Intervalos de Confiança: Exemplos e Cálculos

z INTERVALOS DE CONFIANÇA PARTE II AULA 17 INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplos 1 De uma população normal com σ 5 retiramos uma amostra de 50 elementos e obtemos x 42 a Fazer um IC para a média ao nível de 5 α 5 1 α 95 1 α2 0475 x 42 e n 50 σx σ²n σx 5²50 Px zcritσx µ x zcritσx 1 α P42 1965²50 µ 42 1965²50 095 P4061 µ 4339 095 ou IC42 095 4061 4339 INTERVALO DE CONFIANÇA b O erro de estimação e do IC e zcritσx e 1962550 e 139 c Para que o erro seja menor ou igual a 1 com probabilidade de acerto de 95 qual deverá ser o tamanho da amostra e 1 n 1 zcritσ²n 1 1965²n 1 1965n 11965 1n n 19651 n 1965² n 9604 Resp n 97 elementos INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplos 2 Uma amostra aleatória de 80 operários selecionados sem reposição dentre os 3500 de uma grande indústria indicou um salário médio de 980 e um desvio padrão de 220 Construir um intervalo de 96 de confiança para o salário médio verdadeiro dos operários 1 α 096 α 004 1 α2 0962 048 zcrit 205 Exemplo 2 continuação Exemplo 3 Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo escolar tomouse uma amostra de 100 alunos dos quais 80 foram favoráveis z INTERVALO DE CONFIANÇA 08 0882 Exemplo 3 continuação b Qual o valor do erro de estimativa cometido em a c Qual deve ser o tamanho da amostra para obter no máximo a metade do erro produzido no item b Exemplo 4 Em uma linha de produção de certa peça mecânica colheuse uma amostra de 100 itens constatandose que 4 peças eram defeituosas Construir o IC para a proporção p das peças defeituosas ao nível de 10 α 10 1 α 90 1 α 2 045 Z crit 164 ˆp 0 x n 4 100 004 ˆq 0 096 σ ˆp ˆp 0 ˆq 0 n 004 096 100 σ ˆp 00196 Exemplo 4 continuação e σ ˆp Z crit e 00196 164 e 0032144 IC ˆp 0 e ˆp 0 e IC 004 003214 004 003214 IC 000786 007214 Exemplo 5 A experiência com trabalhadores de certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador aleatoriamente selecionado realize uma tarefa é distribuído de maneira aproximadamente normal com desviopadrão de 12 minutos Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu x 140 minutos Determinar os limites de confiança de 95 para a média da população μ de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado serviço Dados x 140 n 25 σ 12 α 5 1 α 95 1 α 2 0475 Z crit 196 INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 5 continuação Sabemos que x 140 n 25 σ 12 σx σn σx 12225 125 24 e σx Zcrit e 24 196 e 4704 z INTERVALO DE CONFIANÇA 4704 135296 Exemplo 5 continuação z Intervalos de confiança para a média de populações normais com variâncias desconhecidas Se n 30 usase a distribuição t de Student próxima aula Se usase a distribuição normal com o estimador s2 de 2 INTERVALO DE CONFIANÇA VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 6 n30 e variância desconhecida De uma população normal com parâmetros desconhecidos tiramos uma amostra de tamanho 100 obtendo x 112 e s 11 Fazer um intervalo de confiança para a média populacional μ ao nível de 10 solução Como a amostra é grande usamos s σ Logo x 112 n 100 e σx s²n 112100 11 Como α 10 temos a seguinte situação INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 6 continuação Considerando x 112 σx 11 zcrit 164 Px zcritσx μ x zcritσx 1 α P112 16411 μ 112 16411 090 P11020 μ 11380 090 ou ICμ 090 11020 11380 Conclusão Apesar de usar o desvio padrão da amostra temos um grau de certeza de 90 de que o verdadeiro valor da média populacional está entre 11020 e 11380 INTERVALO DE CONFIANÇA z INTERVALO DE CONFIANÇA Assim ou seja Exemplo 7 continuação FIM AULA 16 INTERVALO DE CONFIANÇA z Inferência Estatística Conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de confiabilidade nas afirmações que faz para a população baseadas nos resultados das amostras Problema fundamental da inferência estatística Medir o grau de incerteza dessas generalizações Toda conclusão obtida por uma amostragem