Aula 1 e 2: Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuição Normal

AULA 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Exemplo I Caso discreto Experimento lançamento de três moedas Considerando c cara e r coroa Ω ccc ccr crc rcc crr rrc rrr Variável aleatória X número de ocorrências da face cara X Evento Correspondente 0 rrr 1 crr rcr rrc 2 ccr crc rcc 3 ccc Distribuição de probabilidade Representações a Tabela X PX 0 18 1 38 2 38 3 18 Σ 1 b Gráfico Variável aleatória contínua Uma variável aleatória X é contínua em R se existir uma função fx tal que a fx0 não negativa b fxdx 1 Observações fx função densidade de probabilidade Pa X b fxdx Variável aleatória contínua fx 4x se 0 x 12 4x 4 se 12 x 1 0 se x 0 ou x 1 fxdx 4x dx 4x 4 dx 12 12 1 Área do triângulo Distribuição de probabilidade Casos Esperança Matemática Variância discreto EX xi pxi VARX EX²EX² ou contínuo EX xfxdx VARX EX²EX² Desviopadrão σ VARX DISTRIBUIÇÃO NORMAL DE PROBABILIDADE E A CURVA NORMAL HISTOGRAMA fxdx 1 AULA 2 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Definição 11 Densidade Normal Padrão Dizse que uma variável aleatória X tem densidade normal padrão se sua função densidade é dada por φx 12π expx²2 x Dizemos que uma va Z segue a distribuição normal padrão se sua função densidade de probabilidade é dada por 11 Nesse caso escrevemos Z N0 1 Assim temos que o valor esperado é EZ 0 e VARZ 1 De fato zero VARX EX² EX² x²fxdx xfxdx² A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Distribuição Normal Padrão ou Normal Reduzida Resumindo Z N01 EZ 0 VarZ 1 Definição 2 Distribuição Normal Dizse que uma variável aleatória contínua X definida para todos os valores em ℝ tem distribuição normal com parâmetros µ e σ² onde µ e 0 σ se sua função densidade de probabilidade é dada por fx 12πσ² expxµ²2σ² x Se X Nµ σ² então X µ σZ em que Z N0 1 Das propriedades de média e variância resulta EX µ σEZ µ 0 EX µ VarX σ²VarZ σ²1 VarX σ² TABELA PARA SER USADA NA PROVA Centro Universitário da FEI Estatística Distribuição normal reduzida ZN01 Todos os números internos da tabela iniciam com 0 Z0 000 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 01 00938 00000 00350 00398 00438 00478 00517 00557 00598 00638 00678 01 01151 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01446 01483 01520 04 01915 01936 01967 01997 02023 02049 02078 02103 02138 02177 02201 06 02670 02692 02719 02743 02764 02783 02800 02816 02833 02847 02867 08 03099 03118 03129 03147 03162 03176 03185 03198 03214 03198 03212 02 04078 04091 04104 04117 04129 04138 04154 04177 04192 04209 04222 08 04671 04694 04712 04736 04761 04788 04810 04823 04835 04845 04853 10 04938 04951 04965 04977 04986 04994 04998 04999 05000 05001 05002 20 04772 04775 04782 04788 04793 04798 04803 04807 04811 04813 04816 37 04998 04998 09999 04999 09998 09997 09996 09995 09994 09993 09993 40 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 Distribuição Normal o uso da tabela Para ilustrar o uso desta tabela vamos descobrir a probabilidade P0 Z 174 P0 Z 174 04591 EXEMPLO Dada uma distribuição normal padrão encontre a probabilidade PZ 184 PZ 184 05P0 Z 184 PZ 184 0504671 PZ 184 00329 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL EXEMPLOS 1 Determine as probabilidades a P125 Z 0 Solução A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura Sabemos que P0 Z 125 03944 Pela simetria da curva temos P125 Z 0 P0 Z 125 03944 b P05 Z 148 A Probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura Temos P05 Z 148 P05 Z 0 P0 Z 148 P05 Z 0 P0 Z 05 01915 e P0 Z 148 04306 obtemos P05 Z 148 01915 04306 06221 c P08 Z 123 P0 Z 123 P0 Z 123 P0 Z 08 Como P0 Z 123 03907 e P0 Z 08 02881 Obtemos P08 Z 123 03907 02881 01026 e PZ 092 A probabilidade procurada corresponde à parte hachurada da figura Temos PZ 092 PZ 0 P0 Z 092 como PZ 0 05 e P0 Z 092 03212 obtemos PZ 092 05 03212 08212 Exemplo 4 Encontre Z α tal que PZ Z α 015 Observando a figura vemos que PZ Z α PZ 0 P0 Z Z α 015 05 P0 Z Z α Assim buscamos na tabela o valor P0 Z Z α 035 Da tabela N01 temos que Valor 1 100 e Valor 2 004 Portanto Z α 100 004 Z α 104 Temos de determinar o valor de k tal que PX k 0 05 Note que isso equivale a calcular o 5º percentil da distribuição A área à esquerda de k tem de ser menor que a média Na solução teremos que usar a simetria da distribuição invertendo o sinal da abscissa para lidarmos com área na metade direita da função de densidade EXEMPLO Uma empresa produz televisores de 2 tipos tipo A comum e tipo B luxo