Lista 4 3 - o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo com Resposta-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Ze 2 Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas MTM UFSC Departamento de Matematica CAlculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 43 O Segundo Teorema Fundamental do Calculo Ultima atualizacdo 22 de junho de 2022 Pl Seja F uma funcao cuja derivada é f Explique integral definida usando Fe f P2 Calcule as integrais definidas abaixo Sugestao Veja que todas as integrais indefinidas necessarias ja foram calculadas no exercicio 7 da lista de exercicios 42 2 1 a x 2x 4 dx b 1 82 162 dz 0 1 1 1 c Ja War 2 de d 1 x2 27 dx 0 2 4 rA 2 4 3 2 e Gstz dx f 2sene Scose dx 0 Vv22 3 e 4et 432 de h dx fs P3 Mostre que a area de um circulo de raio R é 7R P4 Expresse em termos de uma integral o deslocamento de um objeto entre os instantes de tempo t e t2 sabendo que sua fungao velocidade é vt P5 Considere as fungoes f e g representadas abaixo Em cada regiao marcada esta indicada a medida da area y f OS 1 Ag 1 Aq 1 Ag i 2 a b c d 1 b c d b c a Escreva o resultado das integrais fxdz fxdz fxdz gxda gxdz e a b c a b d gxdx em termos das medidas das Areas b Escreva as Areas Aj A3 e As em termos de integrais Exercicios Complementares C1 Seja f uma funcéo Explique integral definida usando f e f C2 O que ha de errado no desenvolvimento 1 3 41 x x dxr os x 2 35 8 C3 Se uma particula P esta sob a acao de uma forga F que é paralela ao deslocamento de P entao o trabalho realizado pela forca F entre as posicdes x1 e 2 6 dado por x2 W Fadz ry Note que nessa expressao a forga F é uma funcao da posicao x Suponha que a fungao posicao de P 6 xt 2t1 e que a forca em funcao do tempo é Ft 3t t 1 Determine o trabalho realizado pela forga F entre as posicoes x 3 e r 7 C4 Considere as funcoes f e g representadas abaixo Em cada regiao marcada esta indicada a medida da area y 9g mo Ni 1g a b Cc d a Qual é a area da regiao limitada pelas funcoes f e g e pela reta x a Qual integral descreve essa area b Qual é a area da regido limitada pelas fungoes f e g e pela reta x d Qual integral descreve essa area 2 c Qual e a area da regiao limitada pelas funcoes f e g Qual integral descreve essa area d Descreva um procedimento para calcular as areas descritas nos itens acima sem ter o grafico em maos C5 Sejam fx x2 8x 17 e gx x 1 a Determine a area da regiao limitada pelas funcoes f e g e pela reta x 2 b Determine a area da regiao limitada pelas funcoes f e g 3 Universidade Federal de Santa Catarina Ze oY Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas MTM UFSC Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito da Lista 43 O Segundo Teorema Fundamental do Calculo Ultima atualizacgao 22 de junho de 2022 b PL fade Fb Fa P2 2 3 2 4 a a 2a 4 dx F440 0 3 0 3 1 1 b 1 82 16x dx x 2a 22 2 1 1 1 2Qa92 Ba 5a 95 71 ve Vere dx 36 1 4 3 1 29 d l222de 522 42r a n2ede T 5 wee 44 3 2 3 83 dr41 4 8ln2 e 5 xv nial 53 ve L 39 t n m4 sec x ter 15 5 f 2sen x 3cos x2 dx 2cosx 3senxz wf 7 a rL naw 0 0 32 4 1 9 Aertil Qe Aettl 14 e i a 32 de oF In2 cre 4nd h i 3 in Gasn 3m 0 21 2x 2 0 8 P3 Considere a fungao fz VR 2 com R 2 R O grafico de f é uma semicircunferéncia centrada na origem de raio R Portanto a area entre o grafico de f e 0 eixo x limitada lateralmente em Rewz R é metade da area do circulo Mas essa area pode ser calculada por uma integral R 129 r Ro R VR 2 dx R aresen 0VP 2 R 2 R np 2 Como esta integral é metade da drea do circulo entao a area do circulo é 7R tg P4 stz st utdt ti 1 P5 b c d a fxdx A Ao fxdx A3 Aa fxdx Ag a b d c J sodas glade Ay folate Ay Av a b c b c d b v fP ale ide v Fle gleax As fle Floae a b c Exercicios Complementares b C1 Iwde fb fla C2 A funcao x no integrando nao esta definida no intervalo de integracao 2 1 pois nao esta definida em x 0 C3 Solugao 1 Como o trabalho é calculado usando a forga como funcgao da posicgaéo precisaremos 1 encontrar Fx Isolando t na fungao posigéo obtemos t Substituindo na expressao da forga obtemos a1 1 3a 3 Fx 3 l2z x 3 5 5 1 7t7 Assim o trabalho é 7 2 3 2 7 3X 3 x x 3X ror ieG 27 Solucao 2 Apesar de o trabalho estar definido como uma integral sobre a posicao podemos calcular como uma integral sobre o tempo Usaremos uma ideia informal aqui que sera vista em detalhe nas proximas aulas e listas a resolucao de integrais por substituicao de varidvel O primeiro passo é encontrar quem sao os limites de integracao na varidvel t Como xz 3 e xt 2t 1 entao o valor de t que retorna x 3 6 t 1 Fazendo 0 mesmo para 22 7 obtemos tg 3 O segundo passo é reescrever a integral trocando o dx por alguma relacao com dt Apesar de dx ser apenas uma notacao na integral podemos pensar que ele 6 o mesmo dx que aparece na notagao para derivada Por exemplo como xt 2t1 entao drdt 2 e portanto dx 2dt Curiosamente se trocarmos dx por 2dt na integral a integral resolvida na varidvel t tem o mesmo resultado ja obtido na solugao 1 A resolugao fica assim op 3 3 W Faxdx 3 12dt 20 4 7 2 56 XY 1 1 C4 b a Ay lv fa d b As f ola fle de o Aa Fle v ae b 2 d Primeiramente encontrar os pontos de intersegao entre o grafico de f e g resolvendo a equacao fx gx No grafico acima as solugdes sao b e c Depois disso um esbogo dos graficos deve ser feito A regiao descrita no item a é a tnica regiao que fica limitada pelas fungoes e pela reta x a Observe que s6 sabemos que essa regiao termina em x b porque calculamos previamente os pontos de intersecao entre os graficos Apos isso a area A é determinada pela integral de a até b da diferenca das funcoes observando que é a que esta por cima menos a que esta por baixo Um raciocinio similar se aplica a regiao descrita no item b Ja para o item c observe que nenhuma limitacao lateral foi fornecida Assim a regiao procurara é a tinica que fica limitada somente pelos graficos de f e g sem qualquer outra curva Como ja haviamos determinado os pontos de intersecao entao ja temos os extremos laterais b e c dessa area Por fim basta fazer a integral da diferenca observando que neste caso a funcao f esta por cima entao devemos fazer a integral de fx gx C5 3 3 3 2 3 a fx gx dx x 9x 18 dx 5 ea Isr a 9 9 3 2 6 6 6 3 2 6 b gx fx dx x 9x 18 dx or isr 2 3 3 3 2 2 3