quando generalizada para a população virá acompanhada de um grau de incerteza INTERVALO DE CONFIANÇA z Conclusão A partir de informações de uma amostra calcularemos os limites de um intervalo que em 1 α dos casos inclua o valor do parâmetro a estimar e em α dos casos não inclua o valor do parâmetro Estimação de parâmetros por intervalos Intervalo de confiança estabelece limites que com certa probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro da população α nível de incerteza ou grau de desconfiança nível de significância 1 α coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade INTERVALO DE CONFIANÇA Intervalos de confiança IC para a média μ de uma população normal com variância σ² conhecida Consideremos uma população normal X Nμ σ² Etapas para a construção do IC Retiramos uma amostra casual simples de n elementos Calculamos a média da amostra Calculamos o desviopadrão da média amostral Fixamos o nível de significância α e com ele determinamos Zₖₖₑ tal que PZ Zₖₖₑ 1 α sendo Z x μ σₓ Intervalos de confiança IC para a média μ de uma população normal com variância σ² conhecida PZ Zₖₖₑ 1 α Px μ σₓ Zₖₖₑ 1 α Px μ Zₖₖₑσₓ 1 α PZₖₖₑσₓ x μ Zₖₖₑσₓ 1 α Portanto Px Zₖₖₑσₓ μ x Zₖₖₑσₓ 1 α Conclusão IC para média μ de uma população normal com variância σ² conhecida ICμ 1α μ₁μ₂ em que μ₁ x Zₖₖₑσₓ e μ₂ x Zₖₖₑσₓ z Erro de Estimação e do IC INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 1 De uma população normal X com σ²9 tiramos uma amostra de 25 observações obtendo ₂₅₁ xᵢ 152 Determine um IC de limites de 90 para a média μ Solução α 10 e 1α 90 x 1n ₂₅₁ xᵢ 125 ₂₅₁ xᵢ 15225 608 σₓ σ²n 925 06 Px Zₖₖₑσₓ μ x Zₖₖₑσₓ 1 α P608 16406 μ 608 16406 090 P5096 μ 7064 090 ou ICμ 090 5096 7064 z Continuando Conclusão Temos 90 de confiança de que o verdadeiro valor µ populacional se encontra entre 5096 e 7064 ou corremos um risco de 10 de que o verdadeiro valor da média populacional seja menor que 5096 ou maior que 7064 INTERVALO DE CONFIANÇA z Intervalos de Confiança para Amostras Grandes Consideraremos uma amostra grande quando n30 Para construir IC para parâmetros de populações não normais com distribuições Binomiais de Poisson de frequências relativas ou seja de distribuições aproximadamente normais utilizaremos o modelo de IC para média de populações normais com variâncias conhecidas INTERVALO DE CONFIANÇA Intervalo de Confiança para Proporções Quando p populacional é conhecida p tem distribuição aproximadamente normal com parâmetros p e pqn ou seja p Np pqn Logo ao nível α de significância Pz zcrit 1 α Para construirmos o IC para p desconhecida determinaremos po xn na amostra e consideraremos σp poqon Logo ao nível α de significância Pz zcrit 1 α Intervalo de Confiança para Proporções Seja Pz zcrit 1 α Considerando que z po pσp e desenvolvendo Ppo pσp zcrit 1 α obtemos Ppo zcritσp p po zcritσp 1 α ou ICp 1 α p1p2 Conclusão Intervalo de confiança para proporções ICp 1 α po zcritσp po zcritσp Exemplo 2 Retiramos de uma população uma amostra de 100 elementos e encontramos 20 sucessos Pedese a ao nível de 1 construir um IC para a proporção real de sucessos na população Dados n 100 x 20 x número de sucessos na amostra e α 1 po xn 20100 02 qo 1 02 08 σp poqon 0208100 004 INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 2 continuando p0 02 σp 004 P0 Z Zcrit 0495 Zcrit 258 P p0 zcritσp p p0 zcritσp 1 α P02 258004 p 02 258004 099 P00968 p 03032 099 ou ICp 099 00968 03032 Conclusão A confiança de que p pertença ao IC 00968 03032 é de 99 ou correse um risco de 1 de que a verdadeira proporção populacional não pertença ao IC obtido INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 2 continuando b O erro de estimação e do IC e Zcritσp e 258 004 e 01032 c Desejase reduzir este erro a 001 para isto qual deverá ser o tamanho da amostra ideal e 001 n 001 Zcrit p0 q0 1n 001 258 0208n 001 258 0208n n 2580208001 n 2580208001² n 1065024 n 10651 INTERVALO DE CONFIANÇA