e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que no tipo A com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de R 120000 e R 210000 respectivamente e caso haja restituição com prejuízo de R 250000 e R 700000 respectivamente Pedese O saldo médio dos clientes de um banco é uma va normal com média R 200000 e desviopadrão R 25000 Os clientes com 10 maiores saldos médios recebem tratamento VIP enquanto aqueles com os 5 menores saldos médios receberão propaganda extra para estimular maior movimentação da conta Prestituição de B PXB 6 PZ 6113 PZ 167 Prestituição de B PZ 167 PZ 167 P0 Z 167 Prestituição de B 05 0452540 004746 ou 475 A probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B respectivamente são 228 e 475 b Pnão restituição de A 1 Prestituição de A 1 002275 097725 Pnão restituição de B 1 Prestituição de B 1 004746 095254 Lucro médio de A 1200 097725 2500 002275 111564 reais Lucro médio de B 2100 095254 7000 004746 166775 reais c A empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B pois o lucro médio de B é maior que o lucro médio de A Aproximação da Binomial pela Normal Distribuição de Bernoulli Esperança A expectativa ou valor médio da distribuição de Bernoulli é dada por EX 0 PX 0 1 PX 1 0 1p 1 p p Variância A variância de X é definida por VarX EX² EX² Temos que EX² 0² PX 0 1² PX 1 0 1p 1 p p Assim VarX p p² p1 p e portanto DPX p1 p Aproxim da distr binomial pela normal Exemplo 4 Seja X Bn p onde n 100 funcionácios com algum diploma universitário e p 05 a probabilidade de encontrar um funcionário com diploma Calcule usando a aproximação da binomial pela normal a probabilidade de encontrar a Exatamente 52 funcionários com diploma ou seja PX52 b De 25 a 57 funcionários com diploma ou seja P25X57 Aproxim da distr binomial pela normal b P25 X 57 P255 X 565 P 25550 5 Z 56550 5 P25 X 57 P49 Z 13 Assim P25 X 57 P49 Z 13 P49 Z 0 P0 Z 13 P25 X 57 05 0403199 0903199 Aproxim da distr binomial pela normal Exemplo 3 Um sistema é formado por 100 componentes cada um dos quais com confiabilidade de 095 Se esses componentes funcionam independentemente uns dos outros e se o sistema completo funciona adequadamente quando pelo menos 80 componentes funcionam qual a confiabilidade do sistema Resolução Pela Binomial P80 X 100 muito trabalhoso Vamos usar a aproximação uma vez que n p 5 Neste caso EX n p 100 095 95 VARX n p q 100 095 005 475 logo DPX 475 218 Assim a distr Binomial X B100095 será aproximada por Y N95 475 Queremos calcular P80 X 100 assim P80 X 100 P795 Y 1005 79595218 Z 100595218 P711 Z 252 Logo P80 X 100 P711 Z 252 P711 Z 0 P0 Z 252 P80 X 100 05 0494132 0994132 Conclusão confiabilidade do sistema 9941 AULA 8 Aprox da distr Poisson pela Normal OBSERVAÇÕES A distribuição de Poisson pode ser vista como limite de uma Binomial Quando o número de tentativas aumenta e a probabilidade diminui Então a normal também pode ser usada para aproximar a distribuição de Poisson EXEMPLO Estamos analisando as vendas em um supermercado Sabemos que a procura diária por arroz em kg é uma variável aleatória Temos ainda que o valor esperado dessa variável é 40 kg dia Foram encomendados 14500 kg para suprir o próximo ano Qual a probabilidade do estoque de arroz cobrir a demanda nesse período Considere que o ano tem 364 dias Seja Xi procura de arroz no dia i para i 1 2 364 Temos que EXi 40kg Assim X é a variável procura de arroz no ano ou seja X Σi1364 Xi EX 4036414560λ A probabilidade requerida é PX 14500 Σi014500 e1456014560ii Pelo TLC temos que X N1456014560 Temos que PX 14500 PY 14500 05 PZ 145005 1456014560 PZ 049 PZ 049 05 P0 Z 049 05 0187933 0312067 ou 312 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Teorema do limite central TLC Seja X uma variável aleatória referente a uma população qualquer O TLC afirma que a distribuição de X aproximase de uma normal quando n e a rapidez dessa convergência depende da distribuição da qual a amostra é retirada Se a amostra for extraída de uma população cuja distribuição é assimétrica será necessário um n relativamente grande Se a população for aproximadamente simétrica a aproximação pela Normal pode ser boa até para valores pequenos de n Evidências empíricas mostram que para a maioria das populações se o tamanho da amostra for maior do que 30 n 30 a aproximação do TLC é boa OBSERVAÇÕES Quando a variável aleatória envolve proporção probabilidades para a análise de amostras grandes ou pequenas não é suficiente n30 Nesse caso a regra será exigir que n p valor n q valor