Lista 3 2 - Taxa de Variação com Repsota-2022 1

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Lista 32 Taxa de variacao Ultima atualizacao 27 de maio de 2022 Exercıcios Principais P1 Um fabricante produz pecas de tecido O custo em reais da producao de x metros de um certo tecido e Cx a Qual e o significado de Cx Qual e a unidade de medida de Cx b O que significa dizer que C500 10 P2 A posicao de uma partıcula sobre uma linha reta graduada em metros no instante t segundos e dada por st t3 6t2 9t a Determine vt b Determine at c Em quais instantes a partıcula esta em repouso d Quando a partıcula esta se movendo para frente E quando esta se movendo para tras e Qual e o deslocamento da partıcula entre os instantes 0 e 5 s f Qual e a distˆancia percorrida pela partıcula entre os instantes 0 e 5 s g Para que valores de t temse at 0 Para quais valores de t temse at 0 Para quais valores de t temse at 0 h Quando a partıcula esta acelerando ou freando isto e quando esta aumentando ou diminuindo sua velocidade em modulo P3 A quantidade de carga Q medida em coloumbs que passou por um determinado ponto em um fio ate o instante t segundos e dada por Qt keat cosωt em que k a b e ω sao constantes Determine a corrente neste ponto do fio no instante t Quais sao as unidades de medida da corrente encontrada P4 A Lei da Gravitacao de Newton diz que a intensidade F da forca exercida por um corpo de massa m1 sobre um corpo de massa m2 e dada por F Gm1m2 r2 em que G e a constante gravitacional e r e a distˆancia entre os corpos Calcule dFdr e interprete seu significado O que o sinal de menos indica P5 O numero de celulas de levedura em uma cultura de laboratorio e dado por nt a 1 be07t em que t e medido em horas e a e b sao constantes Sabese que no tempo t 0 a populacao e 20 celulas e que esta crescendo a uma taxa de 12 celulashora Encontre a e b e diga o que acontece com a populacao da levedura apos muito tempo 1 P6 Um carro A esté se movimentando para oeste a 90kmh e o carro B para norte a 100 kmh Ambos vao em diregao a intersecgao das duas estradas Qual é a velocidade de aproximacao relativa entre os carros quando A esta a 60m e B a 80m da intersecao P7 Um caminhao descarrega areia a uma taxa de 3mmin de tal forma que a areia descarregada tem um formato de cone em que a altura é igual ao diametro da base Determine a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura é igual a 3m P8 Quando dois resistores de resistencias R e Ry sao conectados em paralelo entao a resistencia equi valente R é calculada por boa RR Ry Se as taxas de variacao de R e Ry sao 030s e 020s respectivamente qual é a taxa de variacaéo de R quando R 802 e Rz 1002 P9 Uma escada de 8m esta encostada em uma parede Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2ms com que velocidade a extremidade superior estara descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede P10 Uma particula se desloca ao longo da parabola y x no primeiro quadrante de modo que sua coordenada x medida em metros aumente a uma velocidade constante de 10 ms Qual é a taxa de variacao em relacao ao tempo do angulo de inclinacao da reta que liga a particula a origem quando xr3m Exercicios Complementares C1 Um homem anda ao longo de um caminho reto no plano sobre 0 eixo y e no sentido y positivo a uma velocidade de 2ms Um holofote que esta localizado sobre o eixo x positivo a 20m da origem focaliza o homem Seja 6 o menor angulo que o holofote faz com o eixo x Qual é a taxa de variacao de 6 com relacao ao tempo quando o homem esta a 20m da origem C2 Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno seu raio aumenta a uma taxa isto 6 a derivada do raio com relacgao ao tempo de 001 cmmin Qual é a taxa de variagaéo da Area do prato quando seu raio é 50cm C3 Uma quantidade bastante conhecida na Fisica 6 0 momento que é dado pelo produto da massa pela velocidade p mv A forcga agindo sobre o objeto é a taxa de variagéo do momento em relacgao ao tempo F dpdt Assumindo a massa do objeto como constante temos Ff dmvdt mdvudt ma que é a Segunda Lei de Newton No contexto de mecanica relativistica a massa do objeto nao é constante e varia conforme sua velocidade m mo1 vc em que mo é a massa de particula em repouso e c é a velocidade da luz Usando que F dpdt e que a massa varia conforme a mecanica relativistica mostre