Vamos fazer uma análise da função erro e Zcrit σn Para mesmo Zcrit α fixo e σ conhecido se queremos erro e pequeno devemos aumentar n Conclusão Quanto maior a amostra menor será o erro de estimativa do intervalo desejado FIM z DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO AULA 15 zDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Distribuição amostral da proporção é a distribuição de probabilidade das proporções amostrais com todas amostras tendo o mesmo tamanho amostral n tiradas de uma mesma população VAMOS MOSTRAR QUE Proporções amostrais tendem a atingir o alvo da proporção populacional Todas proporções amostrais têm uma média igual à proporção populacional Sob certas condições a distribuição das proporções amostrais pode ser aproximada por uma distribuição normal z DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Já vimos que o Teorema do Limite Central TLC garante que se tamanho amostral é grande o suficiente a distribuição amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal mesmo que a população original não seja normalmente distribuída se tamanho amostral não é grande o suficiente e a população original não tem uma distribuição normal então não pode ser aproximada por uma distribuição normal z DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Na DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO as amostras serão realizadas com reposição OBSERVAÇÕES Quando selecionamos amostras pequenas de grandes populações não há diferença significativa se o fazemos com ou sem reposição Na maioria dos casos não conhecemos o tamanho da população Amostragem com reposição resulta em eventos independentes que não são afetados pelos resultados anteriores zDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Para a DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO adotaremos que uma amostra é suficientemente grande quando e OBSERVAÇÃO Não é viável obter todas amostras possíveis assim a Teoria de Estimadores permite tirar conclusões importantes e significativas sobre toda população usando apenas uma amostra Quanto maior o tamanho da amostra melhor será aproximação DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Considera uma população em que cada elemento é classificado de acordo com a presença ou ausência de determinada característica Em termos de variável aleatória essa população é representada por uma va de Bernoulli isto é x 1 se o elemento possui a característica de interesse 0 se o elemento não possui a característica de interesse Seja p a proporção de elementos da população que possuem a característica de interesse Então Px 1 p Px 0 1 p Agora realizando n extrações correspondem a n variáveis aleatórias de Bernoulli independentes então X Σn i1 xi tem distribuição binomial com parâmetros n e p ou seja X Bnp DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Retiramos uma grande amostra x1 x2 xn n dessa população com reposição e definimos x como o número de sucessos na amostra O estimador de p é dado por ŷ xn proporção de sucessos na amostra x Bnp logo Ex np e VARx npq Calculando a esperança e a variância de ŷ temos Eŷ Exn 1nEX 1nnp p e VARŷ VARxn 1n²npq pqn Comparação com os dados da população a População μ p e σ² pq b Amostra Eŷ μₓp e VARŷ σ₂ₓp² pqn DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Caso de p desconhecida e amostra grande Caso especial p desconhecida e população finita DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO A CONVERSÃO PARA A NORMAL N01 O processo de conversão utiliza a mesma formulação já estudada nos casos anteriores ou seja Z X μσ porém com a devida substituição da média pela proporção Assim escrevese Z p pσp Considerando os casos aqui apresentados podemos escrever 1 Se p for conhecida então utilizaremos Z p pp1 pn 2 Se p for desconhecida então utilizaremos Z p p0p01 p0n DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO EXEMPLO 1 Uma roleta está dividida em