo 8 tal que 11 2x x3 X 1 2J x 3 x1 Esta etapa de investigação não é ainda uma prova mais sim uma pesquisa do ponto de partida para a prova Queremos alguma afirmação da qual se possa concluir que x 5 x 5 c Lembrese de que ao pesquisar o limite para x 5 estamos interessados em valores de x próxtmos de 5 Assim nada nos impede de restringir os valores de x à vizinhança de raio 1 em torno do número 5 Se fizermos x5 1 ou seja 4 6 teremos 9 x 5 11 X 45 Seja f R dada por f x x2 prove que lim x 25 Basta então tomarmos 6 2 Assim se tivermos x 5 11 e teremos também x 5 x 5 e porque estaremos substituindo no 1 membro o número 11 por uma expressão menorque 11 c Por outro lado para termos x 5 11 e basta que seja x 5 Conclui se que para provarmos a nossa proposição deveremos escolher 8 de tal modo que as duas condições Demonstração Dado c 0 seja õ Se 0 x 1 Ô temse X 5 ft Demonstração Dado 0 tomemos 6 min Temos então 1 1 X 5 1 donde x 5 11 Dai resulta que x 5 X 5 E 46 Seja f 2 dada por fxXa X 1 Prove que limx 13 Solução 2 0 e asstm x 1 I I x 2 I r B8 Proposição Devemos provar que dado e 0 existe 8 0 tal que SeC x 1 8 então fx 3 e Investigação A condição fx 3 e escrevese fiquem satisfeitos Para issob basta tomar como 8 o menor dentro os números 1 e c i7 e portanto lim x2 25 xz x 13 e xJ x 2 K X1X 2 x1 x 2 o 2 0 x5 Supondo que x se restringe a uma vizinhança de 1 com ou seja 0 x 2 2 x 2 4 8 min li 1 1lf raie 1 temos x 1 1 x2 4 Portanto do mesmo modo que fizemos no exercício anterior da condição x 1 4 c decorre que donde x 5 11 11 Seja 0 11j Zx i e ou seja xz 25 6 min 3 X 3 Solução 0 tal que Proposição Devemos provar que dado e 0 existe ó e E x 3 4 5 E X 4 89 x2 ef ou seja k então teremos também x 4 Se tivermos x 4 6 ii x2 S então 1donde X 2 4 donde x 1 4 e Dai resulta que x 1 x 2 Se restringirmos os valores de x ã vizinhança de 4 com raio 1 teremos 1 donde 3 x 5 ou ainda 1 x 2 3 Assim x 2 1 ZZ2 x 2 porque E 1 estaremos substituindo o 2 membro por uma expressão x 2 maior que 3 3 J3 x2 I 12 3x I i x2 I 31 x4 I x2 E I x 4 x 2 6 47 Seja f R 2 dada por fx Prove que lim í e Demonstração Dado c 0 seja õ min 1 I 4J que equivale a x2 x l 3 e Assim limjx x 1 Basta então tomar como ô o menor dentre os valores 1 e 4 Se 0 x 11 1 e 0 x 1 2 0 x 1 se 0 x 4 S então J fx 3 e Investigação A condição fx 3 e escrevese As duas condições x41 3 Solução Proposição Devemos provar que dado c 0 existe 5 Q tal que Investigação A condição fx c escrevese K X 5 6 4 90 1 0 x 4 24 0 1 x4 5 3 f 3 Daí resulta que X 4 c í cl ficam satisfeitas se escolhemos para 5 o menor dos valores 1 e S min 1 3 l 5 48 Seja f R 2 R dada por fx í x2 6 que equivale a3 e x2 g Portanto lim 3 X2 Prove que lim 5 se 0 x5 6 então fx r 3 Seja 0 x 4 Y Então c1 donde x 2 1 K 3 j x 2 ou seja x 5 72 3 10 2x I 3x2 2x5 1 t 31 X2 x5y x2 e x 4 í I Demonstração Dado s 0 seja S min 1 3 i 3 x4 x2 5 3 Da condição x 5 As duas condições x 5 1 e x 5 S min 1 3c Demonstração Dado e 0 tomemos S min 1 3e Seja 0 x 5 ó Então Dai resulta que I x 5 Donde que é equivalente a E 49 seja f R R dada por fx x3 Prove que lim Solução 91 5 3 5 3 x X2 Investigação A condição fx 9 e equivale x3 B e x 2 x2 2x 4 e x 2 jx2 2x 4 e 2 2 I X5 Proposição Devemos provar que dado e 0 existe S 0 tal que se 0 x 2 6 então fx 8 e fx2 ix2 31 pois estaremos substituindo o 2 membro pela expressão 1 x 2 maior que 3c 2 ficam satisfeitas para x Portanto hm x 2 Restringindo x à vizinhança de 5 com raio 1 temos x 5 1 donde 4 x 6 isto é 2 x 2 4 e assim x 2 2 3l 2 resuliara que 2 x5 1 E 3 x2 X3 8 10x51 donde x 2 2 2 Ü x 5 3l 1 istD é 3 1 Daí resulta que que equivale a e portanto lim x3 8 410 Seja f í 1 dada por fx Vx Prove que lim Jx 3 Solução Proposição Devemos provar que dado r 0 existe ti 0 tal que E Pais Jx 3 92 xS Jx3Vx 3 Jx 3 se 0 x 9 S então Jx 3 x2 1 x 2 x2 2x 4 c X3 8 x 9 I E Jx 43 Seja 0 I X 2 I S Então 10 X 2 1 donde x 2x 4 1 9 2 0 x 2 donde x 2 19 e L 1 b mm 1 l 191 í l Demonstração Dado r 0 tomemos fi min 1 p Zx 2 ficam satisfeitas para 19 e x2 Se restringirmos x à vizinhança de 2 cam raio 1 teremos X2 1 x 3 e também 1 x2 9 e 2 2x 6 Portanto 3 x 2x 15 7 x2 2x 4 19 Logo X2 2x 4 19 Por isso da condição j x2 19 e decorrerá que x 2 x2 2x 4 e pois estaremos substituindo no 1 membro a expressão x 2x 4 que é menor do que 19 As duas condições Investigação A condição Jxr3 e escrevese 5 au4 x 14 4 9 14 estaremos I x Daí resulta que x u e se e então Solução Dado u 0 1existe fii 0 tal que 93 1 0 2 D 0 Se 0 x xQ 5 1 temse fx Li j e 2 existe 0 tal que Se 0 x xo 9 5 donde Vx 3 x 9 5l Portanto lim x 3 9 lim f x L KXW 9 e 7x 3 x9 Vx3 Restringindo x á vizinhança de 9 com raio 5 temos que x A donde que equivale a 2 Vx VÍ4 Vx 3 3 7Í 4 Sa tem se fx L e Vx3 J e lim fx L2 L L2 I 5 substituindo o 2 411 UNICIDADE DO LIMITE Seja f A R uma função para a qual existe o limite quando x tende a Xo Prove que esse limite è único isto é prove que 5 e então Demonstração Dado e 0 tomemos í min 5 5e Seja 0 x 9 á Então 7x 3 5 Da condição x 9 e5 decorrerá que x 9 e 3 pois membro por uma expressão e Jx 3 j maior do que e 5 As duas condições x95ex 9 e 5 ficam satisfeitas para â min 5 5e f LjLt 2e 2 ou seja R uma função para í então fxL isto è Se L 0 desejamos que seja fx 0 Para isso basta tomar por exemplo 94 e e 2 412 TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL Seja f A a qual existe o limite quando x tende a x q Suponha que Dado r 0 existe S 0 tal que Se 0 x x0 S fx L Lj Li La Li j Como isto é absurdo resulta que é impossível que seja Ls Li Em oulras palavras sõ pode ser L Li Iim fx L 0 2 L íx L E teremos 0 fx 2 2 1U x0 X Prove que é possível determinar uma vizinhança reduzida de x0 tal que todo x pertencente a essa vizinhança imagem fx com o mesmo sinal de L Solução Assim para fi min 6 5 as duas condições ficarão satisfeitas isto é se 0 x x0 ô temse simultaneamente fxL e fxL Como o módulo da diferença é menor ou igual ã soma dos módulos veja a desigualdade triangular no item 14 podemos escrever que I ÍW L fx Lí fx Li fx L21 2e donde resulta que L Li 2c Mas o valor de c pode ser escolhido arhitrariamente desde que seja posiliva Admitamos para raciocinar que seja L Li Então poderia ser escolhido 0 Se isto ocorresse teriamos 2 Exercícios Propostos R fx 3x7 lim fx 5 413 f R 415 f R R fx 2 x lim fx 3 lim fx 3 417 f R 2 Rffx 419 f R 2 R fx limfx 2 420 f R 3 R fx 2 límf x 3 R fx 1 x2 1 4 22 f R 3x 2 lim fx 0 95 0 x x0 procurada X4 x2 xJ x 2 x 2 4x x1 3 x 3 Em cada um dos casos abaixo exercícios de n413 a 430 ê dada uma função f A R e pedese demonstrar utilizando a definição de limite que lim fx L JCXa 416 f R R fx 1 2x lim fx 1 HJ lim fx 3 teremos fx 0 2 2 414 f R R fx 2x 3 íímfx 7 423 f R R fx x1 421 f R R fx x2 Se L 0 desejamos fx 0 Para isso basta tomar t que é positivo e 410 f R 1 3 fx Iimfx 2 x 1 11 Vèse então que se tomarmos t em qualquer caso existirá rt C tal que se S teremos fx e L de mesmo sinal Assim vx ú ó é a vizinhança 424f r stfx X x 1 lim ffx 1 425f que 1imfx 5 x 1 limfx 2 428 f fx Rfx 1 x1 lim fx 2 429 f X 430f R R fx Jx limfx 2 431 Prove que im fx L se e somente se lim fx L 0 32 Sejam f e g funções tais que lim f x L Prove que lim fx hx 0 lim gx 0 Prove que hm fx gx 0 434 Seja g uma função com jm gx L 0 N para 0 M I gx I N 96 433 Sejam f e g funções tais que fé limitada e limfx 1 X 4 y 427f K1íMx limfx 5 x1 os quais se Mostre que existem números positivos S M e 0 x x q í então 426 f R R fx L x e lim hx 0 O conceito de função contínua 5 y 7 51 IDÉIA INTUITIVA DE CONTINUIDADE y y X lim fx f Xo 97 X Uma das mais importantes consequências do conceito de limite é o de função continua que veremos agora começando com uma definição intuitiva Podese perceber facilmente que se uma função f é continua em um ponto x0 então os valores de fx em pontos próximos de x0 devem estar próximos do próprio valor numérico f x0 Ora isto equivale a dizer que fx tende a fx0 quando x tende a x0 isto é Uma função é continua se o seu gráfico nao é quebrado ou seja não tem saltos ou furos Por exemplo as funções cujos gráficos são dados nas figuras a e b não são continuas no ponto x0 A função cujo gráfico é dado na figurac é continua em x0 xo C 0 b xo a Capitulo 52 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO CONTÍNUA Seja f A R uma função e seja xo um ponto de seu domínio xD e A Note que esta definição abrange as três condições seguintes Aqui já não fazemos objeção a que seja x xQ 1 exemplo Logo f é continua em x0 1 pois limf x f 1 3 1 98 Para a função f R IR fx temos Se f não é continua em x0 dizemos que f é descontínua em x0 Note também que só se pode falar que uma função f é contínua ou descontínua em x0 se x0 pertence ao domínio de f isto é se está definido o valor fx0 Assim para que f seja descontínua em x0 devese ter que f1 3 limfx 3 x 1 existe fx0 isto ê x0 e A 2 existe lim f x 3 lim f x fx0 x2 2 1 existe fx0 2 ou não existe lim f x ou então lim f x f x0 A função f é contínua em x0 se Ilm f x fx0 X Note ainda que dizer que f é contínua em x0 também equivale a dizer que dado r 0 existe 6 0 tal que Se x x01 6 então f x f x0 e 2 exemplo y Para a função g R R 5 gx 3 temos 1 1 x Assim g é descontínua em x0 1 3 exemplo Para a função y 6 ou 3 x 4 exemplo Seja f a T 1 5 0 4 f 99 xse x 1 3 se x 1 x 5 se x 1 3 2 5 4 3 gi 3 mas não existe limgx função cujo gráfico é representado ao lado Temos a em x0 1 f é continua pois limfx f 1 1 yl 1 2 3 V 2 Q hR3R hx x 3 temos que limhx 6 mas não é definido o valor h3 Assim não tem sentido falar em continuidade descontinuidade de h em xD 3 b em x0 2 fé descontínua pois f2 1 e não existe lim fx c em x0 3 f é descontínua pois f3 2 e lim f x 1 logo lim f x r f 3 x 3 x3 d em x0 4 não tem sentido falar em continuidade ou descontinuidade de f pois não está definido o valor f4 e em x0 5 f é continua pois lim f x f 5 4 em x0 0 diremos que f é continua à direita e em x0 6 diremos que f é continua a esquerda 6 x Um função f é contínua em um conjunto D se é continua em todo ponto de D Exercícios Resolvidos 51 Prove que 1 R R fx 2x 5 é contínua em R Solução xx0 100 5D exemplo Seja f R R dada por fx 2x 5 No exercício resolvido n41 ficou provado que llm fx 3 f 4 Assim podemos dizer que f ê contínua emxc 4 Será f continua nos demais pontos do seu domínio Para estabelecer este fato devemos provar que Jim f x f xj ou seja que lim 2x5 2xc 5 qualquer que sea xc e R Isto só pode ser feito facilmente como veremos no exercício resolvido n51 Dizemos então que f ê continua em x x0 6 então fxfx0j 2x52x0 52XXO2Ô Assim Um 2x 5 2 x0 5 isto é f é continua em todo x0 e R Proposição Devemos provar que lim 2x 5 2 xD 5 para todo xB e R Investigação A condição f x f x0 e escrevese 2x52x05 21 x x01 s c 2 Basta então tomar 6 2 Demonstração Dado c 0 seja fi Se 0 A continuidade lateral será discutida mais tarde mais náo custa adiantar por exemplo que no ponto x0 2 a função f é considerada continua á direita pois lim fx f2 1 Os exemplos examinados ilustram bem o conceito de função contínua em um ponto xD Vamos estender esta noção a conjuntos mais amplos do que um único ponto 52 Prove que f 3 R fx k função constante é contínua em K Solução Proposição Devemos provar que lim fx f x0 k 0 E If f ok k I 0 E Assim f é contínua em todo xQ e R 5 3 Prove que f R IR fx x função identidade é contínua em R Solução Basta tamar Se 0 x xfl S temse I Logo f é continua em todo x0 e R R fx ax ba e b reais a 4 0 Prove que f é contínua em 7 54 Seja f R Solução Proposição Devemos provar que b ax E E X 101 lim ax b ax0 b xxa Proposição Devemos provar que lim x x0 e iVj Investigação A condição fx f x0 e escrevese escrevese ixXjJ X Xo C K Demonstração Dado c 0 seja qualquer íi Cl Se 0 x x01 6 então Investigação A condição f x f x0 e escrevese k k e isto ê Assim tal condição se verifica independentemente do n G escolhido Investigação A condição f x f xa r S E Demonstração Dado e 0 seja 6 e b axú ax Demonstração Dado t Naií taífo Assim f é contínua em todo x0 e R 3 Xo 0 X 2 0 3 xa 0 decorre que Se Demonstração do 1 3x0 2 0 x x0 e assim o 102 0 j Kx0 S então 1 0xxQ 55 Seja f R R fx x2 Prove que f é continua em R Solução Proposição devemos provar que lim Xa x2 a e lal xxo x x01 ã então xx0 Jx xJ Basta então fxfx0 x2x xx0jaô e X b a 1 x0 donde x x0 3 x0 X x0 donde x x0 3 xc e ii IJxtx xC1 ou Basta então tomar ò lal E 0 seja 8 Se 0 I Ia 1caso x0 0 Restringindo x a uma vizinhança de x0 com raio x0 temos x x0 seja caso Dado e 0 seja ó min donde 0 x0 x x0 E assim í r Õ mirxn I 3xo jx x0 3x0 Da condição xx0 3x0 c tomar Investigação A condição f x t x0 e escrevese x2 x2e xxo j X XQ E Separemos a nossa investigação nos 3 casos 1x00 2fl x0 0 2 caso xc 0 X0 X x0 0 x0 0 tj 3o decorrerá que x x01 x01 e Basta então 1 0 xx01 Assim 2 e e X c fi então 2 103 K A condição pxf xD c escrevese x I 4 Se 0 x x0 fi então Da condição x xQ 3 x01 tomar 2i 0 2x0 o xâHxo 1K X 2 Ô3 E XJE Restringindo x a uma vizinhança de x seja com raio temos x x0 I x01 ou Cdonde X11 yo 3ol r S mmJ I x I o 3H caso Xo 0 x202 Basta então tomar fi A Demonstração do 2 caso Dado c 0 seja í 1 õ minJl xn J I 3x0 Demonstração do 3caso Dado e 0 seja â 7cSe0x0 donde 3 xD x x0 e assim xj donde x xj 3 x0 donde 1 Solução 0 ou ainda ol implicará que Como x 0 temse xo temse I XX0 Assim Hxfxol 7 E 57 Seja f R R fx x Prove que f ê contínua em R Solução Proposição Devemos provar que lim X 104 56 Seja f R R fx Vx Prove que f é contínua em Rh isto é f é continua para todo ponto x0 0 Pelo exercício 54 as funções gx x e hx x são continuas em IR Para x 0 temse f g logo f ê continua em R Para x 0 temse f h logo f é continua em IR Resta provar que f ê contínua em xç 0 x xoI px Jxo Proposição Devemos provar que lim Vx Jxn para todo xc tnvestígação A condição f xf x0 e escrevese I x J p7 l 1X E Jx JxQ x J1 0 px 70 I e JxJxD 7xa A condição x xfl e x1 t Jx0 Devemos então tomar E 7o Demonstração Dario e 0 seja 5 e 7õ Então se 0 x x01 c S é Se C x 0 ò vem Pf o 5CI 0 11 X e C Solução 1 e x 0 I Separemos a nossa investigação nos 2 casos 1B xo 0 Xç 0 1 caso Restringindo x a uma vizinhança de xn com raio temos 2 seja x xu 0 donde I X I Da condição x x01 então adotar rt min 105 xQ 2 x XD 2 1 XQ 3xp 2 xQ 2 U Investigação A condição f x f x0 r escrevese x Xg Basta íl isto é ll lo xx0J 2 Xc 5fi Seja f R R fx Prove que f é continua em c x o Xq 2 2 xx0 1 1 Proposição devemos provar que hm para todo xn 0 x xc escrevese II x I 2 Investigação A condição fxf x0 r j x f Basta entâc tomar 3 e Demonstração Dado s 0 seja õ xxol c I X x0 I L decorrerá que xQ xQ 2 0 2 0 x 3xo 2 2 0 seja ò min 20xX0 MIU xo I Restringindo x a uma vizinhança de x0 com raio temos xxBl seja 0 donde Jxx0 Basta então tomar 6 min Demonstração do 2 caso Dado e 0 seja 6 min 106 I 0 IXJ o 2 2 1 xc xc 2 0 2 3xp 2 2 2 Demonstraçao do 1 caso Dado e A condição xxn c Se 0 x x0 S então 2 EX donde x 3x0 X 2 2 caso Xo 0 L2pJ ou 2 D 2 L X implicará que xx0e l x i 1 2 X x0 x NE 1 0 x XD donde x xo n x 2 0 2 2 Xp E Xo 2 2 i D I 2 Xg 2 Assim f xfxQ Assim f xf x0 Exercícios Propostos 59 f R R fx 3x 2 x0 2 510 f R R fx 1 2x x0 D 511 f SR fx x x0 1 512 f R IR fx 3x D R 2 D 513 f R2 a fM x0 2 515 f R 1 R definida por 517 Seja f R fX 5x 2x 15 a Calcule fx f2 e fatore essa diferença 107 LM 2 XXç I l X H x 0 donde x K fx X 1 516 f R 1 R fx D 1 x1 x34 x2 x21 514 f R 1 R fx D R1 20 xx0 Em cada um dos exercícios seguintes de n 59 a 516 são dados uma função f A R e um ponto xc e A ou então um conjunto D e A PedeSe provar que f é continua em x0 ou em D ou caso contrário justificar que f ê descontínua em xQ Se 0 x xD ò então hd 2 E x3 donde I x x01 i x x0 1L 1 P Q 1 0 xx5 11 c Deriuza que f é continua no ponto xD 2 10B 17 y e fxf2 25 x 2 b Demonstre que se x 2 temse 5 r Capitulo Cálculo de limites x Como vimos se uma função g é continua em x0 temse lim gx gx0 TEOREMA DA TROCA f g g 109 Assim o cálculo do limite de uma função que é continua no ponto considerado reduzse a calcular o seu valor numérico Por exemplo sabendo que a função f R R fx 5x 1 é continua em x0 3 escrevemos 61 SUBSTITUIÇÃO DA FUNÇÃO DADA POR UMA FUNÇÃO CONTÍNUA TEOREMA DE TROCA O cálculo do valor de um limite tornase menos imediato se a função dada não é continua no ponto considerado O teorema que veremos a seguir cria um recurso potente para resolver um grande número de casos A prova é imediata e fica para o leitor fx0 l Então também lim fx L X Xj Seja Vx0 S uma vizinhança reduzida de xc Admitamos que f e g sejam funções tais que todo x e V x0 5 se tenha fx gx Sendo assim se lim gx L X XJ Em outras palavras se as funções f e g coincidem numa vizinhança reduzida de x0 ao calcularmos o limite de fx para x x0 podemos trocar f por g sem que isto altere o valor do limite Note que em nada nos interessam os valores numéricos f x0 e g x0 que podem até nem ser definidos lim fx f3 531 14 x0 Vx0 5 1 exemplo x 3 6 6 fx 3 3 e 3 lim gx limx 3 g3 6 2 exemplo Calculemos lim Para x 1 temos 2x 1 Então lim lim2x1 2 11 3 110 2x1x 1 x 1 I 3 função f I 3 função g x9 x3 Evidentemente o caso de maior interesse é aquele em que a função g é continua em x0 Neste caso teremos hm fx Jim gx gx0 2x2 x1 x 1 2xz x1 x 1 2x x1 x 1 Pelos exemplos vêse que é de grande importância prática conhecermos que funções são contínuas em seus domínios Nos próximos itens estudaremos este problema bem como outras propriedades dos limites que possibilitarão o cálculo com relativa facilidade Através dos exercícios vistos no capitulo 5 já sabemos que as seguintes funções são contínuas em todos os pontos de seus domínios a f R R fx k função constante b f R R fx x função identidade c f R R fx ax b a e b reais a t 0 d f R R fx x2 e f R R fx x f f R R fx X x 9 Seja calcular lim Note que para x t 3 temos lim fx lim g R R gx x 3 que coincidem em qualquer vizinhança reduzida de x0 3 sendo que além disso g é continua em x 3 Então x29 x 3X3 x3 x3 Assim estamos diante de duas funções fR3R xz9 x3 62 PROPRIEDADES DOS LIMITES Consideremos as funções f e g tais que Valem as propriedades seguintes então 111 A propriedade PL1 pode ser estendida para o caso de soma de um número finito de funções ou seja se f f fn sáo funções tais que A propriedade PL4 pode também ser estendida para o caso do produto de um número finito de funções Alem disso a função f K fx J é contínua em todo ponto x0 No ponto x0 0 esta função é contínua à direita como veremos depois PL4 iim f1xf2xflx L1L2 Ln istoé Iim f fx ÈL Iim gx L2 PL1 Iim fx gx L1 L2 PL2 Iim kfx kL1 ke2 Iim fx L Iim f x Iim fn x Ln PLT Jirn fX f2 x fn x L L2 Ln Iim fx L e ir ir istoé ümniMniifn fxxnl í iíXj il IM lí n e N PL3 Iim fx gxl L L3 PL4 Iim fx gx L L2 X f PL5 lím fxn PL6 iim 14 sé L 0 L XkíO fx gx lím fxn lim fx fx fx Lt L L L As demais demonstrações serão vistas na forma dos exercícios Demonstração da PL1 E sabendo que lim fx L 2 0 tal que Se 0 fx gxL1 2 2 Demonstração de PL2 112 As duas extensões PL1 e PL41 podem ser demonstradas facilmente por indução demonstraremos como exemplo a PL1 a PL2 e a PL4 A PL5 é uma situação particular da PL4 no caso em que as n funções são todas iguais à função f Proposição Devemos provar que dado c 0 existe S 0 tal que se 0 x xc fi então Proposição Devemos provar que dado e 0 existe S 0 tal que se 0 XX0 á então c 2 e 2 fx gxLtL x xD S então í fxL j gxL kf xkL c fx gxLL E E E 2 2 Se 0 x Xg ó ertão f x L e existe também S2 0 tal que Em correspondência ao número 0 existe o 0 Podemos escrever usando a desigualdade Se 0 xxQ ií então gxL Assim façamos 3 min fi 3 e teremos que e lim gx L2 fxLd9xLdl fxLiHgxL2 Demonstração Seja daco e triangular X x0 I Sf então f XLi Demonstração da PL4 Podemos escrever 2 lim f x 9x 2 113 pois teremos simplesmente 0 e Se k 0 a condição fica fx L 4 Temos ainda lim LL função constante x Assim aplicando também a PL1 vem Sabendo que Jimfx L E h e Demonstração Seja dado k 0 A condição J kf xkLj escrevese 1kl PxLi E 1 Como lim fx L temos lim f xL 1 ÚfVeja o exercício 431 fx gx f x gxL1gxL1gxL1L2 L1L2 9 SLz j LiL assim ktxkL e e também lím gxL3 0 pelo exercício 431 3 Pela PL2 lim L g x L2 L 0 0 Em correspondência a 0 existe 6 0 tal que se 0 k I 2 Como lirn gx Lz resulta que lim gx f x L 0 pelo exercício 432 ím gx ffxL lim LgxL K tim 0 D ILj LL X Se k 0 para qualquer fi 0 teremos que 0xx0â implica kf xkL c Exercícios Resolvidos 611 Calcule b lim x2 a lim 7x5 c lim x Solução e3 a 16 b4 C4 62 a Calcule lim x1 b Prove que a função f R R fx x3 é continua em R Solução lim x3 23 8 lim x3 Kg para todo xD e R Solução Tratase de mais uma aplicação da PL5 como n K lim x x qualquer que seja x0 e R Mas lim x Xg Aplicando a PL5 lemos lim x Xo segue que para então lim í x g x lT 114 b Devemos provar que lim x1 x3 lim gx L 64 Prove a PL3 isto é prove que se lim f x L e elim Jx a Como lim x x0 aplicando a PL5 temos d lim X 5 X Todas as funções aqui colocadas são continuas nos pontos considerados bastando então calcular os respectivas valores numéricos Obtemos 63 Prove que a função f R R fx xn n e N é contínua em R Solução Seja hx gx 1 gx Pela PL2 temse fazendo k 1 Resta aplicar a PM 65 FUNÇÃO POLINÔMIO a Calcule lirn 5x2 4x 7 b Mostre que a função f R R fx axa bx c com a bec reais e a 0 ê continua em R c Mostre que toda função polinômio f R R de coeficientes reais e a0 0 é continua em R Solução b lim ax2 bx c lim axa lím bx Iim c ax bx0 c B í c Tratase de uma aplicaçao da PLT e do exercido 63 Temos Assim 115 fx ax n Eaixo C a irn5x24x 7 lím 5x24 lifn X IhT 5 34 3 7 40 n lim fx lím 2ax íj íj kk 0 lim fx gx lim fx hx L L L L fx aoxn a1x1 a2xp í aflx aft Mm hx Jim 1gx 1 L5 L Solução Para x 1 temos Solução Temos para x t1 x2 1 1imx2 1 2 68 Seja a função í E E dada por para x r 4 fx a Determine a para que f contínua em x0 4 SoldÇao Para que f seja em xn 4 devemos ter limfx f4 Assim lim limx 4 8 116 Foi usado aqui o fato de que toda função polinômio ê contínua em R Foi usado também o Teorema da Troca 67 Calcule lim ü1 Então lim X x216 x4 para x 4 X 4X4 x4 x2 1x1 x1 Xa X2 X1 x1 X2 r X1 X 1 X3 1 x 1 x3 X2 4 X 1 x1 limjx2 xl 12 11 3 X3 Então fim X3 4 1 66 Calcule lim x1 x 1 x16 a lim 4 x4 X 1XX2 X r 1 m x2 x 1 x 1 6 9 Seja a função f R Rdada por para x 1 ex1 fx Determine a e b para que f seja contínua em xQ 1 e x0 1 Solução Temos para x ü1 exf 1 X2 1 2 Devemos ter 2 e 610 Prove que se lim gx L 0 então Solução e escrevese ou ainda I gx I gx L e 1 gx L 117 gx L e gx L No exercício 434 ficou provado que existe ò 0 tal que se 0 x xD È então para x 1 para x 1 2 L Ikl 2 b lirmfx limxz l 2 hm gx a íim fx limjxa lj A condição gx L e I I implicará que x4 1 x21x21 x2l x21 x41 xz 1 a b IgWH I sxlL Investigação A condição I 1 gM l Demonstra çaú Seja dado k tal que Por outro lado existe 0 tal que Tomemos então 8 min 8 52 e teremos que gl IL Assim 611 Prove que a PL6 isto é prove que Solução 6 12 FUNÇÃO RACIONAL a Calcule lim fx é contínua em todo ponto x0 2 118 1 9x L LJ 2 5e lim fx L e lim L 0 X0 12 X2 X 1 X 2 se 0 x x0 â b então gx se 0 x x0 8 então gx L r 3x 2 4x 1 X2 1 1 b Calcule lim x21 c Mostre que a função f R 2 R 0 Em correspondência ao número e c 0 existe S 0 então lim gx L fx Basta aplicar o exercício anterior e a PL4 observando que 9x 1 ffx Assim gx r fx r t 1 i 1 hm hm fx lim L xxgx xxt gx L2 s ê 0 I xx0 Sj então gx L r L 2 I SxL Lj c Sendo x0 2 temos d Se x é um número para o qual Q xc 0 temos fx0 613 Calcule lim Solução lim lim x1x2 x 1 119 x2 1x 2 1 x1x 1x2 1 x1x2x 1 3 2 19 5 3 2 4 3 a lim i lim fx lim XFX XlX lim Px lim Qx Px0 Qx0 11 1 D1 x 1x2x 1 x 1x1 3xJ 4x1 x2 1 x lx2 1 x2 xM 1 11Z 1 X2 x 1 X 1 lim xz x 1 im x 2 3 22 4 21 1 x3 1 x2 1 Solução Temos para x 1 x 1 31 x31 x2 x0 i x q 2 d Definição Chamase função racional toda função f A R dada por fx Qx onde P e Q são polinômios O domínio A é o conjunto de todos os números reais tais que Qx 0 Problema Mostre que toda função racional é continua em seu domínio Solução lim fx lim QX X2 t X 1 x2 X3 1 b lim lim xx 1 limxz x 1 limx 1 X4 1 614 Calcule lím X3 1 x4 1 Então lim xi XJ 1 x3 1 lim xi x2 1 l lím3x2 4x1 limfx2 1 x1x2 X 1 X2rX1 lim x1x1 i x 1 1 1 1 1 1 X 1x 1 lim 1 X X1 615 Seja a função f K 1 IR dada por para x 1 fx para x 1 Determine a para que f seja continua em x0 1 Sol uçao Temos para x 1 e x 1 nevemos ter a lim f x lim Solução Temos para x a a0 617 Calcule lim Solução Assim para x 1 temos 1x 1 x2 120 1 2Jâ 3 2 Assim lim x 616 Sendo a 0 calcule lim X lim Vã Vx r x1x2 x 1 X1X 1 1 1x 1 X x2 X 1 X 1 1X7 1x Jx Va x a 1x2 1x Vx Vã x a x3 1 x2í a Como só interessam valores de x próximos de 1 podemos supor x 0 logo X I X Vx Vã Vx VãVx r Vã X a xa xaVxVa xaVx 1 Vã XJ x 1 X 1 Assim lim lim 1x 11 2 í1 x x3 1 x21 61S Prove que f 3 R fxj é contínua em 31 Solução e E ou ainda l x 1 caso x0 0 x x 0 0 0 0 x 2x0 se Xq 0 ou 2x0 x D XXo 0 donde 3J 121 Aqui foi aplicada a identidade y3yc y0Myi yyü yo Vamos separar nossa investigação nos 2 casos VxoO 2x0ü x x01 x01 donde I x I Vx2 xxc x com raio x0 temos f 2x0 x j se x0 0 2x0 Proposição Devemos provar que im 5x ou seja que dado e 0 existe S 0 tal que se 0 x x0 5 então Yx x0 j Investigação A condição Xx e escrevese Restringindo x e uma vizinhança de x0 se obtém Mas em ambas as situações temos x2 0 e E J X7 XX onde fazendo jr Vx e y0 xD obtemos decorrerá que Jx2 I Assim c Vl 0 2caso xo O Basta portanto tomar â 122 Basta então tomar 6 minx c íXq Demonstração do 1 caso Dado e 0 tomemos S minjl x0 e xx0e Da condição l XXo e I X xo E tfx c Neste caso a condição c I I X yo I x2 xx Solução Proposição Devemos provar que lim íx para n c N e xa 0 ou seja que dado e 0 existe h 0 tal que se 0 x x0 5 então escrevese e ou x e3 619 Prove que f A R fx tfx onde n é um número natural positivo é continua em todo ponto x0 0 temos A R se n é impar e A Rb se n é par Demonstração do 2 caso Dado e 0 seja S r3 Se0xXo S então x es donde Se 0 x x0 5 então 1B 0 x x01 x01 donde xx0 Xq 2 0 x x0 j e donde Investigação Lembremos a identidade yyS yyjy yí1 y isto é Fazendo y x íx q J 0 decorrerá que 10 xxc Xq donde Gfi donde 123 yy3 yyo Ey i0 lD I 701 r Da condição x Z0 lx x c x x0 íx x0 y xc e y0 3x d obtemos vã y yô Se 0 x Xfj Ô então j i Devemos então tomar 5 min x0 e y0 yn3 Demonstração Dado e 0 seja Restringindo x a uma vizinhança de x0 com raio xD temos x 0 e então S minxai e n I I Exercícios Propostos 620 Calcule b lim5x2 2x 1 c lim3x Vx 521 Calcule c lim e lim b lim 622 Calcule g lim h lim c lim jlim f lim 124 a lim X 3 a lim X s d lim ar d lim xl Nota De modo análogo podemos provar que a função f R R fx x CM ímpar é continua em todo ponto Xo 0 Fica assim estabelecido que 1 toda funçáo f R R fx íx com n impar é continua em R 2 toda função f R R fx tx com n par é contínua em R isto é para todo x0 0 Neste último caso a continuidade no ponto x0 0 é lateral e será estudada poste ri ormente xz6x 9 x3 X24 2 X 2 x2 10x 25 X225 X4 81 L a r x2 x 1 g ürn 5 LI Vx 1 n hm v 1 i üm X 2 a lirr23x7 u x 238 e hm X0 x f 1 3 I xlX 2 X3 1 e limz x3XZ1 n r I X I 1 f im 1 x2 3x 4 x21 X3X6 x2 4 xz 3x 2 x38 x3 3x2 4 x31 x2x 2 1 k Itm x 8x 7 3xz2x1 x1 2x3 x3 4x 2 d lim 2x 1 2 b lim 3 x7 9 x327 x Jj X2 g x2 2x 1 x3 1 3x2 2x1 e hm i 2x2 x1 2x 2 3x 1 i wl 2x3 x 2x 1 2 623 Calcule Irm 624 Calcule c fim a lim 625 Seja f R R dada por se x 1 fx 626 Calcule a eb sendo lim 627 Determine um polinâmio fx de grau 3 sabendo que 63 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS Sejam f e g funções e k um número real Sefe g sao contínuas em um ponto Xo sào também continuas em xD as funções kff g f g e f g e ainda desde que seja gx0 D é também contínua em xn a função 125 Provemos como exemplo o caso da função f g Os demais casos sao provados de modo análogo e ficam para o leitor se x 1 Determine k para que f seja continua no ponto x0 1 1 5 Demonstração do caso f g Proposição Devemos provar que lim fgx fgxQ lim 3f x1 ax 6 x2 2 bx 2b 1Vx x1 k 111 x1 J X 2 11 11 z x 5x 4 Eíl 21 e lim 6 X 1 2 x2 X3 1 111 I x 1 b lim 1 XI Iimfgx limfx gx limfx lim gx f x0 gx0 fgxD x x 0 0 Xo 64 FUNÇÃO COMPOSTA A propriedade seguinte referese ao limite da função composta PL7 Sejam f e g funções tais que lim fz fz0 L isto é f é continua em zD Sendo assim 1 exemplo g IR 3 R gx Considere a função composta dada por f gx fgx Se desejamos calcular lim f sgx lim lim 126 Note que f é contínua no ponto 6 como exige a hipótese da PL7 Na prática escrevemos simplesmente podemos aplicar a PL7 escrevendo lim f gx lim fgxj flim gx f6 x6 X 3 x3 x3 lim fogx lim fgx f lim gx fz0 L xx0 xic xxa Sabemos que f R R fx fx Vx é contínua em R e que sendo x29 x3 x2 9 x3 x9 x3 x2 9 x3 temse limgx 6 lim gx z0 e X Demonstração Se f e g são continuas em xQ temos limfx fx0 e lim gx gx0 X X xx Assim aplicando PL4 tem se v2 Q i r lim Jlimx 3 v6 2 exemplo 3 3 Assim lim estamos considerando embora sem 9x como exige a hipótese da PL7 3 exemplo escrevemos e então 127 1 2 2 8 2 6 2 3 Assim ao calcular lim X 4 lim 175x 3757 95xuj5x 15x3V5x 2 2 3 1 7x 1 375Z73 77l 757 l75xl 75x3 7Í7xj 4xl75x x 43 JS x j 7x 1 x1 771 T 7xpf7xi X17x 1 1 75x 3 75 x 7x 1 x1 771 X1 x1 X17x 1 1754 375 4 3 75 x 1757 Seja calcular lim L K 3 Como para x 1 e calculando iimfgx Ao resolver O problema desta maneira escrever as funções g e f dadas por e fx x3 lim x4 175x Note que fé contínua no ponto A lim K1 7x 1 lim 5 x 7l 1 VM4 e lim 75 x É exatamente a PL7 que nos permite escrever lim 75 x lim 5 x 7Õ 3 v 375 4 x podemos proceder do seguinte modo 175x 7xi temos lim x1 í i 7x 1 hm I X1 x1 Demonstraremos agora a PL7 0 tal que se Demonstração se 2 Além disso sendo E Jim gx gxD z0 1 SlD e então que significa que a função composta f g também é contínua xD com m gx gxQ zü e f è uma função contínua em z0 com Jim fz fz0 fgx0 então f g é também contínua em xQ e se tem fgx fgx0 128 correspondência ao número St 0 existe ô 0 tal que se 0 xx 8 temse gxzfl Proposição Devemos provar que dado 0 xx0 Se g é uma função continua em l 5 então f gx L e em xD g x z01 s donde fgxf zj e ou seja fgxLj A propriedade seguinte referese à continuidade da função composta Se da hipótese da PL7 acrescentarmos a condição de que a função g também seja continua em x0 teremos í Ax fi lim gxl fgxj f gx0 3 Assim dado t 0 existem Ô1 0 e 5 0 tais que se 0 xx01 8 tem se fzb f o im gx z0 em imgx z0 e lim fz fz0 L K XZt c 0 existe S sabendo que 1 Sendo lim fz fzfl então dado c 0 existe 0 tal que z z01 fiv temse Exercícios Resolvidos 628 Seja g uma função tal que lim gx L e consideremos a função h A 5 dada por hx çgx n e N Solução S olu çã C Temos Assim lim 129 Tratase de uma aplicação da PL7 no caso em que f ê dada por fx 3x Jã vímos ao exercida 61 S que a função f com n ímpar è continua em 3t e com n par é continua em R Como h f g temos 2 3 4 6 x 2 59 x 2ÍVxF5 3 2 x 2 x2 53j 7x2 53 53 Jx2 5 3 x2 x 2 53 x2 x2 53Jx2 x27x 2 5 3 x2 x2 Vamos supor que no caso de sern par o domínio A se restringe aos valores de x para os quais se tem gx iOe ainda L 0 Mostre que lim hx lim gx 620 Calcule lim r 2 7x2 53 x2 lim hx lim rgíx J lim g x íL X Xj XX x2 22 llJTI 7 aVx2 5 3 J23 53 630 Calcule lim f lL A Lu htú h Solução Temos Vx 7x hJx sx h 1 Assim 2 t calcule a e b 631 Sendo lim Solução Temos a 1 a 1 1 b 0 ou b 2a3 Assim Ví temse Como lim 72 130 aJx 1b xi 4 L Ü A f I U XI X hA h 1 í 1 1 l 7x h 7x a 0V1Ib ajx 1b x1 x 1 b2 deve ser divisível por x 1 donde se 7 x Jx h 7x 7x h7x sx h hlVxh 7x hVx h 7x h7x h 7x 7x7x h x h 1 6c x x h x h 7x 7x x h 11 1 liml hQhl xx h a2 x 1 baxx 1b aJx 1bi xlaJxTl rbj xia7x 1 Vêse então que 0 polinõmio a2 obtém que a2x l2a2 x1a7x 1 b aVx 1 b lim j hx h VxVx 7x h 1 1 7xo7x7x Vx0 2xVx mi aVx 1 b 72 ou seja 72 Donde â 4 e b 42 Exercícios Propostas 632 Calcule g lim x0 a lim b lim h lím c lim d lim i lim e fim I lim f lím 633 Calcule lim b determine a e b 634 Sendo lim 4 calcule a e b 635 Se lim 636 Se f fx x1 axs bx c calcule 637 Se lim c calcule a b e c 131 a 1xrb 7571 7x71 2xJ a x b Xt 1 tx1 X t az aV2 aV2 a 72 e então a2 a71 b Note que b a 72 lego de 1 tiramos b i Jim K b 27xí x225 x1 1 x 1 x1 7i x 7ix x0 x 71X1 TTx 1 frx1 Vx1 7a x75 i 0 X 7x h7x h fo h 7x h7x i h h x 2x 4 xz t 2 X 4 Xz3x 2 4 7xz x 16 1 TTi k lim Jl x3 1 K 7x 272 lim x 193 lim ti h 638 Dadas as retas de equações determine a posição limite do ponto de intersecção dessas retas quando c 1 bfx x3 6 b Calcuíe lim onde A é o valor calculado no item anterior 132 3x 5y 1 2 cx Sa2y 1 J ax3 bx c efx xD 0 ffw I X x0 0 S3S Para cada função dada abaixo calcule imfxohfx0 h 0 h d fx 1 x X a fx x2 640 Seja fx x3 c fx 7x x0 0 a Calcule A irri ÍP h f1l ho h l ff1 hf1 A h 1 h Capítulo Limites e continuidade laterais 71 EXEMPLOS INICIAIS YA 1 exemplo 5 gx 3 y 6 hx 3 3 3 133 X Neste capitulo estenderemos a definição básica de limite aos casos especiais de limites laterais à esquerda e à direita Estas idéias já tinham sido abordadas nos exemplos iniciais do capitula 4 que retomamos agora Veja que neste caso ambos os limites laterais existem e tém o mesmo valor que é o próprio valor do limite para x 3 Desejamos tornar mais precisas estas idéias utilizando definições formais como fizemos anteriormente com a noção de limite x 28 exemplo Dada a função h K 3 R x9 x3 cujo gráfico se representa ao lado temos 1 a gi 3 b não existe limgx X1 c lim gx 1 e lim gx 5 a não se define h3 b limhx 6 c lim hx 6 e lim hx 6 Seja a função g R R dado por x se x 1 3 se x 1 x 5 se