Proporção de Objetos e Variáveis Aleatórias Normais

AULA 10 PROPORÇÃO DE OBJETOS Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias Normais Sejam n variáveis aleatórias independentes cada uma com distribuição normal e sejam EXi μi e VARXi σi² i 12 n isto é Xi Nμiσi² Consideremos a variável X n i1 Xi nestas condições temos X também é normalmente distribuída e X Nn i1 μi n i1 σi² Nas condições acima se μ1μ2μnμ e σ1²σ2²σn²σ² temos que X Nnμnσ² PROPORÇÃO DE OBJETOS Assim a conversão será 1 Caso de n variáveis aleatórias X1 X2 Xn independentes com EXi μi e VARXi σi² i 12 n Se X n i1 Xi então X Nn i1 μi n i1 σi² assim a variável Z Xn i1 μi n i1 σi² tem distribuição aproximadamente N01 2 Caso de n variáveis aleatórias iguais ou seja EXi μ e VARXi σ² i 1 n Se X n i1 Xi então X Nnμnσ² assim a variável Z Xnμ nσ² tem distribuição aproximadamente N01 PROPORÇÃO DE OBJETOS EXEMPLO 1 Um elevador tem seu funcionamento bloqueado se sua carga for superior a 450 kg Sabendo que o peso de um adulto é uma variável com distribuição normal sendo a média igual a 70 kg e o desvio padrão igual a 15 kg calcule a probabilidade de ocorrer o bloqueio numa tentativa de transportar 6 adultos RESOLUÇÃO X i N 70 15 2 peso de 1 adulto e assim X 6 i 1 X i portanto X N 6 70 6 15 2 peso de 6 adultos X N 420 1350 ou seja μ 420 σ 2 1350 Portanto σ 1350 367423 z PROPORÇÃO DE OBJETOS 420 450 Ou seja a probabilidade do elevador ser bloqueado ao carregar acima de 450kg é de 2061 Queremos saber ou seja a probabilidade de o peso total de 6 adultos superar a carga máxima do elevador conversão 0 082 Assim PROPORÇÃO DE OBJETOS EXEMPLO 2 O peso de um saco de café é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 65 kg e desviopadrão de 4kg Um caminhão é carregado com 120 sacos Perguntase qual a probabilidade de a carga do caminhão pesar a entre 7893kg e 7910kg b mais de 7722kg RESOLUÇÃO X i N 65 4 2 peso de 1 saco de café Ass X X i dados X N 120 65 120 4 2 peso de 120 sacos de café X N 7800 1920 μ 7800 σ 2 1920 σ 1920 438178 z PROPORÇÃO DE OBJETOS a entre 7893kg e 7910kg 𝜇 7800 𝜎 438178 𝑃 7893 X 7910 𝑃 7893 7800 438178 𝑍 7910 7800 438178 𝑃212 𝑍 251 7800 7893 7910 conversão 0 212 251 𝑃 7893 X 7910 𝑃 212 𝑍 251 P 0 𝑍 251 𝑃0 𝑍 212 𝑃 7893 X 7910 0493963 0482997 0010966 𝑃 7893 X 7910 0010966 0 212 251 z PROPORÇÃO DE OBJETOS b Acima de 7722 𝜇 7800 𝜎 438178 𝑃 X 7722 𝑃 𝑍 7722 7800 438178 𝑃Z 178 7722 7800 conversão 178 0 𝑃 𝑋 7722 𝑃 Z 178 P Z 178 𝑃 𝑍 0 𝑃0 𝑍 178 𝑃 X 7722 P Z 178 05 0462462 0962462 𝑃 X 7722 0962462 PROPORÇÃO DE OBJETOS Vários objetos definindo uma média única e uma variância única Dada a proporção de objetos X a 1 X 1 a 2 X 2 a 3 X 3 a n X n então