quatro partes nas cores verde amarelo branco e preto Considere uma particular amostra de 400 giros Seja p a variável proporção amostral de paradas no amarelo Determine Pp 0275 Solução p xn 14 025 logo q 075 portanto p 025 e σp será calculado por σp pqn 025075400 00217 Pp 0275 PZ 0275 02500217 PZ 115 Pp 0275 PZ 0 P0 Z 115 Pp 0275 05 0374928 0874928 Pp 0275 0874928 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO EXEMPLO 2 Em uma população a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é de 40 Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população Determinar para as pessoas favoráveis a lei P035 p 045 Solução 1 p 04 e q 06 2 n300 μp p 04 σp² pqn 0406300 00008 e σp 00008 00283 P035 p 045 P035 0400283 Z 045 0400283 P177 Z 177 P035 p 045 P177 Z 177 EXEMPLO 3 Desejase saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determinada doença Retirase uma amostra de 400 pessoas obtendose 8 portadores da doença Determinar a probabilidade da proporção populacional dessa doença estar entre 1 e 4 zDISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 001 002 005 143 0 286 0921523 Continuando EXEMPLO 4 Uma pesquisa foi realizada com eleitores selecionados aleatoriamente que opinaram se votariam ou não no candidato da cidade O resultado mostrou que 50 dessas pessoas são a favor desse candidato Determinar o tamanho da amostra necessária para que a porcentagem de eleitores a favor esteja entre 48 e 52 com a probabilidade de 95 p 05 e q 05 σₚ p qn σₚ 05 05n p 05 ŷ 05 Assim podemos escrever 196 052050505n 196 0505n 002 0505n 002196 05 05n 002²196² n 196² 05²002² n 2401 São necessários 2401 pessoas FIM z EXEMPLOS DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES AULA 14 Exemplo 1 Seja X N8026 em que 80 é a média de ligações atendidas semanalmente Dessa população retiramos uma amostra de n25 operadores de telemarketing a Calcular a probabilidade de encontrarmos mais de 83 ligações atendidas Solução Queremos Px 83 1 Da população sabemos que μ80 σ²26 e σ 26 510 2 Da amostra temos que μx μ 80σx² σ²n 2625σx 2625 102 3 Então Px 83 PZ 294 PZ 0 P0 Z 294 Px 83 PZ 294 05 0498359 0001641 ou seja a probabilidade de encontrarmos operadores que atendem mais de 83 ligações é de 01641 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES b Calcule Px 82 Solução Z x μx σx 82 80 102 196 Px 82 PZ 196 PZ 0 P0 Z 196 Px 82 PZ 196 05 0475002 0975002 Tabela N01 A probabilidade de encontrarmos um operador que atenda menos de 82 ligações é de 975 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES c Calcule Pμ 2σx x μ 2σx Solução Pμ 2σx x μ 2σx P80 2102 x 80 2102 P7796 x 8204 P 7796 80 102 Z 8204 80 102 P2 Z 2 2 P0 Z 2 0477250 2 0954500 Tabela DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Exemplo 2 Seja X N100 85 em que 100 é a média de internações de crianças em um hospital diariamente Retiramos uma amostra de tamanho n20 dias Determinar a probabilidade de encontrarmos de 95 a 105 crianças Solução P95 x 105 1 Da população sabemos que μ100 σ²85 2 Da amostra temos que μx μ 100 σx² σ² n 85 20 σx 85 20 20615 3 Z x μx σx 95 100 20615 243 Z x μx σx 105 100 20615 243 P95 x 105 P243 Z 243 2 P0 Z 243 2 0492451 0984902 Tabela Conversão P95 x 105 P243 Z 243 PX 12128 σx 80 64 8064 10 Zα 12128 120010 128 P0 Z Zα 0399727 PX 12128 PZ 128 PZ 0 P0 Z 128 05 0399727 0100273 PX 1200 15 P1200 15 X 1200 15 P1185 X 1215 1185 1200Z1 15 Z2 1215 120010 15 P15 Z 15 2 P0 Z 15 20433193 0866386 P1196 x 1204 090 Da população μ1200 e σ²840 Da amostra μx 1200 σx² σ²n 840n σx 840n Situ ação Zcrit164 então 164 1196 1200840n ou 164 1204 1200840n 164 1204 1200 164 840n 4 n 164 8404 Elevando ao quadrado em ambos os lados temos n 164² 84016 Resolvendo os cálculos obtémse n 14113 logo Devemos ter 142 elementos na amostra Exemplo 5 Uma empresa recebe em média trimestralmente 100 currículos com um desvio padrão de 10 currículos Qual a quantidade de pessoas amostra a empresa deve recrutar para