x 1 cujo gráfico se representa ao lado Já havíamos observado que 72 LIMITES LATERAIS X0 6 xü 8 x xc Assim também o intervalo x x xD 6 pela es 134 í Dizemos que a função f tende ao limite L quando x tende a x0 pela direita se dado E 0 existe 5 0 tal que se xQ fi x x0 entáo fx L e indicamos lim fx L x X Indicamos íim fx L XXD x06 4 0 1 Dizemos que a função f tende ao limite L quando x tende a x0 querda se dado 0 existe Ô 0 tal que se xü x xü 8 então fx L e ou seja xü 8 x x0 8 com x x0 este intervalo inclui valores de x si tuados de ambos os lados de x0 Para garantir que x permaneça á esquerda de x0 devemos em vez disso considerar o intervalo é o que se deve considerar para garantir que x permaneça a direita de x0 Vamos agora estabelecer formalmente as definições de limites laterais Seja f A R uma função e seja xc um número real O número xô pode pertencer ou não ao domínio de f mas suporemos que existe um intervalo aberto a x0 à esquerda de xft que está inteiramente contido em A para podermos definir o limite quando x xq Para o caso do limite quando x xQ suporemos que existe um intervalo aberto x0 b à direita de x0 também inteira mente contido em A Quando escrevemos x x0 x tende a xç pela esquerda pretendemos que a variável x somente assuma valores menores da que xn à medida em que eles se aproximam de x0 Na definição de limite quando escrevemos 0 x xfl S 73 CONTINUIDADE LATERAL Dizemos que f ê continua à esquerda em x0 se lim fx fx0 e que f ê continua à direita em x0 se lim fx fx0 4 fx af1 1 0 1 2 Como lim fx 1 f1 dizemos que f é contínua à esquerda no ponto x0 1 74 FUNÇÃO CONTÍNUA EM UM INTERVALO FECHADO 3 2 2 2 1 1 1 0 0 2 0 a c 135 Seja por exemplo a função f R dada por x2 se x 1 2x se x 1 cujo gráfico se representa ao lado Temos Utilizando os limites laterais podemos estender a noção de continuidade de uma função falando em função contínua à esquerda e função continua à direita A noção de continuidade lateral aparece principalmente com relação a extremidades de intervalos As figuras abaixo representam os gráficos de funções definidas no intervalo fechado A 0 2 hi z 2 c lim fx 2 b lim fx 1 d não existe limfx 2 b Para a função f temos Jim gx 1 g0 e limhx1h0 92 2 e x0 0 mas desconfnua em x0 2 capitulo 6 são também Exercidos Resolvidos se 0 x 8 então 136 Assim f é continua ã direita em xç 0 e contrnua à esquerda em x0 2 Para a função g temes Assim g é confínua à direita em x0 0 mas cfesconhnua em x0 2 Para a função h temes se 0 x 8 então Demonstração A condição VxOj tomar 8 ej e teremos que I Vx0 Assim h ê confíntra à direita em a função f R dada por fx 7x é contínua à direita no função f representada pelo gráfico a é conlinua no j Vx 01 c t escrevese 0 x e2 Basta portanlo No exemplo anterior a intervalo fechado C 2 Observação As propriedaces de PL1 até PL7 vistas no válidas para os limites laterais Assim também podemos anunciar para funções continuas á direita ou ã esquerda propriedades análogas às que vimos naquele capitulo para funções continuas As demonstrações correspondentes que seriam fastidiosas repetições das que já fizemos serão omitidas aqui lim fx 1 f0 e lím fx 2 f2 xX 2 lim hx w lim gx3g22 7x 71 Prove que ponto xQ 0 Solução Proposição Devemos provar que lim Vx 0 isto é que dado e 0 existe 8 0 tal que 7ê s 1 f e contínua no intervalo aberto a b 2 f é contínua à direita em x0 a 3 f ê continua à esquerda em x b Seja f A R uma função e seja a b um intervalo fechado contido em A Dizemos que f é contínua no intervalo fechado a b se as três condições abaixo se verificam 72 prove o seguinte teorema lim fx L se e somente se existem ambos os limites laterais e além disso 0 Assim lim fx lim fx L Demonstração da 2 Seja dado s 0 Se x0 8 x x0 então fx L c Assim 137 Solução Devemos provar duas afirmações então fx L c Esta afirmação acarreta duas outras a se xc 8 x x0 então fx L lim fx L xa lim fx lim fx L 2 Se lim fx lim fx L então lim fx L xx xKa4 i Demonstração da 1 Sabemos que dado e 0 existe ft 0 tal que se x0 ô x x0 ã e x x e ou seja Se x0 x x0 í2 então fx L e Tomandose A min fi1 8S as duas condições acima se verificam para x0fixxQfl com x x0 se x0rtxXjíi e xx0 então fx L e lim fx L x b se x0 x x0 8 então fx L r ou seja 1se hm fx L então lim fx lim fx L X X Xn Sendo lim fx L existe 8 0 tal que x xt Sendo lim fx L existe fi3 0 tal que donde Assim YA 1 1 imites laterais para x0 2 Solução 3 2 1 3 2 Note que sendo 3 lim íx Não existe liirfx Esta função é continua à direita no ponto xc 2 138 X 2 lim M lim fx L lim lim1 1 xtO x x0 2 73 Dada a função f R R fx LLI calcule os limites laterais para 0 0 x Solução I x I Se x 0 então D logo 1 x Assim 71 Dada a função f IFt R fx x calcule os lim M Xi2L J Se x 2 então nas proximidades de 2 temos 1 x 2 donde xj 1 e assim lim x lim 1 1 Se x 2 então nas proximidades de 2 temos 2 x 3 donde fx 2 e assim lim fxl lim 212 x2l J 1 1 jm 1 J lim lim 1 1 i0 X íiOX iO Note que sendo x I x lim 11 lim 1 110 X XtOr X I x I nac exjsfe lim f xa x Se x C antao x 0 logo XJ 1 X X x1 X Exercícios Popostos Para cada função dada abaixo exercícios de n 75 a 720 calcule 1 Iim fx no ponto x0 indicado 75fx xL x0 2 h x0 2 n n é Z 714 fx Xo 1 77 fx X X 715 fx o 2 78 fX X x Xo 3 716 fX 3 XC 79 fx x x x0 n n e Z i j 2 718 fx Xq 2 710 fx x x x0 n n e 2 719 fx x0 2 711 fx 2 x 720 fx 712 fx fx 721 Seja f K dada por Determine o valor de a 722 Seja f R R dada por 139 Determine o valor de m para que 1 f seja continua à direita em x0 1 2 exista limfx x3 fx 0 2 lim fx MíXe k x2 x2 para x 1 para x 1 1mx para x 1 3 Irm fx x 1 Rn 76 fx x x0 x0 3 x 1 para x 2 2 para x 2 2x a para x 2 1 para que f seja contínua ã direita em x0 2 2 para que exista lirnffx Jo1 XJ 4 713fíx I Xa1 x1j 3XJ 3x2 x2 x3 3x x3 I 3 í x 4 717 x i 1 x 2 2x2 3x2 x 2 x3 8 l X3 1 f 723 Seja f R R dada par 724 Seja f R R r x x x Estude a continuidade de f no ponto a x0 D b x0 1 725 Seja f R Rb dada por fx Estude a continuidade de f no ponto x0 0 140 2x2 a parax0 3 para x 0 1bx para x0 ííl x j para x 0 Q para x 0 a determine a para que f seja continua ã esquerda em x0 0 b determine a para que exista llrrifx c determine b para que f seja continua à direita em x0 0 d pode f ser continua ponto x0 0 A Capítulo Infinito 81 LIMITES INFINITOS lim fx 0 fx 0 141 Podemos estender a noção de limite aos casos em que a variável x ou a função fx ou ambos tomam valores absolutos arbitrariamente grandes Já havíamos feito referência a estes limites nos exemplos iniciais do capitulo 4 O gráfico abaixo ilustra alguns desses casos Para a função ali representada temos Vamos estabelecer primeiramente uma definição formal para o caso lim fx co 1 2x 1 xx 12 Esta igualdade pode ser lida assim fx tomase cada vez maior quando x tende a x0 Entretanto necessitamos substituir as palavras tornase cada vez maior por uma linguagem mais precisa Suponha que N é um número positivo Se fx tornase cada vez maior quando x x0 é claro que fx será maior do que N para valores de x próximos de x0 Em outras palavras é possível encontrar uma vizinhança de x0 V x0 fi tal que se x e V x0 5 então fx N X X lim fx co lim fx O lim fx x lim f x lim fx limfx oo se 0 x x0 Por exemplo para a função fx representada pelo gráfico abaixo temos y N 2 x 26 2 6 Isto significa que dado o número N 0 é possível encontrar 6 0 tal que se 0 x 2 5 então fx N A condição fx N escrevese 142 Seja a função f A R cujo domínio contém ao menos de x0 Nossa definição formal fica assim Dizemos que lim fx se dado qualquer número N 0 existe 8 0 tal que I 8 então fx N 0 x21 uma vizinhança reduzida N donde 0x22 1 4 N donde 0x22 isto é x22 v N 1 1 Basta portanto tomar 6 Veja que o mecanismo destas VN VN investigações é semelhante àquele já utilizado para os limites finitos f R 2 R 1 x22 1 hm oo 2 x22 Podemos além disso considerar os limites laterais com as definições seguintes tal que 21 Dizemos que lim fx cc se dado N 0 existe 8 0 tal que Vamos estabelecer também uma definição para o caso Escrevemos a definição Analogamente são definidos os limites laterais e É também imediato que se e somente se 143 Dizemos que lim fx lim fx lim fx coouco lim f x co HÜD lim fx oc se 0 x x lim fx eo lim fx co se dado qualquer número N 0 existe 8 0 tal que no qual fx orna vaiares negativos de módulos cada vez maiores quando x tende a x0 Para isso supondo que N é um número positivo deve ser possível encontrar uma vizinhança de x0 V x0 8 tal que lim fx 1 Dizemos que lim fx co se dado N 0 existe 8 xxü Se x0 8 x então fx N É fácil perceber que lim fx ou x se e somente se temse KMD se xQ x x0 6 entáo fx N se x eVX 6 então fx N n ô então fx N y Assim por exemplo como fx 2 temos também 82 LIMITES PARA x oo Desejamos agora estabelecer as definições formais para os casos seguintes símbolo x o t representa o lim fx L supondo que o domínio de f contém uma vizinhança do escrevemos se x M então fx L e Para o limite temse a definição seguinte se x M então fx N 144 lim fx oo XMae lim fx oo XiX lim fx L x lim fx L X lim fx lim fx oo lim fx oo Dizemos que lim fx L se dado e 0 existe M 0 tal que XKC fato de que a variável x assume valores em uma zinhança do infinito Isto é colocado em termos rigorosos quando dizemos que para um dado M 0 temse x e M oo o que é o mesmo que x M Para o símbolo x cc escrevemos que x e co M o que é o mesmo que x M Assim por exemplo para definirmos o limite 1 lim 2x22 1 x22 J Dizemos que lim fx se dado N 0 existe M 0 tal que XM 1 lim oo x2X22 Dizemos que tal que se existe então I fx L I B 0 0 L fx N 0 xx0 Ô N 0 6 0 N 0 0 rm fx L x M M 0 lim fx L x M M 0 I fx L I E fx N X M M Q N 0 fx N X M M 0 N 0 fX N X M M 0 N 0 N 0 M 0 1 fx L õ 0 x0 x xa S fx N N 0 lim fx 6 0 xa x x0 5 fx N N 0 fi 0 xQx x0S i fx L t 6 0 k 0 x0 S x x0 N 0 fx N fi 0 x0 x x0 N 0 fx N 6 0 Xç Ò X xc QO I I J T I I se dado 1 1 i fx N im fx L lim fx lim fx L JCX Jim fx 145 lim fx t XXn l lim fx co lim fx lim fx oo Ij i fxL lim fx oa lim fx üô lim fx o E 0 Como se vè para cada um dos diversos casos relacionados podemos dar uma definição formal O quadro seguinte é um resumo das definições dos diversos tipos de limite que já examinamos até aqui r lim fx eo x M I fx N 0 f x XJ B 0 I x xc i 83 PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS xD limites finitos ou não e f g f g e TABELA 1 Limite da soma então fx gx tende a e gx tende a i i são formas indeterminadas do tipo Para es Ias TABELA 2 Limite o produto Se fx tende a e gx tende a então fx gx tende a Os dois últimos casos são formas indeterminadas do tipo 0 co para as quais nan há lei geral 146 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r g pn 2 3 4 I 1 6 03 CQ Cd Uj GC OD íD GO Se fx tende a L L GO X 20 cfi QÔ 5 GC OD cí CjC QO DC ÜÇ ço ÜO CQ CO no 02 OQ Os vários casos encontramse resumidos nas tabelas a seguir As conclusões ali apresentadas valem igualmente para os casos dos limites laterais com x xB ou x i xD e também com alguma adaptação para x coex Teremos oportunidade de demonstrar algumas destas propriedades mas não o faremos em todos os casos por uma questão de brevidade Sejam duas funções f e g que podem ter para x vejamos que se pode dizer sobre os limites das funções CO CQ Os dois últimos casos situações não há lei geral L 0 L 0 L 0 L 0 V n DÔ L 0 L 0 TABELA 3 Limite do quociente Se fx tende a e gx tende a 3 L 0 eo 6 L 0 j L 0 7 L0 8 quais nao há lei geraL U7 O WJ L 0 L 3 L 0 L 0 9 10 11 12 13 14 15 1 2 4 5 35 L L OQ CO 33 Uo l 2 Oíl CO cc CD CQ L 0 fx Então tende a gx 3 ao se gx0 em uma vizinhança de x0 c se gx 0 em uma vizinhança de xQ 5Q 0 Os cinco últimos casos são formas indeterminadas dos tipos e para as 91 0 03 5 oo se gxD em uma vizinhança de x0 co se gxQ em uma vizinhança de x se gx 0 em uma vizinhança de x0 o se qx0 em uma vizinhança de x0 oo se gx 0 em uma vizinhança de x0 401 se gxü em uma vizinhança de xQ 0 0 LO Demonstração S3 0 tal que 1 g o As demais situações da tabela podem ser examinadas analogamente 148 2 fx0 Então dado N 0 se tomarmos 8 min8 Sz 6a fíi 84 LIMITE DE QUANDO fx 4 L 0 E gx 0 9x L 2N fx lim oc gx se 0 x x9 fij temse gx 0 se o x x0 s2 temse 0 Vamos examinar os casos 7 e 8 da Tabela 3 onde temos fx tendendo a um limite l 0 e gx tendendo a 0 Na primeira desta situações supomos que lim fx L 0 ímgfx 0 e ainda que existe 8 0 tal que se 0 xxa Si temse gx 0 isto é gx 0 em uma vizinhança de x0 Podemos mostrar que Hxl Assim hm gx 3SWJ Li fX Iki 2 2 ÍM 1 2 1 fxl Dai resulta que 0 g x ou ainda 4 N e finalmente 1 N 1 2N gx gx Vamos rever o teorema da Conservação do Sinal veja o exercício 412 onde ficou estabelecido que sendo lim f x L 0 existe S2 0 tal que para 0 x xQ 8 teremos satisfeitas as três condições or oulro lado para qualquer N 0 em correspondência ao número e existe Exercícios Resolvidos 81 Calcule jm Solução Para x 2 temse que x 23 0 2 82 Calcule lim Solução 2 Solução 2 0 Assim caso 8 da Tabela S4 Calcule lim Solução 0 e x 2 0 Assim caso 7 da x 149 lim 2x 3 I i r i x2 X 2 Além disso quando x está próximo de 2 temos x 2 0 Logo veja Tabela 3 caso 7 Para x 2 temse 2x 3 7 x 2 Tabela 3 83 Calcule lim o 32x x 2 2x X 32 Para x 3 temse que 2 x 1 e x32 0 Quando x está próximo de 3 2 temos x 3 0 Logo Tabela 3 caso 8 5x X3 Xa 32x lim r 2 2x43 lim x2 0 e xJ Para x 0 temse 5xz x 3 3 x 3 5xz x3 CO XJ 32x 7 e 2x lim z co 3x32 Solução Se x 1 então x2 7x2ax l0 e 86 Calcule lim Solução Se x 2 então 3x 2 8 x2 0 e x2 0 Assim 87 Calcule lim Solução o x2 0 Assim lim 88 Calcule lim Solução 3 então 3x2 2x 7 14 3x3 0 Se x lim 150 75x x23 3x 2 x2 x 1 0 Assim 3x2x 7 3x3 e 3 x3 0 Assim 3 Se x 2 então 75x3x2 0 e 3xJ2x7 3x3 3 x 2 íirrt os X2 x2 7x 2 lim cn íi x 1 75x r c x23 x2 7 x 2 85 Calcule lim i x 1 Exercícios Propostos 89 a 836 810 lim 81 S fim 019 lim X 8 21 Lim 822 lim 823 im 026 im 828 lim 8 29 lim 830 lim 831 Ifm 5 832 lim 833 lim 835 lim 836 lim 30 151 3 25 lim a12 Hm 4 820 Ifm x D 3x44 l3 X81 x2 6x 9 x2 5x 3 j K2 97k 3 5 2x x13 4x 5 5x 4 X 4 x 2 5x3 xHa 2xJ5x24 4x 3 x 3 x4 a4 1 7 xa2 3 13 lim 1 2 2 x x22x t x2 X 4x 4 827 fim 4 x4 x22x7 i X o v2 43x x 32 4xz3x8 4x3 Xa 5x 10 x22S 2xzx6 1x3 1 i 7 3x3a a 14 lim 2 2x 811 lim Ç 6 4x Xa Calcule os limites indicados exercícios de n 824 Um 3 2x y x3 lx 3f 816 iím 54 x 42 817 Iím 32 x 4 818 lim 4 3x s x5 39 lim 7 MX 12 o X3 2xa 16X 3 834 hm 3 x32 1 x 1 lim ax Sejaf R R ffx aZ a e Scx então Além disso é claro que Se ax1 ío então a1 X fx 2x5 X x3 ou que donde vem x3 e 2x3 N 152 m Veremos que ocorrem os resultados da tabela abaixo lembrese de que supomos a 0 0 n e N e vamos examinar os limites lim ax e lim ax Se a1 do então a1 85 LIMITES DE POLINCMIOS PARA x nc Devemos provar que dado N M 0 tal que x 2x3 N A condição crevese N 2 Assim basta tomar M í e teremos V2 Como se vê o limite da função f R R dada por fx a1 a 0 e n e N para x a pede ser tnoi tz dependendo do sinal de a e da paridade de n Vamos ilustrar uma destas situações com um exemplo Seja f í R R fx2x5 e provemos que lim 2x3 0 existe M temse 2x3 N es n se x NI então x Se x então ax se n é par axn oo se n é impar ax N 2 Para a função f R R dada por a 0 e n e N fx 4 temos co Assim dado 1 Assim 0 e portanto Nos demais casos temse o mesmo resultado Exemplos 0 y y I fX X X X X 153 fx5 lim 0 ax Logo lim 2x3 00 lim 0 c axn Tomemos o caso em que a 0ex Sabemos que ax n 4 t 2 2 lim 4 0 x 10 E axn 1 c donde axn 2 lim 0 x axn 1 lim 0 x se x M temse axn N 0 E 0 em correspondência a N existe M 0 tal que E 3 lim x 5x 1 axn 3 Função polinõmío Consideremos agora o caso da função polinõmio de grau n f X S a2r anx an fx aDx ax e LIMITES DA FUNÇÃO RACIONAL PARA x o fx fíx a0 0 e b0 0 Podemos escrever para x í 0 154 Cada parcela da expressão entre colchetes tende a zero quando x exceto a função constante 1 cujo limite ê 1 Assim Como sabemos veja exercício 612 chamase função racional toda função f A IR dada por lim fx Sim aoxn r x n Px ri f i onde P e Q são pofínômias e o domínio A é o conjunto de todos os números reais tais que Qx 0 Suponhase que ax an bm1x bm A a0 x aX ax2 bnxm b1 rwXj boxrt X 3 lim 2x4r 3x 1 lim 2x4 aD aH l46il5ni bD bo a0 x a0 x7 an 1 a0 xn1 com a0 C Para x 0 podemos escrever 1 lim 2x3 4x 3x 1 lim 2x3 XíIt xívrt 2 lim 3x5 2x35x 3 lim 3xs Portanto o limite da função polinõmio para x c ê determinado pelo seu termo de maior grau e será ou dependendo do sinal de 8q e a paridade de n Por exemplo temos L an 1 X1 a0 Xn L Èm 2 xm1 bc Xm Para x os a fraçao entre colchetes tende a 1 Assim temse Temos então três casos passíveis I 1se n m dependendo do sinal de 2 se n m n m 3 se Exemplos lím 4 2 lim 3 3 lim 155 i i l i Portanto o limite da função racional para x no ê determinado pelo quociente de seus termos de o maior grau aa Frt i aox boxm xn Qx bD b0 lim lim x izcQX r4 b0 0 3x5 4x2 2x 1 2x2 3x4 4x23x 1 3x 3 x 7 x 1 x3 2x 4 Px lim lim w Qx 3x5 3x3 lim r lim x 2x2 2 4x2 lím 3x lim lim 0 3x3 3x Px lim 44 hm Qx box 4 e da paridade de n ml o Seja t uma função tai que De fato dado N ü em correspondência a N 0 existe 5 0 tal que donde resulta que isto é Exemplos Exercícios Resolvidos 853 calcule lim fx 637 f x 2xJ 4xJ 5 lim fx lim 2x3 Assim e 156 Solução Temos lim fx e M X É claro que o mesmo ocorrerá se x ou em limites laterais De modo análoga codemos estabelecer que sendo lim f x d o e n impar temse lim f x n lim aíx co KfX 2 Como lim 1xoôentae lim ixeo Para cada função dada nos exercidos de números 837 a 1 Como lim íx3 3 cc então lim Jx tyf x N 87 LIMITE DE x quando fxco lim fx o Xx J3 Jim fx lim f xl o Xs Então para n e N temse também se 0 x x0 â temse f x N1 B3â fx 2x3x 1 Solução 839 fx Vx3 Solução Temos 8 40 fx Solução 8 41 fx Solução 842 fx Solução 157 2 3 lim fx lim 2x x 1 3x2 x3 lim fx lim f x x3 1 X2 1 lim íx z x3 lim fx lim lim x lr xr x lim 0 r X Assim lim fx 50 e Xw xj 2xz i r 3x2 lim fx lim lim x 3 logo X y lim x3 co lago lim fx Xí Coma lim 2x2 3x 1j k então Solução 844 fx Solução Podemos escrever 2 2 2 fx X Solução Escrevemos para x x2 fx Como 158 2x 33 3x12 5x 12 x33 Assim lim fx 1 X2 xíll x f 1 3 x5xJ x 5 e 1 1 temos lim fx x x Não existe lim f x x2 1 lim fx lim lim 0 xl xizx3 x 8 43 1z 11 X 23 51 x J x3 1 48 1 3 Para x temos que 0 e 0 x x 31 x 3 x 72 52 13 25 í r r k XJ X2 x3 31 X 3 846 fx Solução Temos f x 1 0 Assim Se x oo então 0 e 847 fx Solução 0 848 fx Solução Temos fx Então jm fx 159 1 x4 1A v 4 T X2 Vx4 4 x2 2 Temos fx 4 x4 2 x2 4 x4 lim fx 1 1 7 x2 14 k X x2 1 1 3 1 k x J x2 14 x 3 x4 x2fi4 X x2 7T 1 I x I Então lim fx lim x4 x2 1 x4 3 4 x4 2 x2 Solução Temos f x lim f x 0 Solução lim fx O Não existe lim fx 8 51 fx A 3 A Solução Da mesma forma lim fx oo Kf 160 Sêx í w temse AJ Assim 850 fx A31A31 lim fx m 1 4 V X 1 1 Se x to temse lx 3 e A o q donde A i A31 A 1 Vx3 1 Vx3 1 A31 A31 A31 Aa1 849 fx Vx2 t2Vx2 1 A3i remosfx A72ATiA7T2 A2 A71 sx2 2 A2 1 A2 2 Vx2 1 Se x então Jx2 2 t Vx2 1 x Assim 852 f x Solução x e podemos 1 1 0 2 1 853 fx Solução Temos fx 1 1 1 1 X 1 1 1 X 161 Se x oo então x x e podemos escrever 2 2 2 2 donde se tira lim fx X Vx2 1 x2 1 Vx 2Jx2 TTTi x1 2 7x 2 4ax2 Í Jx1 17xlj Se x co então x x escrever I X fx X fx 2 X2 772 v 2 x 11 l x V x 11 X Portanto lim fx x 2 VÍ 7Í 2 lxl xiT x J V x 11 x xfl1 l x 2i 7772 x2 l13 x Temos fx lU yç 1 donde se tira lim fx 1J 1 X 1VÍ 1 Jx22 Í7x2 1 Vx21 Vx2 2 ax22 jjx x2ij 777 Vx22j x2 2x2 2 Jx2 7Í x2 1 j IxTuXl xG41 2 xj k y Tijx2xM t r r i 2 xl 2 V X2 V X2 2 i 1 r 1 X2 V X2 x2 Exercícios Propostos Para cada função dada nos exercícios de números B54 a 8 84 calcule a lim fx b lim fx 867 fx 868 fx 57 fx 7x3x 2 8 69 fx 58 fx Vx 1 870 fx 872 fx 7x717x 860 fx 8 73 fx 7x17x1 861 fx 862 fx 875 fx 7x 2x Vx3 4 8 63 fx 876 f x 7x4 2x x2 8B4 fx 865 fx 162 5x2x xz x x2 3x 2 x3 3x24 X4 5x 1 x6 2 3x15x 3 2xJ1x4 x 7 io Xa 7X41 3x3 4 1000x xzl xa 2x5 xB7 859 fx 7x31 2x334x 73 3x 425x3 1 2x 32 3x 22 x 5 5 874 f x 7xz x x 3x3 4 Y x3x J 856 fx 7x2 x 1 877 f x 7x2 4 7x 1 854 f X 3x 2xs x 4 4 o 2x3 3x4 871 fx fl 66 855 f x 2x x2 i 3 002 f x 083 fx 881 fx BBS Determine aeh sabendo que ax b 0 lim 886 Calcule lim 887 Determine a sabendo que hm 880 Sendo fx d 163 x x 1 2 3 x 5 ax21 x Jx 1 7x2 5x 1 x3 x2 X 4 2 X2 X f1 X X T 2 800 fx x3 1x x y xz r 1 x3 V x4 i1 078 fx xpx2 1 x 079 fx x limf x 0 e lím fx 1 calcule a b c e yix 884 f XÍX VX V x í X 1 x J x V X 1 3X1 4 bxz cx d x2 X 2 Capítulo 91 UMA DESIGUALDADE IMPORTANTE senx x tgx O A T 0 x 2 Além disso vése que área do A GAP área do setor OAP área do A OAT Então donde MP AP AT 165 Funções trigonométricas exponenciais e logarítmicas OA AP 2 OA AT 2 I OA MP 2 M x Seja x um número real tal que x e provemos que 2 2 Nas figuras abaixo que representam a circunferência trigonométrica temos que MP sen x AP x e AT tg x j tanto no caso em que 0 x como no caso em que x 0 2 2 X 0 e assim cos e 1 Portando se o 2 2 Fica provada assim que Isto é que a função seno é continua em R 166 92 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO SENO Teorema A função f R R fx sen x é continua em R isto é para todo x0 IK temse lim sen x sen x0 xo 2 xxQ ô temse xo 2 senxsenx0 2 sen lim sen x sen xn r k r 1xxj a 0 x x0 j donde Utilizamos aqui a desigualdade do item anterior b 0 X xo E Então sen x sen x0 2 sen Dado u 0 seja S min e Demonstração Faremos a prova deste teorema com auxílio da desigualdade anterior Lembremos da Trigonometria veja o volume 3 desta coleção que 2 2 X xD cos 2 X Xn cos y 2 I senx x tgx para todo x 0 tal que x 2 2 Se x 0 temos sen x x tg x 0 Partardo para todo x tal que x temse sen x x tgx xx0 seny 2 S3 CONTINUIDADE DAS DEMAIS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRIGAS L logn 3 função cosseno é continua em U 54 TEOREMA DO CONFRONTO Teorema v h h gx fx hx L g g Demonstração a se a 167 Demonstraremos agora f por comparação desta 2 lim gx lim hx L Hblcõ Lago as funções tg x catg x sec x e cossec x sao continuas em seus domínios por serem quccientes de funções continuas ccsx 3 cotg x senx 1 5aJ cossec x senx um teorema que permite determinar a limite de uma função com duas outras funções g e h 4 sec x cos x 1 uma vizinhança reduzida 2 tgx cosx Sejam g f e h funções cujos domínios contêm ao menos Vde x08uponhase que 1 para todo x sVse tenha L c t Nesta condiçoes lim f x L fc ír0 xx0 5 temse g x L c ou seja L t gx L e A partir do fato já provada de que a funçaa seno ê contínua em lx podese provar facilmente que as outras funções trigonometricas cosseno tangente cctangente secante e cossecante são também contínuas em seus respectivas domínios 1 Temes cos x senl x lb leqn a função cosseno é continua em 3 U por ser a composta de duas funções continuas em Jfc senx Dado e Q existem 81 0 e S2 0 tais que 5 4 0 V ou seja Assim para fi donde L E f x L 4 e portanto so ou x e 95 LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL Vale a seguinte propriedade 1 Demonstração sen x x tg x donde X pois sen x 0 ou seja 1 16B Observação O teorema do confronto é também válido se x também para limites laterais min temos que tgx sen x x Xj 5 então L e gx S f x hx L e b se 0 J x xD 5Z temse h x L c L e h x L e fxLE Isto significa que limfx L 1 sen x se o sen x cos x x sem x lim x0 X Para D x podemos escrever ainda o teorema do confronto Jã havíamos provado veia o item 91 que para x temse 2 2 senx j x s tg x Para fazer a prcva utiliíaremas ft 2 Para x D escrevemos também tg x x sen x donde x ou seja 1 x Assim se 0 x 1 x considerando fu nções Aplicaremos confronto do as gx cosJt fx X timgfx limcosx cosO 1 X0 V e resulla que 1 Exercícios Resolvidos lim sen ax 1 GX Solução 1 sabemos que dada x x 169 91 Prove que o limite trigonométrico fundamental admite ampliada para n 0 temos tgx senx 1 pois sen x sen x e 0 existe ô 0 tal que se 0 x sen x cos x sen x cos x n temos 2 limhfx Jim1 1 xrfj xd a seguinte forma e h x 1 Como agora o teorema sen x Cerno jim SenX temse senx fim x0 X sen x 1 e 71 2 0 f X ri 1 temse se Como fi conde sen etx 1 E DX e assim lim sen txX 1 oX e p reais não nulos temse senctx CL P Sol u çac sen tiX 1 cx a sen ax CL 0 1 P sen x sen a x a Solução x a Cama sen x sen a 2 sen temos 2 sen sen x sena 2 X a 2 Assim sen x sen a x 3 x a 2 170 lim sen ix Fim ícD lim X 3 jTX sen px 2 x a x a 2 x a a hm íc a 3 t lim cos 1 cos casa xa 2 2 93 Calcule lim x fi teremos 0 ntx x a cos lim senpx 92 Mestre que sendo ci sen X a lim xa sentix hm CtK senpx lim nx 0 e a 0 existe também fs 0 lal que 0 CLX Portanto se x a cos 2 X Solução Como 1 cos x sen x x x temos senx senx 0 X x Exercícios Propostos Calcule os limites indicados nos exercícios seguintes de n 95 a 934 sen3x 927 lim 9 5 lim 916 fim x 928 lim 9 6 lim 97 lim 918 lim 929 lim o x sen x 919 lim 99 lim sen5x 99 lim COS X 921 lim 933 lim sen x 1 cos x 922 lim x 923 lim cos x cosa 913 924 lim x a 3 9l4lim 925 lim x cos sec X 915 lim 926 lim 171 lim 1 917 lim sen x 1 cos x x sen3x sen 4x 7x 1 cosx1 cosx X1 COSX 71c o s2x X senO 1 cosD sen3x 12cosx sen 3x 7x2 72 i1 cos X tg2x sen5 x tg22x 2xsenx Q secx1 sen4x xTl 1 sen2 x sen2x 1 sec x 7 casx xJ sen x x tg x sen x x5 B n Xa 1cos 2x 934 lim 1 931 lim 930 lim 920 lim 0 X sen 3 X lim 1 0 1 iCOSX sen3x i f tg3x 1 COS X X1 COSX senJ x x1 cos x 2 sen1x 6x3 x7 10 senx 932 lim 5X 912 lim 911 liml52S ifl x sen8x A 10 lim 0 sen 3x sens x 1cos x n 94 Calcule lim 1 cosx x C 1cosx lim X 0 Ig3x tg5x 96 CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS K dadas por expressões do tipo Consideremos as funções exponenciais f IR fxa X 3se0a1 fxax é decrescente e consequentemente se 0 a 1 se 0 a 1 fx ax Teorema ax ax bastará provar que lim a 172 a 1 seaa11 eexfiOtetemesd1 ax1 1 se11 eexie 0Otetreeábfe a 1 com a0eaí 1 Recordemos algumas das características destas funções lim ax a0 Xx l ax Provemos este teorema para o caso a 1 O caso 0 a 1 será deixado para o leitor Como 1 axx e x 0 tem se 0 ax 1 e x 0 tem se a 1 A função f R R f x a com a 0 e a 1 é continua em IR isto é para todo x0 e R temse 1 fxa assume somente valores positivos 2 sea 1 fx a é crescente e consequentemente que equivale a provar que Vamos demonstrar prímeiramente o limite lateral Investigação ado c 0 desejamos provar que existe 6 0 tal que se 0 h Ô temse ah 1 e Tentemos determinar um número natural p para o qual se tenha ou seja Como pela fórmula dc binômia de newton EP resulta que 1ep 1 pE Dai resulta que devemos tomar p E Demonstração ada e 0 seja p um número natural tal que p 173 P P limah 1 hO ahl e Sendo a 1 e h 0 Temos ah 1 Assim a condição acima escrevese A 1 1 e consideremos 5 e p lim a1 1 htD Assim se tomarmos p de modo que a 1 pc 1 ep a1 p i Segue dai que ap 1 e Então se 0 h 5 teremos i ap 1 e i ap 1 e 1ah aft 1 eP 1 pE í PE2 P lí 1 ficará satisfeita a condição ap 1 1 a1 donde e assim Se h 0 Portanto Consequência das funções exponenciais è Em particular temos t 97 LIMITES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS PARA x Teorema Se a 1 temse lim a 0 Se 0 a 1 temse lim a 0 e lim a oj 174 lim ah 1 h0 Se lim fx então lim a1 aL Xxtx ahí e Uma consequência importante da continuidade expressa pela seguinte propriedade lim ah lim ah 1 hk h 0 i1 1 lim ah lim h o h 0 an T h 1 Teremos a a é claro que h 0 donde Para provarmos que lim ah 1 hasta fazer h h onde h 0 lim ah hD 1 lim ah hC wr Se lim fx 0 então liniaK 1 lim a eo e X 0 a 1 fX 3 1 X 2 Demonstraremos que sendo a 1 temse M temse e M M E Consequência Uma consequência do teorema acima é expressa pela seguinte propriedade 175 Provemos o teorema no caso a 1 deixando para o leitor o caso 0 a 1 1 Demonstraremos que sendo a 1 temse lim a 0 Devemos provar que dado e 0 existe M 0 tal que se x a 01 E o que é o mesmo que a Se f x então para a 1 temse ax e para 0 a 1 temse a e Assim se x M temse a a fco M 0 lim a oo Devemos provar que dado N 0 existe M 0 tal que se x M temse a N Basta tomar o número positivo M tal que M loga N e teremos a1 Assim iM N Basta tomar o número positivo M tal que M loga e teremos a1 E donde aM Se f x oo então para a 1 temse aff 0 e para 0 a 1 temse afW co se x M temse ax aM donde ax N Exercícios Resolvidos Solução x1 Assim lim 2 Solução 1 Assim Solução x sen 3x sen3x 1 32 x x j38 Calcule Solução Assim 176 xien 3 5 3 1 2 íx1 2x1 lim 3Sí2s lim 3 3 3 2 3 935 Calcule lim 2 936 Calcule lim 3 Tt 3 x 1x x1 1 v 3 e n x 23 8 937 Calcule lim 5 KkO lim 1 X bJ Temos lim l v3 sen x K 3 5xz lim 3x2 xsenlx lim 5 5 2 25 y i Temos lim lim X1 n 1 Temos lim x 0 Assim 5x2xl lim fl5 25 32 5xz2x1 Temos lim 3x 2 x 5 939 Calcule llm 2J1 Solução Solução 0 Exercícios Propostos Nos exercícios seguintes de n 9 41 a 971 calcule os limites indicados 948 lím 10 942 llm V 949 lim 5X 943 lim 3 953 lim 3J 9 47 lim 177 a381 9 60 lim 5 3S 941 lim 5 lim 2 X x3 1 x2t 1 T1 959 lim 4 11 9 50 lim XI X 1Y 2 95111 i x3 lim x 0 lim 3 a 3 x3 x lím O0 944 lim 4 2 945 lim 9 I 2 946 limíl 1V 9 47 lim 961 iím2srt k6 954 1im4 1 956 lim g23 957 limS3 1 953 lima1 Temos lim MWJ Assim 940 Calcule lim 31 Temos lím Assim x73xt2 955 Iim5 952 lim 231 1X 2 969 Irm 5 967 lim 4 968 lim 3 r 98 CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICA com a 0 e a 1 y yt 1 X fx logax 178 Consideremos as funções logaritmicas f Ü R dadas por expressões do Tipo 21 966 lim 3 fx logax 21 965 lim 21 X r x é decrescente e consequentemente 962 lim 3senxcos X íse0a1 e x 1 temse loga x 0 se0a1 e 0 x 1 temse logB x 0 970 IÍm079 x 971 lim 07 7 Recordemos algumas das características destas funções 1sea1 fx logax ê crescente e consequentemente 2 Se 0 a 1 fx loga 963 lim 4Q2x X sen 4 964 lim 2 x X 0 sea1 e x1 temse loga x 0 sea1 e 0x1 temse loga x 0 Teorema o Investigação 1 equivale a h a ou a h que fi a 1 1 í 3 e a Assim a condição fi h 1 S acarretará que Demonstração 0 hl Dado E 0 seja Se temse 1h1a 1 donde a a 179 lim 1ogax loga x ar 1B resultará 1 0 Enlao se tomarmos ô min 1 c loga h t q u seja 5 min 1 a 1 h a e assim O9s h e Dado e 0 desejamos provar que existe C tal que se 0 h 1 ã temse log h E Esta condição escrevese e oga h e e como a Temos a 1 e a bastará provar que lim loga 0 o que equivale a provar que xc lim loga h 0 logax loga 1og x Provemos esle teorema para o caso a 1 O caso 0 a 1 será deixado para o leitor Como A funçac f L Kr f x loga x com a 0 ea 1 é contínua em H isto é para todo x0 0 temse continuidade das funções logarítmicas e Em particular Teorema Se a 1 temse e Se 0 a 1 temse e lim loga x fct lemse 1B0 Consequência Uma consequêincia importante da expressa pela seguinte propriedade Provemos teorema no caso a 1 deixando para o leitor o caso 0 a 1 1Demonstremos que sendo a 1 temse lim log co Se lim fx L 0 então lim íog fx loga L lim log x x0 lim loga x w 99 LIMITES DAS FUNÇÕES LOGARÍTMlCAS PARA x ou X 0 lim loga x x tal que s ê x lim log x Xtd Se lim fx 1 então limlogafx0 Devemos provar que dado N loga x N Basta tomar í aM a 1 loga x N Devemos provar que dado N ü existe M logâxN Basta tomar M aN 0 e teremos que se x M aN ertão sendo a 1 loga x N 2 Demostraremos que sendo a 1 temse 0 existe Í5 0 tal que se 0 x S temse 0 e teremos que se 0 x S aM então sendo Consequência Uma consequência do teorema acima é expressa pela seguinte propriedade Exercícios Resolvidos 3 Solução Temes 3 e donde 3 i2 Solução Se x 0 temse cos x 1 Assim 181 X3 8 2x3 4x 8 x3B 2xs 4xB X30 x2x22x 4 iog i 3 í Se f x então para a 1 temse loga f x h o para 0 a 1 temse Iog9 f x Se f x 0 então para a 1 temse loga f x para 0 a 1 temse log f x o x2 fr 2X 4 x 4 973 Calcule lim logcosx 3 Esta expressão tende ao limite se x 2 Assim lim logcosx log71 0 x0 9 72 Calcule lim logj 13 3 lim log2 3 x X3 8 x32x 2 4x8 2X2 4x 8 X 2x2 4 Solução Solução log31 0 Exercícios Propostos Nos exercícios seguintes de n 97fi a 993 calcule os limites indicados 2 J7S lim log x X 182 S 88 lim lagj rg x X s 983 lim log3fx2 X 987 im lag3 tg x X 1 975 Calcule lim log 1 9 74 Calcule lim log rj x x2 1 Sc x temse 1 Assim x 1 x2 1 lim logr 976 lim logx x25 977 tirn log x 8 9 78 lim loga x 984 limlog 1 980 lim log3x x 0 981 lim log x 1 Se x temse 11 1 0 Assim lim log5jr 982 lim log x xU 3X41 5x1 985 im log X6x8 1 j x 5x 4 985 im loga senx 2x 3 3x 1 989 lim Jcg2ínr X X1 990 lim 1og 991 lim log 4 2 X 992 lim logjtgx 993 lim log tgx f 3 910 FUNÇÃO DE VARIÁVEL INTEIRA n0 pertence lim fn lim ffn As definições ficam assim ou 911O NÚMERO e Consideremos a função f N R dada pela expressão Podemos provas que existe o n lim e s 271 0281828459045235 183 Este limite ê um número que desempenha um importante papel de Análise Matemática É habitua Imente representado pela letra e e temse 1 Dizemos que lim f n L se dado r 0 existe M 0 tal que se n M n temse fnLs 11 n Definições análogas podem ser dadas para os casos lim f n oc ou lim fn fnL r 2 Dizemos que lim fn L se dado e 0 existe M 0 tal que se n M temse 1 f fn 1 n o domínio A contêm o conjunto Analogamente se existe n0 e 2 tal que ne Z n n0 é possível definir o Seja f A IR uma função tal que A c 2 Como o domínio desta função é um conjunto de números inteiras as definições de limite vistas alè agora não se aplicam pois o dominio de f não pode conter uma vizinhança de um ponto x0 ou de k o u de Admitamos que exista um número inteiro nQ tal que número inteiro n ao dominio A da função f Neste caso é possível definir o teorema seguinte que Teorema limitada superiormente I W temse L 5 M Aplicandose este teorema a existência do limite ficará estabelecida quando provarmos que é crescente 1 o a função fN í dado por f n 2 f é limitada