Média μ a 1 μ X 1 a 2 μ X 2 a 3 μ X 3 a n μ X n Variância σ 2 a 1 2 σ 2 X 1 a 2 2 σ 2 X 2 a 3 2 σ 2 X 3 a n 2 σ 2 X n Desvio Padrão σ D P X VAR X σ 2 z PROPORÇÃO DE OBJETOS O USO DO MÓDULO COMO NOTAÇÃO PARA DESCREVER UM INTERVALO z PROPORÇÃO DE OBJETOS O USO DO MÓDULO COMO NOTAÇÃO PARA DESCREVER UM INTERVALO PROPORÇÃO DE OBJETOS EXEMPLO 3 Sejam X₁ N18040 e X₂ N16050 independentes Seja X 4X₁ 3X₂ também com distribuição normal Calcular a P X 200 42 RESOLUÇÃO X₁ N18040 μ₁ 180 e σ₁² 40 X₂ N16050 μ₂ 160 e σ₂² 50 X 4X₁ 3X₂ μX 4 μX₁ 3μX₂ 4 180 3 160 240 σ²X 4² σ²X₁ 3²σ²X₂ 4² 40 3² 50 1090 X N240 1090 z Portanto PROPORÇÃO DE OBJETOS Vamos converter o módulo em um intervalo é o que queremos 158 242 PROPORÇÃO DE OBJETOS Vamos converter o para a Normal reduzida N01 X₁ 158 Z₁ 158240 1090 82 33015 248 X₂ 242 Z₂ 242240 1090 2 33015 006 Assim P158 X 242 P248 Z 006 P248 Z 0 P0 Z 006 P0 Z 248 P0 Z 006 0493431 0023922 0517353 Portanto P158 X 242 0517353 ou 5174 PROPORÇÃO DE OBJETOS EXEMPLO 5 As sacas de café são enchidos automaticamente por uma máquina regulada para uma média de 60 Kg e desvio de 12 Kg No processo de armazenamento e transporte a perda média por saco é de 10 kg e desvio padrão de 03kg Considere que tanto a variável enchimento como a perda tem distribuição normal Calcular a probabilidade de que numa remessa de 150 sacas de café o peso total X esteja no intervalo 8830 X 8890 RESOLUÇÃO X₁ peso da saca de café μX₁ 60 kg e σX₁ 12 X₂ perda por saca μX₂ 10 kg e σX₁ 03 PROPORÇÃO DE OBJETOS Continuando Variável aleatória Xₑ X₁ X₂ Peso médio unitário da saca com a perda µXₑ µX₁ µX₂ 600 10 µXₑ 590 Kg σ²Xₑ 12²σ²X₁ 1²σ²X₂ σ²Xₑ 1 122 1 032 σ²Xₑ 144 009 σ²Xₑ 153 σXₑ 1237 Kg Assim a variável aleatória Xₑ obedece à Xₑ N59 153 Agora no caso de uma remessa de 150 sacos teremos a variável aleatória X 150Xₑ ou seja X N150 59 150153 ou X N8850 2295 PROPORÇÃO DE OBJETOS Continuando Queremos calcular P8830 X 8890 Efetuando a conversão P8830 X 8890 P 88308850 2295 Z 8890885 2295 P132 Z 264 Assim P8830 X 8890 P132 Z 264 P8830 X 8890 P0 Z 132 P0 Z 264 Portanto P8830 X 8890 0902437 PROPORÇÃO DE OBJETOS EXERCÍCIO Numa indústria a montagem de certo item é feita em duas etapas Os tempos necessários em segundos para cada etapa são independentes e têm as seguintes distribuições X₁ N 125 100 X₁ tempo da segunda etapa X₂ N 75 16 X₂ tempo da primeira etapa a Qual a proporção que demonstra a montagem completa da peça b Qual a média e desvio padrão da montagem completa da peça R µ 200 σ 1077 Qual a probabilidade de que sejam necessários para montar a peça c P X 200 21 R 0948824 d Mais de 220 segundos R 0031443 e Menos de 170 segundos R 0002635 FIM