analisar os currículos uma vez que provavelmente há 95 de certeza que a mesma receba mais de 90 e menos de 110 currículos em um trimestre Solução 1 Da população μ100 e σ10 2 Da amostra μx 100 σx 102n P90 x 110 095 n 0952 0475 P0 Z Zcrit 0475 Zcrit 196 Caso especial Se a população for finita e de tamanho N conhecido e se a amostra de tamanho n dela retirada for sem reposição então Para a Variância σ²x σ²n N nN 1 Para o Desvio Padrão σx σn N nN 1 Exemplo 6 Seja uma população de 5000 alunos de uma faculdade Sabese que a altura média dos alunos é de 175 cm e o desvio padrão de 5 cm Retirase uma amostra sem reposição de tamanho n100 Calcule a média das médias amostrais μx e o desvio padrão da média amostral σx Exemplo 7 Suponha que as estaturas dos 4500 estudantes do sexo masculino de uma universidade tenha média de 1725 cm e desvio padrão de 78 cm 80 amostras aleatórias cada uma com 50 estudantes do sexo masculino são selecionadas sem reposição a Achar a média e o desvio padrão da média de cada amostra Solução População N 4500 μ 1725 σ 78 µx μ 1725 σx σ n σ N n N 1 78 50 4500 50 4500 1 109706 b Qual deverá ser o tamanho da amostra sem reposição considerando a população de 4500 alunos de tal forma que P1695 X 1755 095 Solução z 095 2 0475 P0 Z Zcrit 0475 Zcrit 196 196 1755 1725 782 n4500 n4500 1 196 78 n4500 n 4499 19678 4499 3 4500 nn 3449915288 4500 nn 3449915288 4500 nn 44995096 4500 n n 4499 5096² 4500 n 1732435819n 4500 1732435819n n 4500 1742435819n n 4500 1742435819 n 26 elementos na amostra DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Exemplo 8 Considere X uma população normal com média igual a 1200 e a variância igual a 400 Qual deverá ser o tamanho da amostra sem reposição considerando uma população de 25000 objetos de tal forma que P1194 X 1206 090 Solução z 0902 045 Zcrit 164 164 1206 1200 400n 25000 n25000 164 1206 1200 40024999 25000 nn Isolando os termos onde tem o n 25000 n n 6 24999328 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DOS ESTIMADORES Continuando 25000 n n 6 24999328 25000 n n 3 24999164 25000 n n 32 249991642 25000 n 8365221395 n 25000 8365221395 n n 25000 8375221594289 n n 25000 8375221594289 298856 O tamanho da amostra deverá ser de 30 elementos FIM zDistribuição Amostral dos Estimadores AULA 12 Distribuição Amostral dos Estimadores z Esperança e Variância Propriedades Principais Esperança Matemática Variância 1 constante 1 constante 2 constante 2 2 3 3 2 e constantes 4 5 1 2 𝑛 1 2 𝑛 6 e constantes 7 𝑥 Distribuição Amostral dos Estimadores z Distribuição de probabilidade Casos Esperança Matemática Variância discreto 2 ou contínuo 2 ou n i i i x p x X E 1 2 1 1 2 VARX n i i i n i i i x p x p x x x f x dx E X 2 2 VARX x f x dx f x dx x Distribuição Amostral dos Estimadores z Procedimentos científicos de obtenção de dados amostrais Levantamentos amostrais a amostra é obtida de uma população bem definida por meio de processos bem protocolados e controlados pelo pesquisador Planejamento de experimentos o principal objetivo é o de analisar o efeito de uma variável sobre outra requerendo interferências do pesquisador sobre o ambiente em estudo bem como o controle de fatores externos com o intuito de medir o efeito desejado Levantamentos observacionais os dados são normalmente coletados sem que o pesquisador tenha controle sobre as informações obtidas Distribuição Amostral dos Estimadores z Amostragem aleatória simples Representa a maneira mais fácil de selecionar uma amostra probabilística de uma população Neste caso os elementos da população têm a mesma probabilidade de seleção Em nosso curso normalmente o plano amostral considerado será o de amostragem aleatória simples com reposição Distribuição Amostral dos Estimadores z Distribuições amostrais Procedimento para a obtenção de uma distribuição amostral de uma estatística a Considerar uma população X com determinado parâmetro de interesse b Obter todas as amostras