Proporção de Objetos e Distribuições de Variáveis Aleatórias Normais

AULA 10 PROPORÇÃO DE OBJETOS PROPORÇÃO DE OBJETOS Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias Normais Sejam n variáveis aleatórias independentes cada uma com distribuição normal e sejam EXi μi e VARXi σi² i 12n isto é Xi Nμi σi² Consideremos a variável X ni1Xi nestas condições temos X também é normalmente distribuída e X Nni1μi ni1σi² Nas condições acima se μ1μ2μnμ e σ1²σ2²σn²σ² temos que X Nnμ nσ² PROPORÇÃO DE OBJETOS Assim a conversão será 1 Caso de n variáveis aleatórias X1 X2 Xn independentes com EXi μi e VARXi σi² i 1 n Se X ni1Xi então XNni1μi ni1σi² assim a variável Z X ni1μi ni1σi² tem distribuição aproximadamente N01 2 Caso de n variáveis aleatórias iguais ou seja EXi μ e VARXi σ² i 1 n Se X ni1Xi então XNnμ nσ² assim a variável Z X nμ nσ² tem distribuição aproximadamente N01 EXEMPLOS EXEMPLO 2 O peso de um saco de café é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 65 kg e desviopadrão de 4kg Um caminhão é carregado com 120 sacos Perguntase qual a probabilidade da carga do caminhão pesar a entre 7893kg e 7910kg b mais de 7722kg RESOLUÇÃO Xi N65 4² peso de 1 saco de café Assim X Xi X N12065 1204² peso de 120 sacos de café X N7800 1920 μ 7800 σ² 1920 σ 1920 438178 PROPORÇÃO DE OBJETOS Vários objetos definindo uma média única e uma variância única Dada a proporção de objetos X a1x1 a2x2 a3x3 an xn então Média μ a1μX1 a2μX2 a3μX3 anμXn Variância σ² a1²σ²X1 a2²σ²X2 a3²σ²X3 an²σ²Xn Desvio Padrão σ DPX VARX σ² PROPORÇÃO DE OBJETOS O USO DO MÓDULO COMO NOTAÇÃO PARA DESCREVER UM INTERVALO x a a x a Exemplo x 2 2 x 2 x b a a x b a a b x a b Exemplo x 7 2 2 x 7 2 2 7 x 2 7 5 x 9 PROPORÇÃO DE OBJETOS Vamos converter o módulo em um intervalo X 200 42 42 X 200 42 200 42 X 200 42 158 X 242 Portanto PX 200 42 P158 X 242 é o que queremos P8830 X 8890 P132 Z 264 P132 Z 0 P0 Z 264 EXERCÍCIO Sacos de feijão são completados automaticamente por uma máquina a Qual a média e desvio padrão de enchimento dos sacos de feijão Qual a proporção que demonstra a situação de armazenamento e transporte acima Vamos declarar X2 a Perda por armazenamento e transporte assim μX2 12 σX2 03 σ²X2 009 Proporção de objeto X X1 X2 Qual a média e desvio padrão dos sacos de feijão após a perda do processo de armazenamento e transporte μX μX1 μX2 μX 60 12 μX 588 σ²X σ²X1 σ²X2 0402 009 σ²X 0492 σX 0492 σX 0701 Portanto X N5880492 Calcular a probabilidade de que o peso da remessa ultrapasse 8234kg Remessa de 140 sacos de feijão Y nova proporção de objetos definida por Y 140X μY 140 μX μY 140588 μY 8232 σ²Y 140σ²X σ²Y 1400492 σ²Y 6888 σY 8299 PY 8234 PZ 8234 8232 8299 PZ 024 PZ 0 P0 Z 024 PY 8234 05 0094835 Qual a quantidade máxima de quilos de feijão a ser transportados sabendo que a porcentagem desta ocorrer é de 73 PX Xa PX Xa PX 0 P0 X Xa 073 05 P0 X Xa P0 X Xa 023 P0 Z Xa μ σ 023 ou seja P0 Z Za 023 Da tabela N01 temos Za 061 Xa μ Za σ 061 Xa 8232 8299 Xa 823706 Xa 8232 8299 113 Xa 8232 938 Xa 824138