superiormente em N Demonstração do 1 n n n P Nesta soma uma parcela qualquer se escreve é crescente 134 Pela fórmula do binômio de Newton temos n 1 O número e é irracional Para demonstrar a exsfêncte deste limite utilizase o apresentamos sem demonstração 1 n n 2 1 nn em N então n 3 1 77 p7 1 nj 17 lim n 1 pln p np Se f KR é uma função crescente e existe n 1n 11 n lim f n L Além disso se fxM para todo ne nn1n2 np1 n n n n n k n Vl pj np 1Y 1 nJ Í1l l n In Vêse então que aumentandose n cada fração de denominador n decresce Asism os fatores deste produto aumentam Este fato garante que a função dado per 1 PÍ Demonstração do 2 Retomando a expressão n P podemos notar que 1 1 2 2 2 2 2 2 2 lemos Então n Assim isto é a função dado por é limitada superiormente As duas demonstrações acima garantem portanto que existe o e ainda que esse limite não é maior do que 3 Tratese do número e 2718201828459 185 1 2 1 1 2 1 2P 1 1 np 1 P lim n i 1Ezl n n pois cada fator isoladamente é menor do que 1 Além disso como pl 1 2 3 4 5 p1 p 1 21 11 2 1 1 3 3 2rt1 í 1 y fn 1 n 111 n J 1 1 1 i I I rj 2 1 1 p np 21 já mencionado anteriormente lim 1 Demonstração keZ 2 Demonstração n 3 Demonstração açamos n m Se co é claro que m a Assim vias m m donde lim 186 Façamos n k m donde n m k Se n a é claro que m Assim 2 n lim X lim no lim n lim 1 m1 i n k 1 n 11n n e m e nk e k e Z Vejamos agora outros exemplos de limites que são iguais a e k e 1 e mk e 11 m lim l 1 l m1 1 1 T 1 I e n k 1 f 1 e n cujo domínio é A 32 1 0 Temse b lim c k e PJ k e Et emon stra çã Seja n x n 1 X E A Então Se x s 1 temos n í 1 donde e ainda com maior razão hl 1 Como lim n frcnto que lim e mesmos artifícios utilizados nos 187 1 n7 n I lim a lim 11 11Y iL x k 1 1 x n 1X 4 Seja f A 3 f x 1 I e T n 1 J n x isto é seja n o número inteira tal que 11Y k x As demais partes pndem ser provadas com os casos anteriores 1tLl4ls1l n r 1 x n íl v n íl l n J e resulta que pele teorema do con c lim f 1 l d lim I e x TtH k I a S 0 é claro xCh e Portanto lim xc ou x x0 O mesmo e verdade se x ou para limites laterais x 7 Se lim ux L b e lim v x to então Demonstração É claro que f x w donde 138 1 lim 1 xx lim Demonstração 1 lim1 x e x1 lim I e que vx f ux Assim 6 Se lim fx co então i e eL J lim e fxJ eL I JW iJ lim i 1 fx 1 f vxJ 11 y Façamos vx fx 1iT yj e lim 1 xl lim O yj r í lim i S 1 1 Façamos x donde y Se x 0 é claro que y e se x y x que y ae AsSim r C UX Irm 11 44 1 v x 1 lim 1 xlx e Para finalizar eis aqui o aspecto que apresenta o gráfico da função M f 0 onde se pode ver que 1 1 0 x 912 LOGARITMO NATURAL Consideremos o número e A expressão logex In x Teorema 1 Sendo a 0 temse Ina x Demonstração a 1 y e 189 x loga1 y R fx íl l x é chamada logaritmo natural de x ou logaritmo neperiano de x e é comu menle indicado por a lim x0 Suponhamos primeiramente que a 1 Façamos y a 1 Dai vem Se x é claro que y o Assim 1 x 1 1 log a In a No caso a 1 temas também Exercícios Resolvidos X 994 Calcule lim Solução Assim y Solução 0 temse y 0 Assim üm 1 yy y0 190 1 x lim y lim X 995 Calcule liml 2xx 1 y Fazendo x 11 X 5 e 51 lim 2 e 1 temos x 5y logo se x temse y lim loga 1 yy lim 1 2xit lim 1r yy log lim 1 yy y 0 12 Fazendo 2x y temos Se x x y 1 7 lim lim 1 lim 00 In 1In a x ttQ X ü 0 a 1 lim x 0 Dgl y 1 log e r y 1 lim lim y10 ioga 1 y Ix Solução 1 Façamos 1 donde obtemos 2x 2y 1Se x temse y Assim 1 lifYl iim y Iim e Solução 3 x Solução temos a 1 e Iim In a In e 3 x x 999 Calcule Um Solução Temos donde 191 2 y 9981 Calcule lim xD Iim Iim Iim ü Iim 1 In Iim1 x In e 1 0 f2x1 r 996 calcule Iim U lJ lnl x X lr1 x x 2x1 2x 1 SxJl 2x 1 J Sendo a e 1 1 y il y i lf y e C3 1 31 S 37 Calcule Iim 1 3 tg2 xp19 1 1 Ln1 x nl xT x Façamos 3tg2 x dcnde cotgz x 3y Se x 0 temos y co Assim 1 e2 ln1x hm c x X Solução e1 x x x e In e3 In e a b lim lim lim a 0 Solução Como nía 1 a1 lna x Solução 1e donde 192 91 DO Calcule lim xD e1 x sen x x e1 1 x 1 temos lnej1 1 1 lim nã1 lim Vj Xf O f e x i a 1 i n e 3ebK es ebi e Como r te lim senx Temos sen x se fizemos x para n teremos x 0 logo n e1 lim x sen x Ij it i XD x e 1 x 91 01 Calcule lim na1 1 p 9102 Calcule lim xú Een x Exercícios Propostos Nos exercícios seguintes de n 9103 a 9132 calcule os limites indicados 9125 lim xO 9114 lim 9116 lim 9106 lim 9128 lim M 9107 lim 9118 lim X I 9132 lim x Jx 9134 lim 1 X 9124 lim xlnx 1In x 193 1x 1 X X 1 x2 X x 1 4 X 1 x 9129 lim X i 9112 lim í1 A x 1 2 1 9108 lim 1 3xJ 9 117 lim 3x4j log1 10x x ln1 ex x x 7 4 x 5 2x ln1 ex e ex e ex e ir xj 2x3 9115 lim íí tx1J 9103 lim flLI 3x 9105 lim fl 1 xj i2x1 x 3 Y 9 111 lim x XV X 1 J 9120 lim1 cosx3sec x X2 X 1 9119 lim 3 3x 2 J Oy I V 9113 lim 2x 4 1 9 126 lim In XO x 1 9121 lim 1 senxx xO 9130 lim 9110 lim12xx x0 xo sen ax sen Ix a 9122 hm x0 9127 lim ln1 xa senx i 9109 lim 1 x3 x0 a 0 ex e 9131 lim I xols 2x2 ex e x 9133 lim xe e 9123 lim X0 Exercícios Suplementares definição de limite Iimfx 5 utilizando Prove que fx x Prove que íimfx 1 utilizando diretamente a II6 Seja f R Prove que f é continua em X N c Deduza que f é contínua ponto x0 1 194 II3 Seja f I1R fx diretamente a definição de limite II4 Seja f 1 R definição de limite 115 Seja f IR R definição de limite a Calcule fxf1 e fatore essa diferença b Demonstre que se xl R f x 2x 3 Prove que f é contínua em R utilizando dire tamente a definição de continuidade 117 Seja f R 1 R fx utilizando diretamente a definição de continuidade 9 2 3x2 x2 x1 2 utilizando diretamenle a x2v2 x 1 7 temse 2 II2 Seja f R R fx Prove que lirnfx e fxf1 12x 1 Prove que limfx 2 utilizando direta mente a 111 Seja f X K dada por fx 2xs x 3 Prove que limfx 6 utilizando diretamente a definição de limite II8 Seja f R R fx 2xJ x 1113 lim 1111 lím 1115 lim 2 1112 lim 1 x 1 1116 lim 1119 Seja f R R dada por se x 1 f se x 1 Determine k para que f seja contínua no ponto x0 1 H 20 Calcule a e b sendo lim II 21 Determine 8 II22 Determine um polinõmio f x de grau 3 sabendo que 1 onde A ê o valor calculado no iterm anterior 195 1114 lim X I x1 Vx1 Jx 1 72 x1 Jx2 32 x1 x1 16 II2 x3 a X4X f x 2 e limii x 1 x 7x3 xz 2 xi Nos exercícios seguintes de n um polinõmío f x de grau 3 sabendo que Jx 20 5 r X 3773 2 j17 lim 7L II23 Seja f x x 7x 1 II 9 hm p 6 Jx 1 1116 lim x0 fx lim fxl f im lim TCIX1 3X3 II9 a II1S calcule cada limite indicado axz 3a 1x 3 3 bx2 2bx 2 2 1 x1 1 k x f i 3 h f 3 a Calcule lim i A h q h b Calcule km 3hf 3 A hfl h h 2 2x 4 c lim fx b Fim fx a lim fx indicado 1124 fx 3 0 II 25 fx 0 1126 fx 2 3 1127 fx U2B Seja f I HE dado por 1132 lim a0 2 196 X 1 X 1 IL34 üm xa II33 Fim x3 fr x 2 a Determine a para que f seja contínua à esquerda em b Determine a para que exista lim fx 1 c Pode f ser continua no ponto xD 1 Nos exercícios seguintes de n 1131 lim 2 II30 lim sc 32x x2Z xx x x 5 2x x3 1 3x 4 X3 0 no ponto x0 XD1 II29 lim 3x2 4x5 x1 x x x x 3x 2x7 3x3 xz ax a 1 para 3 para x2b 1x b para xa i lí 29 a IL34 calcule os limites indicados Nos exercícios seguintes de n IF24 a II27 calcule 1 xJ 1 x27 Nos exercidos seguintes n 1135 a 1141 calcule a lim fx b lim fx II35 rx II38 f x II 37 í x VxTs II43 Determine a sabendo que lim Nos exercícios seguintes de nr 1144 a II4S calcule 2 1144 lim 1146 üm Nos exercícios seguintes de n 1149 a 1153 calcule os limites indicados li 49 tim 0 II50 lim 32i 1151 lim 2í 197 3 5 x 2 x3 2 x osen5x senSx i vã II39 f x Vx2 2x x 5x2 X4 ax2 3 X 22x 73x 5 2x3 x 1 os limites indicados IL4üfx x x2Jx4 1 H42 Calcule lim x1J x 1 U53 lim 02 T J7 COE1 X 114 lim 1 sen x 2 lUSílimlBÍ tgBx B4 1152 sz Vx 1 Jnv r sen4x 1148 lim 1 V2 c q s x II 36 f x Vx32 7x32 1159 lim 1 3xz II59 lim 198 II57 lim 1 A 4x3T 4x J Nos exercícios seguinles de n II56 lim Ingsecx b2 7 f 3x2Y 3x 2j x9 x5 5x 5 1 e 1162 lim o x e 1163 lim 1xln x 3in x II54 lim log x xü 3 2B II 61 fim x3 x3 II 55 Üm iog3S x 3 II57 a II63 calcule os limites irdicadcs t 35 II60 lim I 1 lx 6J Nos exercícios seguintes de n l54 a 1155 calcule os limites indicados PARTE III Derivadas Capítulo 10 Derivadas Capítulo 11 Algumas regras de derivação Capítulo 12 Derivada de uma função composta Capítulo 13 Funções inversas e derivadas Capítulo 14 Algumas aplicações das derivadas Capítulo 15 Variação das funções Derivadas 101 INTRODUÇÃO 102 RETA TANGENTE A UMA CURVA S h Fign Fig 2 Fig 3 201 Capitulo io Um dos problemas que levaram à definição de derivada foi o da determinação da equação da rela tangente a uma curva plana em um ponto Este problema é de resolução simples no caso de uma circunferência veja capitulo 11 no volume 6 desta coleção mas já não é tão simples no caso de outras curvas Vamos incialmente esclarecer de modo informal o que entendemos por reta tangente a uma curva Em Geometria Plana costumase definir a reta tangente à circunferência como sendo a reta do plano da circunferência que encontra a circunferência em apenas um ponto figura 1 Essa é uma boa definição para a circunferência mas já não é boa para outras curvas Consideremos por exemplo os casos das figuras 2 e 3 Na figura 2 a reta t é tangente à curva g no ponto A mas encontra a curva em mais de um ponto No caso da figura 3 a reta s encontra a curva h em apenas um ponto mas não é a tangente à curva nesse ponto Precisamos então de uma outra definição que sirva para qualquer caso O conceito de limite estudado nos capítulos anteriores é a base do chamado cálculo infinitesimal que ao surgir era constituído de duas partes aparentemente distintas o cálculo diferencial e o cálculo integral No entanto logo foi mostrado através do Teorema Fundamental do Cálculo que será visto no capitulo 18 que estes dois cálculos estão intimamente relacionados Neste capitulo com a definição de derivada damos inicio ao estudo do cálculo diferencial e nos capítulos 16 17 e 18 apresentaremos noções do cálculo integral de A se esse limite1 existir modo informal porém mais adiante Fig 4 Fig 5 Exemplo Consideremos o ponto A sobre a curva y Em seguida consideremos sobre y o ponto s Fig 6 A palavra limite foi aqui usada de um tornaremos nossa linguagem mais precisa A figura 5 mostra que s aproximase de t Temos então a nova definição a tangente t no ponto A é o limite da reta s à medida que P aproximase No entanto há casos em que dependendo do lado pelo qual fazemos o ponto P aproximarse do ponto A obtemos uma reta limite diferente É o caso por exemplo do ponto A pertencente à curva y da figura 7 Ao fazermos o ponto P aproximarse do ponto A obtemos duas retas limites t e t2 figura 8 Neste 202 Consideremos uma circunferência C e uma reta t tangente a ela no ponto A Em seguida tomemos sobre C um ponto P distinto de A os pontos A e P determinam a reta s figura 4 Suponhamos agora que o ponto P aproximase de A como mostra a figura 5 P distinto de A Os pontos A e P determinam a reta s Fazendo P aproximarse de A a reta s aproximase de t que é a reta tangente à curva no ponto A Devemos deixar claro que só diremos que existe a tangente à curva no ponto A quando a reta s aproximase de uma única reta t à medida que o ponto P aproxima se de A por qualquer um dos dois lados É o caso por exemplo da figura 6 Fig 7 Fig 10 Fig 9 A t 103 RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 203 caso dizemos que não existe a tangente no ponto A Podemos no entanto dizer que existem duas tangentes laterais t e t2 Temos aqui uma analogia com os limites laterais Vejamos agora o caso em que o ponto A é extremidade da curva figura 9 Neste caso obviamente só podemos fazer o ponto P aproximarse de A por um dos lados obtendo a tangente lateral t figura 10 Diremos que essa tangente lateral é a tangente no ponto A Para finalizar este item citemos o caso em que o ponto A está no interior de um segmento de reta Neste caso a reta tangente t é a reta suporte do segmento Vamos agora o resolver o problema da determinação da equação da reta tangente a uma curva em um ponto A no caso em que essa curva ê o gráfico de uma função Caso a curva não seja gráfico de função como por exemplo no caso de uma circunferência ou uma elipse podemos dividila em pedaços tais que cada pedaço seja gráfico de uma função yi fa h fa fa X X y f a mtxa 101 m4 102 x 204 onde m é o coeficiente angular de t Portanto para solucionarmos o problema só nos falta obter m Sendo h 0 consideremos sobre y o ponto P de coordenadas a hi e fa h de modo que os pontos A e P determinam a rela s O coeficiente angular de s é h tendendo a zero s tendendo a t m tendendo a mt fa hfa a h a Ao fazermos P aproximarse de A teremos fa hfa h Consideremos então no plano cartesiano um ponto A pertencente a uma curva y que seja o gráfico de uma função f e a reta t tangente a y em A Vamos supor inicialmente que A não seja extremo da curva e que t não seja vertical a a h Fig 13 Assim podemos definir mt por se esse limite existir Exemplo Vamos determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função fx x2 no ponto A de abscissa 3 Como f3 9 o ponto A tem ordenada 9 e a equação da reta t tangente ao gráfico em A é y9 mx3 I As coordenadas de A são a e fa Assim conforme sabemos da Geometria Analítica ver capitulo 4 do volume 6 desta coleção a equação de t é a Fig 12 mt lim h0 h Mas de acordo com a fórmula 102 temos Substituindo em I obtemos y 6x 9 y A 6x 3 Li t A x Fig 14 104 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Inspirados na A derivada de f no ponto a é o número f a dada por se esse limite existir e for finito fa lim 205 lim h0 lím6 h6 h0 ÍQOfa x a 6h h2 h Ao lenlarmos calcular o limite da fórmula 102 pode acontecer que obte nhamos resultados diferentes h 0 e h 0 neste caso teremos duas fangenfes laterais distintas veremos um exemplo no exercício 107 Pode acontecer também que o limite da formula W2 seja infinito veremos um exemplo no exercício 1DB quando isso occrrer em geral a tangente serà vertical como por exemplo no caso da figura ao lado g 6h h29 lim h0 h f Ay lim km ík 0 AX Jsc 0 AX 3 h2 32 n m ho h f3 hf3 m fim 4 hQ h Ccnsídermos uma função f definida em uma vizinhança do ponto a fórmula W2 definimos i a u m h0 h Observemos que a definição é dada de modo que f a é o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico da função no ponto a fa Sendo y fx façamos h Ax x a ou x a h e Ay Af fx fa Com isso a definição de derivada f a pode ser escrita de outros modos equivalentes f a Irm e 101 Dada a função f jj a Temes Portanto fl hfl hz 4h 33J l 4h Assim 206 a í1 b a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 Solução lim hÕ f 1 lim h0 h h2 4h h fa hfa h Exercícios Resolvidos f 1 15 21 3 f 1 h 1 hz 21 h h 4h 3 1 f é derivável em cada ponto no interior do intervalo 2A f é derivável à direita na ponto a isto é existe 3 f é derivável ã esquerda no ponto b isto ê existe fb Podemos definir também as derivadas laterais A derivada à direita e a derivada ã esquerda no ponto a são definidas respectivamente por limh 4 4 h se esses limites existirem e forem finitos Portanto para existir a derivada no ponto a devem existir f a F a e devemos ter fa F a Faj Dizer que f ê derivável no ponto a significa que existe a derivada no ponlQ a Suponhamos que a função f esteja definida em um intervalo fechada a b Dizer que f é derivãvel nesse intervalo significa que são verificadas as três con dições a seguir fa lim ííahfa h xz 2x determine y y 3 m x 1 3 onde 2 1 y 3 4 x 1 ou 2 1 y 4x 1 102 Sendo tx x1 calcule f a onde aé um número real qualquer Assim Compare este exercicio com o exercício 6391o 103 Sendo fx com x t 2 calcule f4 x2 Solução 207 6 h 2 h t O gráfico da função é uma parábola e o ponto de abscíssa 1 é o ponto A1 3 A equação da reta th tangente ao gráfico em A é m f1 4 Portando obtemos f4 42 3a2h 3ah2 h3 lim Íij Ü h fa hfa a3 3a2h 3ah2 h3 a3 3a2h 3ah2 h3 h h h fa hfa hto h f4 hf4 f 4 lim hQ h lim3a2 3ah hz 3a2 tiq iím 1 ho2h Solução fa a3 f a h a h3 a3 3a2h 3ah2 h3 3 limh hit h I k 4h 2 f 4 h 4 h2 2 1 0 2 x 105 Consideremos a função constante f x 2 Calcule f3 y 2 3 2 0 1 x 106 Dada a função fx x calcule f a onde a é um número real qualquer Solução fa hfa a ha h 208 f2 2 f2h 2 h lim h 0 Jfa a fa h a h ah 2 h 2 h Neste caso é fácil concluir que para qualquer aeR teremos fa O Isto significa que em qualquer ponto a reta tangente ao gráfico terá coeficiente angular m 0 e portanto será paralela ao eixo Ox Já devíamos esperar isto pois o gráfico de fé uma reta paralela ao eixo Ox í im 0 h0 h lim 1 hO h 104 Dada a função f x x calcule f 2 Solução h lim 1 h Na realidade é fácil concluir que neste caso para qualquer aeR teremos fa 1 Graficamente isto significa que a tangente em qualquer ponto tem coeficiente angular m 1 o que já era esperado pois o gráfico de f é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares que forma com o eixo Ox um ângulo 0 45 e sabemos que m tg 0 1 121 1 Solução rf3 2 f3 h 2 f3 lim f3 hf ho h f2 lim Lf2j b 0 h fa lim fahfa h0 h y 2 2 1 x 10 7 Dada a função fx x determine f 0 Solução y à 1 1 1 X b Para h 0 temos h0ehh assim 1 1 x m f0 1 ver figura 209 Supondo que f0 exista deve mos ter Potanto no ponto zero não existem a derivada e a reta tangente mas existem as derivadas laterais e as tangentes laterias t e t2 cujos coeficientes angu lares são respectivamente f0 lim hQ íf00 0 f0 h 0 h h 1 0 f0 bhfO h lim h o h No entanto esse limite não existe pois os limites laterias são diferentes e assim não existe f 0 mas podemos calcular as derivadas laterais h hm 1 hO h a Para h 0 temos h 0 e h h assim I h f0 lim 1 h0 h Neste caso para qualquer a e R temos fa 1 Isto significa que em qual quer ponto do gráfico a reta tangente tem coeficiente angular m 1 Este fato já era esperado pois o gráfico de f é a reta bissetriz dos quadrantes pares e forma com o eixo Ox um ângulo 0 135 portanto seu coe ficiente angular é m tg 0 1 f0 lim 11 lim 1 ho h ho h e m2 f0 1 1 00 Dada a função f x íx determine f o Solução Se íd existisse deveriamos ter 2 8 8 x 2 Solução D xyx2 xy y2 210 íf0 O l f 0 h VÕ h Vh a ha hjíãh 1 1 va t h a h ã a h2 a h h h Mas acontece que lim 3y c0 e portanto não existe D fato de o limite ser infinito significa que no ponto zero a reta tangente ao grãfrco da função é vertical isto é a reta tangente é o próprio eixo dos y e sua equação é x 0 yti 1 lim hm j rio h hQ a2 a h2 a h ã2 h ahaa2j ha íh2 ça ha xa2 j f a hm fim h o h h h Vamos racionalizar o numerador da fração usando a identidade x3 y3 ft0hf0 ho h 109 Dada a função fx Vx determine fa onde a é um número real qualquer não nulo 1 1 yha hm ho h Substituindo em I temos 7 Compare esle exercício com o exercício 632H Solução I identidade numerador da fração usando a 0 Substituindo em I temos 1 a Compare esle exercício com os exercícios 61 6 e 639c fx Solução 1 3 x Assim 0 211 Vamos y 2 a ha hVa h Va f Ca lim h0 lim h Q Jh arha 1 a ha Va 1010 Consideremos a função f x Vx com x e R Calcule f a onde a e um número real qualquer tal que a 0 fa lim bti racionalizar x y a x1 y Va h Vã h lim Va h va Va h Vã Va h Vã h hJa h Vã Para h 0 temos íf3 2 jf3 h 2 h Va h V a J Va ya h a r h7 a 2Vã r fahfa f a 1im h T 3 lim lim h ho bi Portanlo existe a derivada à direita no ponto 3 e essa derivada é nula 1011 Consideremos a função dada por 2 para x 3 1 para x D Verifique se existem as derivadas laterais no ponto x 3 lim r a b3 V a h Va h Para h 0 temos Assim Portanto nao existe a derivada à esquerda no ponto 3 1012 Considere as funções t e g dadas por 1 se x 0 gx fx e 0 se X 0 Calcule b g0 a f0 Solução a f0 Hm h Jim sen Exercícios Propostos 1014 Sendo f x x3 xs calcule fa onde a é um número real qualquer 101 5 Para cada função a seguir calcule a derivada no ponto a dada 212 f3 2 f3 h 1 d fx x a 4 e fx Vx a 5 ífx 7x1 a 2 fq 3 lim ro f3 hf3 h 1013 Dada a função f x x a f2 b a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 2 a fx 2xJ a 1 b fx l a 3 c f x x a 4 sen se x 0 x SÊ X J xs 12 Fim h0 h acima é nulo Assim f0 0 Veja o exercício 433 h sen 1 0 d lim ii hg h n0 h assim não exjste g 0 lim I h sen h 1 k 1 h0 h orém este último limite não existe e 2 3x determine 1 x sen x 0 fOhfO im h3 Sen0 nn h f o h Mas a função seno é limitada isto é temas 1 í sen S 1 e portanto o limite 1 h fx 1017 Seja a função dada por fx 105 CONTINUIDADE E DERIVADA Teorema Se existe f a então f é contínua no ponto a xa fa Lim 213 Demonstração Suponhamos que exista fa Temos então Esboce seu gráfico e em seguida determine b fl a f2 b equação da reta tangente ao gráfico no ponto de abscissa 2 Iímx ri b 1 fxfa x a a fa ía 0 fa1a Esboce seu gráfica e em seguida determine a fí 1 b IL1 c equação da reta tangente ao gráfico á direita no ponto de abscissa 1 d equação da reta tangente ao gráfico à esquerda no ponto de abscissa 1 De acordo com o que vimos no capitulo 5 para mostrar que f é continua no ponto a devemos mostrar que lim fx f a Assim fxfa x a 101 0 Dada a função fx xx2 determine 1016 Consideremos a função dada por x2 para x 1 X 2 para x 1 lim f x lim f x f a f a lim f f a h f a fia lim r J ho h xJ para x 1 x 4 para x 1 xa xa X3 para X 0 0 para x 0 gx o O gD No entanto essa função náo é derivável j fx 214 X t í y 2 3 Exemplo Consideremos a função f dada por f2 para x á 3 11 para x 3 x f ü veja exercício não é de ri vá ve I veja De acordo com este teorema se a função é derívável num ponto estão ela deve ser continua nesse ponto isto é não pode existir a derivada num ponto em que a função é descontínua No entanto devemos observar que não vale o recíproco do teorema pode acontecer que uma função seja continua em um ponto mas não seja derívável nesse ponto Exemplos 1 sen x Esta função jã foi analisada no exercício 1011 e lá vimos que f 3 0 e que não existe f3 no entanto náo é derivável J Se exisie f a então f é contínua à direita no ponto a II Se existe fai então f é contínua à esquerda no ponto a no ponto x Ofveja exercício 1012 O teorema apresentado pode ser estendido para o caso em que tratamos de derivada lateral e continuidade lateral 1 x sen para x u x 0 para x Esta função é contínua no ponto x 0 pois lim g x fim fx sen x0 ioL xj Conforme vimos no exercício 1012 esta função é derivável no ponto x fle portanto ela é continua nesse ponto d Seja g a função dada por a A função fx vx é continua e derivável para todo 109 No entanto no ponto x 0 a função ê contínua mas exercício 108 b A função f x x è continua no ponto x 0 nesse ponto veja exercício 10 7 c Consideremos a função f dada por Assim Também é fácil concluir que Exemplo y 1 1 1 x 106 FUNÇÃO DERIVADA A função f é chamada função derivada de fou apenas derivada de f Exemplo Portanto a derivada de f é a função f de dominio D K dada fa por fx 215 existe f3s f é continua à direita do ponto 3 não existe f3f não é contínua à esquerda do ponto 3 Consideremos a função f de dominio D R dada por fx Vx Nos exercícios 108 e 109 fizemos a análise dessa função e vimos que ela é derivável para todo x 0 assim temos D R Vimos também que para todo a0 temos 1 37 3 Seja a função fx x Já analisamos essa função no exercício 107 e lá vimos que f0 l e f0 1 Assim existem as derivadas laterais no ponto 0 embora sejam distintas portanto podemos concluir que f é continua no ponto 0 Consideremos a função f de domínio D e seja D o conjunto de todos os valores de x para os quais existe fx Podemos então definir uma nova função f cujo domínio é D e que a cada x E D associa f x fx hfx f x lim h0 h Se existem as derivadas laterais fa e fa então f é contínua no ponto a mesmo que as derivadas laterais sejam distintas 107 NOTAÇÕES y yr pode ser representada por yà 216 dy dx A derivada de t no ponto a Até agora estamos representando a derivada da função f pelo símbolo f No entanto há outros Sendo y fx os símbolos mais frequentemente usados paa representar a derivada de f são dx f Df dx Capitulo 11 Algumas regras de derivaçao 111 FUNÇÃO CONSTANTE Consideremos a função constante definida por fx k onde k e R Temos fx lim rx o fx k Exemplos a fx 7 fx 0 f x 3 fx 0 b fxx fxf 7 3 112 FUNÇÃO POTÊNCIA d h2 hn Xrh x x x h 217 Mas de acordo com a fórmula do Binômio de Newton ver capitulo 1 8 do volume 4 desta coleção temos n n n 1 n 3 n 2 x x x hnxn h lim htQ kk lim 0 h0 f x hf x h Seja a função f x xn onde n e N fx hfx f x lim 1 h0 h Substituindo em I podemos h2 hn h x x f hz x41 h x X X fx x Portanto Ou então escrevendo de modo mais reduzido Exemplos C Exemplos para x s 0 d Seja a função f xj onde x x 0 Sabemos que x4 portanto 218 n n n n n 1 n 2 d e 3 b lim ho xfl n x1 x 7 C fx x2 X5 fx1 X fx 4 x n xn f n x lim h ü a fxx b fx 1 f xj n x hnl A regra acima doí reduzida para o caso em que n eN No entanto eh vale também para n E R desde que estejam satisfeitas as condições de existência Este fato serfá demonstrado por etapas no item 9 deste capítulo no capítulo 12 e no capitulo 13 D 1 3 X para x 0 para x 0 2 f x X4 rx 4 x41 4xJ f x x5 f x 5x4 xSx x 6x5 f x X 5 1 x4 íx 3 x f x 5 X fx íxi 1 x4 n 3 h n 3 para X 0 f Sqa f x 77 Observando que vx temos JJ 113 FUNÇÃO SENC Sendo fx senx temos l senxhsenx 2 sen Substituindo em I h Assim Podemos lambem dar esta regra de modo mais simples sen x cOS x 219 h 1 i 2J Vamos transformar o numerador em produto veja capitulo 11 do volume 3 desta coleção h 2 h 2 2j 1 x 3 lim lim cos h0 lim hD 1 7 S X3 fx sen x ífx cosx h sen cos 2 h x I cos x 2 h sen 2 h 2 i 5 3 x72 rWl 1 37 senx hsenx lim hD h 5 3 5 X3 3 3 x2 v r fx hfx f í x J lim 1 hKfl h h I 2sen cos x 2 l f 4i 3 g Consideremos a função f x xí com x D Temos fx 72 x1 1 x23 5 X3 xhx xhx cos 2 2 o h 2sen cos x fx im 2 hD e Nos exercícios 108 e 109 fizemos um estudo da derivada da função ff íx Agora lemos um modo mais rápido Observando que xxt3 lemos 1 14 FUNÇÃO COSSENO Sendo f x cos x ternos U Transformemos a numerador em produto cos x h cos x 2 sen Substituindo em I sen x Assim 115DERIVADA DE fx k gx Sendo g uma função derrvãvel consideremos a função f dada por fx k gx onde k é um número reai Temos então k 9 fx k 9x fx k gx Assim ou de modo mais simpfes k gx 220 gxhhk gx h Jim tiD h sen 2 h sen 2 h 2 h 2 x h x 2j X 2j h sen 2 f J 2sen X f x cos x f x sen x lim h0 h9 h h sen 2 h 2 i cosx hcosx h x h x sen 2 h 2senr x fx lim V f h0 h I fx hfx f xl lim h 0 h k lim h 0 sen irm h0 r lim sen fx lim fX lim h hd Jl M0 CCS X Ví 116 DERIVADA DA SOMA Sendo u e v funções derivávels num ponto xr vale a seguinte regrs X fx u v u V 221 fx ux Podemos também enunciar essa regrs de modo mais condensado 7 ux h uíx uxtvx vx ux h v vx f x u u v uv Exemples a f í1 sem f x 3x2 vl Ul 4x fx 3xJ 7 2 vx h lim lim hc h no h Esta regra pede ser ampliada para o caso em qUe temos mais de duas funções Assim por exemplo se u v e w sâo funções derivãveis temes u V w U Vw Por um caminho semelhante ao seguido acima podemos demonstrar que 12x2 fx 3x2 cosx 1 Sx5 COS X Ç xs senx 5x Exemplos a fx 5 sen x fx 5sen x S b fx4x fx 4x 3 43x c fx 2x fx 2x 21 2 d fx x Px 1 e fx7x fx a 77x 7 f 7 cos x 7 cos x1 7sen x 7 sen x Demonstração Sendo f x u xvx temos fxhfx hm í lim hC h hsQ lim uxhuxlH hO h x hux h hvJt COS X llld ua h vrl b f x x1 x2 4x f x 3xs 2x 4 C lx XJ5x 7 f x 2x k 5 d fx 5xJsenx e c d s x x 5 j cosx Exercícios Resolvidos 111 Dê as derivadas das seguintes funções a a e fx b fx Solução fx 5 X d fx para x 0 fx Portanto 112 Dê as derivadas das seguintes funções 222 c fx d fx 3 4 3 4 5 x6 sen x 6 2 e fx x7 f fX COS X g f x 5x1 4 xs 8x 10 h f x 3 sen x 7 cos x 4X1 x 1 xT 3 x assim fí 7 x s 5 x g sen x cos x h oos x sen x 2 xã a f x 9 sen x b f x Sxs 5 x2 7x h fx cosx x f K 1 1 e Temos f x vx3 f V 4 1 l 1 xB 9 u fx 5 S a A função é constante e assrrn fx O b x9 9 x8 C fx 1 yx2 g tx sen x C f x x d x s 1 1 x 4 2 s 2 xs 5 5 Solução Portanto 7 x 6 7x6 cosx Saluçao Assim a reta tangente tem equação D nde 223 I X 3 10 V yl mx2 f 1 3X m f 2 Derivando a função f obtemos f x 1 1 3 vx ej f cosx6x3 cosx g Sx3 4x2 Bx10p 5xap 1Sx2Bx fi M 3senx7cosx 4x3 3 senx7 3 cos x 7 sen x 3cosx 7senx l2x m f2 1 113 Sendo fx dê a equaçao da reta tangente ao gráfico de f no ponto de x abscissa 2 temos f2 e portanto o ponto de tangência é o ponto 3 r senx x7 senx 6xJ j1 senx 4x2 3 senx 18x2 a 9 senx 9 sen x 9 cos x b ôx 8xs 85x 40x c íx 5x rx 5x2 5x2 52x 1 d íx 7 Vx 7 x Portanto 1 fx7 x3 7 cosx 4x3 4 3x 2 donde tiramos que xz 10x 1 Sendo fx x S3x yex10 5 3x24 2x 8 0 pois as retas s e t são paralelas Por outro lado devemos ter m f x 2x y 9 mt x 3 ou y3 6x3 ou ainda y 6x 9 ce abscissa Solução ÍJ Onde Mas portanto e Substituindo 2 224 Solução A reta s cuja eq ua ção é y Sx 24 tem o coeficienle angular m 6 sendo m o coeficiente angular da reta t devemos ter 114 Consideremos a reta s de equaçao y 6x 24 Determine a equação da reta t que é paralela á reta s eé tangente ao gráfico da função f x x1 f X COS X Portanto temos 2x 6 donde tiramos x 3 isto é ponto de tangéncia lem abscissa x 3 Como f3 9 o ponto de tangéncia é 3 9 Assim a equação de t é ao gráfico de f no ponto rrij ms 6 115 Sendo f x senx de a equaçao da reta tangente n x 6 1 y m 2 Se f x sen x então f 1 J3 V 2 2 n X i 6 J m f I IsJ em I temos t 3 cos 6 2 rt ir1 n 1 l sen Assim o ponto de tangéncia e I k 6 6 2 6 2 e supondo que a reta tangente não seja vertical sua equação é n l 11 Substituindo em I obtemos y x21 ou simplificando yE 2 4 11 J 4 Solução y2 mx1 1 onde m C1 Temos então 4x 4 y A t 2 ou y 2 2 1 x 117 Sendo fx x determine fx fxA Solução 1 1 X 225 116 Dada a função f x 2x2 4x determine a equação da reta t que é tangente ao gráfico no ponto de abscissa x 1 e assim m f 1 44 4 0 Isto quer dizer a reta t é horizontal e sua equação é fazendo m 0 na equação I y2 0 Sendo fx2x2 4x temos f 1 212 41 2 Assim o ponto de tangência é A1 2 Supondo que a reta t não seja vertical sua equação é e portanto tiramos que Para x0 temos x x e portanto fx x i Dai tiramos que C 0 1 já havíamos concluído isto no exercício 107 Para x 0 temos x x fx x 1 Daí P O1 Na figura vemos representado o gráfico de fque é uma parábola e a reta t O ponto de tangência é o vértice da parábola fx 1 X fx ou de modo mais conciso 118 Dê a derivada da função f x Solução Para x 0 temos x j x e portanto 4 donde fx 2x X fx donde 4 f x 2x Daí tiramos que f0 20 0 fxA 2 fx 1 1 X 226 2x para x 0 2x para x 0 1 para x 0 1 para x 0 H xx x2 xx Como f f 0 não existe f0 isto é a função f não é derivável no ponto x 0 Temos então Daí tiramos que ffj0 20 0 Para x 0 temos x x e assim Portanto temos f 0 f 0 0 Isto significa que f é derivável no ponto x 0 e que f0 0 Podemos então dizer que no ponto x 0 a reta tangente é o eixo x Em resumo fxx x x2 fx N X u de modo mais conciso rrM l2Cl 115 Determine a função polinomial y fx que satisfaz a condição y y 2x2 5x 4 Solução Como a soma y yH è de grau 2 concluímos que o polinõmio y é de grau 2 Assim y ax3 bx c onde ab ec sao constantes com a 0 Portanto temos y 2ax b e de acorda com a condição do enunciado 2 Por identidade de poíinomíos temos 11lü Sejam fe g duas funções derivàveis tais que para todo x 2fx 3gx 14xi4 Sabendo que f1 6 e f2 13 calcule g1 e g2 Solução 2fx 3g 14x 4 0 Fazendo x 1 na equação 1 obtemos 2f1 3g1 14 1 4 227 Resolvendo o sistema obtemos a 2 b 1 e c 3 Assim o polinõmio procurado é y2x x 3 a 2 2a b 5 b c 4 y y1 2x2 5x 4 ax2 bx c j 2ax b 2xz 5x 4 ax3 2a bx b c 2x 5x 4 isto é 26 3 g1ia donde 91 2 Derivando os dors membros da equação I obtemos 2fx 3gx 14 II Fazendo X 2 na eqdaçáo II obtemos 2f 2t3g2 14 isto é 213 3g2 14 donde g24 zxercícias Propostos 1111 Dê as derivadas das seguintes funçces ffx tf afx 43 k fx 5sx bfx x5 dfx i fx 4 senx 1112 Derive as seguintes funções a fx 4x3 6x7x 9 c fx b fx xe 2 sen x 3 cos x 226 3 senx 4 cfx x 1 e fx 7x ifx4 xJ x hfx 7x5 x 5 6 2 I fx xn mfx x no 3 o coeficiente angular da reta tangente é 1118 Dê as derivadas das funções j 1120 Sendo fx xn com n Eh resolva a equaçao fx f x 1121 Determine a função polincmial y fx que satifaz a condição y y1 2x3 6x2 10x 6 11 24 Sejam fe g duas funções deriváveis tais que para todo x 3fxgx x2 10x 8 g3 229 1114 Seja s a reta de equação y 6x 7 Determine a equaçao da reta que é perpendicular a e tangente ao gráfico da função fx x 1115 Para qual ponto da curva y x igual a 12 Sabendo que f2 1e f3 3 calcule g2 e c fx x3 j d fx x3 x3 1122 Suponha que o gráfico da equação fx x2 bx c tem uma reta tangente no ponto 0 1 cujo coeficiente angular é Igual a 2 Determine os valores de b e c 1123 Determine as constantes abec sabendo que fx ax2 bxrc f0 4 fl 2 e f2 1 a fx x3 x t fx X X 1119 Seja t a reta tangente ao grafico da função fx sen x no ponto de abscissa a Mostre que se t passa pela origem então a tg a 1113 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função fxx4 ponln de abscissa x 2 1116 Sendo fx J3 sen x 5 cos x determine a equaçao da reta tangente ao gráfico de f no pcnto de abscissa x 1117 Seja fx Xa 6x2 12x 3 Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x 2 117 DERIVADA DO PRODUTO Sendo u e v funções deriváveis num ponto x vale a regra fM ux Vx fx ux vx ux vx Podemos enunciar a regra de modo mais condensado u v1 u v u v1 Demonstração Em primeiro lugar observemos que Assim Exemplas 230 fx hfx uxh vxhux vx ux hUx vx h ux vx hvx uxhux h n tO h uX4hjx vx hux vxhvx hm h0 n J limUX UX lim vxhlim ux lim h 0 h htO J h0 ux vxux vx U VW zy uvw2 üvw u V w z 4 u v W Z a fx x3 senxfx 3x2 senxx3 cosx vx ux J ux vx b xs cosx x5 cosx xs cosxy 5x4 cosx xssenx 5xJ cosx x5 senx A regra que acabamos de deduzir pode ser ampliada para os