que Moa F 1 v22372 C4 No estudo de ecossistemas 0 modelo predadorpresa é muitas vezes usado para estudar a interacao entre espécies Seja Tt o numero de tigres de uma regiaéo no instante de tempo t medido em anos e seja At o nimero de antilopes na mesma regiao no instante t A interagdo entre essas duas espécies 6 modelada pelas equagoes At aAt bAtTt e Tt cTt dAtT 2 em que a b c e d sao constantes 2 a Como caracterizar matematicamente a afirmacao de que o numero de indivıduos das duas especies e constante ao longo do tempo b Como caracterizar matematicamente a extincao dos antılopes c Considere a 005 b 0001 c 005 e d 00001 Sabendo que as especies estao convivendo em equilıbrio isto e o numero de indivıduos e constante ao longo do tempo e que nao estao extintas determine o numero de indivıduos de cada especie C5 E muito comum falarmos em taxa de crescimento usando porcentagens por exemplo a populacao cresce 1 ao ano Essa medida e uma medida relativa comparada ao seu valor previo a populacao do ano seguinte e 1 maior que a populacao do ano atual Apesar de nao parecer essa afirmacao pode ser traduzida matematicamente usando a nocao de taxa de variacao media se Pt e a populacao no ano t entao essa afirmacao pode ser escrita como Pt 1 Pt t 1 t 001Pt O denominador da fracao do lado esquerdo e 1 mas colocamos na forma de t 1 t para ilustrar o quociente que representa a taxa de variacao media E se a informacao da taxa de crescimento relativa nao for media mas sim instantˆanea Neste caso o lado esquerdo da igualdade e trocado por P t e ficamos com P t 001Pt a Mostre que Pt P0e001t em que P0 e a populacao no instante de tempo 0 e solucao da equacao acima b Mostre que Pt P0ekt em que P0 e a populacao no instante de tempo 0 e solucao da equacao P t kPt c Justifique a afirmacao Em uma populacao modelada pela funcao Pt 10000e0005t em que t e medido em anos a taxa de crescimento anual e 05 d Determine a taxa de crescimento anual de uma populacao que cresce proporcionalmente ao seu tamanho e que em 10 anos saltou de 256 bilhoes para 304 bilhoes de habitantes C6 Cada lado de um quadrado esta aumentando a uma taxa de 6 cms A que taxa a area do quadrado esta aumentando quando a area do quadrado e 16 cm2 C7 Um tanque cilındrico com raio 5 m esta sendo enchido com agua a uma taxa de 3 m3min Qual e a taxa de crescimento da altura da agua no tanque 3 Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciˆencias Fısicas e Matematicas Departamento de Matematica Calculo 1 MTM3101 e MTM3110 Gabarito parcial da Lista 32 Taxa de variacao Ultima atualizacao 27 de maio de 2022 Exercıcios Principais P1 a Cx representa a taxa com que o custo de producao varia quando a producao e de x metros A unidade de medida de Cx e Rm Observacao Na economia a derivada do custo Cx e chamada de custo marginal Definicoes analogas se aplicam a receita marginal e ao lucro marginal b Significa que quando a producao esta em 500 m a taxa de variacao do custo e 10 Rm Usando aproximacoes por diferenciais isso tambem significa dizer que o custo de producao do 501º metro e R 1000 mais caro que a producao do 500º metro P2 a vt st 3t2 12t 9 b at vt st 6t 12 c t 1 s e t 3 s d A partıcula se move para frente quando 0 t 1 s ou t 3 s A partıcula se move para tras quando 1 s t 3 s e 20 m f 28 m g at 0 se t 2 s at 0 se 0 t 2 s e at 0 se t 2 s h Freia quando 0 t 1 s ou 2 s t 3 s acelera quando 1 s t 2 s ou t 3 s P3 It Qt ka cosωt ω senωteat A corrente sendo a taxa de variacao da carga pelo tempo e medida neste exemplo em Cs esta unidade Cs recebe o nome de ampere A P4 dFdr 2Gm1m2 r3 indica a taxa de variacao da forca de atracao entre os corpos quando a distˆancia e r O sinal de menos indica que quanto maior a distˆancia menor a forca P5 a 140 e b 6 Como o lim t nt a 140 entao o numero de celulas tende a estabilizar em 140 celulas P6 134 kmh P7 43π mmin 1 107 P8 dRdt Qs 01320s 810 6 P9 ms vee dé P10 a lrads Exercicios Complementares do 1 C1 rads ai 3 dA C2 a7 mom min C3 C4 a At e Tt so constantes ao longo do tempo ou equivalentemente At 0 e Tt 0 para todo t b At 0 para algum valor de t e consequentemente para todo t a partir deste a menos que haja imigracao de outra regiao c 500 antilopes e 50 tigres C5 a P0 Pye Py e Pt 001 Pye 001Pt b P0 Poe Pye Pt kPoe kPt c 1 304 d k I1n 0017 17 ha oan C6 48 cms C7 3257 mmin 2