Distribuição Amostral da Proporção - Aula 15

z DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO AULA 15 zDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Distribuição amostral da proporção é a distribuição de probabilidade das proporções amostrais com todas amostras tendo o mesmo tamanho amostral n tiradas de uma mesma população VAMOS MOSTRAR QUE Proporções amostrais tendem a atingir o alvo da proporção populacional Todas proporções amostrais têm uma média igual à proporção populacional Sob certas condições a distribuição das proporções amostrais pode ser aproximada por uma distribuição normal z DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Já vimos que o Teorema do Limite Central TLC garante que se tamanho amostral é grande o suficiente a distribuição amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal mesmo que a população original não seja normalmente distribuída se tamanho amostral não é grande o suficiente e a população original não tem uma distribuição normal então não pode ser aproximada por uma distribuição normal z DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Na DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO as amostras serão realizadas com reposição OBSERVAÇÕES Quando selecionamos amostras pequenas de grandes populações não há diferença significativa se o fazemos com ou sem reposição Na maioria dos casos não conhecemos o tamanho da população Amostragem com reposição resulta em eventos independentes que não são afetados pelos resultados anteriores zDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Para a DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO adotaremos que uma amostra é suficientemente grande quando e OBSERVAÇÃO Não é viável obter todas amostras possíveis assim a Teoria de Estimadores permite tirar conclusões importantes e significativas sobre toda população usando apenas uma amostra Quanto maior o tamanho da amostra melhor será aproximação DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Considera uma população em que cada elemento é classificado de acordo com a presença ou ausência de determinada característica Em termos de variável aleatória essa população é representada por uma va de Bernoulli isto é x 1 se o elemento possui a característica de interesse 0 se o elemento não possui a característica de interesse Seja p a proporção de elementos da população que possuem a característica de interesse Então Px 1 p Px 0 1 p Agora realizando n extrações correspondem a n variáveis aleatórias de Bernoulli independentes então X n i1 xi tem distribuição binomial com parâmetros n e p ou seja X Bn p DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Retiramos uma grande amostra x1 x2 xn n dessa população com reposição e definimos x como o número de sucessos na amostra O estimador de p é dado por p xn proporção de sucessos na amostra x Bnp logo Ex np e VARx npq Calculando a esperança e a variância de p temos Ep Exn 1nEX 1nnp p e VARp VARxn 1n²npq pqn Comparação com os dados da população a População μ p e σ² pq b Amostra Ep μp e VARp σp² pqn DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO PARA GRANDES AMOSTRAS COM REPOSIÇÃO a proporção amostral se distribui com média igual à proporção populacional ou seja Ep μp p a variância da proporção amostral é igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra ou seja VARp σp² pqn n p Np pqn ou seja p é aproximadamente normal com média p e variância pqn DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Caso de p desconhecida e amostra grande Na maioria dos casos não conhecemos a proporção p na população Nessas situação temos Quando p é desconhecida e a amostra é grande utilizamos p0 xn estimativa de p e σp p0q0n como estimativa de σp Observe que neste caso amostra grande significa np0 5 e nq0 5 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Caso especial p desconhecida e população finita Se a população for finita e de tamanho N conhecido e se dessa população retirarmos uma amostra de tamanho n sem reposição podemos calcular o estimador para a proporção por p0 xn e a variância σp2 deverá ser calculada por σp2 p0q0n NnN1 e o desvio padrão σp p0q0n NnN1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO A CONVERSÃO PARA A NORMAL N01 O processo de conversão utiliza a mesma formulação já estudada nos casos anteriores ou seja Z Xμσ porém com a devida substituição da média pela proporção Assim escrevese Z ppσp Considerando os casos aqui apresentados podemos escrever 1 Se p for conhecida então utilizaremos Z ppp1pn 2 Se p for desconhecida então utilizaremos Z pp0p01p0n DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO EXEMPLO 1 Uma roleta está dividida em quatro partes nas cores verde amarelo branco e preto Considere uma particular amostra de 400 giros Seja ˆp a variável proporção amostral de paradas no amarelo Determine Pˆp 0275 Solução p xn 14 025 logo q 075 portanto ˆp 025 e σ ˆp será calculado por σ ˆp pqn 025075400 00217 Pˆp 0275 PZ 027502500217 PZ 115 Pˆp 0275 PZ 0 P0 Z 115 Pˆp 0275 05 0374928 0874928 Pˆp 0275 0874928 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO EXEMPLO 2 Em uma população a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é de 40 Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população Determinar para as pessoas favoráveis a lei P035 ˆp 045 Solução 1 p 04 e q 06 2 n300 μ ˆp p 04 σ ˆp² pqn 0406300 00008 e σ ˆp 00008 00283 P035 ˆp 045 P0350400283 Z 0450400283 P177 Z 177 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Continuando P035 ˆp 045 P177 Z 177 P035 ˆp 045 2 P0 Z 177 2 0461636 0923272 P035 ˆp 045 0923272 EXEMPLO 3 Desejase saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determinada doença Retirase uma amostra de 400 pessoas obtendose 8 portadores da doença Determinar a probabilidade da proporção populacional dessa doença estar entre 1 e 4 zDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 001 002 005 143 0 286 0921523 Continuando EXEMPLO 4 Uma pesquisa foi realizada com eleitores selecionados aleatoriamente que opinaram se votariam ou não no candidato da cidade O resultado mostrou que 50 dessas pessoas são a favor desse candidato Determinar o tamanho da amostra necessária para que a porcentagem de eleitores a favor esteja entre 48 e 52 com a probabilidade de 95 Continuando p 05 e q 05 σp pqn σp 0505n p 05 p 05 Assim podemos escrever 196 052050505n 196 0505n 002 0505n 002196 FIM