casos em que temas o produto de mais de duas funções Assim por exemplo sendo u v w e z funções deriváveis temos vxhvxl 1 f h0 h J u V wy u V w uy W U1V w í h0 Exemplo 118 DERIVADA DO QUOCIENTE que pode ser enunciada de modo mais condensado Demonstração fx hfx Assim 231 í H l v l zx Em primeiro lugar observemos que ux h u x h hv h U VU V V3 lim hiD lim L h 0 lim ItííHÜ h0 h iirJuxhux vxux vx hvx h0 h vx hvx W fv uWvWuxvx vxy j vxux 7x h vx tx vxux H2 ux h ux ux h vxux vx h vx h vx vx hvx x huxJ vxu x vx hvx vx h vx Sendo fx xz sen x cos x temos fxxJsenx cosx x2 ser x cosx x2 senx cosx1 2x senxcasx x cosx cosxx2 senx senx 2x sen X cos x x2 cos2 x x2 sen2 x Sejam u e v funções deriváveis no ponto xr com vx 0 Vale então a regra Exemplos com k 0 Temos então fx X 119 FUNÇÃO POTÊNCIA DE EXPOENTE INTEIRO Já sabemos que sendo n N xn nY Aplicando regra da derivada do quociente temos rx P xp xp p xp Portanto p r 232 função fx xp onde p é um número inteiro negativo isto ê p n com n e BT Assim x3 cosx x3 senx 3x2 sen x x3 senx í12 x cosx3senx 7 3x2 3 x4 n xn f X Xp 1 xn x Consideremos agora a f f xl 1 X31 X3 0 X33x2 x32 X6 b Consideremos a função f x com x Q Temas n x1 x5 1 í 1J xn1 12n n x a Seja fx x3 e cossecx a Função tangente Sendo fx tg x temos Assim to Função cotangente Deixamos a demonstração deste caso como exercício C Função secante Se fx sec x temos ÍÍ1L Assim fxsecx fx secx tg x 233 senx cos2 x 1 cosx ffx íüíí senx1 COS X COS X 1 senx f x tgx fx sec2 x íx cotgXs fx ccssac2 x cosx 1 senx cos2 x 1 fx tccsx 1 5 cos X sec2 x senx tgx cotgx cosx cos x sen x cos2 x cosx 1 secx senxcosx cosx1 cosx 0 cosx2 senx sec x tg x cosx 111Q FUNÇÕES TANGENTE COTANGENTE SECANTE E COSSECANTE Ja sabemos como derivar as funções seno e cosseno Com o auxilio da regra derivada do quocíente podemos obter as derivadas das funções tangen e cctangente secante e cossecante Para isso basta lembrar que cosxsenx cosx cosx2 cosxsenxsenx T COS X d Função cossecante Exercícios Resolvidos 1125 DÊ as derivadas das seguintes funções 3 e fx f fx senx cosx Solução COSX a fx x3 b fx C fx e fx D 234 2 1x l 0 x2l2x d f x X3 sen x tg x sen x cos x x3 1 sen x cç x x3 sen x cos x xJ Porém senx cosx senx cos x senx cosx ccs x cos x sen x sen x cos1 X sen1 senx sac3 x f x cossec x fx cossecx cotgx sen x senx 3x 2xjsenxx3 x7 x senx xcosx 4x3 8 Deixamos a demonstração deste caso como exercício x2y cosx X cosx 1 xJ senx4x3 cosx xB a fx x3 x2 x senx4cosx Z 3x senx tgx x1 2x d f x x3 j senx tgx x3 senx tgx x5 senx tgx1 3x3 sen x tg x x3 cos X tg x x3 sen x secz X senx senx x3 senx x3 x2 I Mas conforme vimos acima Assim substituindo em I rx Solução Considerando a função 3 T X é fácil perceber que Sn fx Observemos também que a sequência a para x 1 235 é uma progressão geométrioaFG de razao x Assim usando a formula da soma dos lermos de uma PG temos xx x1 xn As parcelas dessa soma formam uma progressão arilmélicogeométnca a qual fc estudada por nós no capítulo 6 do volume 2 desta coleção Assim poderiamos calcular Sn pelo processo lá estudado no entanto há um outro processo usando derivadas X COS3 X x cos3 X x x xa sen x cos x 3x2 xsenx cosx 3 4x3 nx 4 xn Dsenx cos x sen3x cos fxx cos3 x senJx j f X X x2 X3 x 11 26 Calcule a soma Sn 1 2x 3x2 sen2 2 sen x x2 x3 x4 xR senx cos x cos2 x senz x Substuindo em I cos2 x sen2x fx A fj sen xcos x 1 sen x cos x senx cosx cos2 xsen2x i Portanto s íx O cálcufo que fizemos foi para x 1 Se x 1 temos isto é temos a soma dos termos de uma progressão aritmética Sr Exercícios Propostos 1127 Dé as derivadas das seguintes funções h fx secx cossec x d fx j f x x7 7 secx gráfico de f nn j ponto de abscissa 236 i f x x3 tg x 1nn 2 1128 Sendoix x x1xX x1 nx a fx sen x sen x dê a equação da reta tangente ao n X 2 ll 1 1 x3 n fJ77ítT7 g f x g x cotg x 1129 Sendo y f x determine y Sn 1 2 3 4 n nt1xí l x 1 n 1xl xlxn1 x12 b í x x5 sen X cos X 3x2 c fx2 cosx X3 X 1 A 3x25x 1111 FUNÇÃO EXPONENCIAL í capitulo 9 lemos lím lna Substituindo em I Assim Um caso particular importante é aquele em que a base ê o número e fx e fx e Ire e M 1112 FUNÇÃO LOGARITMO 0 fx lim 1 ln I hj0 jítO 237 i e1 lim 0 lim hQ lim jifO l h lim lrx hln x h Mas conforme jimos na Consideremos inicialmente a função logaritmo de base e fx loge x Inx onde x f x a f fx a f x eK fx e lim a lim ha lim hQ x h n h 1 r í hV lim 1 x J ah1 i h0 h fx a In a f 1 h y In 1 V x J i lím 1 y y y0 V a com a Tea1 Temos aah l h tfxhfx nD h 1 1 11 í 1 lim liy lim 1yy y I ykO l B Fazendo y note que para h 0 temos y 0 Assim x 1 r h In 1 x a lim o In a Consideremos a função exponncial f x tí t i fx hfx V f hü h h ah 1 ti o h i i h liml 1 hfl x Substituindo em I obtemos Portanto onde x 0 Peía fórmula de mudança de base temos fxdogBx Assim fx lagax Portanto No capítulo 12 exercício 1211 demonstraremos qde fx logax f x Exercícios Resolvidos 238 g fx logsxJ h f x ioga 2 X 1 x In a fx loga x 1 In x In a J Inx In a 1130 Dê as derivadas das seguintes funções a fx 5 b f x e c fk 72x d f x 3IiJl e fxiinx 0 f x Jog2 x Hxr x lna L In x In a lia loge x Inx loge a Ina fxnxfx ç 1 1 fx lneí Consideremos agora o caso da função logaritmo de base a qualquer com a e K e a 1 Solução f x 49 n49 3 9 BI Portanto fx 3 Log2x 3 log2x 3 h f x lng2 4 Exercícios Propostos 1131 Derive as funções 1132 De as derivadas das seguintes funções c fx5x3 b fx 239 a b lx e1 c f x 31 3 x In2 4 x Ln 2 1 x In 2 2 COS X sen x In x fx 4log3 x 4log2 x 4 e In x I logx a t j c 4 senx X In2 3 3 og3 x Portanto 1 x In2 lOg31 x Portanto g fx1og2x 32x 3 d fx 2SJ e f x In x f f x ln x g fx log3 x h f x log x5 i fx Iox a 5r1 5 InS b 3 6 c fx 72 72 i 49 Portanto d fx 32y 32x 3d 32 f x 81 9 81 9 In9 1113 TABELA DE DERIVADAS fx X fx Píx k In x xn QgJ i k u k u cossec2 x cotg x sec x a cossec x 1114 DERIVADA DE UMA DETERMINANTE xem pios a Seja Fx Derivando as linhas temos Fx Podemos também obter Fx derivando as colunas de F Fx 240 k e a sao constantes u v e w sâo funções deriváveis num mesmo ponto x Neste ponto é conveniente fazermos um resumo das regras de derivação vistas até agora Na tabela a seguir supomos que H ei ux vx M Hx sec x tgx cossec x cotgx sen x cos x tg x u V ax e 1 x In a 1 XF x Ina U V U V U V w fx gx ux vx ÍX gx ux vx n x COS X sen x sec2 x fx gx ux vx 9x vx Seja Fx o determinante de uma matriz de ordem n cujos elementos sao funções deriváveis num mesmo ponto x Podese demonstrar que Fx é igual à soma de n determinantes obtidos trocandose sucessivamente cada linhafou cada coluna da natriz por sua derivada u v u v uv uvw uvw uvw v uv In a F Derivando as colunas temos 1115 DERIVADAS SUCESSIVAS rxfx y fx fl3xy etc Exemplo Sendo tx 5xJ temos 241 fx ux g hx wx fx Hx g x hx rx sx tx rx sx1 tx rx sx tx fx aí hx ux vx w ux vx wx ux vx W X dy dx d2V dx2 dy dx3 rx sx tx fx b Seja Fx gx hx yIM fx f121 yf fx 15x fx 30x fx 30 fx 0 x y11 Sendo fx uma função derivâvel podemos indicar sua derivada por fX Suponhamos que f x seja derivâvel Nesse caso a derivada de fx é indicada por fxj e è chamada derivada segunda ou derivada de ordem 2 da função f Ai podemos dizer que f x é a derivada primeira ou derivada de ordem 1 da função f Se fx for derivâvel sua derivada será indicada por fx e será chamada de derivada terceira ou derivada de ordem 3 da função f e assim por diante Sendo y fxji hã vários modos de representar as derivadas sucessivas Exercícios Resolvidos 1132 Sendo Fx calcule Fx Fx 2 Fx Portanto 1133 Sendo f x 5 sen x determine f x Solução Exercícios Propostos 1134 Dê as derivadas das seguintes funções a Fx b Fx 2 1135 Sendo Fx 2x 7 e g x 3sen x casx 242 C fx d f4lx x 3 x3 4x 1137 Consideremos a função f x a sen x b cos x onde a e b são constantes Determine fx fx F x x3 3x2 0 13X 1X2 3x e g M f gzx x3 2x 4x 0 X2 3 2x3 1 x x4 x3 I 5 x3 J54xx2 5x3 4x3 xa x2 5 x2 4x 1 X3 3x2 3x2 4 l5x24x2 8x 2 modo Podemos primeiramente desenvolver o determinante Fx para depois obtermos sua derivada Assim x3 4x x2 5 5x f x 5senx s f x 5seni 5sanx 5 cos x f x S cos x 5 cos x 5senx Ssenx Solução 1 modo De acordo com o que vimos no item 1114 temos J X3 í2 4x 5 2x x3 x2 4x 5 54 x2 x3 04x2x 21 r d 2 senx 5x2 I c j determine F x cos x 3x7 1136 Dadas as funções f x x4 determine a fx b fx Derivada de uma função composta 121 INTRODUÇÃO 122 REGRA DA CADEIA f y fx F Gx FGx Fu Conforme demonstraremos no item seguinte a regra da cadeia estabelece que fx Fu Gx Assim a regra da cadeia pode também ser enunciada do seguinte modo 243 desde que as derivadas existam Usando uma outra notação vista no capitulo 10 temos Capítulo Í21 Embora jã saibamos derivar vários tipos de funções há ainda muitas funções usuais para as quais não temos regras de derivação a não ser a própria definição Por exemplo temos regra para derivar a função fx sen x mas já não temos regra para derivar a função gx sen x3 com as ferramentas de que dispomos até agora se quiséssemos obter gx teriamos que usar a definição de derivada o que seria muito trabalhoso Veremos a seguir uma regra chamada regra da cadeia que nos ajudará a obter a derivada de uma função qualquer desde que essa função possa ser interpretada como a composta de outras funções que saibamos derivar Consideremos uma função G dada por u Gx e uma função F por y Fu Suponhamos que exista a composta de F e G indicada por f isto é fx FGx dy dy du dx du dx Gx dx du dx Exemplos y sen u Assim de acordo com a regra da cadeia cosu 3X2 Resumindo b Seja y fx senx3 Fazendo senx u temos e u sen x donde e Assim Resumindo y Hv 244 du du cos x dx í3x dx x3 x33x cos x3 3x2 f x sen f x cos a Seja a função f dada por y f x sen x u F x x cos x v G yrx y u3 fx 3u2 cosxj 3 sen v 7 dx du dx v 3 sen2x cos x 3 Fazendo u x3 temos A regra da cadeia pode ser estendida para os casos em que temos a composição de mais de duas funções Consideremos por exemplo o caso em que a função f é a composta de três funções dy dy du 7 dx dv du dx 3u2 fxÍZ ÉZ dx du e u x3 dy cos u e du f x sen x3 fx 3 sen xz cos x Exemplo 5 I determinemos f x Fazenda 3 v sen u e lemos Assim 5 sen u 5 3 Resumindcr Exercícios Resolvidos 121 Oblenha as derivadas das seguintes funções 3 2 Solução e sen x u temos donde 6 245 3xJ dx gl í x ísen x í5 dv COS X3 3xJ j Sendo y fxsenx 5v coS u 3x2 j 5 sei y v5 dy du d fxx3x3B e f x log3 x5 f fx tgx3 a f x senx7 b fx senx3 c fx senxB a Fazendo y fx senx y uT h fx cos2 x j fx 3J 5x COS Xa f x senx fx 5 sen Xa j dv cosu e du e u sen x du e tos x dx rxdy dy du dx dv du dx J COS X3 3x2 sen x3 y J cos 32 nx3 cosx3 3x2 15x2 sen3 Assmn f A 5 0 13 246 senx 7 senxj6 cosx tg x 3 tgx f sec 1 x In3 2x 2sen x 3 icos x x x3 e fx log3x5 f x 5 log3xfl fog3x 5 log3x4 sec3 x xz c fx cos xe f x 6 g q s x5 cosx1 6 cosx5 senx 6 cos5 x senx 7u6 cosx 7 senx6 cos x d fx x f X fl x1 h fx cos2 x cos X5 3 2 i 2 1 fx t cosx3 cosx cosx 3 senx g fx senx sen x 1 i 1 2 ry f x sen x s sen x sen x 3cosx 3 3 3vsenJx dy dy du dx du d ífx sen7 Resumindo i f 7 f x 7 sen x B cos x Quando jã dominamos a regra podemos deixar de usar a variável u e derivar diretamente f fx tgx3 fx 3 tgxz í f x sen x7 fx 7 sen xe b fx senx9 f x 9 senx sen x 9 sen x cosx 9 serrx cosx 2 x 3 tg2x 122 Determine as derivadas das seguintes funções Solução a Fazendo y u x4 e y sen l i donde e Assim x 4xa Poderiamos não ter usado a variável u e derivado direta mente 5 f 247 f X sen x fX COSx4 x4 j c f xcosx3 5x3 fxsenx3 5x 3x2 Íi4X dx b f x sen xJ x cosx cosx4 4xa d fx sencos x e f x in xa44x5 f fx 57í x5 cosx cosu 4x3 cos fx sen x i fx Vx4 5x2 X 5x dy cosu du 1 2 x4 5x2 x4 5x 4x3 1Ox 4x3 hlQx 3x4bX 3 f x sen x4 b f x sen xs c fx cos x3 5x2 senx3 5x2jJ 3x2 10x k dx du e x4 u temos x5x2 10x sen x3 5x2 d 3 fx 0 7 In5 2 ln5 J 123 Obtenha as derivadas das seguintes funções a f x sen 2x Solução f x sen2x f1 x j cos2x 2x 2 cos2x 2 modo Poderiamos lembrar que e usar a derivada do produto CQS X C012X b 1modo Usando a regra da cadeia temos 2 fx log5 x3 f x 248 3xí8 x24x 1 x3 In 5 3 x In 5 COScos x sen S1 x7xj sen x cos tos x x34x 2 x f X ísenx1 2 c d s x c d s x K sen x 2 cos x2 sen2 x J 3x2 8x 3 4x2 C fx 5 X3 í x3 In5 f x ln x3 4x2 j x2 sen2 fx sencos x f 1 x cos cos X ccsx fx 5xí7K sen x cos x se n x 2 cos 2x b fx logs x5 a 1modo Usemos a regra da cadeia 1 x3 4x2 fx sen2x 2 senx cosx modo Podemos observar que 3 e assim sem usar a regra da cadeia fx3logsx3 c 1a modo Usando a regra da cadeia 2 modo Observando que 124 Dè as derivadas das seguintes funções Solução Ê v sen u Assim 5 6vs partaniQ 249 dy dv dv 5 dv COS u du dv ientf 5 n J fx 52 In5a 521f 2 In5 4x3 dx 3 x Jn5 1 x In5 sen5 x a tx sen f x logs x 3 tog5 x In 5 2x 5 In5 2 2ln5 5 x b e dy dx dv du s sensu 5 6v5 jcos u 4x3 6 sen5x4 j cosxdJ y v6 u XJ fx55 podemos obter íx sem usar a regra da cadeia a Sendo y fx sen6 X4 du dx cosx4 24x3 f x 5ild fx S11 4x3 4 i3 senx façamos COSX4 4x3 i Poderiamos ter derivado direta mente sem usar as variáveis uev D Substituindo em I b Sendo y f x façamos e Assim Portanto Poderiamos ter derivado diretamente sem o uso das variáveis u e v Mas 2 Substituindo em I x 5j t j 5 25C dl dv sefl xJ SxJ stniJ5i f x 6sen4x cosx 5x2x 5j í e 1 cosu 1 2x 5 dv du dx k k J cos x2 5x J 2x 5 sen x SxJ sen xz 5x J cosx7 cosf x 5x f x 6 sen 2x 5 dx dv cosu du senf x2 5x j j fhx e 2x 5 oos f x2 5x e fxe fx e ev í sen x4 j1 cosx4 4x3 24x3 senV cosx xcoSxX x4 sen x4 J f x sen x4 j6 Mas y ev v senu u xz 5x dy dy dv dx dv du esenu Saluçao Pela regra da cadeia temos fx COS z Substituindo em I Cx CDS 126 Obtenha a derivada da função f dada por 0 Solução fx xJ D Substituindo em I 2 Assim 2x sen cos para x0 fx 0 251 1 sen x Usando a regra da cadeia 1 cos X 1 xj 1 sen x 1 cos x 1 sen x 21 X J x21 Xa 2 x3 2x2 sen No exercício 1012 fizemos o cálculo da derivada dessa função no ponto x 0 e obtivemos f0 J 0 Calculemos agora f xparaxíi D e acordo com regra da derivada do produto temos x4 3x2 4x ii x2i Y x32 I f x 2x ser x2 x x1 3xa 4x x2 1 71 i x2 sen para x 0 x para x 0 x2 7 x2 1 1 Xa 2 í IJ 2x sen x2 x iwn 1 1 cos 2x sen cos xj U J f 125 Dè a derivada da função f x sen k x Mas usando a regra da derivada do quociente X3 2 1 X 1 X para x 0 127 Sejam feg duas funções derivàveis tais que para todo x fx3 gx l2x 8 Sabendo que f 1 3 e f 1 2 calcule 91 Solução Temos fxT gx l2x8 D Fazendo x 1 obtemos Vamos agora derivar Os dois membros da eqnação I em refaçao a X cm Mas de acordo com a regra da cadeia temos fx Substituindo em II 3f x fx gx 24x Fazendo x 1 252 fxT 3 fiJ3 gii2i8 33 g 1 1 2 B S7 f gx24x 31T r1 g1 241 3 32j g1 24 g130 g1 e 12 8 Sejam f e g funções deriva veis tais que para todo x temos ík lngx Com gÇx 0 Sabendo que g2 3 e g2 4 calcule f 2 Solução gx Fazendo x 2 obtemos 129 Seja f uma função derivável Mostre que a fè par f é impar b f é ímpar f é par Solução f é ímpar a f é par f x f x b f é impar fxfx Solução Seja T o período de f Assim para todo x e D temos T T fx 253 1210 Consideremos uma função f periódica e derivável num certo domínio D Mostre que f1 também é periódica x g Suponhamos que a função f seja dada por y fx Derivando em relação a x temas de acordo com a regra da cadeia Px nrfx if x Vejamos agora os dois casas rx rx rx íx flxí é par 1 g fxlngx fx fx Cama f x lngx temos usando a regra da cadeia r2 92 4 g2 3 T fx ou isto é Portanto f1 é periódica ur Demonstre que fx loga x onde 1211 x E fx Solução Nú capitulo 11 jã havíamos demonstrado que para x 0 temos iogax Consideremos então dois casos fx fx logax1 1 12 12 Consideremos a função f dada por fx Calcule a derivada da função f 254 COSX1 cos cosx 4 2 x 0 Neste caso temos j x xe assim f x loqa x Usando a regra da cadeia temos 1 x 0 Neste caso temos x x e assim f x loqa Portanto Portanto f x i T jf x Usando a regra da cadeia temos rx T sen x 1 senx 3 senx 4 Consideremos 1 xlna 1 x In a 1 x Ina 1 X loa 1 x Ina 7 3 7 7 1 x Ina í x T1f x Solução Conforme vimos no capitulo 11 temos 9 1 2 x Solução X xl2yO21 tsto B y2 x3 2x ou y nde 0 x 2 255 1213 Considere a função f cujo gráfico é a sem circunferência de ceniro 1 0 representada na figura Determine o valor de x para o qual fW1 7 7 7 0 0 Q senx l senx 3 senx 4 1 YA 1 sen x 1 senx 3 senx 4 cosfx 1 cosx 3 cosx 4 c 1 modo Conforme sabemos da Geometria Analítica ver capitulo 1Q do volume 6 desta coleção a equação da Circunferência inteira é Porêm para a semiúircunferência dada devemos ter y 0 B senx 1 7 senx 3 7 senx 4 7 e portanto sua equaçao y yx2 4 2x cosx 1 cosx 1 fx cosx 3 cosx 3 cosx 4 cosx 4 X Mas acontece que os determinantes A B e C são nulos pois A tem duas colunas iguais B tem duas colunas proporcionais e C tem uma coluna nula Portanto para ledo x lemos fx 0 Jx 2x e a nossa função fé dada por Assim usando a regra da cadeia temos Portanto para que ocorra f x 1 devemos ter 1 que é a solução do exercício 2 modo y t A De tgO 1 tiramos facilmente que cosí e portanto d r cosG 1 Assim 356 J2 2 VÍ 2 V 1 Q Ç Bfc z 0 X 41 Vx 2x 2x f Xs 2x 12 2x x 1d1 2 11 1 m tg a f x 1 1 tge tga VÍ Resolvendo esta última equaçao obtemos x 1 i x2 r 1 fx Vx 2x xz 2xj Queremos fx 1 Mas nós sabemos que fx é igual ao coeficiente angular m da reta t que é tangente ao gráfico de f no ponto Ax fxJL Como fx 1 0 con cluímos que a reta t deve formar com o eixo Ox um ângulo n tal que 0 cr 90 Considerando a figura ao lado temos 1 V2 2x Como A é ponto de targència a reta t é perpendicular ac segmento AC e o triângulo ABC é retângulo Daf concluímos que os ângulos a e 6 são complementares e portanto 2x 2r4Í VX 2x Vi 2 De onde lirarnos 7 Exercidas Propostos 6 10 1216 Obtenha as derivadas das seguintes funções 5 o fx 12 17 Derive as funções 2 67 J 12 1214 Consideremos a função f dada por f x x3 1 Calcule f1J 7 Solução Fazendo y fx xi1 temos x y s1 donde r x Vx 1 X X 5x J j fx e d f x sen 3 tx sen x b íx 5 casx1 c fx tgxJ d fx sen5x3 x e fx cos sen x 1 Sfr Este exercício será resolvido de outro modo no capitulo 13exercício 131 e fx log2x f fx Inx3 1 sen x d f x logs XSS e fx e ífx 2Knil g fx senx h f x sen x i f x senlnx3 121 Dê as derivadas das seguintes funções a fx isenx b fx cosx c fx Zx 5 1 31 1 h f x sen2 x i ffxjíxâ f fxlnxT g fx in3x2 h fx logx2 1 i íx e3 Portanto fxrxi3i ixiLxi L J J a íx senx1 b íx 2 SenaxT c fx lnx 2x k f x e D fx 4c m H x 2 n fx e 121 B Dê as derivadas das seguintes funções 3 a fx senl b f x J senx In x 3 5X f fx e h fx f x 3 3x4 3 g x j 4x3 3x2 Sabendo que f2 5 e f 2 4 calcule a g2 b g2 122Q Considere as funções deriva ve is f e g tais que para todo x Sabendo que f3 2 e f 3 1t calcule o vaíor de g3 12211 Consideremos as funções g x x1 b Obtenha fx 258 1 sen x Sx x 1219 Sejam f e g funções deriváveis tais que para todo x r vx3 4x f x3 1 4 f X2 1 e hx sen x e fx 1 3senJx 4 Inx senx2 J C f X COSX CQS3 X a Determine a função f tal que fx h gx g f x x3 sen 1 x d fxsec7x4e 12 22 Sejam as funções gx cosx c h hx a s hx b h gx 123DEMONSTRAÇÃO DA REGRA DA CADEIA f y f x FFGx Fu y receberão Ay Fu auFu Portanto Au x Q se Hau Au 0 se 259 Ay AX Ay AU AU AX Devemos observar que para Ax 0 teremos Au 0 e Ay 0 Supondo Au D temos ihnri òxtO AU Ay Imn í iua AU Faremos funções Considerando as funções deriváveis F e G dadas por y Fue uGx suponhamos que exista a composta de F e G indicada por f e hx x Determine Au G x AxGx e i Au 1 Itm A d ax f Ay dy 1 au du í 0 Façamos x receber um acréscimo acréscimo de au e Ay onde ti e f Ay Au Ax au dy du Nm i J du dx Assim está demonstrada a regra da cadeia para o caso em que au 0 No entanto pode acontecer que al para infinitos valores de Ax quando Ax C e então não podemos considerar a igualdade Ay Ay Au AX AU AX Neste caso devemos procurar um autro caminho Vamos definir uma nova função H que depende de Au airavês de íí dv l Ay f x hm Ei m dx AX Au Ax ü 0 Assim a demonstração para o caso em que temos a composição de duas Para esta função temos que a igualdade Au du e escrever fica deste modo completada a demonstração da regra da cadeia Exemplo dx 124 FUNÇÃO POTÊNCIA DE EXPOENTE REAL Até agora demonstramos que a regra Xa 260 vale para a e Z Falta ainda verificar os casos em que a é racional nãointeiro e os casos em que a é irracional Devemos nos lembrar que i Se a é irracional Xasó é definida para xiO ii Se a é racional não inteiro Xa é definida para qualquer xO e em alguns casos para x 0 Vamos justificar a regra da cadeia para o caso em que temos a composição de três funções deriváveis vale mesmo que Au 0 Além disso é claro também que Háu0 quando Au 0 e portanto quando Ax 0 Agora podemos considerar a igualdade dy dx dv Au Ax a x Ax du dy dv dv dx dv du du dx Ay HAu x dy Ay ruA x dy Au dy du f x lim lim Au nm 7 dx Ax duj oax du dx dy dy dv du dx dv du dx X lemos 3 In x Assim aplicando a regra da cadeia Portanto 1 Consideremos a função f dada por para a 0 e portanto h xl h j k I 261 1 a real qualquer naonulo e x 0 2 a racional nãointeiro e x 0 onde g e h sao funções derivávets com gx auxilio da seguinte propriedade dos logaritmos a e R x e JR O primeiro caso será estudado agora e o segundo caso será estudado no capitulo 13 Assim gx e fx x rrf e Assim para completar o estudo da derivada da função potência devemos considerar dois casos jnxy a xn 125 DERIVADA DE fx gxhtil en a e1 a Xa a X1 x x fÇxgxríl Consideremos então a função f x x com x e e a a e H Lembrando que para x 0 vale Em seguida calculamos f x usando a regra da cadeia No item seguinte veremos um outro modo de obter fx fx gxhW 0 Podemos obter fx com o fx eaft e anx e Exercício Resolvido Solução Temos Portanto J sen x In x Exercícios Propostas 1 224 Dê as derivadas das seguintes funções X CDS X f f X sen X c f x 1 26 DERIVADA LOGARÍTMICA Exemplo Consideremos urra função f dada pelo produto qiiociente ou patenciaçao de outras funções As vezes o processo de obtenção de f pode ser simplificado se primeiramente obtivermos o logaritmo neperiana de f para depois derivarmos Este processo é chamado de derivação ogaritmica a f x sen x b fx fx ei elnxp X 1 X F senx lnx onde x 0 e5n 1 in 1 casx Inx fsenx 1 cosx In x enx fxxsenlr 1225 Sendo f x g xN Consideremos a função f x x11 cuja derivada já havíamos obtido no exercício 1 223 Vamos agora obter essa derivada com o auxílio dos logaritmos 262 sn í ln x d fx x2 l e f x x111 1223 Obten ha a derivada da função f x x xB6nK com gx 0 obtenha f x Corno fx 0 lemos Inf x ln x1 isto é lnf x sen x Inx Derivando os dois membros desta última equação em relação a x temos cos x In x sen x sen x Observações Aplicando o caso da função composta observamos que fx 2 A expressão costuma ser chamada de derivada logarítmica da função f 263 1 Sabemos que In fx sõ é definido para fx 0 No entanto o processo da derivação logarítmica em geral nos conduz a um resultado carreto mesmo para íx ü Veja por exemplo o exercício 1226 Isto se justifica pelo fato visto no exercício 1211 de que Assim fx fx ln fx Observemos que esta igualdade independe do sinal de fx 2 x rx fx 1 fx cos x In x sen x rx x íftn tnfx sen x Jn x J j fx senx Inx senx Inx fx fxfx cosx Inx senx JJ Exercício Resolvido Sendo derivada do produto da regra usar a fx x3 da derivação fogarítmica Sendo a usar processo o 3 senx Assim 3 Cx Sen X 3 COS X fxfxb sen x x COS X observar nesse caso Exercício Proposto derivada de cada função a seguir usando o processo da 3 CO5X e n fx 3 3 g x21 sen x 5j i fx Kl 264 x2 1 1x Solução 1 a fx x23 Jx 2 e2 x12 h fx 3J Inf f x ln x3 sen x ln x3 In Derivemos os dois membros desta última equação em relação a x 7r ffx 3 senx1 fx x senx 1227 Obtenha a derivação logaritmica b fxx3 2 sen X 3x2 sen X Xa cosx senx e f x x 1225 Obtenha a derivada da função f dada por fx x sen x fxx sen x x3 Como poaemos logaritmica a f x x f x3 senxj x3 sen2x modo Vamos sen x temos c fx senxLCí x2 d rx x k 33 sen x f x x x sen x x3 COS X sen x j não foi vantajoso usar a derivação 3x2 x3 sen x x3 3 sen x II f x f 1 x j 3 CDS X modo Vamos 3 sen x temos 12 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Fazendo y fx temos I H Exemplo D y fx III Mas 265 Consideremos a função f mencionada acima x1 Como vimos f pode ser definida implicitamente por yx2 y x1 II Derivando os dois membros de II em relação a x temos yxyíxl yx2 y x2 y x2 y x2 y 2x x1 1 a equação II define a função f de forma Implícita que é equivalente à equação I Tanto a equação I como a equação II definem a mesma função f onde y ê função de x No entanto há uma diferença na equação I y aparece isolado enquanto que na equação II y não está isolado Dizemos então que a equação I define a função f de forma explícita Suponhamos que nos dêem a função f de forma implícita como obter f1 Uma coisa que podemos fazer é tentar expressar f de forma explicita e depois usar as regras de derivação conhecidas Porém pode acontecer que essa passagem da forma implícita para a forma explicita seja muito trabalhosa ou até impossível Mostraremos através de um exemplo que em geral é possível obter f1 a partir da forma implícita usando a regra da cadeia Esse processo é chamado de derivação implícita x1 Multiplicando em cruz obtemos a equação yx2 y x 1 Consideremos par exemplo a função f dada por x1 fíx rn Substituindo em líl obtemos y jis4y 2x y1 1 donde IV y x1 na equaçao IV e obter y V 2 chegamos y f VI y y Comparando VI com V observamos que chegamos ao mesmo resultado 2 5 raio fgual a 2 figura a é isto é Dai podemos dizer que a equação daca representa implicitamente duas funções 2 266 Cuando nos dão uma equação envolvendo duas variáveis pode ocorrer que essa equação não represente nenhuma função Por exemplo é fácil verificar que a equação nao é satisfeita por nenhum par de números reais x e y Pode ocorrer também que a equação dada represente implicitamente mais de uma função Por exemplo a equação AX 1 2xy x2 1 xix lxl2x X 1 x2 1 que é equaçao da circunferência de centro na origem e equivalente a Vamos agora obter y1 a partir da forma explicita para verificarmos se ao mesmo resultado x 2 2x Í x21 x1x x1 2 x y 2k 1 se quisermos podemos fazer y Poderiamos parar por aqui mas xJ y J4 X2 e y yJ 4 x2 2 1 yÀ y x yi 2 x 2 x 2 2 ya 2 Fig a Fig b Observação Exercícios Resolvidos 2 Solução 2x2y y1 0 isto é y O 267 2 Fig c X y y 2T TTx 1228 Sendo x2 y CUJOS gráficos estão nas figuras b e c 4 obtenha dx No caso geral pode ser difícil decidir se uma determinada equação representa implicilamente alguma função Existem teoremas para analisar tais situações no entanto não veremos esses teoremas pois eles aparecem num nível mais avançado quando são estudadas as funções de várias variáveis e neste livro estames estudando apenas as funções de uma variável Assim nos exercícios a seguir admitiremos que as equações dadas representam implicitamente pelo menos uma função definida em peio menos um intervalo Em casas cama este a processo de derivação implícita nos dà um resultado que é an mesmo tempo a derivada de todas as funções representadas pela equação dada Veja par exemplo o exercício 1 220 A eqUaçao I já é a resposta do problema No entanto a titulo de ilustração vamos tentar obter yM exprimindo f na forma explicita De x2 y2 4 tiramos y 74 Xz Admitamos então que a equaçao x3 y2 4 representa pelo menos uma função y fx Derivando os dois membros da equação em relação a x temos Assim podemos dizer que a equação dada representa implicitamente as funções e Derivando as funções usando os processos vistos anteriormente obtemos Yi y2 Solução D 2 x x 1 temos 268 1 3 x y2 no exer obte 1229 Obtenha 2 2 x y m x 1 y Vã Admitindo que a equação dada represente uma função f pelo menos em uma vizinhança do ponto 1 Vã podemos dizer que a equação da reta t procurada é x Yi x VãT2 Com isso percebemos que a equação I nos dá ao mesmo tempo as derivadas de y e y2 Substituindo em I obtemos a equa ção da reta procurada yVã ri Mas para Assim y V3 a equaçao da reta tangente à circunferência da equação 4 no ponto 1 Vã y2V4x2 yn 4x2 x y x V4 x2 X V4 x2 onde m f1 Conforme cicio anterior de x2 y2 4 mos Solução a Sendo y4 y x3 derivemos ambos os membros em relação a x 4yJyy 3x3 Colocando y em evidência obtemos Assim y y c xya3x2 xv Sxy36x xy I 3 3 Subslituindo em I obtemos 3 269 ou ou ainda c xy3 3x2 xy 5 d y xy 3yV V xyxy xyly xyy xy 2L y 3xa 4y3 1 xy3 1 y iy y a yyzix3 b y sen x y CO S X 1 COS X 1230 Em cada caso a seguir admita que a equação dada represente pelo menos uma função y fx e obtenha y x y y3 x3y2yL6x y xy 3xy5yxy y 6x y y3xyJ x y 6xy3 b y sen x y 3 y 1 cos x y 2 o y cosx y 1 y o y 1 cos x y y cos X y yy1 cosx y cos x y i y 1túsx yJ co s x y 3X2 x3y2y MaS M donde y x In y y In x Exercícios Propostos 270 1232 Obtenha ponto 1 2 c tgy xy d ey x y y7 xy In y x2 xylnx a equaçao da reta tangente á cuna de equação y44x 6xy no 1231 Em cada caso a seguir admita que a equaçao dada represente pelo menos uma função y fx e obtenha y a x2y ya 2 b xy Iny 1 y 6xy3 3xy2 x d y x1 In y In xy x In y y In x x1 In y x In y y1 In x y In x y 1 lny x ylnx y y x 5 xy In y x2y 1 xyy In x y2 yx2 xy In x y2 xy fn y Capitulo 13 Funções inversas e derivadas 131 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO INVERSA Sejam f e g duas funções tais que uma é a inversa da outra f vb g Demonstraremos que fa Feita a demonstração poderemos escrever para gyO ou 271 b fa a gb a v Suponhamos que g seja derivável no ponto b e que f seja continua no ponto a onde a g b g r f g1 y f x g1x x gy fy Se gb 0 então f é derivável no ponto a e 1 gb dx n para 0 dy x dy 1 dx dx dy Demonstração lim Portanto para gbO temos f a gyrx1 OU Exemplo Consideremos as funções Exercícios Resolvidos 131 Consideremos a função definida por y f x xJ 1 Calcule a derivada de f no ponto y 7 272 o que está de acordo com c que vimos no capitulo 11 sobre a derivada da função logaritmo Como f e g são inversas uma da outra ambas sao bijetoras e portanto para temos fxb Per outra lado sendo f continua no ponto a quando X3 temos y b Assim função legaritmo função exponencial as quais são inversas uma da outra Vimos no capítulo 11 que g y a1 In a com gy x 0 para todo y e R Assim de acordo com a regra deduzida acima temos f 1 1 gv lim y fa 1 9b Se já soubéssemos de antemão que f1x existe poderiamos partir de 1 gb 1 x Ir a yb gygb 1 gygb yb gfx x e derivarmos ambos os membros em relaçao a x aplicando a regra da cadeia ao membro esquerdo obtendo fx g y a y fx log3x x gy a fxfa L iim xa yb 7 In a fx r gy Solução f 7 2 g f1 3 3x calcule a derivada de sua função inversa no f 1 9 fi Exercícios propostos Obtenha a derivada de f 273 f4 g41 Para y 7 temos x1 1 7 donde x 2 Seja x gy a inversa de f isto é g f y fx no ponto y 16 133 Dada a função y 2xa determine a derivada de sua função inversa no ponto y 2 f27 íg7 r172 Temos fx 3xs e portanto f212 1 1 f 2 12 Compare este exercício com o exercício 1214 13 5 Seja a função definida por f x x7 x Assim Temos fx Assim f1 4 g4 136 Seja f uma função invertível tal que a reta tangente ao gráfico de f no ponto a b tem coeficiente angular m m 0 Qual é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f no ponto b a e portanto 1 1 f16 5 17 Calcule 13 2 Dada a função y x ponto y 4 Solução Sendo y f x x1 3 x seja x r y gy Para y 4 temas x3 3x 4 Esta última equação pode ser resolvida pelo método de pesquisa das raizes racionais veja capitulo 15 dc volume 7 desta coleção e obtemos x 1 134 Consideremos a função definida por x1 Aí 4 132 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS a Função arcoseno tal que Consideremos a função f de 1 1 em A inversa de f é a função g de y gy seny 2 Assim para gyO isto é para X 1 temos ou b Função arco cosseno Seja a função f de 1 1 em 0 t c dada por A inversa de fé a função g de D n em 1 1d dada por Sabemos que g y sen y Como OíySí temos sen y 0 e portanto 2 274 rt 22 7171 22 gy seny y1cos2 y 7lx g y cosy Jl sen2y vl x y f x are cos x em 1 1 dada por x gy cosy y f x j are sen x Sabemos que gy seny cos y Com O f temos cosy JÜ e portanto arc sen x vx fxT7 7r7 Assim para gy 0 isto é x1 temos ou arocos x c Função arcotangente Consideremos a função f de IR em dada por y f x aro tg x em definida por Sua inversa é a função g de x gy lgy Sabemos que 3 Assim arc tgx ou d Função arcotangente A função f de em 0 it definida por tem como inversa a função g de 0 r em R definida por x gy cotgy 275 22 y t x arc cotg x 1 vTx2 1 gy tg y sec y 1 lg y 1x 1 1 ír 2 2 g y 1 Mas Assim fx 1 ou Exercícios Propostos 1 37 Obtenha as derivadas das seguintes funções c f x arc tg 7x h f x d f x arc cotg3x 133FUNÇÃO POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL A regra de derivação da função potência f x x é x VP 276 a f x arc sen 5x b f x arc cos 6x c f x Vãrctgic d f x arc sen Vx a f x arc cos e b fx arcsen gy cotgy1 cassec2 y l cotg2y 1 x Como vimos na capitulo 12 estava faltando a justificativa dessa regra para n caso de a é racionai não inteiro e x C Com o auxilio da derivada da função inversa é possível completar essa justificativa Daremos a seguir a justificativa da regra para o caso geral em que a é racional Inicialmente consideremos a função g dada por a xl 1 1 9y 1x2 e f x 3arcsen2x f fx arcsenx2 2x g fx x3 1 arccosx 1 arc tg x 138 Determine as derivadas das seguintes funções arc cotg x1 onde n é um número natural nulo tal que e A inversa de g é a função h dada por g y h De acordo com o que vimos sobre a derivada da função inversa temos 1 gx y Portanto D Consideremos agora a função potência fx xa onde a com meZ e n e Assim fx Xa