Aproximação da Binomial pela Normal: Conceitos e Aplicações em Experimentos de Bernoulli

Aproximação da Binomial pela Normal NA4410 Estatística Aplicada Material Adaptado a partir de Cursos de Verão IMEUSP Aproximação da Binomial pela Normal Distribuição de Bernoulli Definição Experimentos que admitem apenas dois resultados possíveis sucesso ou fracasso recebem o nome de ensaios de Bernoulli e originam uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli Aproximação da Binomial pela Normal Função de probabilidade Esperança Se X Bn p podemos escrever X X1 Xn em que Xi Bep para i 1 n Assim obtemos EX EX1 EXn np Variância Similarmente como temos n ensaios independentes então VarX VarX1 VarXn np1 p E daí segue que DPX np1 p Considere o experimento de lançar as 20 moedas Com base no modelo teórico esperamos 10 caras e 10 coroas Se realizarmos o experimento 1000 vezes o resultado deverá se aproximar do gráfico abaixo Aproximação da Binomial pela Normal Distr Normal Se X é uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso p em que X 1 se o resultado é sucesso e X 0 se o resultado é fracasso então a função de probabilidade de X fica dada por PX x px1 p1 x Quando aproximamos uma distribuição de probabilidade discreta por uma distribuição contínua precisamos efetuar algumas correções pois para variáveis aleatórias contínuas só faz sentido calcular probabilidades em intervalos O fator de Correção de Continuidade corrige esse problema fazendo o processo de inclusão ou exclusão de valores ao intervalo Considera o experimento de lançar 10 moedas com a variável aleatória Y nocaras Se repetirmos esse experimento diversas vezes teremos a situação abaixo Suponha que se queira calcular PY4 Aproximação da Binomial pela Normal Fator de Correção de continuidade Procedimento de inclusão dos extremos 𝑎 1 2 𝑏 1 2 em que x 0 1 Denotamos X Bep Aproximação da Binomial pela Normal Fator de Correção de continuidade Procedimento de exclusão dos extremos Assim a função de probabilidade de X Bep 0 p 1 pode ser representada pela tabela abaixo Aproximação da Binomial pela Normal Fator de Correção de continuidade Procedimento de inclusão do ponto x 0 1 PX x 1 p p Aproximação da Binomial pela Normal Esperança Podemos resumir a teoria apresentada como Seja X Bnp Podemos escrever X i1n Xi sendo as variáveis X1 X2 Xn independentes cada uma com distribuição de Bernoulli Sabemos que EXnp e VARXnpq Pelo Teorema do Limite Central provase que n PX x binomnx px qnx frac1sqrt2pi n p q efrac12 left fracx npsqrtnpq right2 Nnp npq Para melhorar a aproximação fazse uma correção de continuidade PX k Pk frac12 X k frac12 e Pa X b Pa frac12 X b frac12 A esperança ou valor médio da distribuição de Bernoulli é dada por FIM EX 0 PX 0 1 PX 1 0 1 p 1 p p Variância A variância de X é definida por VarX EX2 EX2 Temos que EX2 02 PX 0 12 PX 1 0 1 p 1 p p Assim VarX p p2 p1 p e portanto DPX p1 p