retiradas da população de acordo com certo procedimento c Para cada amostra calcular o valor da estatística d Os valores formam uma nova população cuja distribuição recebe o nome de distribuição amostral Distribuição Amostral dos Estimadores Distribuição Amostral dos Estimadores Distribuição Amostral dos Estimadores z Exemplo Vamos retirar dessa população X 12345 todas as amostras com reposição de tamanho amostragem casual simples com reposição Amostras Média de cada amostra 11 10 12 15 13 20 14 25 15 30 21 15 22 20 23 25 24 30 25 35 Amostras Média de cada amostra 31 20 32 25 33 30 34 35 35 40 41 25 42 30 43 35 44 40 45 45 Amostras Média de cada amostra 51 30 52 35 53 40 54 45 55 50 𝑥 Distribuição Amostral dos Estimadores 𝑥 𝑥 z Exemplo Como a média varia de amostra para amostra é uma variável aleatória discreta Vamos analisar a distribuição de P P 2 P 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 3 10 x x x x x x 25 1 25 2 25 1 25 1 25 2 25 3 25 3 25 3 50 9 25 6 25 12 25 4 25 10 25 25 25 5 25 15 25 45 25 4 25 14 25 49 25 12 25 48 25 9 50 81 25 1 25 5 25 25 Distribuição Amostral dos Estimadores Distribuição Amostral dos Estimadores Comparação com a média e a variância populacional a na população X 1 2 3 4 5 EX μ 3 e VARX σ² 11 3² 2 b na amostra Ex μx 3 VARx σ²x 10 3² 1 IMPORTANTE A média das médias amostrais ou Ex é igual à média μ populacional ou seja Ex μ A variância da média amostral é igual à variância populacional dividida pelo tamanho da amostra ou seja VARx σ² σ²n Distribuição Amostral dos Estimadores Resultados Importantes Se X é uma população normal com parâmetros μ e σ² e se dessa população forem retiradas amostras de tamanho n então x Nμ σ²n Se X é uma população não normal com parâmetros μ e σ² e se dela retirarmos uma amostra de tamanho n suficientemente grande então x Nμ σ²n Esse fato resulta do TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Se a população original tem uma distribuição próxima da normal a convergência é rápida Se a população original se afasta muito de uma normal precisamos de uma amostra maior para que x tenha uma distribuição aproximadamente normal z Observações Importantes O teorema central do limite permite a aplicação destes procedimentos úteis a populações que são fortemente nãonormais Quão grande o tamanho amostral deve ser depende da forma da distribuição original Se a distribuição da população for simétrica um tamanho amostral de 5 poderia render uma boa aproximação Se a distribuição da população for fortemente assimétrica será necessária uma amostra maior De modo geral a distribuição da média pode ser aproximadamente normal se o tamanho amostral for maior do que 30 Distribuição Amostral dos Estimadores z Observações Importantes O teorema descreve a distribuição da média de uma amostra aleatória de uma população com variância finita Quando o tamanho amostral é suficientemente grande a distribuição da média é uma distribuição aproximadamente normal O teorema aplicase independentemente da forma da distribuição da população Muitos procedimentos estatísticos comuns requerem que os dados sejam aproximadamente normais Distribuição Amostral dos Estimadores z Consequências do Teorema do Limite Central Graças ao teorema do limite central quando calculase uma média ou uma proporção de uma amostra podemos saber qual é a probabilidade de que o universo população tenha esse mesmo valor ou um valor parecido O valor que calcularmos para a amostra será o mais provável para o nosso universo e conforme nos distanciamos deste valor para cima ou para baixo estes serão valores cada vez menos prováveis Distribuição Amostral dos Estimadores Distribuição Amostral dos Estimadores Caso de População finita de Tamanho conhecido Se a população for finita e de tamanho N conhecido e se dessa população retirarmos uma amostra de tamanho n sem reposição então pelo TLC Ex μ σ²x σ²n N nN 1 Ou em termos do desvio padrão σx σn N nN 1 FIM