Exemplos de Distribuição Normal e Cálculos de Probabilidade

z DISTRIBUIÇÃO NORMAL EXEMPLOS AULA 5 z EXEMPLOSDISTRIBUIÇÃO NORMAL Exemplo 1 Dada uma variável aleatória X que obedece a uma distribuição normal com μ 50 e σ 10 encontre a probabilidade de X assumir valores entre 45 e 62 Sol Conversão em Normal Padrão Portanto Da tabela da distr Normal N01 temos que Queremos 5764 z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Exemplo 2 Sabendo que a variável aleatória X tem um distribuição normal com μ 300 e σ 50encontre a probabilidade que X assuma valores maior que 362 Conversão em Normal Padrão Portanto Da tabela da distr Normal N01 temos que Queremos z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Exemplo 3 Suponha que o tempo necessário para atendimento de um posto da prefeitura siga uma distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos a Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos b Qual é a probabilidade de que um atendimento dure mais do que 95 minutos c Qual é a probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos d Qual é o tempo mínimo necessário para o qual ocorram 75 dos atendimento a Portanto a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos é 668 𝑃 𝑋 5 𝑃 𝑍 5 8 2 𝑃 𝑍 15 𝑃 𝑍 15 𝑃 𝑍 0 𝑃 0 𝑍 15 𝑃 𝑋 5 05 0433193 0066807 Simetria 8 z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL b Portanto a probabilidade de que um atendimento dure mais do que 95 minutos é 2266 conversão 𝑃 𝑋 95 05 0273373 P X 95 0226627 z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL c 𝑃 7 𝑋 10 𝑃 7 8 2 Z 10 8 2 𝑃 05 𝑍 1 𝑃 7 𝑋 10 𝑃 05 𝑍 0 𝑃 0 𝑍 1 𝑃 0 𝑍 05 𝑃0 𝑍 1 𝑃 7 𝑋 10 0191462 0341345 0532807 Portanto a probabilidade de que um atendimento dure entre 7 e 10 minutos é 5328 conversão PX Xa 075 z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 1 litro e desvio padrão de 10 cm3 Admita que o volume siga uma distribuição normal Exemplo 6 a Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm3 b Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões c Se uma garrafa for selecionada ao acaso qual é a probabilidade de que tenha volume de líquido superior a 1002 cm3 z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 𝑃 𝑋 990 05 0341345 0158655 X volume médio de liquido por garrafa X N1000100 a 𝑃𝑋 990 𝑃 𝑍 990 1000 10 𝑃𝑍 1 𝑃𝑍 1 PZ 0 𝑃0 𝑍 1 Portanto em 159 das garrafas o volume de líquido é menor que 990 cm3 990 1 𝑃0 𝑍 1 1 1000 P980 X 1020 P980 1000 10 Z 1020 1000 10 P2 Z 2 z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL c 𝑃𝑋 1002 𝑃 𝑍 1002 1000 10 𝑃𝑍 02 PZ 0 𝑃0 𝑍 02 1000 1002 conversão 0 02 P Z 0 05 Sabemos que e da tabela temos que 𝑃 0 𝑍 02 0079260 𝑃 𝑋 1002 P Z 02 05 0079260 042074 Portanto a probabilidade de que tenha volume de líquido superior a 1002 cm3 é 042074 z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL EXEMPLO Uma empresa produz televisores de 2 tipos tipo A comum e tipo B luxo e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição normal sendo que no tipo A com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo B com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de R 120000 e R 210000 respectivamente e caso haja restituição com prejuízo de R 250000 e R 700000 respectivamente Pede se a Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B b Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B c Baseandose nos lucros médios a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL XA Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo A XB Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo B XAN10 22 LucroA 1200 PrejuízoA 2500 XBN11 32 LucroB 2100 PrejuízoB 7000 Sol 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐴 𝑃𝑋𝐴 6 𝑃 𝑍 6 10 2 𝑃𝑍 2 conversão 𝑃 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐴 𝑃 𝑍 2 𝑃 𝑍 2 𝑃 𝑍 0 𝑃0 𝑍 2 6 10 2 0 𝑃 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐴 05 0477250 002275 ou 228 z A DISTRIBUIÇÃO NORMAL A probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B respectivamente são 228 e 475 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐵 𝑃𝑋𝐵 6 𝑃𝑍 6 11 3 𝑃𝑍 167 conversão 6 11 167 0 𝑃 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐵 P Z 167 P Z 167 P Z 0 P0 Z 167 𝑃 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐵 05 0452540 004746 ou 475 Pnão restituição de A 1 Prestituição de A 1 002275 097725 FIM