Usando a regra da cadeia e a igualdade I acima temos n 277 i x r se n é ímpar x é um número real qualquer se n é par x 0 m xn 1 n x1nO 1 n x r li xn X 1 hy x hy y 1 1 xnr n 1 a Xa xJ T j m m X 1 n m m X n n 1 n y 1 m n Portanto para a racional desde que estejam satisfeitas 278 xaa Xa as condições de existência Capitulo Algumas aplicações das derivadas 14 141 REGRA DE L HOSPITAL D ãs vees acorre que Teorema regra de LHaspital lim Gujllaume François Antoine dt LHopiiai Marquês de St MÈme Francês 166ll70i 279 Ao estudarmos o cálculo de limites vimos que ao tentarmos calcular um limite do tipo f f x 9 x Se limfx 0e limgx 0 e se existe Hm Xta xa rm lim f x lim g x 0 xa x ia Deixaremos a demonstração deste tearema para o próximo capitulo pois ela depende de outros teoremas que lá serão apresentados Por enquanto vamos apenas aplicar o teorema fx lim xgx f Lm 7 xagx f X então existe lím e 13gx e assim o limite 1 toma a forma que chamamos de indetarminaçao Nest caso como vimos frequentemente era necessário executarmos alguns artifícios para calculara limite A seguir apresentaremos um teorema conhecido pelo nome de regra de UHospital o qual às vezes facilita o cálculo de tais limites Exemplos Ifm í x2 x3 9 0 liiTl e Observamos também que lim Portanto as hipóteses do teorema de LHosptal isto é existe o 6 lim x3 6 x3v 1 De acordo com existindo o Porém isto não quer dizer seguir Exemplo 2 2 0 xD X 1 200 1 sen x vistas anteriormente obtemos Um 3 lim Q sen x Consideremos o lim 3 X3 lim k3 sem que exista lím X ríxi a possível existir o lim A 1Q gx X3 Apenas para comparar vamos calcular esse limite sem usar a regra de LHospital x 3x 3 X3J x 3 0 xZ9 X3 lim 6 3 1 Sejam f x x que se nao existir o lim XÒ 9 Observamos que lim x sen 0 x i fx lim gx d lim f x lim I x2 sen í xsO X lim g x lim senx 0 Kü 1 XfO e g x sen x Usando as técnicas de cálculo de Ümiles xz z 9 f1 í x j como ilustra o exemplo a 9x fíx x2sen lím s lim o g x 0 sen x 1 também não existirá o fim Na realidade é xz 9 hm x 3 a regra de LHospital sendo xz a lim jim x3 X 3 x3 limgx 0 e x0 f limfx 0 e x a f í x j existira também o Jim 11 gx í9 x3 estão satisfeitas e assim temos Analisaremos agora a expressão e Pode ocorrer que ao aplicarmos a regra de L Hospital a expressão ainda Exemplo Sejam f x x xa 3x2 5x 2 e Temos para x 1 para x 1 para x 1 3 para x 1 f Vemos então que existe o limL e 281 9 xj 24x6 24x 30 HX 9 fx g Hi a 110 gx f w x gx assim temos um caso em 111 Portanto existirão também igx fjx 9x seja indeterminada Neste caso desde que as condições do teorema estejam verificadas aplicamos a regra novamente como ilustra o exemplo a seguir 1 1 2x sen cns X X COS X r n im hm 1gx É possível verificar que não existe o f x lim 7 1 g U COS 1 pais não existe lim x COS X fx llm x0gx g x x 5x39x s 7x 2 x x33xJ 5x2 x 5x3 tJx2 K 2 4x 3x3 6x 5 4X3 15x3 10x 7 12x3 6x 6 I2x3 30x 18 isto é existe o lim X ogx f í X l fx que existe o lim mas nao existe o lim tí za gjx i g x 1 l xsen XJ senxJ 0 0 0 0 0 Assrm lim lim lim O quociente Assim a igualdade limite nâo é 6 Apenas a primeira igualdade é verdadeira então lim 2 Se lim fx lim gx0 e existe o então lim lim 282 1 íííl gx x 9 r goo lim 3 XÍ 2X 1Se lim fx lim gx 0 e existe o x xa É falsa e o x4 x3 3x2 Sx2 x 5xa 9x2 7x 2 4x3 3xa 6x 5 Tt1 4x3 15x218x7 12x26x 6 12x230x 1S 24x6 Quando tentamos aplicar a regra de UHospital várias vezes em seguida precisamos tomar cuidado de a cada passagem verificarmos se ainda temas uma indeterminação pois se não houver a indeterminação não vale a regra e poderemos chegar a resultados errados Consideremos por exemplo a seguinte sequência de igualdades Podese demonstrar ainda que a regra de UHospital vale para os limites laterais isto é 3x2 é indeterminado para x 2 mas o quociente não é x3 8 X24 3x2 6x lim lim 6 2x x2 2 rí lim s lim 3 24x30 3x2 6X lim s lim x2 2x X2 2 x38 lim X2 4 x38 lim X 4 f n llnn 7T gx xa g X Exercícios Rrsclvidos Solução Observamos que 0 Melamos também que Portanto de acordo com a regra de UHospital temos Isto é existe lim Solução Aqui temos a Vemos também que íim donde lim oo a Assim e eo por serem diferentes os limites laterais 203 2 2 lim X2 lim X2 lim X bí lim o x2 X3 8 x21 x8y fx2 w 1imx 0 x3ô irS e 1 142 Calcule rm irfl x38 w 2x e1 enao existe lim x x limíe x0 limx2 0 e 1 1 lim 2 3X2 12 141 Calcule lim 4 X fl e 1 lim xxD J Solução Observemos que e e portanto Solução Notamos que 2 Derivemos o numeradore o denominador I Observando que vamos derivar novamente o numerador e o denominador Notando que limj 2e2j lim30x 0 234 M 1 2 1 2 Jim z ifl Vemos então que existe lim í lim o 144 Calcule lim x 0 lim ZrO X I 1 GOS X 2e 2 30x 1 CDS X 1 cosx V3 lim Í2eK 22xx xicr 2e 22x 15X1 2e 22x 15x2 U Ímf5x3 0 143 Calcule o lim 1 cs 0 x lim 1 cosxl lim f x2 0 xo f cr 1cosx 1 senx lim 2 2e 22XX2 õx5 lim Í2er 2 2x lim Í15x2 0 xr 2e 22XX2 sen x Jim o 2x vamos derivar mais uma vez o numerador e o denominador lim cosx 0 2 para satisfazer a condição de Neste caso devemos ter e não existência da raiz quadrada 0 Vemos que 0 m 2 Portanto cosx Exercícios Propostos b lim d lim N f lim g lim h Fim 285 1 15 Solução Observamos que lim x0 2 lim 71 X 2 7t X 2 lim n x2 lim x 2e2 2e2 30x 30 lim x X X 2 1 Portanto 15 sen3x 1 xo sen7x x1 i x1 x 1 In x iii 1 x x 1 x1 2ex22x 15x2 n x 2 2 x senx V 2 com n e 145 Calcule lim x4 n 3 r2 2ex22xx 5x3 x n 2 cos x 2e Vemos que o lim xo 30 c hm x0 lim cosx lim xi 2 2ex2 2ex lim 30x x 30 146 Calcule os seguintes limites x 2 a hm 2 X3 8 22x4 2X 3 21 73X52 e limyr x3 V4x 3 3 1 X 7IX 1sen 2 cosx 147 Calcule os limites b Irm Kü d lim c lim x 0 f lim 140 Calcule os limites c lim nX f lim 1 x tg x 0 142 OUTRAS FORMAS DA REGRA DE UHOSPITAL Podese demonstrar que valem os seguintes teoremas 1 Se lim fx lim g x 0 e existe o então 2 o Se lim f x iimgx oo e existe o a wH3 xa então e existe o então 286 lim rx gx Incos2x xõ in C0S3x f gx f g d lim x tO b lim XiO e lim X iO a lim x a lim T r 1 fx fim v lim xgx 1 cos2 X x2 lntg3x i In tg 2x e lim 1cosx cotg x 2 cos x 2 x2 sen x x cos x X1 fx m uT g x r f X fg x 2et22xxí 7 2 x2e e 5 x sen x Igxx ko x sen x r fx fx hm lim gx gx 3Se lim fx limgx oo 7ix2 ln x r ffxl r fim lim x x2 2x 2 ln x1 Hxercicics Resolvidos Solução Aqui temos Observamos que lim lim 2 CÜS3X Assim Solução Aqui lemos 2x 2x 287 lim tg5x T Este último quociente ainda é indeterminado para XDerivemos novamente o nume radar e o denominador 3 5 3 5 1410 Calcule o lim JC lim 2 x 7x2 2 3 5 3 2cos3x sen3x 3 5 2cos5x sen5x 5 cos2 3x 3 cos2 5x Jxa2 X lim c o s5x 2 14 lim tg3x o t S 1 tg5x tg3x Os5 í tg3x jím x lim Vx22 úD Derivemos o numerador e o denominador 149 Calcule o lim f tg3x sen3x hm t3 sen5x 2 1 1 27x 2 2 3sen3x lim t 5sen5x X2 2 i 7F 5 sec 5x im 3 sec 3x 2 lg 5x hm lim 1g3x 1411 Calcule lim Solução Notamos que Derivando o numerador e o denominador obtemos 1t cos x lim x senx x Exercícios Propostos 1412 Calcule os limites b lim a lim c lim f lim x 288 x sen x x No entanto a expressão 1 cos x não tem limite para X4co pois seu valor fica oscilando de 0 a 2 Assim neste caso também a regra de LHospital não pode nos ajudar e devemos calcular esse limite de um outro modo d lim 2 lim x sen x lim x oo Insen3x i xo Insen4x n sen x 1 lim í 1 X xl lnx2 lnexe2 ex Podemos observar que voltamos à expressão original donde concluímos que neste caso a regra de UHospital não nos pode ajudar Vamos então calcular esse limite de um outro modo x2 2 x2 x sen x xT senx 1 1 x X 1 tg3x f tgx 2 X4 e lim ex indeterminações do tipo u indicadas a seguir Neste caso fazemos f x g x Aqui tentamos transformar a diferença fx gx em uma única expressão fx gx hx Caso seja necessário usamos artifício fxgx fxb Exercícios Resolvidos Solução limite dado é uma indeterminaçâo do tipo e x 0 Fazemos então 5 269 0 Tt sen x 17 1413 Calcule o lim xzsen j 1 gO Neste caso calculamos o lim lnf x91 2 lim Kx gx V lim fx gx 0 c mediante transformações que sao CO Como lim x2 eo gx fx o e No w que podem ser reduzidos a 3 limljtx11 0 ou n lim sen 0 o X dü ou 1 Vimos a aplicação da Regra de UHospital a entanto há outros casos de indeterminaçâo como por exemplo 0 oo 0ç w0 1 e o 2 x sen X g x ou f x gx 143 APLICAÇÃO DA REGRA DE LHOSPITAL A OUTROS CASOS DE INDETERMINAÇÃO 0 0 2 a regra de L Hospítaf 2 OO Solução Como e Fazemos então Este último limite ê uma indeterminaçao do tipo e portanto podemos usar a regra de L Hospital Este último limite ainda é uma indeterminaçao do tipo Vamos enlao derivar o numerador e denominador 290 1 In x 1 x 1 1 In x 1 x1 lim X lim X1 1 lim 1 inx Jim X 1 lim Assim ini x 1 ÍI sen x lim M 1x xln x x1 TTX rt COS L 2 x pnxx l x1 Inx xln x x í 1 414 CalcuJe a limí1 x x 1 in x 1 rr sen x 1 1 r 1 1 lim pj e Um on e também lim t i x1 x In x ki x1 vêse que os dois limites laterais representam indeterminação dc tipo w para a 1 1 diferença X1 Inx In x x 1 lim i x 1J In x In x x 1J x1 Inx Este último limite é uma indeterminaçao do tipo e assim podemos lentar aplicar In x x 1 x1 In x í 5 íT Assim lim I x ser ie x 1 lim lim lnx x1 2 r 1 lim In x 2 rt 7T COS lim 3Í lim 4Í Xhrtl í 7 Portanto lim x sen X X 0 0 D 0 Sc ução Temse limx 1 e ainda e laterais representam indeterminações dos tipos 1 e T Vamos entãa calcular e assim podemos tentar usar a regra de L Hospital 291 1 In x lim Inx1 lim 0 0 1 lim ii 1 lim JL 1 x1 1 para a expressão x Neste ponto devemos nos Lembrar de que devido à continuidade da tunçâo f 1 logariLmica temos lim In f x In lim f x Portanto lnxK 1 In x 1x In x lim 1X I 1 lim x1 e 1 1 lim o i 1x i 1415 Calcule lim x1 Este último Limite ê uma indeterminaçac do tipo Portanto limf x 1 1 lim Inx1 1 In lim x1 l I I í Assim lim J In x1 1 I I i Urx lim i x4 lim k o Assim os limites x1 1X Exercícios Propostos 1416 Calcule os limites d lim Ke c lim 1 tg sec2x 1417 Calcule os limites d lim 1418 Calcule os limites In g lim x4 x 0 igx h lim 1 x x o i d íim e lim x ín x 292 x XI In x i c Fim f cos x xJ w J1 1 cossec x x x J a lim í x 1 1 cotg 2 n 2cosx 1 e1 a lim í X o h lim senx M 2 3 a lim cos2x 2 f lim x X 0 1 i lim x 1 5x 1 k lirncoFgx hx J l fim 1 2x j to lim xsen x e3lt b Um x 0 c lim f x0 X x3 m x 144VELOCIDADE E ACELERAÇÃO Exemplo 0 1 4 3 Nessa figura temos é At f S Fig a Se fizermos t t e t2 tn At temos 293 A 2 B 1 1 ÍYr sm ds dt t2 tj I o espaço do ponto A ê 2 metros isto é sA 2 m o espaço do ponto B é1 metros isto é sB 1m vt lim Na figura a seguir temos uma curva y sobre a qual foi estabelecido um sistema de coordenadas abscissas usandose metrom como unidade de medida S2 S1 As t2 11 I As vn lim At0 At Vm m Consideremos um ponto material P movendose sobre uma curva y Para descrever o movimento de P é útil estabelecerse sobre y um sistema de coordenadas abscissas sendo que por razões históricas a palavra abscissa é substituída pela palavra espaço e é simbolizada pela letra s Se um ponto material P tem espaço s no instante t e o espaço s2 no instante t2 com t2t a velocidade escalar média de P entre os instantes t e t2 definida por Suponhamos que exista uma função f que a cada instante t associa o espaça s de PFigura a isto é s ft A velocidade esca lar instantânea de P no instante t1 é definida por im ftj t2i g V Fig b gt1 Fazendo t t et t At temos o de uma equação esta equação denominase equação horária da velocidade escalar Exercícios Resolvidos que a equaçao equação horária da velocidade escalar instantânea 294 as velocidades escalares de P nos instantes t e t2 res t A aceleração escalar média de P entre os instantes 1419 Um ponto material movese sobre uma curva de modo horária do espaço é a t lim b Determine a s t3 4t2 6t 1 0 escalar Se existe uma equaçao que relaciona a aceleração escalar instantânea com o tempo essa equação é denominada equação horária da aceleração gt2gt t2 1 lim 1 t2 t v2 vn AV 21 At Sejam v e v2 pectivamente com t2 t e t2é definida por com s em metros e t em segundos a Calcule a velocidade escalar média desse ponto entre os instantes t 3s e t2 5s Às vezes é possível relacionar o espaço de P com o tempo através de uma equação Neste caso tal equação é denominada equação horária do espaço Se for possível relacionar a velocidade escalar instantânea de P com o tempo através Suponhamos que exista uma função g que a cada instante t associa a velocidade escalar instantânea de PFigura b isto é v gt A aceleração escalar instantânea de P no instante t é definida por a t lim w ai o m ottt d Determine a equação horária da aceleração escalar instantânea Solução a s t34t2r6t10 b Vm 23 ms C v 3t28t 6 d Fig a i Fig b 295 i i v 3t2 8t 6 S t34t2 6t10 a 6t 8 dt 1420 Uma escala de comprimento igual a 5m está com uma extremidade apoiac no chão e outra apoiada numa parede vertical como indica a figura a A escada começa a escorregar de modo que num instante t a distância d é igual a 4 metros ver figura b e a extremidade B tem velocidade vB 12ms Calcule nesse instante a velocidade vA na extremidade A am t 1s v 3 1 8 1 6 1ms t2 4s v2 3 4 2 8 4 6 22 ms v 3t28t 6 dt 7 ms2 I 3ss 334326310 1m t2 5s s2 53 452 6510 45m c Calcule a aceleração escalar média entre os instantes t 1s e t2 4s v2vi 221 t2t 41 S2S1 451 t2 1 53 Solução ou I O Fig c li 2 4 2y 0 Portanto temos R A III 0 2x No instante pedido no enunciado temos 1 2ms x 4m y 3m e Substituindo na equaçac III obtemos 0 A Exercícios Propostos de modo que a equaçãn com s em metros e t em segundos 5s 296 O sinal de v eixo Oy ymÀ A a b c d 2 4 12 2 3 vA vA 16ms é negativo pelo fato de ponte A moverse 52 indica abscissa de A A i Portanto para x 4m teremos y 3m Vamos derivar todos os termos da eouação I em relação ao tempo e usando a regra da cadeia Calcule a velocidade escalar média entre os instantes t 3s e t2 Ss Determine a equação horária da velocidade escalar instantânea Calcule a aceleração escaiar média entre os instantes 1s e t3 Determine a equação horária da aceleração escalar instantânea no sentido negativo do 1421 Um ponto material movese sobre uma curva horária do espaço é y2 VB 2y x2 x2 s t4 2tJ 3t2 6 dy e v dt Mas v dt y2 25 Adotemos um sistema de coordenadas octogonais como indica a figura c Êejam x a abscissa de B e y a ordenada de A A cada instante devemos ter dy dt dx dt com x em metros e t em segundos A B d 145 TAXA DE VARIAÇAO Exercícios Resolvidos Solução O volume de uma esfera de raio R ê dado por 3 Usando a regra da cadeia temos 2 I 3R 297 dV dt dR dt 14 24 Um balão de borracha de forma esférica è enchido de ar de modo que seu raio aumenta à razão de 02cms Calcule a taxa de variação do volume desse balão em relação ao tempo no instante em que o raio for igual a 10cm 1 2 4 ir 3 I Va 1422 Consideremos uma partícula movendose sobre um eixo Ox de modo que a equação horária de abscissa x è VB a Determine a equaçao horária da velocidade escalar instantânea b Determine a equação horária da aceleração escalar instantânea 1423 Uma escada de comprimento igual a 13m tem uma extremidade apoiada no chão e a outra extremidade apoiada numa parede vertical como indica a figura de modo que num instante t a distância d é igual a 12m e a extremidade A tem velocidade 15 ms Calcule nesse instante a velocidade da extremidade B f Jl X 5 COS I r 6 V itR 3 Consideremos a função f dada por y fx Costumase dizer que f x é a taxa de variação de y em relação a x Assim podemos dizer que a velocidade escalar instantânea é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo Do mesmo modo a aceleração escalar instantânea é a taxa de variação da velocidade escalar em relação ao tempo No instante mencionado no enunciado temos R 1Ocm e Substituindo em I 3 10 3 02 Exercícios Propostos d H 1 290 1427 Calcule R Th 1423 Calcule a taxa de variaçao da área de um circulo em relação ac seu raio R no instante em que R 5m a taxa de variação da área A de um circula em relação ao seu raio uma cone de de diâmetro da como indica a está 1425 Uma esfera aumenta de volume de modo que seu raio aumenta â razão de 15 centímetros por segundo Calcule a taxa de variação da esfera em relação aa lempo quando o raio for igual a 2Dcm 02 cms 1426 O raio de um círculo aumenta ã razão de 04 metros por segundo Calcule a taxa de variação da área do círculo em relação ao tempo no instante em que o raio for igual a 5 metros 1429 Um reservatório de água tem a forma de altura H 8m base d 4m figura O reservatório sendo enchido ã razão de 0015m3s Calcule a taxa de variação da altura h da nível da água em função do tempo no instante em que h 2m dV 4 rr dt 3 dV 3 H0rclTi3s dt Capitulo 15 Variaçao das Funções 151 INTRODUÇÃO 152 TEOREMA DE WEIERSTRASS Vamos apenas dar alguns exemplos para ressaltar as hipóteses do teorema 299 Se f é uma função contínua num intervalo fechado a b então f tem ponto de máximo e ponto de mínimo nesse intervalo Nos capilulos anteriores vimos algumas aplicações das derivadas Neste capítulo veremos que a derivada tem aplicações importantes no estudo da variação de uma função Apresentaremos teoremas que nas permitem determinar os pontos máximo ou de mínimo e os intervalos em que a função é crescente ou decrescente Assim antes de prosseguir é interessante que o leitor reveja os conceitos de ponto máximo ponto minimo ponto da máximo relativo ponto de mínimo relativo função crescente e função decrescente que foram expostos no capitulo 3 Np final deste capitulo faremos a demonstração da regra de LHospital vista na capllulo anterior pois esta demonstração depende de teoremas que aqui serão apresentados Se imaginarmos o gráfico de uma função continua como uma linha sem saltes cu interrupções é fácil acreditarmos que o teorema deve ser válido No entanto a demonstração desse teorerra é muito complexa e assim não a daremos aqui O leitor poderá encontrar essa demonstração em livros de Cálculo Avançado Exemplo 1 y 3 2 1 1 x 1 Exemplo 2 y 3 2 1 1 0 1 Exemplo 3 Seja a função f definida por 1 f x para x 0 1r para x 0 i o 2 300 2r or 1 X fx0 X agora fx função e o 1 fh y4 2 Consideremos a função f definida por fxxsr 2 e o intervalo fechado 1 1 Temos uma função continua em um intervalo fechado Portanto esta função deve ter o ponto de máximo e o ponto de mínimo nesse intervalo Há dois pontos de máximo que são os números 1 e 1 e o valor máximo correspondente é o número 3 Há um ponto de mínimo que é o número 0 e o valor mínimo que é o número 2 4 2 x Consideremos agora a definida por fxxz 2 intervalo aberto 11 1 Temos uma função continua num intervalo aberto Portanto o teorema não garante que haja ponto de máximo e ponto de mínimo nesse intervalo De fato é fácil perceber que a função assume um valor mínimo nesse intervalo que é o número 2 mas não tem valor máximo E o intervalo fechadof2 2 O intervalo é fechado mas a função não é continua nesse intervalo Assim o teorema não garante a existência de um ponto de máximo e ponto de mínimo nesse intervalo De fato é fácil perceber que a função não assume o valor máximo nem valor mínimo nesse intervalo 153 TEOREMA DE FERMAT Demonstração é ponto de máximo relativo Isto significa que nu Assim para x x0 temos o íO donde lim 0 0 c iO donde C H III Assim de I II e III concluímos que í xn D 301 f Çxfx X x0 C Xo x X Xo Seja fuma função derivável no ponto x0 J êo ponto de máximo ou de mínimo relativo então f1 x fí x f X f Xa ÍXÍX fxfx0 XXQ o Consideremos o caso em que x0 existe uma vizinhança V de xQ de modo que para qualquer x e V temos De modo análogo se prova o teorema para o caso em que x0 é ponto de minimo rela li vo e definida em uma vizinhança de x0 Se O o o o a Como fé derivável de x pais já que f ê derivável em xQ podemos garantir que existe f x0 Se x x temos f Xq Um XX Q devemos ter y o x2 1 Observações y X como ilustra yA yA X 2 x Fig a Fig b 302 X Geometricamente o significado do teorema de Fermat é que nos pontos de máximo e mínimo relativo em que a função seja derivável a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo Ox como ilustra a figura ao lado onde x é o ponto de mínimo relativo e x2 è ponto de máximo relativo 1a O reciproco do teorema de Fermat não é válido Pois é possível termos fxo O sem que x0 seja ponto de máximo ou mínimo relativo Consideremos por exemplo a fun ção f x x3 É fácil concluir que f0 0 mas o número 0 não é ponto de máximo nem de mínimo relativo como ilustra a figura ao lado 2a Uma das hipóteses do teorema de Fermat é que a função f seja derivável no ponto x0 considerado Portanto nada é afirmado para o caso em que fx0 não existe Na realidade quando fx0 não existe pode acontecer que x0 seja o ponto de máximo ou minimo relativo mas pode acontecer também que não seja nem ponto de máximo nem ponto de mínimo relativo Assim por exemplo a função representada na figura a a seguir tem ponto de máximo relativo que é o número 2 e no entanto não existe f2 Como outro exemplo podemos citar a função f x Vx figura b Neste caso não existe f 0 e o ponto 0 não é nem de máximo nem de minimo relativo Defitiiçã o 15 4TEOREMA DE ROLLE Demonstração b x a a Figb Fig a D yi b X a Fig c 303 nas extremos de assim para qualquer Q 0 o Um ponto x0 para o qual f xQ 0 é denom nado ponto crítico da função f De acordo com a primeira observação acima um ponto crítico pode ser um ponto de máximo ou mínimo relativo mas também pode não ser nem ponto de máximo nem de mínimo relativo b x Se tanto o valor máximo como o valor mínimo forem atingidos ab como fa fb a função f é constante e x0 e a b teremos f xD 0 figura c Sendo f contínua em a b pelo teorema de Weierstrass podemos garantir que tem um máxima e um minimo em a b Se o ponto de máximo ê um ponto xD e a b de acordo com o teorema de Fermat teremos f x0 0 figura a e o ponto de mínimo ê um ponto xQ e a b novamente de acordo com o teorema de Fermat teremos f x0 figura b Consideremos uma função f continua em a b e derivável em a b Se fafb existe pelo menos um ponto xQ em a b tal que f x0 0 b x a y a Fig e 155 TEOREMA DO VALOR MÉDIO gxfx ga fa aa fa e gb fb ba fa 304 Se a função f é contínua em a b e derivável em a b existe pelo menos um número x0 g Ja b tal que Demonstração Consideremos a função g dada por ba fbfa ba ba Observações 1a A hipótese do teorema de Rolle de que f é derivável em a b é importante pois sem ela não poderiamos aplicar o teorema de Fermat Assim por exemplo para a função representada na figura d não há nenhum x0 e a b para o qual fx0 0 pelo fato de a função não ser derivável no intervalo a b y xa J É fácil concluir que g é continua em a b e derivável em a b pois o mesmo ocorre com as funções fx e hx x a Por outro lado temos fbfa ba Fig d 2 Satisfeitas as hipóteses do teorema de Rolle este afirma que há pelo menos um ponto x0 e a b tal que f x0 0 Isto quer dizer que pode haver mais de um ponto cuja de rivada seja nula como ilustra a figura e b x S o f n 0 Portanto fo t fb fa Ho b x a é dada por 305 í ba fbfa b a significa que a reta t é paralela à reta r xo úf ót tat e a velocidade escalar instantânea da partícula num instante t0 x0 donde concluímos que ga gb Assim de acordo com o teorema de Rolle ewste x0 e a b tal que gx0 0 isto è fbfa ba v flo VT1 fiHa ba è o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontas a fa e bfb Por outro lado fx0 é igual ao coeficiente angular da reta t tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa xQ Assim a igualdade Observações 11 A figura a seguir nos ajuda a dar uma interpretação geométrica do teorema do valor médio O número 2 Dada uma função f a taxa de variaçao média de f no intervalo fa b é igual a fbfa ba e a taxa de variação instantânea e f no ponto xD é igual a f xQ como já havíamos mencionado no capítulo anterior Assim o teorema do valor médio afirma que se í é continua em a b e denvãvel em a b existe pelo menos um xQ ea b tal que a taxa instantânea de f no ponta xD é igual ã taxa de variação média de f no intervalo a b Dai vem o nome teorema do valor médio Um exemplo físico interessante é o caso da velocidade escalar Suponhamos que o espaço de uma partícula em função do tempo seja dado pela função f A velocidade escalar média da partícula no Intervalo de tempo t t é dada por Corolário 1 Demonstração 2 rx Mas fx 0 para todo jeab Portanto donde 306 Se uma função f é continua em a b e f x 0 para todo x e a b então f é constante no intervalo a b fx Sabemos que se uma função F é constante sua derivada é nula Cabe erilac a pergunta Se fx 0 para todo x pertencente a um intervalo podemos concluir que essa função è constante nesse intervalo1 A resposta é sim11 e ela ê justificada a seguir no Corolário 1 da teorema do vaiar médio Concluímos então que o valor de f é o mesmo para dais pontas quaisquer da intervalo a b o que significa que f é constante no intervalo 2 f 1 x2 X Sejam x e x2 dois pontos quaisquer de a b com x x2 Então de acorda com o teorema do Valor Médio existe x e x x3 tal que f Portanto de acordo com o teorema do valor médio em pela menos um inslanle tD e Jt t2 a velocidade escalar instantânea foi igual à velocidade escalar média no intervalo t t2 Assim por exemplo se a velocidade escalar méaia de uma partícula em um dada intervalo de tempo foi igual a 40kmJh em pelo menos um instante desse intervalo sua velocidade escalar instantânea foi igual a 40kmh x2 X Colora rio 2 Para todo Demonstração ou f X g í x c U ainda fx gx c 156DERIVADAS E CRESCIMENTO DAS FUNÇÕES Teorema Demonstração 307 x e a b fx gx c a demonstração da parte em Ja b Se fLx gx XzX Consideremos a função Ti definida por hxfxgx A função h é continua em a b e derivável em a b pois f e go são Como para todo xejabj temos f x g x concluímos que h x fx g x 0 para todo xeab Portanto de acordo com constante no intervalo a b isto é existe ce tal que h x c corolário 1 a função h é Faremos apenas a demonstração da parte A do teorema B é análoga Consideremos dois pontos x e x2 do intervalo a b com x c x3 Se f x para todo xe a b concluímos que f é derivável em a b Portanto de acordo com teorema do Valor Médio existe x0 x1 x2 tal que A Se f x D para todo k e a b entáo f é crescente em a b B Se f x 0 para todo x e a b entáo f é decrescente em a b Sejam f e g funções continuas em a b e derivâvets para todo x e a b b entáo existe um c eR tal que para todo x e a b Os Corolários 1 b2 terão aplicações importantes no capitulo 16 Mas como f x 0 para todo x e a b devemos ter fxoO e portanto D 0 Lembrando que x2x a desigualdade I nos conduz a ou fxz fx fx 0 fx 0 Fig a Fig b fx 0 Fig c Fig d 308 fx o Devemos observar que o reciproco do teorema não é válido isto é não é verdade que fx fX2fXl X2 X1 As figuras ilustram o teorema Nas figuras a e b vemos que a reta tangente ao gráfico de f num ponto qualquer tem coeficiente angular positivo isto é fx 0 Assim a função é crescente Nas figuras c e d vemos que a reta tangente ao gráfico de f num ponto qualquer tem coeficiente angular negativo isto é fx 0 Assim a função é decrescente f é crescente f x 0 f é decrescente fx 0 Vemos então que para x2 x1 temos fx2fx o que nos leva a concluir que f é crescente no intervalo dado 2fxJ0 y fx0 o o x desde que f seja derivável no intervalo considerado Exemplo YA Exemplo y a b x a Caso em que f é contínua em a b 309 x f é crescente f f é decrescente f x4 Se a função f é continua em a b acompanhando a demonstração do teorema vemos que seu enunciado pode ser alterado para L xo Consideremos por exemplo a função f representada na figura e A função f é crescente e no entanto no ponto x0 a reta tangente ao gráfico é paralela ao eixo Ox isto é fx0 O É fácil perceber então que as implicações corretas são x0 A função f R R definida por fx Vx é crescente em todo o seu domínio mas não é verdade que fx0 em todo seu dominio pois não existe f0 A função f representada na figura é crescente em todo o intervalo a b mas não é verdade que fxàO para todo xeab pois f não é derivável no ponto x0 B Se fx 0 para todo xeab então f é decrescente em a bj A Se fx 0 para todo xeab então f é crescente em a b Exemplo y b b a x Fig b Fig a Exercícios Resolvidos Solução b Estudando os sinais de fx temos x 2 0 fx Assim 310 x a f X 0 co x 7Í2 fx 072 x 151 Consideremos a função f R R definida por f x x3 6x a Determine os pontos em que f se anula b Determine os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente V2 Oi a f x x36x fx 3x26 f x 0 3x2 6 0 x 72 ou x 72 Portanto os pontos onde f se anula são x 72 e x2 75 A função f representada na figura a é contínua em a b e temse fx 0 para todo x e a b Temos então que f é crescente em a b A função g representada na figura b satisfaz g x 0 para todo xeab mas não é crescente em a b embora seja crescente em a b Isto pode ocorrer porque g não é continua em a b ou x 72 75 seu dominio temos Na figura a seguir temos um esboço do grafico de f 2 x 2 O ponto Exercícios Propostos 157 PESQUISA DE MÁXIMOS E MÍNIMOS APLICAÇÃO AOS GRÁFICOS 311 f è crescente nos intervalosVs e f è decrescente no intervalo 153 Consiceremns Determine os i Cama a função f é continua em todo o Xa 154 Seja f definida por fx mx2 x 12 Determine m de modo que a função seja crescente para todo x éR a função f R IR definida por fxxí4xlr4x21 intervalos onde f é crescente e onde f ê decrescente 0 teorema do item anterior pode nos ajudar a determinar os pontos de máximo relativa e mínimo relativo de uma função f Em primeiro lugar determinaremos todos os pontos x0 para os quais ou f xc 0 ou não existe fxc Depois aplicamos a regra a seguir a qual ê consequência imediata daquele teorema 152 Seja f R R definida por f x 2xJ 24x fi a Determine os pontos em que f x 0 b Determine os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente x j é um ponto de máximo relativo e o ponto xz 2 é um ponto de mínimo relativo Regra Seja f continua em xa IV fx 0 fx O II Vf fx 0 fx 0 110 Jk vi t fx 1 312 x0 Máximo relativo Ho xo Mínimo relativo fx0 0 xo Máximo relativo fx0 0 xo Mínimo relativo fXo 0 i fx 0 xo Máximo relativa fx0 e derivãvei em uma vizinhança de x 0 fx 0 fx fx 0 fx V A Se rx0 em algum Intervalo à esquerda de x0 sendo xe um extremo desse intervalo e fxo em algum intervalo à direita de xtt sendo xB um extremo desse intervalo então x0 é ponto de máximo relativa Veja as figuras I II e III B Se fx0 em algum intervalo á esquerda de xB sendo x0 um extremo desse intervalo e fx0 em algum intervalo á direita de x0 sendo um extremo desse intervalo então x é ponto de mínimo relativo Veja as figuras IV Ve VI o Mínimo relativo w Exercícios Resolvidas X ro crescente decrescente f crescente Itm f x 4 2 3 4 1 X 5 313 2 2 3 4 3 Oi x 1 0 1 fx 133 1 73 53 1 73 1 Oi 3 2 1 í i d fx xa 2xz 3x 41 f x xa 4x 4 3 Comovemos f está definida para todo xeüã Vamos enlác determinar os pontos onde fx 0 155 Consideremos s função f definida por fx x32x2 4 3x41 Determine os pontos de máximo e mínima relativo e esboce gráfico de f Saluçãc lim f x 4co e O quadro a seguir nos dá o sinaí de f x e o comportamento de f para cada x 0 x2 4x43 0 x ou x 3 Aplicando a regra estabelecida Vemos que 1 é o ponto de máximo relativo e 3é o ponto de mínimo relativo Para esboçarmos c gráfico de f podemos calcular fx para alguns valores de x nas proximidades dos pontos de máximo e mínimo relativo como mostra a tabela se possível determinamos os pontos onde fx 0 É interessante também verificamos c comportamento de f no infinito Neste caso temost a 6x 12x7 Solução 3 Vemos que f está definida para todo xeR Qq 3xa12x 120 X 2 rx x fx crescente crescente lim fx 4 X 3 314 Como f é contínua no ponlo 2 concluímos que ela è crescente para todú o domínio Portanto não hã nem ponto de máximo nem ponto de minimo relativo Temos também 156 Determine os pontos de máximo e mínimo relativo e esboce o gráfico da função f definida por y 4 3 2 1 o i 2 3 4 fK 7 0 1 2 3 x D 1 2 2 0 1 2 jF í sp f x X Calculando fx para alguns valores de X próximos do pcnlo crítico X 2 padeiros esboçar o gráfico de f não nos esquecendo de que f2 0 isto ê para x 2 a tangente ao grãfico ê paralela ao eixo Ox Num caso como este dizemos que o ponto 2 ê um ponto de inflexão horizontal fx x36x 2 12x 7 fx 3xa12x 12 lim f x e Solução 2 y ik 2 158 Consideremos a função f definida por Determine os pontos de máximo e mínimo relativo e esboce o gráfico de f Solução para 315 4 1 x 15 7 Determine os pontos de máximo e mínimo relativo e esboce o gráfico da função f definida por f x Vx 2 Isto significa que a tangente Vemos também que Observamos que não existe x para o qual fx 0 Vemos também que f está definida para todo x com exceção de x 2 Calculando o limite de f x para x tendendo a 2 obtemos x 1 2 3 fx 1 0 1 x 1 ao gráfico de f no ponto 2 é vertical lim fx lim fx o para x fx tx12 2 axi w h 3 lim fx co e Calculando fx para alguns valores x próximos do ponto 2 podemos esboçar o gráfico lim f x c d fx x2 f X 3x22 X fíx f crescente e Calculando fx para alguns valores de x próximos do ponto de mínimo podemos 4 2 3 2 1 0 1 2 3 4 X e mínimo relativo e esboce o gráfico da fx Solução fx 316 fazer o esboço do gráfico de f y 159 Determine os pontos de mâxrmo função f definida por 2 X X 0 1 7 ffx 3 2 3 lim fx Jim fx 0 x2 1 lim f x co e lim fx ao Isto significa que no ponto 1 a reta tangente ao gráfico de f é vertical Temos também Observamos que não existe x para o qual fx 0 Observamos também que f está definida para todo x com exceção de x 1 O quadra a seguir nas dá o sinal de Cx e o comportamento de f para cada x O sinal significa que