Distribuição Normal: Casos Gerais e Cálculos de Probabilidade

z DISTRIBUIÇÃO NORMAL CASOS GERAIS AULA 4 Vamos resolver agora o problema inverso ou seja como encontrar Zα tal que P0 Z Zα seja conhecida Encontre Zα tal que P0 Z Zα 037 Da tabela da distr Normal N01 temos que Valor 1 110 e Valor 2 003 Zα valor 1 valor 2 Portanto Zα 110 003 Zα 113 Encontre Zα tal que P0 Z Zα 045 Da tabela da distr Normal N01 temos que Valor 1 160 e Valor 2 004 ou Valor 2 005 Nesses casos utilizaremos o valor médio valor 2 0045 Portanto Zα valor 1 valor 2 Zα 160 0045 Zα 1645 Encontre Zα tal que PZ Zα 015 Observando a figura vemos que PZ Zα PZ 0 P0 Z Zα 015 05 P0 Z Zα Assim buscamos na tabela o valor P0 Z Zα035 Da tabela N01 temos que Valor 1 100 e Valor 2 004 Portanto Zα 100 004 Zα 104 Encontre Zα tal que PZ Zα 010 Observando a figura vemos que PZ Zα PZ Zα PZ Zα PZ 0 P0 Z Zα 010 05 P0 Z Zα Assim buscamos na tabela o valor P0 Z Zα040 Da tabela N01 temos que Valor 1 120 e Valor 2 008 Portanto Zα 120 008 Zα 128 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Vamos agora resolver problemas que envolvam probabilidades de variáveis aleatórias X que seguem uma distribuição normal qualquer ou seja X Nμσ² Inicialmente vamos mostrar Como encontrar a probabilidade Pμ X Xα A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Exemplo 6 A média salarial de um gerente de empresas é de R 10000 o dia trabalhado com uma margem de erro de R 500 Calcule a probabilidade de ao procurar um emprego encontrar um que pague a Entre R 100 a R 106 ou seja P100X106 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Queremos P100 X 106 Através da formula de conversão Z Xμ σ podemos escrever Xα 106 Zα 106 100 5 12 Assim P100 X 106 P0 Z 12 Agora da tabela N01 temos P0 Z 120384930 Portanto P100 X 106 0384930 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL b Entre R 89 a R 107 ou seja P89X107 Através da fórmula de conversão Z fracXmusigma podemos escrever xa 89 Rightarrow za frac89 1005 22 xb 107 Rightarrow zb frac107 1005 14 P89 X 107 P22 Z 14 P22 Z 0 P0 Z 14 Agora da tabela N01 temos P0 Z 140419243 e P22 Z 00486097 Assim P89 X 107 0419243 0486097 Portanto P89 X 107 0905340 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL c Entre R 112 a R 116 ou seja P112X116 Através da fórmula de conversão Z fracXmusigma podemos escrever xa 112 Rightarrow za frac112 1005 24 xb 116 Rightarrow zb frac116 1005 32 P112 X 116 P24 Z 32 P0 Z 32 P0 Z 24 Agora da tabela N01 temos P0 Z 240491802 e P0 Z 320499313 Assim P112 X 116 0499313 0491802 Portanto P112 X 116 0007511 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL d Mais que R 108 ou seja PX108 Através da fórmula de conversão Z fracXmusigma podemos escrever xa 108 Rightarrow za frac108 1005 16 PX 108 PZ 16 PZ 0 P0 Z 16 Agora da tabela N01 temos P0 Z 160445201 e sabemos que PZ 0 05 Assim PX 108 05 0445201 Portanto PX 108 0054799 Exemplo Saldo bancário O saldo médio dos clientes de um banco é uma va normal com média R 200000 e desviopadrão R 25000 Os clientes com os 10 maiores saldos médios recebem tratamento VIP enquanto aqueles com os 5 menores saldos médios receberão propaganda extra para estimular maior movimentação da conta Solução Seja X saldo médio é dado que X N2000250² a Temos que determinar o valor de k tal que PX k 010 Note que isso equivale a calcular o 90º percentual da distribuição A área à esquerda de k tem de ser 090 logo k tem de ser maior que a média b Temos de determinar o valor de k tal que PX k 005 Note que isso equivale a calcular o 5º percentual da distribuição A área à esquerda de k tem de ser 005 logo k tem de ser menor que a média Na solução teremos que usar a simetria da distribuição invertendo o sinal da abscissa para lidarmos com área na metade direita da função de densidade z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL R 159000 R 232000 Graficamente temos VIP Propaganda Extra x FIM