f não está definida 1 è decrescente Aplicando a regra apresentada na teoria concluímos que 1 ê ponta de mínimo relativo Na reajicade pelo comportamento de f é fácil concluir que 1 é lambem ponlo de mínimo absoluto de f Calculando o limite de fx para x tendendo a 1 obtemos x X X2 1 z C X 1 ou X 1 X 1 X fx f A figura a seguir nos dá o esboço do gráfico de f y 1 X 2 1510 Seja a função f definida por fx Determine os pontos de máximo e mínimo relativo e esboce o gráfico de f Solução 3 fx parax 3 fx 317 4 4 2 3 4 fx 5 2 2 V 2 x 7 2 1 2x1 x3 Pela regra apresentada concluímos que 1 é ponto de máximo relativo e 1 é ponto de mínimo relativo Temos também para x crescente idecrescente decrescente 0 1 Q j crescente lim fx oo lim fx x X 0 2x4 x3 2 x32 lim fx oo X lim fx o 4 3 2 1 4 3 2 1 1t 2 3 3 x Temos y 3 2 2 fx 318 6 5 4 3 2 1 f x f X 1T 1 2 52 72 4 ir 6 lim fx 2 lim f x ao g decrescente decrescente Nao há nenhum x para o qual fx 0 lim f x 2 lim fx Determine os pontos de máximo e mínimo relativo e esboce o gráfico de f Solução 5j 12x 23 Peío comportamento de f vemos que não hâ ponto de máximo relativa nem mínimo relativo A figura a seguir nos dá o esboço do gráfico de f 12XJ3 8x1J 3 53 X J 5 23 1 111 í í n I 1511 Seja a função f definida por x 32 43 1 0 2 6 H 4 3 83 í 1 4í 5 6 Observamos que nao existe f kO Temos 8 2J3 X Assim r x o x fx crescente f Aplicando a regra apresentada comportamento de f para lim fx y 0 1 8 X 20 319 8 x 20 fx O 1 T44 5 I O 63 S 336 5 lim fx k o fx x lim f x o 144 Í1 8 0 x 1 B f X 0 x 5 lim fx o Concluímos enlão que para x D a reta tangente ao gráfico de f ê vertical neste casa é próprio eixo de Oy Para esboçarmos o gráfico é útil estudar o mnnrtamento de t nara calcular as raizes de f O crescente idecrescentej na teoria concluímos que 0 é o ponto de máximo relativo e 0 é ponto de mínimo relativa Calculemos o lim fx para x tendendo a O que é o ponto para o qual não existe fx 8x ou X 20 33 12XÍ1 0 4s x21 x 12 0 x 0 s J x 8 O ü X 3 vx 1512 Consideremos a função f definida por 3 3x Solução Tanto f como F sao contínuas em todo o intervalo dado fx 0 o 3x2 3 0 x 1 ou x Observemos que os números 1 X fx crescente f decrescente crescente f1 2 x 320 li Calculemos os valores de fx nos exextremos do intervalo fx x33x fx 3x23 65 S yi 65 8 3 Determine os pontos de máximo absoluto de f no intervalo 2 1 ÕF 1 e 1 são interiores ao intervalo dado De acordo com a regra apresentada na teoria concluímos que 1 é ponto de máximo relativo e 1 é ponto de mínimo relativo Temos 6 e rfl 2j fx X e Fazendo o esboço do gráfico de f concluímos que o número 1 além de ser ponto de mínimo relativo é também o ponto de mínimo absoluto de f no intervalo dado Concluindo também que o número é o ponto de máximo absoluto de f é 2 e o cc máximo absoluto de f é 8 1 81 i 37 Exercícios Propostos Para cada função dada nos exercícios de números 1513 a 15 30 pedem se 1521 f x 1524 fx 1523 fx 1526 f 1525 fx H3 Teorema 4 321 a pontos de máximo relativo b pontos de mínimos relativo c esboço de gráfico i um derivada segunda 1513 f x x3 3x t 4 1515 fx x 2xl 3 1517 f x 3x Sxa 1 1519 fx x22 1 x 2 x34x 3 x xz x 1 2 x2 1 6s 4x3j 1527 fx x 1529 fx x Seja f uma função tal que fx0 O A Se 0 entà0 xo é Ponto de rninimo realiv0 B Se fxD 0 t então é ponto de máximo relativo 15B PESQUISA DE MÁXIMOS E MÍNIMOS USO DA DERIVADA SEGUNDA No item anterior vimos um método de pesquisa de máximos e mínimos relativos que se baseia nc estudo da derivada primeira da função dada Veremos agora outro processo que ãs vezes é de grande utilidade baseado na 1 2 da função dada 1514 f x x r 6x 5 1516 fxx44x 5 1518 f x 2 15201 X 1522 fx x 1 xz3x x4 x 1 1526 fxxs3x3 1530 f x xV3 x 1531 Consideremos a função f definida por f x x 3x 4 Determine os pontos de máximo absoluto e de minimo absoluto dessa função no intervalo h C Demonstração Al Pela definição de derivada temos B A demonstração deste caso ê análoga à do caso A Consideremos a função f definida por f x x3 3x Temos f x 3x2 3 L 2 Veja o extrcíciDS A 12 322 Mas de acordo com a regra do item 157 isto significa que n é minimo relativo 0 a iguaídade I nos diz que para h suficíentemente ssim os pontos 1 e 1 são candidatos a ponto de máximo e ponto de mínimo relativo Tentaremos decidir através da derivada segunda de f fx 6x 6 0 f1 6 0 Exemplo Mas como por hipótese fx I TE o ponto cie 0 vem Xgh h se h 0 fxo hO se h 0 fxo h0 Supondo que fx9 pequeno devemos ter f x i Q c 3x 3 0 x ou x 1 nwiMaT Observações e y y 1 3 2 3 x 2 x C fx x23 1 a fx x24 3 Exercícios Resolvidos 1532 Consideremos a função f definida por Determine os pontos de máximo relativo e mínimo relativa 323 Como f10 concluímos que o número 1 é ponto de minimo relativo e como 0 concluímos que o número 1 é ponto de máximo relativo I i f x x3 2x2 3x 1 2 Quando ocorre fXo O e fXo 0 para decidirmos o que ocorre no ponto xc podemos recorrer ao método da derivada primeira apresentado no item anterior ou a um método mais geral o qual é estudado em Cálculo Avançado 3 0 teorema apresentado acima também nos ajuda a obter os máximos e minimos relativos que ocorrem em pontos onde a derivada não existe Nestes casos recorremos ao método da derivada primeira 1 Pode acontecer que além defxo O tenhamos também fxo O Neste caso o teorema acima não nos informa o que acontece no ponto x0 Na realidade neste caso o ponto xQ poderá ser um ponto de máximo relativo ou um ponto de mínimo relativo ou nenhuma das duas coisas conforme ilustram as funções fx x24 3 f x x24 3 e fx x23 1 cujos gráficos estão esboçados nas figuras a b e c y b fx x24 3 Para as três funções dadas temos f2 0 e f2 0 mas no caso a o número 2 é ponto de minimo relativo no caso b o número 2 é ponto de máximo relativo e no caso c o ponto 2 não é ponto de máximo nem ponto de mínimo relativo Solução f x 2x4 se b pontos de máximo relativo pontos de mjnimo relativo b 1533 f x 2x3xz12x 7 1534 1535 f x x1 2xz 3 324 f 1 2l4 2 0 f3 234 2 0 f x x2 4x 3 existe para todo x Exercícios Propostos Para as funções dadas nos exercícios de números 1533 a 1536 pedem é ponto de máximo relativo f3 0a 3 ê ponto de mínimo relativo v1 1 X 1536 fx xí36x1 O 2x2 3x 1 f x 0 cp xa4x 3 0wx 1ou X 3 Temos então f1 1 0 e f 3 0 Para decidir se os pontos 1 e 3 são de máximo ou mínimo relativo usamos a derivada segunda xz 6x 5 Í5S MÁXIMOS E MÍNIMOS ALGUMAS APLICAÇÕES Exercícios Resolvidos números procurados x y 45 ou y 45 X 30 0 X 0 fx decrescente crescente f 325 fx 3x3 90x fx 6x90 f3Q 630 90 90 0 í 30 0 30 é ponto de máximo relativo Resta verificar se 30 é também ponto de máximo absoluto Fazendo o estudo do sinal da derivada de f obtemos Devemos agora procurar o valor de x para o qual P tem valor máximo isto é devemos obter o valor máximo da função f dada por f x P x3 45x2 Tentemos o processo da denvada segunda decrescente Solução Sejam x e y os Temos Sendo p o produto de um deles pelo quadrado do outro temos P yx 45 X X3 45 X2 1537 Determine dois números positivos cuja soma é igual a 45 de modo que o produto de um deles pelo quadrado do outro seja o máximo Em vista do enunciado do problema é fácil concluir que a solução x 0 nao serve Vamos agora verificar se o número 30 é ponto de máximo au de mínimo A pesquisa de máximos e mínimos tem aplicações interessantes tanto na Malemática como na Física Nos exercícios a seguir leremos oportunidade de ver algumas dessas aplicações f x c 3xs 90 x 0 X 0 ou X 30 45 30 0 x fx crescente f Observações Exercícios Resolvidos 10km A 326 ás vezes é possível tirarmos física do problema 0 i decrescente B 30km 1538 Um homem está em um barco sobre um lago em um ponto P situado a 10km da margem do lago a qual é reta como ilustra a figura Na margem do lago hã uma casa sobre ponto A O homem vai de barco até um ponto B da margem e de lã prossegue a pé até a casa Sabendo que a velocidade do barco ê 12kmh e que a velocidade do homem é I3kmh determine a posição do ponto 8 de modo que o trajeto total seja feito no menor tempo possível Observamos então que dentro do intervalo 0 45 á esquerda do ponlo 30 f é sempre crescente e à direita do ponto 30 f é sempre decrescente Portanto dentro do intervalo considerado o ponto 30 é ponto de máximo absoluto Devemos ter então x 30 donde concluímos que y 15 pois x y 45 Assim os números procurados são 15 e 30 1 De modo gerai nos problemas analisados neste item procuramos representar a grandeza da çual se quer achar o valor máximo ou mínimo através de uma função de apenas uma variável 2 a Nos problemas dos tipos çue estamos analisando neste item ás vezes pede ser muite trabalhoso ou dificil determinar se um ponto critico è pcnlo de máximo relativo ou mínimo relativo do mesmo modo pode ser trabalhoso verificar se c ponto de máximo mínimo relativo é também ponte de máximo minimo absoluto Em casos como esses é nnssível tirarmos a dúvida através de uma análise geométrica ou Porém levandose em conta que x e y sao números positivos lais cue x y 45 concluímos que 0 x 45 Assim temos Solução P 10 B T hA C x Temos At Portanto o intervalo de tempo total At é dado por At Podemos considerar então a função f definida por rx fx 0 fx Se x 24km então 30 x 6km Portanto o ponto B deve estar a 6km da casa 327 para 0 x 30 Como queremos que At seja mínimo devemos procurar o ponto de minimo de f 1 13 7x2 100 12 100 12 30 x 13 30x 13 30 X 13 x 12x2 100 Jx2 100 12 JL o x 24 13 Seja x a distância entre os pontos C e B da figura ao lado Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo PCB concluímos que a distância enlre os pontos P e B é 7x2 100 Sejam At e At2 respectivamente os intervalos de tempo para ir de P a B e de B e A e At 2 100 12x2 100x2 100 f24 0 donde 30x Mesmo sem efetuar os cálculos é fácil perceber que concluímos que 24 é ponto de minimo x 12x2 100 Solução 130 km Fig a Fig b l ponto Temos ft 23üt30 2 13020t20 JU f I 6030t4013020t Assim ft o 328 1539 Às 15 horas um navio A está a 130km a leste de um navio B O navroA movese para oeste a 20kmh e o navio B movese para o sul a3Úkmh A A que horas a distância entre eles será mínima B Qual é a distância mínima entre eies I Quíremos distância é H 20kmh A 130 13Q20t Seja d a distância entre tiramos B 30 kmh d2 30t13020t2 6030t4Qi3020t O t 2 que a distância d seja mínima Mas fevandose em conta que a um mimem não negativo quando d for mínimo d2 também serà mínimo Assim para facilitar os cálculos vamcs procurar o valor mínimo de d2 isto é vamos determinar o ponto de mínimo da função f definida por ft 30trl3020t l a As velocidades dos navios A e B são respectiva mente iguais a 2ükmfti e 30kmh Assim em t horas as distâncias percorridas pelos navios AeB senão em quilômetros respectiva mente iguais a 20t e 30t A figura a mostra as posições dos navios ás 1 5 horas e a figura b moslra as posições dos navios t horas depois os navios t horas depois das 15 horas Da figura b b Vimos qudd 30t2 13020t2 Para t 2 temos d2 602 13O4O2 11700 ou Solução o setor é igual 2R 0R 12 D A área A do setor circular é dada por II Da igualdade I tiramos 0 2 Substituindo em II obtemos A 329 d V11700 30s13 Portanto a distância mínima entre os navios ê igual a 30 Ví3 km fR 2 f3 20 fR 62R fR 0 62R 0 o R 3 Devemos então fR 6RR2 Temos R R R 2 0R2 2 A 2 1540 Determine o raio e o ângulo central de um setor circular de perímetro 12 m de modo que sua área seja máxima Para decidirmos se o número 3 ê ponto de máximo ou de minimo usamos a derivada segunda Estudando os sinais de ft ou através de ft é fácil que o número 2 é ponto de mínimo da função f Portanto a distância mínima entre os navios ocorre 2 horas depois das 15 horas isto é às 17 horas procurar o Consideremos o setor circular sombreado na figura Sendo A medido em radianos o arco AB tem comprimento f onde 0 R Portanto o perímetro desse setor é igual a 2R OR isto é 21 6RR2 R J 2 ponto de máximo da função f definida por 1 2 R Como f3 0 concluímos que 3 é ponto de máximo Assim R 3 m Substituindo em f obtemos 6 2 radianos Solução hx R x 4 I PC ou donde íí Sendo V o volume do cone temos III Substituindo e II em III temos 330 x 4 r PA AB PC oc Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo PCC obtemos VPh 3 Vx2 4 v 3 Da semelhança dos triângulos POC e PAB tiramos 1541 Determine o raio da base e a altura de um cone circular reto circunscrito a uma esfera de raio R 4 m de modo que o volume do cone seja mínima 16r x 42 4 Itf 4x 4jf 7x16 J r4x4j Vx2 16 Sejam r e h respectivamente o raio da base e a altura do cone De acordo com a figura temos x R2 Vx2 1S fx fx f x 0 c 0x 4ex12 h 16m e 4 f Exercícios Propostos A B 16km 331 8km 4 ÕT x rõõ i I 12 ÕT O valor 4 obviamente não nos serve ficamos então com o ponto crítico 12 o estudo do sinal de fx Observando veja figura que x 4 Temos t2 1544 Um homem está em um barco sobre um lago em um ponto P situado a 8km da margem do lago que é reta como ilustra a figura O homem vai de barco até um ponto B da margem e de lá prossegue a pé até o ponto A Sabendo que a velocidade do barco é 3kmh e que a velocidade do homem é 5kmh determine a posição do ponto B de modo que o trajeto total seja feito no menor tempo possível 1542 Determine dois números positivos cuja soma é igual a 8 de modo que seja mínima a soma do quadrado do primeiro com o cubo do segundo xz 1543 Determine o ponto do gráfico de y que está mais próximo do ponto 4 Fazendo o estudo do sinal de fx e observando que devemos ter x 4 concluímos que 12 é ponto de mínimo Portanto temos x 12 Substituindo em I e II obtemos Devemos então obter o ponto de mínimo da função f definida por 16nx 42 3x 4 16n x2 8x48 3 x42 xz 8x 48 x42 r 4 J2 m 4 decrescente crescente retângulo de área 64mi de mode que seu Mura x y y R R y L R y R 332 1 548 Determine as dimensões de um retângulo de perímetro 20m de modo que sua área seja máxima A que horas a distância entre eles será mínima Qual é a distância mínima entre eles 1550 Determine as dimensões do re tângulo de área máxima que pode ser inscrito em um semi círculo de raio R a b 1551 Determine as dimensões de um trapézio inscrito num semicírculo de raio R de modo que seu perímetro seja máximo e calcule esse perímetro máximo 1552 Determine os lados de um tri ângulo inscrito em um semi círculo de raio R de rrodo que Sua área seja máxima 1 547 Determine as dimensões de um perímetro seja mínimo 1549 Um indivíduo pretende construir um galinheiro retangular usando um muro corno um aos lados do retângulo Sabendo que ele dispõe de material suficiente para construir 400 metros de cerca determine as dimensões do retângulo de modo que sua área seja máxima 1553 Consideremos um triângulo re tângulo de catetos medindo Sm e Sm Determine as dimensões de um triângulo que tem um de seus lados sobre a íiipotenusa do triângulo e as dois vértices da lado oposto sobre os catetos de medo que a área dc retângulo seja máxima 1545 Ao meiodia um navio A está a lOükm ao norte de um navio B 0 navio A movese para sul a 20kmh e o navio B movese para lestes lOJtmíh 1 546 Determire o raio R e o angule cenlral 8 de um setor circular de perímetro igual a k de modo que a área do setor seja máxima x r 1510 DEMONSTRAÇÃO OA REGRA DE UHOSPITAL f b f a g x0 gbgafx0 333 1560 Determine o raio da base e a altura de um cilindro circular reto de volume V 1 6nm3 de modo que a sua área total seja minima 1561 Um cone circular reto está inscrito numa esfera de raio R Calcule o raio da base e a altura do cone sabendo que sua área lateral é máxima 1556 Llm pedaço de arame de comprimento L é cortado em dois pedaços um dos quais é dobrado em forma de circulo e o outro é dobrado em fnrma de quadrado Como deve ser feito esse corte de modo que 1558 Determine o raio da base e a altura de um cilindro inscrito numa esfera de raio R de modo que o volume do cilindro seja máximo 1559 Determine o raio da base e a altura de um cilindro circula Are to de área total igual a 30m3 de modo que seu volume seja máximo 2 s s 27 7777777777777777777777777777777777777777777 Consideremos duas funções feg contínuas em a b e deríváveis em a b Existe pelo menos um xQ e a b tal que a a soma das áreas dc circulo e do quadrado seja mínima b a soma das áreas do círculo e do quadrado seja máxima 1557 Determine o raio da base e a altura de um cone circular reto inscrito em uma esfera de raio R de modo que o volume do cone seja máximo Calcule esse volume máximo 1554 Um muro de altura 27dm está a 8dm da parede lateral de um ecifico Determine o menor comprimento 1 de uma escada cujos extremos se apoiam nà parede e no chão do lado de fora do muro 1555 Urna folha de papel usada para impressão tem área de 900cmz As mar gens na parte superior e inferior são de 4cm e as margens laterais são de 1tm Determine as dimensões da folha sabendo que a área impressa ê máxima Neste item faremos a demonstração da regra de LHospital que foi apresentada no capitulo 14 Porém para essa demonstração precisamos do teorema do valor médio de Caunhy que será demonstrado a seguir Teorema do Valor Medio de Cauchy Observemos que para lodo x leremos gbb t Demonstração D donde gbgarxofbfagxj Regra de UHosprtal í i i 334 lim g x 0 xa Assim obtemos teorema do valor médio demonstrado no iten 155 fbfa ba Consideremos a função h definida por hxgbgaJf5ríbf3gx A função h é contínua em a bj e derivãvel em a b pois f e g o são Observemos ainda que 1 Se g a gb e Se existe lim 1 r g x r fx hm J xa g x 9 t xo 0 a equação acima pode ser transformada em fbfa f x0 gbga gx0 2 a Se a função g for a função identidade isto é gx x e ga a f f x 1 eniao existe jm e g limííil gxj Sejam f e g as funções tars que imfx0 e J ba fagbfbga jhb fagbfbga isto é ha hb Assim de acordo com o teorema de Rolle existe x0 e a b tal que h x0 Portanto tendo em conta a equação I temos 93 nbfa93toi0 Demonstração com D H Sx 0 para lodo x eV com a possível exceção de X a ou III Sendo a k x se X a então k a Como por hipótese existe lím Assim da igualdade III tiramos então 335 e são iguais Observemos que o teorema nao exige que existam fa ou fb e também não se refere a05 valores de fa e fb Em qualquer caso redefinimos f e g de modo que fa ga 0 e assim f e g tornamse continuas nc ponto a pois lim f x lim g x 0 fxfa fk gxga g k UJ fM gx gk fk fk lim im t9k agkj Suponhamos ínícialmente que aXa F Das considerações anteriores deduzimos que podemos aplicar os teoremas de Rolle e de Cauohy às funções f e g no intervalo a xj Assim concluímos que gx0 pois se g x 0 e acor o o que contraria a conclusão II acima De acordo com o teorema do valor médio de Cauchy deve existir pe o menos k e a x tal que rk lim Imi 9 k f lim a g X J fíx ffk i temos que existe lim a gx k 1 fí X Como existe lim concluímos que existe uma vizinhança V de a V a e a e de modo que ÍL irmH ag gx fx e g x existem para todo x e V com a possível exceção de X a Exercícios Suplementares e II 12 Usando a regra de LHospital calcule os seguintes limites o X 1114 Consideremos 5dm x x F 8cfm 1116 Determine os pontos de máximo e mínimo relativo da funçSo f definida por 336 1111 Em cada caso a seguir admitindo que a equação dada represente pelo menos uma função f tal que y fx determine f x 1117 Determine os valores de m e n de modo que a função f definida por í x x1 9xJ ax b tenha um mínimo relativo igual a 7 para x 2 a b A a b X b lim x 0 x o H sec x1 III3 Um cubo se expande de modo que sua aresta aumenta à razão de 02 cmsegundo Determine a taxa de variação de seu volume no momento em que sua aresta mede 2ücm Determine os intervalos em que f é crescente Determine os intervalos em que f é decrescente c lim C lll5 Uma caixa de base retangular e sem tampa é construída do seguinte modo de uma placa retangular de dimensões 8dm e 5dm cortase um pequeno quadrado de cada canto e em seguida as beiradas são dobra das nas linhas pontilhadas Determine a medida dos lados dos quadrados cortados de modo que o volume da caixa seja má ximo d lim o a função f 0 2n K definida por f x sen x cos x cos x t sen y 1 y In x cos2x fx e sT X 1 a lim x 1 e 4 sen x 1 In1 x PARTE IV Integração Noções Básicas Capítulo16 Noções de cálculo integral Capituo17 Técnicas de integração Capítulo18 A integral definida Capítulo 16 Noções de cálculo integral 161 INTRODUÇÃO 162 O CÁLCULO DE ÁREAS FUNÇÕES PRIMITIVAS b 0 X a Como determinar A 339 x Neste capitulo entraremos Matemática a integral O cálculo da área de figuras planas cujos contornos sejam formados por segmentos de reta é bastante familiar mesmo para aqueles menos acostumados ao formalismo matemático No entanto se os contornos das figuras não são formados por segmentos de reta o cálculo da área não mais parece tão simples Foi esse tipo de problema que historicamente fez surgir a noção de integral e será também nossa motivação para introduzir tal noção Fique claro porém que são inúmeras as aplicações do Cálculo Integral não se limitando apenas à determinação de áreas estudar Consideremos uma função f continua e não negativa no intervalo a b Vamos supor que exista uma função A definida em a b que forneça para todo x desse intervalo a área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eixo Ox no intervalo a x em contato com um dos conceitos fundamentais da Foi Arquimedes287212 aC um dos primeiras a considerar o problema de encontrar a área de figuras planas de contornos curvos ele se utilizou de um método bastante interessante recortava a figura em questão em um material de densidade uniforme e comparava seu peso com o de uma figura de área conhecida recortada no mesmo material Quase vinte séculos depois de Arquimedes a integração foi formalizada e os grandes nomes do Cálculo Integral são Isaac Newton16421727 e Gottfried Wilhelm Leidniz16461716 É a Leibniz que devemos as notações dx dy e jydx até hoje usadas E sâo as noções básicas da teoria criada por esses dois cientistas que passamos a y a Vamos examinar dais exemplos elementares A x 3x 6 X 6 AYH ou seja AX 7 2 x 4 Nao é difícil perceber que a função A encontrada obedece a duas condiçoes 340 x Exem pi o 1 Seja f definida por fx 3 no intervaio a bj 2 6 A área procurada é a de um retângulo de base x 2 e altura 3 Temos Ax x 2 3 3 2 3 2 yt 3 5 x 1 x31 2 2 x i x 2 x1 Nestes dois exemples foi bastante simples determinar a expressão da função área A nem por isso eles são menos significativos principalmente se observarmos com atenção q s resultados e suas relações com os dados ou seja Exem pio 2 Seja f definida por fx x 1 no intervalo a b 1 4 A área procurada é de um trapézio de base maior x 1 base menor 2 e altura x 1 Temos f x 3 a 2 Ax 3x6 fx x 1 a 1Ax 1x 2 x 1 x 2 1J Aja 0 isto èh a área è nula se x a no exemplo 2 A1 2 Ax fx isto é a derivada da função área A é igual á função dada f i Aa D II Ax fx Propriedade 1 Demonstração t Aa 0 2 Ax fx G Ef fM S fm C B a x x 341 para todo laterais Isto é imediato pois se x a a região sob o gráfico de f reduzse a um segmento de reta e tem por isso área nula Ax é a área no intervalo a x Ax h é a área no intervalo a x h S Ax h Ax M b x h Va fM fm xeab devendose entender que Aa Seja dada uma função f continua e não negativa no intervalo a b Vamos supor que a área sob d gráfico de f no intervalo a x seja dada por uma função A para toda x de a b Sendo assim temse Consideremos inicialmenle o caso e x b Sejam x e x h h 0 pontos do intervalo aberto a b Se A é a função que fornece a área temos que F 1d e Ab sao as derivadas no exemplo 1 A x 3 1 0 3 f x na exemplo 2 Ax 1 2 x 1 0 x 1 f x Estas observações sugerem a formulação de um teorema de caráter mais geral que passaremos a apresentar aqui noexemplo 1 A2 3 260 2 2 IN Dividindo todos os membros desta desigualdade por h vem í II Devido à continuidade de f temos E da definição de derivada Fica assim a relação II f x Ax s fx M Deixamos para o leitor a verificação dos casos x a e x b Veja capitulo 15 hem 1S2 342 hfmsSshíM h í m í A x h A x íh f M Logo Ax fx Vx 6 O leitor pode verificar com facilidade que a relação I ê válida também no caso em que h 0 Como a área em estudo é a que corresponde ao intervalo a x devemos fazer h tender a zero passando então a relação I ao limite e M respectivamente pontos de minimoe ht0 h Como f é corlinua err a b existem m de máximo de f no intervalo x x h1 É evidenle então que o valor da área S está entre os valores das áreas dw retângulos 0CDE e BCFG ambos de base h e alturas fm e fM respectivamenie conforme ilustra a figura Portanto podemos escrever nrní fnD A í x h Aíx hJAtx fm 5 f M Ax hAx lim f m 1 lim bm f í M1 h 0 JiD h h0 Observações e para todo x e a b Mas então A xBx O Esta é a expressao da derivada da função dada por Se Gx 0 enlao Gx k função constante Ora em particular temos Ga AaBa 0 donde k 0 isto é Ak Bx para todo x s a b Isto significa que A B ou seja que a função A se existir é única Gx A x 4 c G lííTlbém é chamada de antlderlvada dí f 34 3 Ba0 Aa 0 Ax fx 2 PRIMITIVAS de f Considerando apenas a condição II è fácil verifica que a funçáo A não é única De fato toda função G tal que c Ax 0 Ax f x G xAx 1 Aíunçao A Se existir é Única De fato Se a funçáo B também representasse a área no intervalo a x leriamos Toda função G tal que Gx fx num intervalo 1 finito ou infinito é chamada primitiva de f em P Concluise desta maneira que existindo A existe toda uma família de funções G com Gx Ax c tais que Gx fx já que c é um número real qualquer Mo entanto é fundamental salientar que o conceito de primitiva não está vinculado ao cálculo de áreas valendo também para intervalos em que f ê negativa desde que ê claro Gx fx nde c ê uma constante real obedece a condição Gx fx Note G x A xB x I Exemplos a Sendo t x j xs as funções definidas por sao algumas de suas primitivas pois c b Sendo fx cosx as funções definidas por senx3 sen x sao algumas de suas primitivas pois senx c sen x 0 cos x f x c Sendo f x 1 x 0 as funções definidas por x sao algumas prímilivas pois fX senx e COS X in x Gx cosx sen x e Intervalo fa ijJ porque as funções aqui examinadas sáo conllnuas em 314 1 x 2 2 x ft 1 xjt 1 a 1 Nssles exemplas omitimos o I qualquer intervala fechado onde elas se definem Nestes exemplos as funções primitivas foram determinadas com o auxílio das tabelas de derivadas vistas no capítulos anteriores poderiamos então montar pelo mesmo caminho uma tabela de primitivas com as funções mais simples e usuais para ser utilizada em exercícios sen x a 1 0 3x2 x1 f x In x c In x 0 f x É daroque se quisermos verificar qualquer elemento desta tabela basla fazer a derivação da função G correspondente x3 2 3 X3 n 3 a a 0 e a In a x3 3 1 3 3 X x3 3 In x In x 8 In x e Exercícios Resolvidos 161 Calcule a área sob o gráfico de f x x2 Solução A0 0 e Ax fx 0 x 3 Logo Fazendo em Ax 162 Calcule a área sob o gráfico de fx cos x nos intervalos e Solução Determinemos inicialmente a função A tal que 0 e 345 27 8 Devemos encontrar a função área A tal que 21 2 2 2 A x f x cos x Agora é possível calcular a área sob o gráfico de f x x do tipo 0 x no intervalo 0 Ax x3 Esta última condição nos informa que Ax é uma primitiva de f x x2 Como as primitivas de funções da forma xn n 1 são dadas por x1 C veia a tabela 1 temos n 1 6 1125 8 1 Como A0 0 vem A 0 03c 0 isto é c 0 3 L 31 x encontramos a área no intervalo O 2 L 2 2 em qualquer intervalo v21 I A x c x3 c 1 7 21 3 rsoi Líí L 2 J L 2 6 são funções de forma Como A sen A x sen x 1 Logo onde f nao ê negativa Y 1 C x 1 área no intervalo 0 A0 senO 1 Ü 11 área no intervalo Para o cálculo de área no intervalo ê claro que poderiamos determinar se intervalos basta notarmos que a área em é iguai a diferença enlre as a área em temas e 346 2 t H 6 Sabemos veja a tabela 1 que senx c Então devemos ter Fazendo em Ax x 0 e x temos 6 6 D l 2 rt Tt 2 6 t i n 2 6 AárB áreas em 7X 13 11 115 6 2 2 A x sen x c 71 cos x nos intervalos as primitivas de cos x Agora é possível calcular a área sob o gráfico de fx 71 x 2 0 vem A Uma nova função A tal que A0 bastante esse cálculo se utilizarmos í l c D isto é 1 g 0 c 1 l 2j 0 Assim indicando par S nl 2j 0 e Ax fx No entanto simplificaremos s resultados para os dois primeiros ft 2 Esle exercicio nos sugere então uma propriedade bastante útil S A pAa Propriedade 2 Solução F f 4t t3 0 x determinemos então Atai que A0 e 347 Como An 0 vem A n Logo A x cosx 1 y 1 Na tabela 1 vemos que uma primitiva de sen x é cos x portanto uma primitiva de sen x é cos x Assim a função A deve ser da forma 7t t4 A x COS x c no eixo Ox e pelo gráfico de fx sen x nos Ax Fx senx Nota Sendo uma consequência imediata da propriedade desnecessária a demonstração desta propriedade 2 CCS Ti c 0 isto é 1 c 0 c 1 Sendo f e A funções tais que f é contínua e nao negativa em a b e A é urna prinftiva de f comAa D a área sob o gráfico de f em qualquer intervalo a p c a b é dada por 1 consideramos 163 Calcule a área da regíac limitada 4n í 4t t 7ít 1 intervalos n e L 3J L3 4j Notemos inicialmente que f não é positiva nos intervalos dados Como a propriedade 1 exige f não negativa contornamos c problema considerando para os cálculos a função Fx fx sen x por simetria vemos que os resultados serão iguais àqueles procurados para fx sen x A utilizamos a propriedade 2 s 1207 A Propriedade 3 Solução mf ngx x rritp nyx mpx nyx mfx ngx Assim por exemplo as primitivas de y 3x 2ccsx sao dadas por pois 2 COS X 3x 2 CDS X 2senx 0 165 Calcule a área sob o gráfico de y 3x2 2x no intervalo 1 4 Solução uma primitiva de 2x ê 34 0 rin l 4 4nv 4rc 3 se cp e y são respectiva mente primitivas de f e g em I então mp ny é primitiva de y mf ng em I 1 2 Temos que px fx e yx gxj e devemos provar que Yx yx isto ê que a derivada de mcp ny é mf ng 16 4 Sejam fe g funções contínuas num intervalo lemen números reais Mostre que 3 5x 5 Procuremos a função A tal que A1 0 e Ax y nolemos que y 0 em It Como 3x5 Y 42 sen x c 5 COS 1 4 3X5 2 sen x c 5 Fazendo x temos a área no intervalo 3 72 i1 2 2 Xa L 3 J fax5 m 71 S A í j i 3 4rr 1 1 COS k1 3 2 2 3x21 uma primitiva de 3x é 53 2X11 Fara cálculo da área no intervalo f L 3 4 J As primitivas de y 3xz 4 2x 3 Logo a área no intervalo 1 4 ê 2 2 78 Exercicios Propostos d e1 d c b b al3 gráfico de fx 1 sen x nos intervalos a 0 2x b 349 7t k 4k 6 1 3 166 Determine funções a x b x1 x 0 c 4xz 16 9 Calcule a área da região limitada pelo eixo Ox f x a2 4x 3 nos intervalos 167 Calcule 5 H 7T 4 3 são da forma x3 x 3rt T a expressão da família de primitivas de cada uma das seguintes 3n 1610 Calcule a área sob o e 3x2 2 f 6x2 4x 1 g 7x 3cosx x iO h 4xJ 3 sen x X 0 x A x x nos intervalos 1 3 1 5 e 3 A 4 43 4 x3 G pelo gráfico de fx cos x a área sob o gráfico de f x 6x7 2 2 2 ft3 Como A 1 0 vem a 1 11 Ax x í68 Calcule a área da região limitada peio eixo Ox e nos seguintes interalos e pelo gráfico de 1 c 0 isto é c e portanto 2 xz 2 2 4c Então gráfica de í fy X CCS X 1 63 A INTEGRAL INDEFINIDA px dx Exemplos pois pars d J xrc nova função cuja derivada ê f 350 1612 Calcule a área da região compreendida entre as curvas xjsenx e nl 4 1611 Seja fx cos x definida no intervalo a b c 0 n onde a 0 e b à2a Seja também G uma primitiva de f lal que Ga 0 Determine a de modo que G2a seja igual ao coeficiente angular da reta tangente ao c no ponto x 2a 161 3 Calcule 2 y x a área da região limitada pelo eixo Ox e pelas curvas de equaçces 5x6 e yx27xr6 c sen x 0 cos x fx c eK c 1dx J dx na intervalo 0 pois x c1 xO 1 f x Vemos então que calcular a integral indefinida de uma função f é encontrar uma X 4X a 0 xJ f í x 4 4 a J x4 4 b J cosxdx sen x c pois sen x c Je dx e c e fx Ficou claro no item anterior que sendo rp uma primrliva de f num intervalo I Ioda a função da forma px conde c é um número real também é primillva de f A qualquer uma das funções px c damos o nome de integral indefinida de fx e a indicaremos pelo símbolo x dx 1 c 4 Natas a xr dx sen x d x cos x g cosx dx sen x a Tabela 2 Exercícios Resolvidos 1514 Calcule jf xdx nos seguintes casos 5 3x 1 b f x 2 Solução a é dada por 2 3X41 Então note que In In 2 1 In 2 j b 351 2 C 4 C In 2 1 x 2 1 Jf xdx Jx 1 Observe que Jcosxdx pode indicar as primitivas sen x sen x 3 sen x 8 etc A constante c é em geral arbitrária mas nos problemas e aplicações que veremos encontraremos dados e meios para determinála convenientemer te 2J A labela 1 de primitivas pode agora ser escrita com a notação ce integral g 1 dx In í x c x dx x di a f x x 21 U1 3 1 x x3 3x2 X X c 3 2 a a dx o a 0 e a 1 In a uma primitiva de fx x e dx e c 2 3x 1 jd 1615 Calcule Solução note que In e2 lage e1 í dx 1616 Determine a primitiva de fx sen x que se anula para x 0 Então temos Logo 4C donde wx 352 9 c 4 p x i sen x dx ocfi x c ip x f 2x 3 dx s Jezdx Solução Se ípx ê a primitiva de fx procurada podemos escrever Se ipx é uma primitiva procurada podemos escrever x2 2 3x 2 P x x e ÍT 1 0 CCS 3 2 P x cos x 16 17 Determine as primitivas de fx 2x 3 que são positivas para toda x real Solução In e Para termos J5x xs3x c0 vfc s R basta impor a d iscri mirante A desse trinomio do segundo grau seja negalivo ez 2 tpx Jsenxdx e A b54 ac 32 4 1 c 0 94c O 4c B c 4 Assim as primitivas procuradas são daaas por v x xa 3x c onde Je2 3 3x c 3 a e b 5 dx f 9 2dx d h 1619 Sendo k um real nao nulo mostre que 3 de tal forma que o polinõmio 164 PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA número real vamos provar xdx em particular se m 1 temos j gidx 353 Exercidos Propostos 1613 Calcule Jf gxdx Jfxdx Propriedade 5 Jfgxdx JfxdxJgxdx Propriedade 6 jfxdx Jm f xdx m Propriedade 4 Jfxdx jxdx pxdx c Jx 2dx Para ampliarmos nossas possibilidades no cálculo de integrais é conveniente conhecermos algumas propriedades Sendo f e g funções continuas num intervalo I e m um que são verdadeiras as igualdades 1620 Determine a primitiva de fx cos x que se anula para x 2 dx 1621 Determine a primitiva mx de fx 3x3 xf x admita uma raiz dupla e dx Jekdx ek de mostra nmüs provadas anteriores estarão se j fT1 onde m e n sao números reais Jf x dx pxc1 yk e m Somando membro a membro estas duas últimas igualdades obtemos fxdx m ou seja fazendo c m D fxdx n í rmp m II 1F mostram que Ix 354 Então assim provadas as propriedades 4 5 e 6 Confirmando atribuamos valores convenientes para m e n nesta última igualdade Multiplicando ambos os membros da primeira igualdade por m por n vem Vamos então á prova desta última propriedade Se p e y são respectivamente primitivas de f e g em i temos nj9t gxdx n ngxdx m j fxdx nj gxdx mip nyxc f mf ngxdx mf ngx dx mj f x njgx4 nyx o yx c2n m qualquer n 0 r jmf xdx m Propriedade 4 Logo I e e os da segunda Como mp ny pela propriedade 3 ê uma primitiva de mf ng e claro que x dx c2 n c As très propriedades genericamente que e n xdx mipx nyxG1mCn xdx mpx c1m m 1 n 1 m 1 n 1 Exemplas a b c d a b dx 2x 1nx C d 355 x fxdx Jgxdx J 3 sen x dx 3 cos x C 3 sen xdx f9xdx Propriedade 6 edx e 3 senxdK 3 cósxfc Jf gxdx Propriedade 5 Observação Como c c e um número real C igual a 3c Portanto os resultados dos exemplos acima podem maneira X3 C 3 2 jn2c 21 X Jfxdx J gxdx 2dxs 2dxJdx 2x ctln x c2 são números reais arbitrários é claro que existe ou igual a c ou igual a c c2 ou igual a cT ser escritos da seguinte x3 c2 3 2 Éxercícios Propostos 16 22 Calcule sen tdt d a costdt e b f c 1623 Calcule dx a c b d y ccshx y senh x Mostre então que a b coshxdx enhx c 356 16 24 Sendo x um número real as funções seno hiperbólico e cosseno hiper bólico são definidos pelas expressões 4x3 x4 2 senx Jdx ee 2 3e Jdx J5cosX dx x3adx 1 Vx jxdx J sen h x dx cos h x c ex e 2 I SX X 3ln35jdx Capitulo Técnicas de integração 17 171 INTRODUÇÃO 172TÉCNICA I INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Trataremos do cálculo de integrais do tipo f xdx Fx D Gx Fg x gx ou seja Gx fgx gx primitiva da função dada por 9x 357 e seja G a função dada por Gx Fgx Temos que pode ser efetuado através da mudança de variável gxu Vamos supor que F é uma primitiva de f isto é Isto mostra que G é uma Jfx gxdx não têm de modo geral um procedimento mais x gxdx As propriedades estudadas no item 4 do capitulo anterior apesar de extremamen e úteis e abrangentes não são suficientes para a solução de vários prob emas e cálculo de integrais Em particular integrais da forma cálculo simples sua determinação exige quase sempre um sofisticado do que uma mera aplicação daquelas propriedades Para enfrentarmos alguns desses problemas vamos estudar as técnicas especiais de integração mais comuns isto ê gfxjdx Gx C ou ainda J f9x gxdx Fgx C Í2 podemos escrever 0 Fu C pgx 9xdx 1Fazencs g xi e g xj dx du e a integral fica LI Fu C 3 Voltamos a substituir u porgx 35Ô É verdade que par enquanto não demos qualquer significada aos símbolos du e dx portanto tal cancelamento não está teoricamente justificado Entretanto é falo que a fórmula 3 tem exatamente o mesmo aspecto da fórmula 1 que é correta Em suma o cancelamento de dx feito embora mecanicamente conduz a um resultado verdadeiro e é um excelente recurso para facilitar a integração Podemos construir uma regra prática a ser utilizada no cálculo de integrais do tipo JufêdíFMc Neste momento todos nos sentimos tentados a canceiar dx no 1 membro obtendo a fórmula 2D Calculamos esta integral obtendo f udu Jf udu Observe agora com a mudança de variável gx u gx e a fórmula 2 fica dx Exemplas Considere as funções dadas por 3 e Podese portanto aplicar a regra prática fazenda sen x u E cos x dx du donde sen3x cosxdx 2 Calculemos i e e u e 5xJdK du obtemos 173 t éc nic a li jfax b dx a0 359 fx senx mudança de variável Jsenudu cosu C cosxs C Ja fax bjdx f a sen x3 sen3x 1 Calculemos jsen3x Cosxdx A maior dificuldade é reconhecer que esta ê uma integral do tipo Jf g x g x dx e finalmenle vollando a fazer u sen x fx x 9 xdx a sen x sen x casxdx C 4 J5sen x5 xdx xs Esta técnica é um caso particular da Técnica 1 que recebe aqui um maior deslaque par ser bastante frequente em aplicações Se desejarmos calcular a integral u3 du C 4 j 5 senxE xdx Neste case devemos fazer donde í g x sen xs e g x 5xf Portanto J sen3x cos xdx e que gx sen x g x cos x Assim 3 È claro que gxx fazendo a basta fazer a mudança de variável a dx du ax b u e donde Exemplos Jcosudu sen 11 C com basta escrever 2J Para calcular J 5x 3 3 dx basta escrever 3 e então C Exercícios Resolvidos 171 Calcule dx Solução dx 360 Temos 2x 3 u com a 2 Então ax bdx Jfudu 20 2x43 22 2x 1 B lpirdu e dal resulta que I11 c 2 dx Senu C Sen3x 2C J2x 310 2x 3 u 3 J dx 2 dx 1 dx du 2 2x31c 2x3lDdx u c 22 3 ü du C com u 5x 3 4 U101 c 10 1 Para calcular Jcos 3x2 dx u 3x 2 e então j a fax bdx 10 1 dx 2 J J5x33dx l C Solução 3xiu 13J u4 G Solução 174 Calcule Solução senudu dx 2 senudu dx 2 du c 361 du dx du dx Temos Sx com a 8 Enlâo f J r J 1 1 Temos 3x1 u com a 3 Enlâo x 2 4 l 2 173 Calcule JcosSxdx dx 14 ipdu j cosBxdx ÍCD5U du fij f dx J 3x14 x n l Sen 12 8x u 8x v dx 8 dx 1 dx du 8 1 dx du 3 x n u 2 4 í y x 1 j sen dx J l 2 4 J 2 2 17 2 Calcule J J 1 1 cosSxdx senu c senSx c 6 B f dx 1iT41 r dx 1 1 1 J 3xtf 9 9u 93xl3 2 Enlâo 1 1 dx du 3 dx dx f X 71 sen 2 4 ser jdx 2cosu c 2cosf 12 4 J 1 l 2 4 J Temos u com a 2 4 2 Sotuçao d u u dx du Solução 3x5 u 1 77 Calcule de onde tiramos ou ainda 2 dx k c1 Como X Cf 362 Temos x 3 u com a 1 Então J dx 3x 5 dx 3x 5 dx x3 sen 2x 4 dx 3x75 X jsen 2 1 sen xdx 2 ln u r c ln3x 5 c Temos 3x 5 u com a 3 Então Solução Como sen2 x não esfá na forma fax b devemos inicialmente transfarmála Para isso recorremos ã fórmula de Trigonometria cos 2x 1 2sen x Com isso a integral pedida fica J 1 CÚS 2x dx X 3 U dx 1 cos 2x X 2 dx x3 Jnu c Jn x31 c x 3 3x 5 u du dx 3 dx 1 dx du 3 x 1 cos2x sen2x 2 175 Calcule j 2 x dx 176 Calcule j sen2 sen2 f 1 f 1 1 cos2xdx I cosudx senu Cn sen 2x c J 2J 2 2 2 2 vem finalmente 1 r du 3 J 1 3 Jsen2 xdx não estã na forma fax b devemos inicialmente transformã Temos então dx c Como ln v 2 ln x2 c 2 179 Calcule dx Solução 363 oh lendo m 1 e n 1 Com isso a integral pedida fica 3 2 du u dv v dx x2 dx x3 dx x3 m n 0 3m 2n 1 f 3x 5 J 2x1 dx k1 5x 6 1 x3 c 1n x 3 c dx x2 1 x2 Também aqui a exemplo dos dois últimos exercícios devemos escrever a expressão 5 numa forma em que seja possível a aplicação da Técnica IL 2x 1 Para isso lembramos da Divisão de Folinómios 17 0 Calcule j I x 3 I In x2 dx xz 5x S xJ 5x 6 1 i x2 5x 6 1 X2 5x 6 2 In x 3 c 3x 5 2x 1 Qx R 3 7 3x 5 2x1 J T 2 2 ln u c ln x 2 3x 5 I 2x 1 3X3 2 7 2 Solução Como x3 5x 6 Ia Para isso recorremos á teoria dos Palinòmios para decompôla em uma soma de frações note que xs 5x 6 x 2 x 3 1 m n i x2 x3 mx 3m nx 2n x2x3 m n x 3m 2n x2 5x 6 vem finalmente fÉ J x5x 6 Com isso a pedida fica 2 J Como jln2x1 2 2 5êni 1710 Caicule cos x dx e du cos xdx sen x u cos xdx e c Solução 2 3 u r 3 dx u du 2 3dx 354 dx 2x 1 Solução Fazendo gx senx u 1 2 3 2 2 l 2 7 2 2x 1 3x t 7Ih2k 1 2 1 4 J 2x77 3x 5 2x 1 vem finalmente T3x 5 J 2x 1 2u 3 ln 2x 1c Je Fazendo g x x Divrdrndo esta identidade por 2x 1 vem 3 dkJ 1 l I J 2lnlUí C í V du Sen K cosx dx du dx x ct ixzr 2j 2x 1 dx x c i3 3J 3 escnF 1 u2 du 3x 5 dx 2x 1 u3 21 x2 3 2 dx íd 2 2x 1 eSEn cosxdxeni 1711 Calcule J 2xVx2 3 dx J2xVx3 dx x2 3 u 3 2x dx du j 1712 Calcule Solução 1713 Calcule Solução Fazendo gx cosx u cos3 x senxdx x5 17 14 Calcule Solução 6 sen x6 dx sen x6 dx c 6 365 e sene dx j senudu J e sen e dx J cos1 x senxdx sen xc dx X6 LJ dx xdx ÉH 6 Fazendo gx e u cosx u i i du cosx dx du senx dx senxdx du Fazendo gxx x5 u eH dx du senx6 dx icosu c 6 cos x6 e senedx cos u c J u3 du Ju3 du 3 u31 i cos x senxdx c c 3 1 4 cos4 Xc cos3 x sen xdx eser edx cos e c jx5 fs du 1 senu E 6 ScÍLiçac Fazendo gK x3 1716 Calcule Solução Notemos inicialmente que tgxdx d u u 1717 Calcule sen x cos x dx Solução gx senx u escolher fazer entre ou a Então 366 xz 4 3 u jtg x dx Tn u C Aqui podemos escolher entre fazer a mudança gx cosx u Vamos fazer das duas maneiras J tgxdX J tg x In cosx c cosx u f II du tros x dx du sen x dx senxdx du í xdx J x2 3 f xdx J X2 3 1 xdx J rj tgxdx 1 a Fazendo senx u temos sen x isto é cos x dx du dx 1715 Calcule J Fazendo então gx cosx u f u2 sen2x sen x cos x dx I u ou o f c J 2 1 2 1 xz r 3 u du dx du dx du xdx 2 sen x dx cosx J ru c fsen x dX J COSX du f2 l J u 2j u 1 2 ln x 3 j c udu sen x cosx dx encontramos primitivas diferentes para a mesma fun 2 ção Ax sen x cos x c2 Em segando lugar lembramos que o simbolo exemplo í xdx pode pnmitiva px c de fx Assim verificamos que ambas as respostas são equivalentes 1718 Calcule Solução 367 sen2x Mas é fácil entender que não houve erro primeiramente basta derivar ambas as funções encontradas para acharmos a mesma funçáo Ax f jf x dx representa qualquer x dx Jx 3 2 ccs x 2 2 sen x 2 2 senx c 2 por etc j tante De fato isso ocorre no nosso caso cos x1 sen x cos x uma aparente incoerência 2 v X e portanto duas primitivas da mesma função devem diferir de uma cons sen x sen x cosx x2 x2 xa ser 2L ou 3 ou io 2 2 2 2 COS X 2 cos2 X 2 T20 2 Fazendo cosx u temos cos X1 isto é sen x dx du dx Enlão Temos aqui uma situaçao mais delicada que a já que não reconhecemos de imediato na fígxgxdx dos exercícios anteriores integral dada a forma u2 cos2 x u du c 2 2 2 cs sen2xcos2x 1 ic c2 C2 constante Observe que os resultados obtidos apresentam f sen2x cosx h ci e 212 quociente e próprio numerador x em função de u Senão vejamos x3 2cfu í Com isso escrevemos U2 3du 2du 2 J VX3 Logo 2 Exercícios propostos 1719 Calcule I5 dx a e dx h f 2 dx i c 3 j d 368 du dx Jx33 3 dx x 3 dx 4x77 r xdx r 2 r LT 43 l J dx 5x1 dx 3x7 37x 3 fU3 l 2 3u 4 c 3 J Vx 3 u x 3 U X U2 r 3 e2x1 J 3x bf x dx J 731 1 dx 7 x3 2x3 dx 27x 3 dx Vx 3 dx 23 r sen x dx J 3 í F cosí Idx J l 3 4 J Lembremos no entanto que a derivada da função Jx é dada por Isso 2vx sugere que façamos a substituição Vx 3 u pois assim conseguiremos colocar o dx x3 cosa xdx 1720 Calcule 17 22 Calcule b a 1723 Calcule 1724 Calcule dx 1725 Calcule 2 e C a b J2xcosxz dx f d 1726 Calcule cotgxdx b cosxdx 1727 Calcule b a cotgx dx In sen xdx 1726 Calcule 1729 Calcule d b 1730 Calcule a b 369 xdx 7 dx V2XÍ3 a sen4x 2x6x dx xln x dx 3xz 10x 3 x2 3X44 x 1 4x dx 2x2 1 2 dx In X dx x dx 7 X2 senx dx 2 íxVtix 2x3 3x2 Jx3 Idx r 3x 1721 Calcule jsen2dx c 5xíx 6x7 5x 1 2 3 dx f2x1 dx J 2x1 a I cos5 x sen xdx J J 77 f g f gx fx gx Temos então que fx gx fx gxfrx gx ou ainda xgxdx pfíx gxdxfx gx vem Enienriemse f e g como sendo funções deriváveis de ccntinuas num jnlervaia l 370 174 TÉCNICA llí INTEGRAÇÃO POR PARTES INTEGRAIS DA FORMA jfx gxdx gxdx Para o cálculo de integrais da forma gxdx regra de derivação do produto de duas funçâes Como uma primitiva de f x gx é f x gxj isto ê JfN gx dx Percebese enlão que para o cálculo da integral do produto de duas funções o que se coloca como fundamental e a escolha de qual das funções será chamada de fx e qual será chamada de gx já que a esperança no uso da fórmula acima ê de que a integral em que cairemos seja mais simples do que a integral pedida 0 primeiro exercício da série abaixo esclarece este comentaria i11 vamos retcrnar de inicio á Jfx gxdx fx gxjfx gxdx Exercícios Resolvidas 1731 Calcule x sen xdx 1 cos x dx x cos x sen x c x sen x dx x cos x vem gx xsgx xsenxdx senx 1732 Calcule Solução gx g x e gx X 2x 5e 371 gx sen x Utilizando a fórmula fx gxdx gx Jg xdx fx gxJfx gxdx s X fx 1 2ec f x sen x f x cosx r r x2 j g xdx j xdxy c 0 e com ouso da fórmula de integração por partes viria xf 2 o que é correto mas inconveniente pois a nova integral não é mais simples de se caícular que a integral pedida Je2x 5dx Note que se tivéssemos invertido a escolha isto é se fizéssemos fx senx e gx x leriamos x2 cosx dx Vamos fazer f x 2x 5 e gx e e calcular f 1 x e fx 2x 5fx 2 Jgxdx Je dx e cd Com a fórmula de integração por partes vem je 2x 5dx 2 edx 2x 5e Solução Façamos fx x e gx senx Vamos determinar agora fx e gx fx sen x dx cos x c In xdx 17 33 Calcule Solução Derivando em relação a x Inx dx eu du A integraI pedida então se escreve In xdx f u gu gudu eu du eu c 0 Então In x dx u eu du u eu 1 edu Inxdx Inxdx ii 372 du dx du dx 2 X In xdx xfnx ju eu du f u gu Jf u gu du gu e ueu du u e eL c eu u 1 c 1 c fuu 1 a modo Vamos faZer In x u Vamos resolver este exercício de duas maneiras onde destacamos a simplicidade da segunda e a sofisticação algébrica e o aprendizado da primeira x temos finalmente u eu du Como u In x e lembrando que e e gu donde dx du I Como In x u isto é log0 x u temos x eu Substituindo em I vem e3 Utilizemos agora a técnica III Fazendo fuu e gu eu calculemos fu f x dn x fx gx 1gx gxdx 1dx x c Q Então Inxdx In x 1734 Calcule X ex cos xdx Solução Fazendo fx e X Então e sen x dx X I X Gx senx Gx 373 Como vemos neste caso não tivemos sucesso imediato com a aplicaçao da técnica III No entanto vamos aplicar essa técnica novamente na integral da expressão t fazendo Fx e e Gx senx temos 1 x gx cosx fx eK fx e 3gx Jcosxdx senx c 0 1 xdx x J 1 In x dx f x g x jf x g x dx Inxdx Inx x x J dx In x In xdx xln x1 c Fx e1 Fx e e gx cosx temos j ín x dx fazendo f x In x e 2 modo Apliquemos a técnica III diretamente em gx 1 Calculando fx e gx sen x dx cos x c2 0 e cos x dx ex sen x Então e sen xdx Fx G e cosxdx exsenxdx e cosx r X substituindo na expressão I vem Logo Exercícios Propostos 1735 Calcule xcos xdx c d x2 in x dx 1736 Calcule xVdx 1737 Calcule X e sen x dx 1738 Calcule X x2 cosx dx 1739 Calcule X 1740 Encontre uma fórmula cfe recorrência para xnedx n e N 374 x3xdx eK senxdx e cosxJecosxdx X ew sen x e cosx X X e sen x e cosx X 2 X e sen x eT cOS X X Xn a s xexdx u b j3xledx K en x cosx 2 C Capitulo 18 A Integral Definida 181 DEFINIÇÃO Seja A uma primitiva da função f continua num intervalo i isto é Os números aeb sao chamados extremos de integração Exemplos 3 1dx Primeiro calculamos Ax 2 375 Ax Jfxdx Aa O el é chamado integral definida de f11 e é indicado 0 lí flor já percebeu que caso f seja na o negativa h q intendo de e iremos a e h a função A é a função área estucada no capitulo 16eAti t a área sob o gráfico de f nesse intervalo ueâ item 162 a Vamos determinar J 2x Se para um certo ael temse Aa 0 a função A é única note que esta condição permite determinar a constante c que surge no cálculo de Jf xdx Pois hem determinada a função A tal que AxJfx rb Ab I fxdx J a Ax J2x1dx x x c a função A tal que numérica Ab para todo h por o valor dx e Como Aa 0 para a 1 temos A1 121c 0c0 Assim A x X2 X portanto b Vamos determinar Primeiro calculamos Ax Ax 2 sen x dx 2cosx c Como Aa 0 para a 0 temos A0 2 cos 0 c 0c2 Assim Akj 2COSX 2 portanto 182 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Se tp é uma primitiva da função f no intercalo leae b são números de I então 376 A prova desle teorema é bastante simples Se A s a primitiva de f para a qual Aa 0 sabemos que 2 ccs 2 2 2 272 4 2 2 sen xdx A J D 4 2 sen xdx c Vejamos agora o teorema que entre outras utilidades permitirá eliminar a determinação da constante c no cálculo da integral definida fxdx Ab J a fxdx tpbpa a 2x1dx A3 3s 6 1 Então AbAa pbtpa ou seja Logo b va Assim para os exemplos do item anterior temos 3 a 323 c1 c 6 b 2cos0 c 272 377 Como A e p são primitivas da mesma funçáo f sabemos que a diferença entre eías ê uma constante c islo é Ab pb c Aa pa c 2senxdx 3 2x1dx Ax px c fxdx Jfxdxj px 2 cos c l 4 Em suma podemos agora calcular a integral definida determinando intcialmen e a integral indefinida correspondente e em seguida obter a diferença entre os va numéricos desta para os extremos de integração superior menos in enor notação a seguir esclarece bem essa idéia Subtraindo membro a membro essas duas igualdades vem í fdx0 tpbtpa a I 2senxdx J D f I3 2x1dx x1 x c J Ji r b l fVdx pbtpa J a ri 2COSX C lc 1o Outros exemplos c 1 d 4 dx e fazendo 2x 1 u note que aqui utilizamos a técnica I para calcular dx Exercícios Propostos 181 CalcuJe 5 b c d o 6 182 Caícule 2 b 3 1 tgx dx d c D 2 0 e x sen x dx 183 Duas propriedades da integral definida Prove que a 378 2 Ín2 5 3 dx i 2 21 c In 2 22 c In2 f x dx b 1 22xí h f xdx b fxdx f fxdx a J b r aJ íOfllÉ l ieJ l2j s In 3 etdx J 2 J 2 In xdx f fxdx a n 1 senl x dx U 1 du 22 1 2X11 2 1 x2 2x ldx 3 cos xdx 3x 1S dx 5 In5ln2 ln2 2 S 2dx c In 2 5 dx f In x 2 Jj TJ 2x12 dx 2x12 1 fdu 1 f 2 2Ju 2JU r4 dx 1 J 1 2x 11 2 x dx x2 3 183 A INTEGRAL DEFINIDA E A ÁREA Jã sabemos que caso f seja contínua e não negativa em a b o número 1 caso f seja nao positiva em a b As áreas 1 e 2 do gráfico são por simetria iguais A área 2 é dada por y b X IX 2 b a 1 trecho negativo y b c 3 x representará a medida da área 1 com sinal trocado já que pois f é não negativa em a b Portanto f f Como mostra o gráfico ao lado fxíO em a c e f x 0 em c b A propriedade a do exercício 183 acima permite escrever b fxdx a x a r c b fx I fxdx J a c 2 caso f tenha trecho positivo e í fxdx A b J f xdx í fxdx J a parcela representa a A primeira parcela desta soma representa a área 1 com sinal trocado a segunda área 2 Vemos portanto que neste caso jfxdx 379 lembre que Aa 0 representa a área sob o gráfico de f no intervalo a b Nos casos em que f não obedeça a condição de ser não negativa também é pcssivel dar interpretação geométrica associando jfxjdx a uma medida de área Veja 184 A INTEGRAL DEFINIDA E A SOMATÓRIA 2 f 107 1 2 3 x 380 5 2 f j i i F 1 f E 1 I I J J 2 r i i i i 3 2 i i i i j i utilizamos sen 15 0997 Agora vamos ao processo acima descrito Vamos subdividir o intervalo 0 3 em três subintervalos 0 22 3 VA 2 sen 0 4 A9S representa o saido das medidas das áreas limitadas pelo gráfico de f e pelo eixo Ox em a bj Cerno aplicação desta interpretação geométrica da integral definida sugerímos que o leitor refaça os exercícios de números 167 a 1613 utilizando a nolaçáo e as propriedades da integrai 1 cos dx I 2 l I 32sen x x i 2 sen 2A Vamos agora utilizar o relacionamento da integral definida com área para estabelecer a ligação daquela com um certo tipo de somatória Tornemos o caso em que a função f é não negativa em a bj a área sob o gráfico de f é S fxdx neste intervalo No entanto S pode também ser obtida pelo seguinte processo dividimos a b em n intervalos tão pequenos que em cada um deles f possa ser con siderada uma função constante Temos então S subdividida em n retângulos A soma das áreas desses retângulos é igual a S É claro que este processo fornecerá um resullado aproximado mas tanto mais preciso quando maior for n isto é quanto menores forem os intervales em que dividimos a b Vejamos um exemplo Seja S a área sob o gráfico de f x 1 cos no intervalo 0 3J Utilizemos inícialmente a integral para conhecer S note que f x 5 0 em 0 3 1 0 e e ou seja divisão de S em onde ê claro k i 2 n com yi íxk 1 b 3fi1 Os números Ax serão as bases dos retângulos em que dividimos a área S sob o grafico de f T S 3 1 cos 4 MfW f xk f x3 a sfM x cujos comprimentos são dados pc r 5ii 1 cos s l 4 X3 H 1COSJX 21969 1732 1315 5016 xz i frafl Assim a área S é dada por xox 01 3S xa x Obtivemos uma aproximação excelente se considerarmos que a apenas três retângulos é um procedimento muito simplificado Vamos então passará descrição formal do nosso processo chamando a atenção de cue mesmo considerando f não negativa não há perda da generalidade da conclusão uma vez que a integral definida está diretamente ligada a áreas como vim cs no item anterior Sendo f continua e não negativa em a b consideremos os n subintervalos 0 a xx x2x2 xs xn lb 3 3XfxJ Ó X X X k k 1 Temos então apenas três retângulos de bases 3 2 Para que o erro não aumente vamos tomar como alturas desses retângulos os números Xa X a 2 2 1 s 3 ou seja s n 185 APLICAÇÃO À GEOMETRIA VOLUMES Consideremos como exemplo introdutório o seguinte problema Nao Fizemoa no Certo pnr questão de simplificação 302 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de H do eixo Ox no intervalo 0 3 à medida que aumentamos n a somatória acima mais se aproxima de S a ponte entào de podermos escrever que para n suficiente mente grande Note naiíamente que aumentar n significa diminuir mais e mais o comprimentos dos intervalos Esta situaçfo enião seria melhor traduzida escevendo que v k1 V I fxdx s rro í VsV XV Tomemos agora xk exkj constante e igual a f xh temos aqui as alturas dos retângulos A soma das áreas desses retângulos se aproxima do valor de S Então I fxdx J 3 É de extrema importância a relaçao que acabamos de ver são inúmeras as situações do cálculo aplicado às ciências em que há necessidade de se n se aproximam as somas da forma quando n aumenta damos aos raciocínios que conduzem a tais somas o nome de processos de integração Aliás é histonco e da preferência de muitos autores que se defina a integral definida a partir das somatórias Vejamos duas aplicações determinar o número oe que jífli njXkjdjx xfc J k 1 2 n supondo em cada intervalo 1 K em torno 2 ükx fxJ AnX X 32 base fxk k 0 volume do sólido é então V Então 3 0 383 9n V 9n 4 X É claro que neste caso sendo o sólido um cone podemos utilizar a fórmula da Geometria Portanto temos aqui um processo de integração e pelo exposto no item anterior podemos escrever para n suficientemente grande y 32 V cone V cone 35 n 12 X 3 34 o intervalo 0 3 tão pequeno que neles fx possa ser área da base 3 De modo geral para calcular o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f continua e não negativa em torno do eixo Ox no intervalo a b fatiamos o sólido dividindo a b em subintervalos pequenos onde f é considerada constante x altura Como a base é um circulo de raio 3 e a altura é 3 temos vtproT kt V r3 fx dx J o No entanto vamos utilizar o processo de fatiar o sólido dividindo em n subintervalos de comprimento Afcx considerada constante Temos assim o sólido dividido em n cilindros de altura A x e raio da k fxkj O volume de cada um desses cilindros é área da base x altura x V dxn Tomemos y sendo o comprimento desses f Akx Este processo de integração nos leva a 2n Exercícios Propostos 384 IneJ ín x njjne3 Je 2 dx 7t I Je A soma dos volumes desses cilindros dará o volume V do sólido 185 fx Jr2x2 r 0 representa uma semicircunferéncia de centro 00 0 e raio r Mostre que o volume da esfera obtida pela rotação de f em torno de Ox é nr3 3 186 Calcule o volume do tronco de cone obtido pela rotação do segmento de ex tremos P2 2 e Q5 1 em torno de Ox V 7T re3 dx I n x Como outro exemplo calculemos o volume do sólido gerado pela rotação de f x em torno de Ox no intervalo e e3J 184 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno de Ox do gráfico de fx no intervalo 1 4 rv V kJ fx2dx XR em cada um dos intervalos e sendo A x k intervalos cada cilindro obtido por esse processo tem raio da base fxhJ e altura AkX 186 APLICAÇÃO  FÍSICA TRABALHO F T F x T F x X k1 b x a 00000000000000 de í kx dx 385 9l 16 I I Na Física elementar aprendemos que o trabalho T realizado por uma Força constante F para deslocar um corpo de uma distãncia x sendo paralela ao deslocamento é dado par t 4 3Í 4 temos ande a e b são respeclivamente as abussas dos pontos inicial e terminal em que F deve atuar Par exemplo a força F necessána para comprimir uma mola è dada por Fx kx onde k é uma constante própria da mola e x é a distância entre os pontos de início e final da compressão Sendo f o comprimento da mola solta vamos calcular o trabalho realizado por F para deixar a mola 1 cam de seu comprimento 4 A distância z 4 H l 3 H k i 5 FL Fk âkc2 32 OOOOOOOOOOOOCQ 14 TFWdx p adotando então Zero e como extremos de integração a ser vencida ê Caso F nao seja constante para calcularmos o trabalho dividimos a distánciafem que F deve atuar em r pequenos intervalos de comprimento Akx nos quais F pode ser considerada constante e igual a um certo Fk de cada intervalo O trabalho então em cada intervalo ê Fk Supondo que F varie segundo o gráfico de uma função contínua Fx o trabalho total realizado é dado por T Z Fk V Í Fd kl a Admitimos aqui que F e f foram cadas em unidades do mesmo sistema resul lando enlão T em unidades de trabalho desse sistema kx3 1 2 Exercícios Suplementares IV1 a Determine os números ABeC tais que que se anula para x 0 b Calcule a primitiva de f xj IV2 Calcule sec3xdx sabendo que IV 3 Calcule X IV4 Mostre que cossec x dx IV5 Calcule tg x In ccs x dx V6 Calcule IV7 Considere o polinomio Px 1 xn n e N a Calcule x b Desenvolva Px pelo Binômio de Newton e nessa nova forma calcule outra expressão para c Calcule a soma 1 n 1 1 4 3x x 1 x7l x dx É importante neste exercício lembrar que duas primitivas de uma mesma função diferem de uma constante 386 Ax Bk X 1 J sec x dx In sec x tg x Jsec xdx In sec x tgx sugestão sec3 x sec2 x sec x x dx x2 x2 3x J fxdx e Px IV9 Seja f definida por f x axz b a Determine a e b sabendo que lt fxd e retas y 0 c Par que essa área é igual a I t I IV10 Seja IV11 Seja I a Mostre utilizando integração por partes que para 367 IV8 Seja a função f definida por fx ei X2 Tomase Px ax2 bx k Determine a b e k para que se tenha X1 3 lan xa 1 x dx a e PK e n e TT n 1 b Calcule a área da regiáa do plano limitada pec gráfico de f e pelas x 0 e x 2 b Calcule l i5 i a 1 Mostre que I a 1 n la n 1 n 1 n i 2 temse ln inz n L sennxdx n N J o r2 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES NÚMEROS REAIS E FUNÇÕES 2 CESCEASP O conjunto de todos os x para os quais 2x 3 x é 3 EPUSP As raízes da equação xsx6 0 4 PUCSP Qualquer que seja o número real não nulo x temse sempre d I x axÉl d x 1 e xs1 b x 1 389 a x e E X 0 b x e 8 x 0 e x 4 c xe a1x 3 a são positivas bj têm soma 0 c têm soma 1 d têm produto 6 e nra d x 3 e nra c x1 xy x y e nra a Jx b xylxlM d Hl l 1 EPUSP O número x Sabese que x 0 ou x 5 FElSPj Assinale a verdadeira Quaisquer que sejam os números reais x e y temse a xs1 ou x 3 b xí2 ou x 0 c x 2 ou x 1 b x 10 X não pertence ao intervalei aberto de extremos 1 e 2 3 Podese então concluir que d x x 1 a x 2 x c x x x 6 ITASP Sendo x um número real 1 x1 1 x 0 se somente se d x e 5 0 x 4 e x e R x 1 e x 3 1 x 7 ITASP Sejam K L xyOezO a a xzyz 11 MACKENZIESP O dominio da função definida por f x é a L 9 b L 1 0 c l 11 d L 12 e não existe L a b c d e a b c d e o conjunto dos números reais e C um subconjunto de j Definimos supremo de C como sendo número L satisfazendo as seguintes condições Jg x3 X d O conjunto dos números reais estritamente negativos e x e IS 3 x 3 x0 8 ITASP Seja B um subconjunto do conjunto dos números reais R Dizemos que um número b ê um ponto de acumulação do conjunto B se para qualquer número real positivo k arbitra riam ente dado existir um elemento c de E tal que ck Nestas condições b 10 é ponto ce acumulação do conjunto b des a xe IR x 5 3 b xcj2xí3ex0j cj iR 390 1 T L è X x e C 2 a L L Bx c C x 9 FEISP Se verdadeira é 1 ü FEISP A desigualdade 2 se verifica y x quaisquer que sejam os reais x e y para x r 0 para quaisquer x e y de mesmo sinal e distintos para quaisquer x e y de sinais contrários nra única desigualdade que nem sempre ê d x y e nra naturais mentires do que 10 naturais menores ou iguais a 10 racionais maiores do que 1 e menores ou iguais a 9 racionais maiores do que 1 e menores do que 10 nra b xz yz c xz3 yz2 Seja C o conjunto dos números naturais menores do que 11 Assinale a afirmação verdadeira relativa ao conjunto C 12FUVESTSP f R R associa a x o número b Então 1 e gx e 4 d 3 c2 a 0 b 1 e x7 6X16 e 1 e í d1e2 c 1 e 2 das funções fx sen4x e e i d 2 C 4 a 16 b 8 391 c 3xJ 16x 20 d Xz 6X 1 0 d f2afa e nra 3 x 5 a Xz2 b 103x 4 x a 3 x 3 j Quanto vale f 7 j d 00714235 4 15FWVESTSP Seja f uma função tal que f Então fx é igual a 161EUVESTSP Se fRR é da forma fx ax b para todo x real então a e b valem respectivamente e verifica f f x x 1 a 1 e a 17 771 6 x 771 c 1 b 1 e x1 1 para todo x real a f a x f x b fx fa c f2ax fx 14FUVESTSP As funções f e g são dadas por f x Sabese que f 0 g0 O valor f 3 3g l e 3 J 17FÜVESTSP Foram feitos os gráficos 9x para todo x no intervalo 0 2rr O número de pontos comuns aos deis gráficos é 13FEISP Uma função fx definida no conjunto dos números reais senda a um número real determinado verifica as propriedades fx f x e f x a f x a é crescente para 19CICERJ O maior valor de xJx 1 no intervalo 3 3 ê e7 b 3 c 0 d 6 a 2 20 FEISP O gráfico da função f x x 11 1 é tal que 21 CESGRANRIO Considere as funções onde b é uma constante Conhecendose a composta d J4 oo a M0 bJO 2 cJ2 4 392 é o mesmo da função f x f x passa pelo ponto 1 0 passa pelo ponto 0 1 não tem ponto de ordenada negativa passa pela origem é sempre crescente é sempre decrescente não tem nenhuma raiz tem duas raízes g R R X x a b c d e b C d e 1 2 1 e decrescente para x 18 FGVSF Dada a função fx2x função f no intervalo A ígof IR R gfx 12X 9 Podemos afirmar que b é elemento do conjunto 25x 2 e o intervalo A 0 1 então a ff R K x 2x 4 b LIMITES E CONTINUIDADE 22MACKENZIESP Seja fRlR uma função definida por fx 23UFU0ERLÂNDIAMG A função f x não está definida para x 1 a 0 e b cs vale d 4a1 a a3 c 3a1 b 2a x 0 e f 0 a d valor de a para a0 b1 o1 26MACKENZIESP O lim ê igual a 27UCMG 0 valor do lím é a1 e 1 b 0 393 Podese afirmar que a não existe limfx b limf x 1 c limf x 0 d limf x oo e limfx x 1 7x2 2x 1 1cosx x Jx3 x 9x d5 xs1 x1 Para que a função fx seja contínua no ponto x 1 devemos completála com f1 igual a d íf 25FASP Dada a função fx ae que esta função seja contínua no ponto x 0 é c4 ci a 9 c5 1 eÀ 24FASP O limite lim xa 23FMSANTA CASASP Calculandose obtémse b J2 e nra 29 FMABCSP lim e 05 a 0 c 1 d 1 fx Então podemos afirmar que fimfx é igual a a 5 b 1 d o e nra c1 é x a k b1 O o e 2 é igual a a 0 d1 33 RMSANTA CASASP O lim a 1 b é 2 c é 4 d é zero e nao existe 2 é igual a a 0 d 2 e 4 394 lím 32 MAC KENZIESP lim 4 t t sen 2x cos2x 1 c ús x sen x 1COS4X io 1 cos2x x 1 j 1 b 4 c5 34KMACKENZJESP O lim i d ks 1 x2 ci 2x 5 para x 3 S para x 3 4 4 c4 x7 xJ x6 c p tí Y 31 UCMGO valor do lim xO 3ÜUFIJBERLÂNDIAMG Se y fx é uma função real de variável real definida por a a0 d 3 b 1 c2 36PUCSP Mm é igual a e2 aH2 b1 c D 37LIUMG O valor do lim 7x é e 1 d 2 a zero b C CO iaFUVESTSP Sabese que 1 e não existe d ê indeterminado c é infinito b è 0 3SPUCSP lim é iguai a e 4 d 1 b 2 c 3 a0 vaie d 5 e e 5 c S e a Se b es a 0 e a x 1 è igual a 42PUCSP O lim d e e a c 1 b loge a a loge 395 lim Xrft 2x4 62 x1 senx x2 íinri o 1 COS X 2x 3 x j di C1 6 e co 8 35MACKENZlESP O lim Jx x 1 x5 x 1 j é igual 1 cosz x x2 4xJ Ex 3 i x25 bi a7 40PUCSP lím tg X ê igual a tfr x sen x Concluise que lim í 11 41CESCEMSP lim 5H k n a 1 com x 44HPUCSP imVn1 e 4 d 3 b 1 g 2 a 0 e é d é 2 b é 4 c é zero a nao existe 46PUCSP O limite lím 47PUCSP lim é igual a vaie 4SíPUCSP Sendo e a base dos logaritmos neperianos o limite lím cí d1 a 0 k real e nâo nulo 49PUCSP Se para a ke b e1 d e k g k 50 PUCSP O limite lím vale d y a 57 b 0 e 1 C 75 396 d vale c vale 4 X5 4 w 4 xlt x 1 íiTx 1 eJ1 x b i A B5 a não existe b não é nenhum número real c vale 2 4 b 3 lim 1 x 1 3 3 43FUCSP lim K x7 kx vaie 5 l 4 1 hm 1 x a 5 2x5x 3 x 3xr 2 el 4 o limite 45FGVrSP O limite lim 1 V e então DERIVADAS da fx em x m c S2EPUSP A função y 53FrMSANTOSSP Assinae a alternativa falsa a 54MACKENZIESR Se f x e 2a a 2 b1 c 0 à parábola tangente reta C y6 5x4 a y4 5x6 4 397 é descontínua nos pontos da forma Iít t fk inteiro não ê derivável nos pontos da forma kjt é derivável em qualquer ponto e derivável mas não é continua nra b d a b c d e n d y6 2x sen x I d a 51 UFPR Observando o gráfico função 1x podemos afirmar se existe fx0 então existe também a reta tangente ao gráfico de fx no ponto de abscissa xa se fx é continua em x0 então ela tem derivada em xf a derivada da função identidade é a unidade se fx tem derivada em xfl então ela é continua em x0 a derivada da função seno é a função cnsseno b y4X6 55UFUBERLANDIAMG A equação da y x7x1O no ponto de abscissa x 6 è d a b a A função fx é derivável b b limfx m c limfxn d A função fx não é derivável nc intervalo b c e nra e y4 x 6 então f a vale a b y 2x 1 e y X 4 e y a y1 b y ponto de abscissa x2 ê 60 MACKEN7IESP A reta tangente â curva y no perpendicular à reta e 4y x 2 0 2 3 1 398 y 57UUMG A equaçao da tangente ã curva yx35x 1 no ponto de abcissa x 1 é a y x O b y 1 0 a y x 2 b y x 1 a y 2x b y 2x 1 c x 1 0 d y4x 7 0 c y 2x 3 d y 2x X a b c d e 3x 2y 12 0 2x y 7 O x 3y 11 0 x 6y 20 0 nra c y x 5 d y x 3 3 b c d e x y 4 0 x y 4 0 x y 4 0 2x y 1 0 2x y 1 0 d y x 56 FUVESTSP A equação da reta que é tangente à curva da equação y x x no ponro 1 1 é 61 MAC KE NZIESP Na figura a reta r é tangente à parãbcia no Pr Então a equação de r é k2x 1 kx2 1 k2x 3 1 O 58 ÍFATECSP A parábola P e a reta r são definidas respectivarríenle por x 2 e y x 4 A equação da reta s paralela are tangerte a P é y x e a 59 PUCSP A derivada primeira da função y é A X k c y x k 2 1 X fx o 63UFPA Dado f x x2 temse para fx 2x 1 x x m seja y x2 5x n é c n m a m n 3 b m n 9 grau e 399 a c b 3 b c b 3 a b c d 2 9 d n m 9 condição de tangência ê impossível na 62 FMSANTA CASASP No gráfico estão representadas a função fx e a reta r tangente a fx no ponto x0 0 Sendo y xx0 a equação de r podemos afirmar que a derivada de fx no ponto x x0 vale 64MACKENZIESP A relação entre m e n para que a reta y tangente à parábola 66CESCEMSP Dado polinômio derivado tem como gráfico uma reta tangente Então a ordenada do ponto de tangência ba 4 4 ao gráfico do trinõmio b xlX c X y x2 bx a 2 b 1 c 1 d 2 e nra é sempre igual a 2 qualquer que seja o valor b é igual a 4 para b 0 é igual a b para b 3 não pode ser determinada pois a hipótese formulada é igual a 5 para algum valor de b 65MACKENZIESP A reta y ax b è tangente à parábola y ponto de abscissa 1 Os valores de b e c são tais que c c b 3 d c b 3 e x2 1 o trinõmio do 2 o seu 3x 2 c no 1 e n m e 3 a 2 b 1 d 2 c 1 x2 68 MACKENZIESP Se fx então f1 x é igual a x a 1 c x 2 no ponto e 2x 3y 5 70UCPR Se fx cos x então e 12 b 1 c1 d 12 a 0 71 UFMG O vator da derivada primeira de fx cos 3x no ponto a 3 b 1 c 0 d 1 72UFPA Se fx sen x então a derivada quarta fx vale a sen x bcos x c sen x d cos x esen x cos x e x y 0 74UFMG Se fx sen x cos x tg x então fQ é a 1 d1 ej 2 400 a 3x 2y 4 b x 2y 0 c 2x 2y 3 0 d x 2y 3 Q c 3x 2y 2 d x 2y 2 a x 2y 3 0 b 2x y 3 0 b 4 x di 73MACKENZIESP Seja a curva de equaçao y tg x A tangente a esta curva no ponto de abscissa x jt4 é perpendicular ã reta xe e 1 69FUESTSP Qual a equaçao da reta tangente ao gráfica da funçãa y bl 2 n quando X e x3 67UCMG Um dos vafores que anula a derivada primeira de fx e 75XUFJÜIZ DE FORAMG Se f x e In x então o valor de f1 é a e e nra b e7 c e 1 d e K 76UCMG Se f x então f x é d elx b e 1x a e 1 c e base dos logaritmos neperianos a derivada da função e nao existe 7flMACKENZIESP Sef x e2 a1 d 12 b 12 c 14 79FEISP Indicando por Df a derivada de uma função f temse e nra y 0 X Então certamente quaisquer a 3 tal que f k 0 k e b 1 tal que fk 0 e quaisquer c a laique fk 0 401 1 Du fiO MACKENZIESP Seja a função definida por y fx e representada pelo gráfico a é igual a 1 b é igual a 1 c é igual a 1 d é igual a e x cos x 1 e1 f 1 l a D u b Duv Du Dv d dados fksfk7 e dados fk í fk e e k2 CICERJ Sendo a y ea no ponto x 0 d Duv v Du u Dv f0 é igual a 1x derivada f3 é igual a e ilra b 1 d 16 a 8 C 8 e e nra d 3 5 a5 3 b 5 3 g t3 5 83 UFPR Se ffr sen 2x então f n é e2 d1 a 2 b1 c 0 e 4 c2 d 3 a 0 b i 85 CATANDUVASP Seja a função f x sen2xr 1 Sua derivada primeira ê c a e nra b d então f0 será e 3 a 2 b 4 g 0 d 1 S7 PUCSP A derivada da função é a x d 0 e 2 b eK c 1 402 cos2x 1 7sen2x 1 sen 2x 1 sen 2x 1 sen 2x 1 Jcos 2x í cos 2 x 1 Jsen 2x 1 81FEISP Sendo f x 52x a fxelaB 86UFPA Se f x e 04PLICSP Sendo fx sení2x1 então sua derivada primeira calculada para X vale S 92EELfNSSP O ponto de contacto da tangente á curva paralela à reta 5x 3y 2 0 ê 88UUMG Qual a afirmativa errada e fi9UFPR Se então f1 é e 2e3 a 2e b 2e d 2 c e 0 x n a derivada primeira de y em d 0 a y e y tgx c y f10 que e uma a Não existe e 403 e 2e 2j3 3 2 2x3 h y Sx2xz3 3x n 4 b 4 3rt e T 1 cos x d y 1flxz 2x Seja yfx uma função tal xf y 4 Qual é 0 valor da derivada de fx no ponto 1 X 71 C2 ov a2 4 d 3 a X5x 18 6x5 d 1 3 F MSANTOSSP As funções apresentadas nas alternativas abaixo são derivadas primeiras das funções apresentadas nas questões 91 a 95 Associe a cada função a sua derivada 91 y 2xs3a ü hísenx 92 y h r 1 sen x 93 y 6xa xs 94 y In cosx 95 y ln2x3 96 U FUBERLÂNDIAMG d d x cos x cos x x sen x d 1 V 2 e dxlxj xs d dxL2 b dx c sen3xj sen2x 90CICERJ Sendo y íncasf 2 71 relação a x no ponto x ê igual a ínx3 e 97PUCSP A equaçao da reta tangente ã elipse da equação 3 e a cosx senx c senxcosx d cos 2x 99 MACKENZ1ESP O Valor de d 2 e2 a 0 to 1 c 1 MACKENZIESP O valor de 100 é a1 b2 d é 0 e 1 101 a é 1 b é 4 Cé2 d é 0 e não existe 102 UFPR O valor de ê a 1 b o c 1 d 2 e 3 404 pcnto P I 3 4 2 3 21 b 5 1 e2 C 03 12 C y d y x3 W hJ rsen3x 3senxi sen2x Jim I sen 4x 2 sen x sen2x l é l 5 no 2S 9 e Y 4x3 5 20 a yJLx3 b y x3 5 10 1 1 COS X 9S PUCSP A derivada primeira da função y arctg sen x i log x hrn25 1 1x FMSANTA CASASP O lim cos4x 110 1 COS2X 2 lim 3 1Õ 1 3 103 M t O 104 FCCHAGASSP No dA a 0 VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES MÁXIMOS E MÍNIMOS d 3 c1 a0 bj 1 10 3 d ponto e nra 4C5 a ponto de máximo b ponto de mínimo c ponto de inflexão d não è ponto critico iv 1 e 3 J e4 ti l2 Vi d de um corpo em tempofl Em que i velocidade deste corpo é nula gráfico ao lado está representada a posição função do instantes a pelo coeficiente angular da tangente ã curva no ponto M b pelo coeficiente angular da tangente á curva no ponto O c pelo coeficiente angular da rela OM d pela área A da figura V e pelo qucciente y1 FFRANCISCANASSP Na função fxyx x onde o domínio e MACKENZIESP Um imóvel se desloca sobre uma reta segundo o diagrama Para o intervalo de tempo entre O e t a aceleração máxima do imóvel ê representada 105 JUIZ DE FORAMG A função y x3 3x tem ponto de mínimo relativo para x igual a a ts b Oet c t e t4 d 0 t e t4 tj e t 107 no é e x 2 d z 1 b X 1 c x5 2 108 PUCSP A função y jgjaf a eH2 C1 d ü b 2 a 1 109 x reaf é e 16 d 15 b 13 c 14 a 12 MACKENZÍESP O valor máximo de 110 y 2 sen x cos 2x D x x2 é d 3 c 25 a 15 b 2 111 112 fx axJ3bx possui um máximo local eaQea b 0 113 a 1 bj 3 c 6 d 9 e 12 406 a a0et0 b aOeb0 a y tem valor máximo para x 1 b y tem valor mínimo para x 1 C y é sempre crescente c a0e3a b D d aDeab0 d y ê sempre decrescente e y é decrescente se x 0 e decres cente sex D xs 1 xV4 e c x 7 UCMG Se y 4 ax i 8 tem um valor mínimo em x 2 enlác o valor de a ê na igualdade IJFMG Sabendose çue relativo no ponto x 1 qual a afirmativa CERTA MACKENZÍESF O maior valor que y pode assumir r2 y 2X3 3x 16 PUCSP O ponto de máximo da função y 3xs25x60x1 3 intervalo 3 2 UFJUIZ DE FORAMG Uma função real de variável real y cuja derivada primeira é Y 7 Para ldo x 0 possui a propriedade x 2 tem um ponto de máximo para x a xc D x 3 xJ 2 114 FUVESTSP Sendo b e c reais a função f definida por f x x4 bx2 c a b 4c0 e bc 0 d c 0 b b2 4c 0 c b 0 MACKENZIESP O gráfico da função f dada por fx é 115 b y 2 0 0 2 c d y yJk 0 2 0 X 2 c 407 X X X 2R 72 tem um ou dois pontos de minimover figura Terá dois pontos de mínimo se e somente se aproximadamente a a D xeRx2ex 2 b D x e K x 2 ou x 2 c D R 1 4x x2 4 2R eV3 X R M R b d D x e R 2 x 2 e D xeRxi2 117 PUCSP A altura do cilindro circular reto de volume V máximo que pode ser inscrito em uma esfera da raio R é 116 ITASP Seja fx e4 onde x e R e R é o conjunto de números reais Um subconjunto D de R tal que f D R é uma função injetora é e 15 d 25 C 3 b2 a 1 PUCSP O ponto de inflexão do gráfico de 119 fx x3 3xs 4X12 é e 2 10 d 110 C 12O b 2 10 a 1 10 QUESTÕES DISCURSIVAS 120 FEISP Calcular lim 121 FJTAJUBÁMG Achar 122 123 124 FEISP Calcular o limite EEMAUÁSP Dada 125 a k 0 b k 0 4oa MAPOFEfSP Dada a função f x x2 2x3 definida para x 3 1 obter a expressão de sua função inversa e fazer o gráfico de ambas EEMAUÁSP Calcule o lim sen x sen a x a x 3 Jx 7x 2x Jim senx sen2x senax 1 lim logx 1logx x hax hJ h para que valores 11 8 F GV SP Uma parede de tijolos será usada como um das lados de um curral retangular Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame de modo a produzir a área maxima Então o quociente do m ai o r lado pelo menor lado do retângulo é igual a a função fx reais de x existe fx Determine fimfx v L 126 E E MAUASP Calcule o lim 4para x3 k E EMAUASP Dada a função 127 128 no ponto de 131 IMERJ Dada a função f R R definida por 132 MAPOFE1SP Para cada número real k considere y kx2 32kxk E EMAUÁSP Determine os valores de 133 fx 134 FITAJUBÁMG Obtenha a derivada da função 135 y arc sen cos x 409 sen x sen a x a x sen7x x que anulam a derivada de Prove que todas elas passam por um ponto fixo A uma rela fixa FEISP Dada fx Jx1 verifique se a função é derivável no ponto X 1 Justifique e que sao tangentes em A a a curva de equaçao 1 se x 0 X f x 1 se x 0 a parábola y 2xJ kx 3 de medo que x 2 seja paralela ao segmento AB de determine os valores de m para os quais o çráfico de f admite tangente paralela á reta de equação y mx 130 FUVESTSP É dada a parábola de equação y x 1 x cr 1 x g R Sejam resas relas tangentes ã parábola nos pontos onde ela encontra o eixo dos x Determine a de mado que r seja perpendicular a s 129 FITAJUGÁMG Determine k n a reta tangenle no ponto de abscissa extremos A8 7 e B2 5 Determine limf x FEISP Achar a declividade da reta tangente à curva y Xa coardenadasf2 4 smf 1 1 0 k Mostre que Px Qx tem minimo A a 140 C A M b EEMAUÁSP A 0 Qx y M N OI P 410 ts X X B P 138 x 0 Qx é um monômio de grau r relativo para x 0 136 um móvel em representado circunferência Determine o velocidade escalar do móvel é igual a 1 ms B í j c EEMAUÁSP O triângulo ABC é retângulo em C e seus catetos medem a e b Determine x CM de modo que o retângulo CMNP inscrito nesse triângulo tenha área máxima 141 EEMAUÁSP Na figura calcule o máximo da área do triângulo isósceles OAB OB AB que se pode obter com a base AO no eixo x e o vértice B no 1 quadrante e sobre a reta r cuja equação é 4x 3y 12 137 FUVESTSP Calcule as eventuais raizes pontos de máximo e mínimo da função f dada por f x x xx Esboce o gráfico dessa função FUVESTSP O polinômio Px de grau k 0 tem mínimo relativo para I 142 UFMG Calcule as coorde nadas do ponto Qx y de modo que o retângulo MNPQ inscrito no semicírculo de centro O e raio R tenha área máxima FEISP O gráfico do espaço de móvel em função do tempo é por um quarto de conforme a figura instante em que a 139 FEISP Dado o retângulo ao lado de perímetro 16m calcular a e b para que a área do triângulo ABC seja máxima RESPOSTAS DOS EXERCÍCiOS PROPOSTOS Capitula 1 b J3V2 19 a 4 d fc 110 Devese ter xi5xi6 0 isto é x 2 ou x 3 111 Y x1 c 3 2 e c b x 2 ou x 6 114 O primeiro membro pode ser escrilo E 1 y 0 E 1 xy0 1 x 0 e y 0 E l y I 2B xy 0 Neste caso temos que x y l x xy x 411 112 a 115 d xy 51 22 5 x 2 Jxa bxJx sí xf y y yx y x y w xy y x xy x x xy x G XJ xy ll5í xy SÍJ xy 116 a y az a CO k z a 0 x a ou x a 2 X 1 yj xyx xy ry xy xyz xyxy IkLM r Nyxyp 1 l y J xy xy xy xyz xyxy x Q e x 1 se x 1 x 1 se x1 xy xjrix yj x y J c k 5 7 113 a x 4 4 b42 11 11 0 1D xa 115 1 a a y E Se 2 x 3 então M 34 121 49 a b Capítulo 2 26 a1 1 c 0 27 a 2 3 b 11 sj e oo 10 C 0 d 1 3 f 2 a 2 b 412 logo f x máx x x x logo xj máxxX 120 4aJ b7 ab1 a b Assim f af b 118 x f afb a b xxjyyjjxx9 yyj x3 2f H B 1 a s 4a 4b7 4ab1 16 16 16 1 49 117 Teorema 1 n 1 a a Teorema 2 Hipótese a a2 aj a a2 ak akll í a j a21 ak 1 a A e ja a 1 ah B Pela hipótese temos a aa ak ah J A 311 A afcr11 i Prap VJCCular 5 b 3 4 E E 2 2 119 Se x D x x e máx x x x Se x 0 x x e máx x x x3 2x 1 Tese a a7 ak Sejam a 3 ak A B Então x3 2x 1 0 x 3 x3 27 2 x 6 Assim x 2x ll 27 6 1 34 28 a S Se 0 a 1 S co Capitulo 3 e 3t2 42 3 5 a 14 b 50 d 11 C2 36 a 4 e 58 b 8 se t s Vã 0 d 111 c R 38 a1 1 b R b 39 a 1 310 a 2 3116 g x1 x 0 e x2 2hx h2 1 317 a t21 h 9x 2 1 f x2 1 b t2 4t 5 413 1 2t2 2 2 J2 2 2 c3 210 Os pontos 1a1a0 possuem uma vizinhança contida em A o ponto zero possui uma vizinhança reduzida contida em A d x e 0 4 e 4 3u2 2u3 5 312 a 5 5 b 2 3 c x e 4 3 2 2 3 ou t Vã c x2 4x 5 d1 dL 31 29 1 37 a 2u2 oo b 2u2 oo c 2 co d 2 oo J6 J2 2 2 bSe a 0 S 0 Se a 1 S wí R R0 b 320 sugestão escreva e multiplique o numerador e o 322 323 bc d ad b Sx c 1TX2 3 26 a impar b não se classifica c par d impar 414 319 a 2x 1 R 2x 2 R f x h f x Vx h Vx h h CW 318 a 2x5 IR 6x5 R 8x2 20x R 2x5 4x xt3 2 1Gxj co 325 a C0 1 S0 0 T0 0 5 4 4 C1 S1 T1 5j b Cxsxl3t3 l3 23l 324 1 X c Vx 2 íx33x tfx 2 7x3 3 Vx2 tx33x 3 b 7x 2 72 x 2 2 7x7272x 2 2 74x2 2 2 x 2 Vx2 321 a 0 8 1 12 i í2x se x 1 b 2xsex1 l33 X 11 1 2 2 x 1 R 3x1 R20 r n í2x se x 12 Í9XÍ 2x sex12 32x 2 3 Sx CxJsx Cx Cx 327 b a y 3 3 3 x X fxfxj b x é qualquer número par 342 a f2 1 f2 1 c b R X b Df 1 1 lf 1 2 343 a 1 1 0 x c y y 3 1 1 X 2 x 0 1 x fx 1 fx 415 2 1 y 2 332 fxfx2 x 1X1 x xj x x2x x2 xx2 x x2 e R 1 3 y 2 336 a fíU k2J xx2x x20 333 Sugestão Observe que hxhx2 fx1 gxlfx2 gx2 fx1fx2 gxgx2 e use o fato de f e g serem nãodecrescentes 334 sim 335 não iy 1 lf3 1f2 1 x fx 1 344 m 1 345 X 1 1 X2 f x x2 fazendo x 2 daí Também 351 1 i 1 416 X y A 8 x K 1 fír fx 2 346 a Em fx x í x 0 f x x3 X 0 f X x3 fx2 e b1 2 D 1 1 3 p é ímpar vem 1 1 352 fx 1 o gráfico de y x x sofre uma translação para baixo de 1 1 x 354 153 y X 2 3 y 355 5 co b 356 a ly 2 1 x fx 362 f x n Tl X 0 i 417 364 a o gráfica de y sen x sofre uma translaçao para b o gráfico de y cos x sofre uma ranslação para 0 1 U 2 i í X lU senx x ser x x 1 senx X 3 í2 Ikt í 2 1 0 Jly 1 i n 1 2 3 c período 360 y e R y 5 ou n a direita de 7 4 361 R kn keZ 363 A 4 k 3 2 j 3 365 a período n jiy T K 0 x b 2it V 2it x Tl 4 I c ify ít tr 2n X R 363 a 1 e b1 O ou a 1 e b qualquer 418 Tt 2 71 2 3íC 2 3 2 3n 2 3x 2 2x1 rt 2L 2 3n 2 367 f1 SJl 2j cos xâOfx cos x cosx O f x sen x Ofx 1 sen x O f x 1 tf 3n 366 r1 71 K 7MKJK 377 1 375 Ô4 3 76 H Capítulo 4 413 Dadc 2 419 369 a f r b x x x x4 x2 IW3H2xH35 I fx51 2x 351 2 x2 25 e 1 0 x11 1 donde x 2 Assim 2 0 xe Portanto f x 31 3 x 23 x 1 fx5 3x75 3 x435 f f 0 seja 5 Se 0 x 41 5 então 416 Dado e Ü seja 5 Se 0 x 01 então fxl j12xl 2x26E n 8n 3T 374 lx J3 Jy 1 zZ 2 X 4 x 2 x2 R fxlx 1 2 2 x5 5 e 417 Dado 0 seja fi minfl s Se 0 k1 5 então 414 Dado e 0 seja S Se 0 x 2 5 então 415 Dado 0 seja e Se 0 x5 5 então 41 3 Dado x2 E 419 Dado e0 seja â E Se 0 x 3 8 então 420 Dado E Se 0 j x 11 fi então 3 E e então 422 Dado e 0 seja i5 c Se 0 x 0 fi então ôz t 423 Dado e 0 seja 5 minl Se 0 2 420 1 0 x 11 T donde 2 0xlf Assrm X 11 x1 X2 x11 õ então p3 x 12x16 3 x13 x2 3 e e 0 seja 8 e e 0 seja 8 eSe 0 x 1 tí então xx2 x2 1 0 x 2 0 x1 lf1 donde x 11 3 C i donde x 11 3 c Assim x 11 x 411 xal x23 x 2 2 donde f x 11 2 e x 2 t Temos então j fxj 01 x3 3x2 x1 2 x1 Se 0 x 2 8 então 421 Dado c 0 seja 8 min 1 fx 2j x3 S 4xX3 x 3 E 3 Temos então 425 Dado e 0 seja Ô min E Se 0 E 421 2 x 1 1 0 x 2 0 x 21 donde x 21 2j2 r ixi 84x x1 2 Assim fx2 2 x 21 5 então e então x 2 1 2 I E 1 x2li2 I 5 5H x 2 5 então 2 1donde x 1 1 0 x 21 donde x 1 2 0 x2 1 0 x 21 donde x 1 2 0 x 21 donde Assim fx5 donde x2 4x 1 4 x2 xl 8 424 Dado e 0 seja Ó min 1 x1 2 10J Se 0 I x 2 Ô então 11 í 1 r 427 Dado e 0 seja 8 min j Se 0 x 0 ô então 8 Assim fx5 5 x 1 0 x 01 1 donde X 11 2 2 0 x 01 donde x 2 e e daí x x1e Assim f x11 j xx xx1e 426 Dado c 0 seja Ô min 1 Se 0 Se 0 x 11 8 então 4 26 Dado e 0 seja ô min donde I x Assim f xl 4 29 Dado e ü seja 3 430 Dado e 0 seja íí 2 Se o que 422 Assim f x21 Vx 2 j min 3 3e Se 0 1 2 2 x1 X x 4 Ô então E X 11 X X1 E isto é f xL 431 1 Se Jim fx L então dado e 0 existe 5 0 tal que se 0 então e Vx 2 1 4 I 2 Se 0 f x1 ò então 2 2 X 1 j E 11 1 donde 2 x 0 Dai vem que 0 x 4 e 0 X 2 7 XXQ o que significa também que jfxLO e isto min i 1 l 7 fxLs ê Lm fx 0 Jrm fxi 0 então dado e0 existe 50 tal que se 0 I x xQ rt então f f xL0 f e significa que limxL 1 0 x 1 1 0 x 4 3 donde 1 x 7 Dai vem Vx 1 ou seja x 2 3 2 0 x 4 3k donde x 4f x 4 7x 2 2o Q x11 1 2 jT donde I 2 2x1 1 x 1 0 x donde xz x 1 f 2 D x 11 y donde x 1 f 7 e e então l X 1 J X2Xlj Assim px2jlx32xJl lxl X1 M E então e então W isto é lim f xFi x 0 para L 0 u para L 0 logo temse M 0 M gx N 423 N 2 I2bl 2 434 Reveja a demonstração do teorema da conservação do sinal exerc 4 12 existe 8 0 tal que se 0 x x0 6 então 432 Como lim f x L então dado c 0 existe Ó 0 tal que se 0 x xfl 5 Mas pela desigualdade triangular N 2 gx0 2 k 2 c jL fxLE Assim fx gx0 fx gx fxlLáfxLi fx hx01 fx hx e L c Ali ficou provado que dado c S7 0 Em ambos os casos 0 l gx assim 0tgxy existe 8 0 tal que se 0 xxj 6 então gx0 isto é g M s M 0 existe tal que se Como hmhx 0 dado e 433 Como f ê limitada existe um número M 0 tal que f x M para todo x de seu domínio E Como limgx 0 dado eC em correspondência ao número 0 M eNW 2 Kl 0jxxfl 1 então hx0 c e então hx E L Assim dado c 0 tomemos Õ min 6 S2 Se 0 j x xj ô temse 3L 2 Capitule 5 512 Dado e 3 514 Dado c 0 seja S mine 1Xa J Se 0 x xa 5 então 51 5 Dado 0 seja 8 min Se 0 x 21 B então o que garante que x1 2a 0xxJ 424 X4 Xo 2 f xf2 3x 2B 3x6 3 x2 38 e x 0 fi então 1 E 2 2 1 8 E fxfO 12x1 2 x 28 e I X 2 X 2 X Xfl f S Xa 1 X 1 X 1 x0 1 x 1xal xxJk Xoj o que garante que x 1 511 Dado f 0 seja 8 n 0 seja 8 Se 0 x xe j 5 então 1D 0 x2 5 10 Dado f 0 8 Se 0 Se 0 x 1 8 então 2 2 Jx1 53 Dado e 0 seja 6 y Se 0 j x 21 5 então 1 0 x x0 1 2 0jxxoJ c donde sendo x 1 e x 1 f xfxJ 3x 3x 0 3 xx 38 e 51 3 Dado E 0 seja 8 minsj 2 xD J Se 0 xx 8 r então 1 0 xx0 2 xQ o que garante que x 2 2 0 x x01 b donde sendo x j 2 e x r 2 f f xD lvf7 I 1 2 donde x2 j e Assim fxf2 1 Se D x X então i 0xxa j donde xç Assim Uxfx0 L I e então temse Assim para x 2 temse fxf25x 8x225x2 Como para x 2 temse 425 lx1 x01 2 1 01 xa1 2 I o I E então x 11 hl 2 0 1 XX I c1 2 donde x 1 2 0 0 X 1 2 517 a fxf 2 5x2 2x151 5x2 2x16 5x Sx 2 b Se 1x 27 temse donde 7 x 5 5 5 5 5 Temos ainda 3 5x 17 donde 11 5x 8 25 logo 5x â 25 D fxf2 25x2Í a Xg1 Xp 12 I 2 2 xx0exl x0 1 516 Seja xa 1 Dado k 0 tomemos ò s min 0 1 2 1 X 1 x0 1 0 1 2 Podemos escrever 21 5 então 0 seja S min donde f x f 2 1 0 25 donde fxf2 2 0 25 e Capitulo 6 b40 C 14 d 1 620 a 13 d 7 e 12 f1 621 a 0 b4 c 4 k 0 6 22 a 0 j3 d 0 b 18 c 3 624 g 1 b1 625 k 626 a 6 b 12 i1 k 2 h 3Íx2 b 3 d 1 I 533 1 63S a 1 b 2 634 a 5 c 636 32ab 638 15 6 39a 2x0 b 3x2 426 E 25 640 a 3 2a b b 3 a 7 5 27j2 a x2 x2f 5 Se 0 x x 2 c4 632 a 40 637 a 0 b 1 c 4 25 fxf2á 25x2 Í7 5 25 f c Dado e f i íx0 37 e J e4 0 o a e5 1 t 5 12 6231 Vz 1 2 627 f X X 1 X 23X 4 g hl11 h z J5 10 E 25 Capítulo 7 720 1 B 3 não existe c nac existe d nao Capitulo 8 865 a 0 b 0 868 a 16 b 16 427 8 70 a 1 872 a 0 b 1 b 3 3 não existe 3 não existe 3e não existe 3 não existe 3 não existe 3 não existe 3 não existe 3 não existe 3fl não existe 3 não existe 3n não existe 3 não existe 3 não existe 3n não existe 3 não existe 812 w 8 16 w 820 co 8 24 828 co 832 836 co b co b 3 b b 1 b 0 811 815 8 19 co 823 8 27 cc 831 co 8 35 655 a co 857 a w 859 a i 855 a 1 863 a 0 8 10 w 814 818 o 822 826 oo 830 834 b co b w b j b 0 b oo b b 8 2 2 2 n 2 0 2 6 2fl 0 2 a 2n 2 1 2 1 2 4 2 3 2 5 2 10 2 4 2 5 2 3 2 l 2 a 3 2 m 0 b a 1 0 9 co 813 w 817 m 821 825 829 m 833 ca 854 a oo 856 a co 858 a 860 a 0 862 a oo 64 8 64 a 45 B6S a 8 867 a 72 8 69 a 871 a 2 873 a 0 b 72 I b2 b 0 75 13 76 1n1 77 11 78 15 79 11 710 12n1 711 11 712 11 713 14 714 13 715 15 716 110 717 14 718 15 719 13 3 2 721 1a 2 7 22 1m1 723 a a 3 7 24 f é contínua no ponto x0 0 b f é contínua ã direita do ponto x0 1 725 F é contínua no ponto xc 0 b1 875 a 1 b oa b 3 877 a b 0 b 0 B 79 a D b m 2 d 1 Capítulo 9 99 5 953 916 1 912 2 911 1 922 72 919 çj2 921 0 913 2 927 1 926 2 924 sen a 933 1 932 1 930 0 929 0 923 2 934 v3 941 25 945 944 2 943 1 940 947 4 951 4CC 950 0 954 123 95327 937 0 905 1 990 oo 969 426 687 a 9 8 88 a 0 b 1 C 881 a 2 883 a 0 95764 960 25 953 4 966 9 969 1 b 0 b a b 0 b co b a 973 0 961 oo 984 0 968 8 910 1 917 4 923 4 1 9 6 915 874 a 875 a O 873 a j 890 a O 882 a M 334 a 1 885 a 1 b 0 0 36 a 1 4 38 914 j 920 9253 931 1 971 913 956 1 959 64 962 1 965 2 968 971 977 3 980 cs 983 1 986 946 4 949 0 352 77 32 955 5 958 9 961 72 964 16 967 O 970 Q 976 2 979 t 982 942 y 1 3 993 oo 9105 e2 9108 9 109 Ve 9111 e4 9112 e2 91301 9132 1 9 1331 b y 7x 4 e 1015 a 6 c1 d1 1016 y X 1017 y 2 x 1018 a não existe b x 2 429 9115 e2 9118 e4 9121 e 91241 9127 1 4 3 2 1 4 3 2 1 a 2 b não existe a 2 b 1 c y 2x 1 d y x 2 Capitulo 10 1013 a 7 1014 fa 3a2 2a 1 2VÍÕ 1 1 9114 e 5 4 991 00 9103 L vie 9 106 e3 992 00 9104 e 9107 e4 9110 4 e 9113 4 e5 9116 e6 9119 e2 9122 2 In a 9125 10 log e 9128 1 9131 1 9134 1 9117 Ve3 9120 e3 9123 1 9126 1 91290 Capítulo 11 k fx d fx 7 e rx m rx JSx751 0 f gí fx 4 1117 y S 1118 a fx 4x3 c fx d fx2x6 b fx y sen a cos a x a donde 430 1 11 1 a fx 0 b fx 5x c fx 1 1115 2 8 e 2 8 2371 3 1116 y 2 J3 X reta passa pela origem temos sen a cos a a a tg a 3xz para x 0 3x2 para x 0 119 A equação da reta t é Como a 1 para x 3 1 para X3 1 113 y 32X40 1 3 1114 y r o 3 x4 1 2Vx 3 5 2 h fx 35x4 i Cx 4cosx 5 2Vx í f x nx1 1112 a f x 12x212x7 b fx 6x5 2cosx 3 sen x y v 4 3 3 1 3 c f x x xX CQSX j ú f x x2 2x 3 C 4 e e xssen2x 2 d fx e fx fqx 1129 y fx7 1131 a fx 4 Ir 4 h fx b fx e h fx c fhx 3 e fx 431 n x 2 b fx 5xf senx 2xcosx sen x 2xVx XJ x 22x3 r x12 cossec2 x n2 1129 y n 4 d fx40 Ln2 25 1120 S 0 n para n 1 S 1 para n 1 1121 fx x2 2x 3 ou 11 22 b 2 11 23 a b 3 2 1l24g2 5 e g3 13 11 27 a fx 2xsenxx2ccsx c ü s x x s cos2 x itl Sxcosx 3x2ísenx1 c f X v 2 COS X Xj 2x3 40X2 3 xJ 32 6x5 3x 2 5x2 3xa 1 3 g fx sec2 h fx secxtgxcossecx i fx 3x2 tg x x3 sec2 x j fx 2x 7secxtgx 2 2 In 3 e c 1 1 xln3 5 xtn2 5 xln2 X 7 1137 0 5 g f D e fhx 7il0x f x c fx 80x32x45jS 1216 a f x 5x cosx5 2P isfl n x 432 d fx 24 e gx 3cosxsenx f gf2x 3senxcosx 1Oxcos x 1134 a fx 6x5 20x3 6x2 b fx 15xd 21x2 6x 1 5x2senx 4 3x 2x x2lln2 3 1132 a fx 4 In4 sen x 4 cos x L 27n2 cosx senx b f x l COS X c fx 5x23senxlnx xcosxlnx sen x Capitulo 12 1215 a fx 4sen3 x cosx b fx 4cos3 x senx n 2 1 Of x y COSj b fx 15x2 senx3 c fx 4x3sec2 X4 d fx 15x2 2xjcos5x e fx cosx sensenx 0 X 9 fx JÊÍJíJL 3x2 5x C xh2 f d f x 2senx cosx 1135 fx 21x6 1136 a fx 4xa6x10x2 b f x 12x312x 10 c f x 24X12 x2 2 COS X sen3x hw7 í 2 S h fx í fx 3e j fx 3x2 e k fx Sxi1 e I f x 2xln4 4 m fx ln2cosx 2 1 x 7 g fx c fx lnx23 h fx 2 1220 56 1 433 f fx senx lnsenx 1221 a fx sen x3 b fx 3x2 cosx3 1219 a 6 ou 6 b 12 ou12 xcosx senx b fx xx 1 lnx 1ln x V c fx x1 0 fx e 5 1222 a 4x3 senx b 4senx cosx C 16x iS 1217 a f x10xsenx2 b fx42x6senx7 2x2 x2 1 2 sen xt sen x sec2 x 4 xsen2x2 3 i f x cos e fíx Inx x1ri x cosx3 2 COSX cosx 1224 a fx senxMS x3 COS5 x2 1 M ê f x 3x 2 eMnxl 12 18afx4 x2 1 b fx 2senx cosxInx c fx d fx 2 e fx f f x In2 3x2jcos x 3x2cosx3 2 Jsen x3 10x cosx5 3sen x5 inx3 cos2 X senx In sen x ji senx ílt s cosx h f 4 sen x d fx x2 ljX lnx2lj 3 3 2 sen x x cos2 x tgx ee6i sen x2 2x2 In x cos3 x2 i I s A 3x2 r 4 2 XV X 4x f rr 2v x 3 4x 1 1 g fx 3x2 sen2cosy x cosx senzx 1227 a f x 2 cosx e 1 b fx x2 7 CCÍ X c fx senx fj f x 9 flx fx i fx fx 1231 a y b y c y d y 1232 14x13y 12 0 434 2 x 2 cosx sen x cosx senx 2 sen x 11 x cosx J v 3 J 12x x 1 senx r f 7 X22 d f x x 1 Jn x e fx x 2xlnx x x3x233 senx hxlnBxÜ 2xy x2 3 1xy Y 6x x21 sen x ln sen x S2L2S senx 1225 rx gxT x 1 x y 1 3 1 x2 2x 2 fx 1 cosx 2 j sen x x 1 2x 1 x2 1 1x h rx r3 5x 6x COS X x23 senxj xlj 1 ey1 Capitulo 13 5 137 a fx 130 a fx b fx c fx c fx dfx Mx e f x ffx m q 2 Capítulo 14 c2 b 1 f2 b ü e 0 b1 d1 435 1 136 m 2l x arctgx1 x 3 1 9x2 6 Jl4x2 2x42 J 7 1x 3 2x 143 a e 3 g 133 6 147 a 1 n 53 72 146 a 12 134 16 n el c 9 Vl36x2 cil a1 7 1 49x3 125x2 6 e 2 XvTI 1 2j7arc ÍQ 1 241xj X 3 x3 1 g f x 3x arccosx V1 x2 e 0 1412 a 71 b 1 d 0 c 1 b n 1416 a 0 d1 b 0 1422 a v sen t b a 1426 4nm2s 1425 2400ncm3s 1428 10nm 1427 2t t R Capítulo 15 ny 3 2 1 3 I2 1 6 x 1 2 x 436 2 1 6 5 4 e 1 f 1 y 4 154 1 m 1 1513 a 1 b 1 c 1514 a 3 b não há c g e3 h 1 k e l 1 1418 a e b 1 Ci d 1 f oo v 4t3 6t2 6t 1 1417 a B 1 2 3 4 5 1423 ms 8 c 2 1429 ms 7t 152 a 2 e2 b crescente em oo 2 e 2 oo decrescente em 2 2 153 crescente em 0 1 e 2 oo Decrescente em oo 0 e 1 2 1421 a 198 ms b i 1 j e3 d a 1 2t2 1 21 í 7i n COS tr I 16 2 c e v2 d e n 2 71 6 5t t 6 5n2 36 Hy 5 X 2 2 22 y 2 1 x 2 1 1 2 4 3 4 2 3 1 1 2 3 x 5 1 2 3 4 x 437 1 X 1518 a não há b não há c 2 1 1517 a1 b 1 c 6 5 1515 a 0 b 1 e1 1516 a não há b 3 c 1520 a nao há b não há c y 1 1519 a não há b 2 c My ry 3 2 V h 2 x 1521 a não há b õ bnão há c c My y 3 X y y 1 9 1 X 1 3 M y y 2 r2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 438 X 27 4 3 2 x 1525 a 0 b não há c 1526 a 1 b não há c 1523 a 1 b 1 c 1524 a 2 b 6 c 1522 a não há 1 2 j 5 6 7 8 x É x 1528 a 0 y 1 4 X y y 2 2 X 3 2 x b 2 1533 a 1 bnão há 1534 a 3 b 1 e 1 1535 a 0 b 2 e 3 1536 a3e 2 1544 A 10km de A 15426 e 2 1543 2 1 1545 a Às 16 horas 1546 439 I x 1531 máximo 1 mínimo 3 8 5 b 1 c 5 2 1529 a não há b 2 c 1530 a 2 b 3 c b 205km 4 0 2 rad 1527 a O b 0 c 1548 Quadrado de lado Sm 1547 é quadrado de lado 8m 1549 x 1 OOit i e y 200m 1551 1552 x y Rj2 1553 x 5 e y 1554 1555 15 56 a pedaço do quadrado d Devese usar Lodo arame para o círculo 1557 a Itu ra 1560 r 2m e h 4m e r 1561 r e h 440 base 1 Sem altura 60cm X R e y R perímetro SR 4R raio da base 3 e y Rs2 2V2R 3 32nR3 volume 81 263 m 2 pedaço do circulo 4 it 4L 4 Jt 1550 x 2 1559 r 2V2R 3 4R 3 12 5 1553 h R 3 3 J6 R Capitulo 16 e x3 2x c g c c 167 52 243 195 0366 d c 1 0159 b b 0450 1610 a 2 6283 161337500 1612 721 0414 1611 as13í 75 g e c c dx V4 c 1621 tpx xJ 3x 2 c 2 G d cost c b 3e c 441 731 2 7372 2 b X1 G 2 eT c k ek c c k 1619 I ekdx jekf Vs 1620 tpx senx logtek 4 169 a 1333 b 0571 2 168 a y 0866 x3 1618 a c x3 c 2X C 2 x3 d 2x 4x c f 2xJ 2X1 4 x c 5 e rr c In5 d e c 5Y f c J In5 h 2e 2 e sen tc Qí6xêx c 3 2 1622 a 5senxic x7 166 a y c b Ac 2xz 3 c c 0 y 3 ser x c 3 xs h 7 3cosx lnx 4x 5 lnek 11 24 c e In x d 311 ln x5x c b x dx dx c coshx c dx b cosh xdx edx e C sen h x c Capítula 17 1710 a b c i In 4x 4 31 c c c 442 1 2 1 2 2 C1 C2 2 c l3 3x1 e e 2 5x6 c 6 e e 2 eT e 2 ee 2 ee 2 j Inj 3x 7 c íe eIdx e c e1 cJ 1624 a senhxdx J 4fed e e 2 1 1 dx 2 n 4 1711 1623a x42cosxc 5 2ix3 3xA4 3 4 t b In 8 1712 g ln 5x 1 c h ln x 3 c sen3x 6 sen2x 4 C 23 f c f In2 e e3x1 1713 a ilnpLL 4 x2 exe dx 3x16 c 18 1 T c 182x 3 1 ín c COS 13 d 3senf 1 2 1 4 1 3 1 5 2 1725 a e 3 c c b ln senx 172õa 1720 1727 a c d 1729 a vx1 1730 a 2 3 V 1738 1739 x2senx 2xcosx2senx Capítulo 18 d In J5 181 a 1 c 2 b f In 4 1 d In e 0 b c In 443 4 3 c xsenxccisxiG d 2X4 lcosx 2senx b In Xa l C sen5x 5 2Jã 2 e senxcosx 2 31 2 f ln 6x2 5x l c J 5 J2x 3 5 b In In x c cos x3 6 1714 xln 2x 1 c x c In2 sen x 2 22x 33 92x b sen x2 C 2lx 1 3 182 a 18 x3 1 1736 Inx c ô V j J 1715 y2x 2tnxl C C 2x35 C 4 1735 a exl b e3x 44 1737 exx2 coss 5 1740 XxnenXfl d ln2x2 l c e 2x3 x 1 3 8 3 In2 x 2 183 Seja tp urna primitiva de f a Pelo teorema fundamental do Cálculo ternos fxdx tpbpa Logo b b 184 185 V 2 2 r n 71 444 ífxd a 2 r3 r r3j Ix Pcjb 2 x3 r xuL H í b 2 X2 dX 77 13B I fxdx 9 r2 x2dx 2í3 2n3 1 3 3 rbfxdx pbpa papi a i fxdx I fxdx j a b 4 3 r 3 3 4 RESPOSTAS DO EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES Dai 9 2 9 C etc 5a A desigualdade permite escrever 12 Compare x e yz daí 445 a a í ab 0 x y ab 0 x y 2 a 1 c a J 111 a b c p a q 6a p q 2 b b a c b c c b t i p ctq 1 a J p nq a 3q a s p a2q a p q 2 11 1 Observe que Vãsb 0 desenvolva o quadrado 2 B abf 20a b72ab 0 2alo íííS2í412 ab ba 3 s Observe que a b3 bc2 caZ iO e desenvolva as quadradas 4 Da 2 desigualdade acima a c c a a b 1 b a a a b c 2 2 c b 1 1 a b fn nf1 nk Faça uma verificação da fórmula acima usando INDUÇÃO l5b 0ea 1 l6a M1 to 0 I7 IS Faça E calcule sen a P sen a cos sen pcos a Assim E C eentea 446 I3 a todos os elementos de E e também número zero b zero c Suponha que numa vizinhança Va número de elementos de E é finito há então aquele ponto cuja distância a a é menor tome então uma vizinhança de a com raio menor que essa distância Há então uma contradição arc sen x a sen a x arc cos x p c o s p x 14 a Faça a 0 f0 0 b faça b a C f2 f1 f1 f3 f2 f1 f3 f3 f1 fn fn 1 f1 xnx 111 Dado e 0 seja 6 min p 1 0 1a 2 0 X 11 donde x 11 7 1 0 x11 1 donde 2x 3 7 7 x11 2x 3 i 2x2 X3 2x 3 x36 Se x 11 õ então 5 então V 0 x 2 Assim lx2 Se 0 xí 6 então Assim 2 0 x8 7c donde Assim 447 1 4 2vx 4 7 II2 Dado c 0 seja 8 min I xB 2x x8 7 1 4 8 Xz 2X 1 x1 l2Pí2irT Se 0 x 2 3x 13S e x 1 ll 2 l2 x II5 Dado e 0 seja 8 min7k 7f Se 0 x 81 8 então II4 Dado c0 seja 8 rnnl yj 2 0x1ydonde II3 Dado e 0 seja 8 Se 0 x 11 ò então 3 donde I x I 4 1 1 10 x 81 7 donde 1 x 15 Daí vem Vx i e xJ 1 logo V x1l H 3 2 3 1 7 10 I x 11 donde x daí vem 4 4 4 r 1 r à 3 Vx eentão Vx 1 2 2 1 4 m j t 1 2 2 0 X donde x I x I 2 8 2 2 1 1 1 e Ixa 7 C 3y 2x 2 ó x1 x1 3 2 2 3 2x0 3 2x XQt 117 Dado e 0 seja S minJc 11 x fxfx0 então X 1 Dai vem 22x 312 donde 2x 312 Assim c Dado e 0 seja 6 min 7 1 0 xl 2 0 x 11 ll9 1110 1 1113 32 II 18 448 Se x1 o então 12 e então I x Temos 2 1 1 2 x2x0 2 xxof e II6 Dado e 0 seja ri Se 0 X x Como 5 2x S temos vale a igualdade para x 1 7 212 j donde fxf 1 12 x11 donde jf x f1 e 1116 2 1 H19 T li11 4 1114 1 1117 8 II8 a fxf1 x12xi3 b Se x1 5 x 2 xD Se 0 xx0 S enlão 2x 3 1 0 x x0 1 x0 isto garante que x 1 2 0 xx0 donde sendo x 1 e xD 1 2x 2 xgx02 X 1 Xo 41 1 3 1112 1 s2 I 15 4 II 18 5 c ri eniao 9 2 7 2 9 2 1120 a 1 b II22 fxxx 1x2 b1 c náo existe b 0 c nao existe b 1 c não II42 a 1 II46 10 72 li53 0 II55 II 54 II 56 s II 62 1 IL63J3 1161 8 In 2 b fx b 2 c 0 III3 240 cm3s 449 14 3 c nao existe c não existe 1131 lí34 1129 1132 1135 a 0 1136 a 0 1137 a oo 1138 a 3 1139 a 1 1140 a 0 1141 a 0 II 57 íe1 1121 fx x1x 3x d II30 w II33 b 0 b não existe b w b 3 b b 0 b nao existe 26 II43 a y b 1 b 3 b 3 2 II60 e 2 45 I II 48 4 II 51 0 44 1 1147 2 1150 Vã 1112 a i 1159 1123 a A 8 N24 a 1125 a1 1126 a 3 II 27 a II28 a a II49 II52 4 1 2 II58 J eJ 2xsen2xxyer1 y xíeJÍ xlnx 2 2 cos3 y b e 1115 x 1 dm III7 m 24 en 13 IV2 dx 1 dx Fazendo sec x tg x u temos Substituindo na integral vem jvlnl IV7 a b x C 450 III6 máximo relativo 2 minimo relativo 4 n 1 n 2 r IV 4 sec xdx n 0 x3 3 n n1 xn n 15 x 2 secxsecx tgx secx tgx sec2x secx tgx J sec x tg x 1 x secx x 11 71 5t t 4 4 u c ln secx tgx IV5 ln cossec x cotgx c n xn1 c njn 12 n1 C1 III4 a 0 1 1 IV6 In cos x c 2 secx tgx secxtgx tgx sec2 xdx du IV1 a A 1 B 2 C 2 x2 b y2x2 ln 5n i 2t t 4 2n1 1 n 1 2x1x3 3 secx tgx ln secx tgx IV 3 X e c 2 IV8 a 1 b 2 0 1V10 ra 1 n Vamos integrar por partes fazendo 1xB e Assim la1 n x1 1 xfdx xík1 0 0 la n 1 IV11 a Vamos escrever ln Fazendo f x senn sen xdx cosx a2 0 0 451 j o gx senx temos gx 1xn portanto gx i o x e Çlxn n 1 portanto fx a a 1 x D ÍV9 a a 4 e b 1 c porque note que fx 0 Vx e R fxdx ll l2 1 gxcfx J n 1 r J o fx n 1 sen2 x cos x Então x cosxcosxdx a 1 dx n 1 dx 1 C1 fxdx l fxdxi 0 J 0 fx xa1 a 1 a n1 x Dn 1 Xa1 1xf dx D lxn dx n 1 senrt x dx ít2 senrx sen xdx n2 n1 sen o e gx senn x dx senn1x cos x Jo 2 2 1 0 D xdx n 1 ln 0 0 n RESPOSTAS DO EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES TESTES 452 31 32 83 84 85 06 87 80 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 41 42 43 44 45 46 47 40 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 58 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 00 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 116 119 a e b a b b b d b c b b d e d a b c e e d b d a b d e d b a e b b a a e e d a d b c e d a a c b d b a c d e a b e d c b b c b c b c e d b a d e c c c e e b a a e d d c f G b e b c b c b b e e a c b d b e c b a c d a a b c d e a b e e b b In sen3 x dx x cos3 x dx n senn2 n2 sen xdx V2 n lserí 21 22 23 24 25 26 27 20 29 30 31 32 33 34 35 36 37 33 39 40 o1Jn2n1l ln n1lnrl1l2 Logo ln tr2 n b 7 lA lfi 7 4 16 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 s2 serPx 5íi 32 QUESTÕES DISCURSIVAS x 1 7x 4 I 120 f 1 1 X 4 125 126 kx1 3xy 0 132 y kx2 32kx k ekx2 2kxrk 3xy 0 2k 32k 3 y3 mx1 onde reta j Portanto equação da a 453 A última equação é satisfeita para x 1 e y 3 qualquer que seja k e x Portanto todas as curvas passam pelo ponto P1 3 1 x a 2cosa 127 cos a 128 4 129 6 130 3 OU 1 131 mí12 ty 3 4 Fazendo X 1t A reta que tangencia as curvas no ponto P tem equação i i 3 y 3 x tangente ê 121 2x 122 w 123 1 124 0 a 3k2 b y 2kx 32k xy3 136 t 137 raizes 0 e 1 gráfico ponto de mínimo y 1 X Fx Px arr1x2 139 a b 4m 141 3 142 454 1 4 1 4 1 2 2 4 1 x 4 Rj2 R72 2 2 0 donde Fx tem mínimo relativo para x 0 134 A função dada não é derivável no ponto x 1 pois como fx só é definida para x1 não existe a derivada à esquerda no ponto x 1 Assim só podemos dizer que fx é derivável à direita no ponto x 1 272 s 2 140 133 x knkeZ 138 Seja Fx Px Qx Px axr Temos P0 0 e P00 Então como Fx Px arxr1 vem F0 P0 0 e como sen x 135 y sen x vem F0 P0 ISBN BSLObSBlfaB vsastcPb s 3im a Os seguintes volumes integram essa coleção wwwvestsellercom br Adicionalmente a grande quantidade de exercícios resolvidos e propostos em cada capítulo fornece ao leitor os meios necessários para uma excelente fixação do conteúdo Todas as respostas são fornecidas ao final década livro Volume 1 Conjuntos e Funções Volume 2 Progressões e Logaritmos Volume 3 Trigonometria Volume4 Combinatória Matrizes e Determinantes Volume 5 Geometria Volume 6 Geometria Analítica Volume 7 Números Complexos Polinômios Volume 8 Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral EDITORA Essa coleção é indicada para professores e estudantes de ensino médio em especial para aqueles que buscam um aprendizado de nível médio a alto compatível com os exames dos vestibulares mais concorridos do Brasil dentre eles as escolas militares IME e ITA Cada volume contém teoria completa e detalhada com excelente profundidade incluindo demonstrações de propriedades e de teoremas relevantes para o sólido aprendizado do estudante A Editora VestSeller tem o prazer de reeditar a Coleção Noções de Matemática uma obra prima composta por 8 volumes que trata de todo o conteúdo da Matemática do Ensino Médio de forma primorosa