Introdução à Probabilidade: Espaço Amostral e Eventos Aleatórios

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO ALEATÓRIO PROBABILIDADE DEFINIÇÃO TEOREMAS BÁSICOS INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Determinísticos Aleatórios Experimentos aleatórios produzidos pelo homem Exemplos INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Espaço amostral e evento aleatório INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Exemplo 1 Lançamento de um dado honesto com faces numeradas de 1 a 6 Espaço amostral Ω 1 2 3 4 5 6 nΩ 6 Evento A saída de um número par A2 4 6 nA 3 PA nAnΩ PA 36 Evento B saída de um número maior do que 7 B nB 0 PB nBnΩ PB 0 Evento C saída de um número menor do que 7 C1 2 3 4 5 6 ou C Ω nC 6 PC nCnΩ PC 66 1 Exemplo 2 Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas Obs Em um baralho há 4 naipes Ouros o Paus p Copas c e Espadas e e 13 cartas de cada naipe A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete V dama D e rei R Espaço amostral Ω A0 2o R0 Ap 2p Rp Ac 2c Rc Ae 2e Re nΩ 52 Evento A saída de uma carta de copas AAc 2c 3c 4c 5c 6c 7c 8c 9c 10c Vc Dc Rc nA 13 PA nAnΩ PA 1352 Evento B saída de um rei BR0 Rp RC Re nB 4 PB nBnΩ PB 452 Função de Probabilidade PΩ 1 P 0 0 PA 1 para qualquer evento A INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Teoremas 1 Sejam A e B forem mutuamente exclusivos então PAUB PA PB 2 Sejam A1A2 An eventos dois a dois mutuamente exclusivos então PA1U A2U UAn PA1PA2 PAn INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Dizemos que os eventos A₁ A₂ Aₙ formam uma partição do espaço amostral Ω se A₁ A₂ A₃ Aₙ Ω e Aᵢ Aⱼ Ø i j e ij 12n Se os eventos A₁ A₂ Aₙ formam uma partição do espaço amostral então n i1 PAᵢ 1 Para todo evento A Ω PA PA 1 A é o complementar de A Teorema Sejam A Ω e B Ω Então PAB PA PB PA B Consequência do teorema PAB PA PB Ao lançar um dado qual a probabilidade de sair um número par ou o número 2 experimento aleatório jogar um dado Ω 123456 nΩ 6 A Número Par 2 4 6 nA 3 PA nA nΩ PA 3 6 Queremos Sair no Par ou número 2 ou seja queremos A B PAB PA PB PAB PAB 3 6 1 6 1 6 3 6 Obs a interseção é o objeto que se repete em ambos os eventos A B 2 nA B 1 PA B 1 6 Qual a probabilidade de retirarmos uma carta de um baralho e esta ser de copas ou um valete J A Copas AC JC QC KC nA 13 B Valete JC JO JE JP nB 4 PA nA nΩ PA 13 52 PB nB nΩ PB 4 52 PAB PA PB PAB A B JC nA B 1 PAB 13 52 4 52 1 52 16 52 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Eventos equiprováveis Considere o espaço amostral Ω e₁ e₂ e₃ associado a um experimento aleatório Denominaremos Peᵢ pᵢ i1 n Temos que ni1 Peᵢ ni1 pᵢ 1 Os eventos eᵢ i1 n são equiprováveis quando Pe₁ Pe₂ Peₙ p Neste caso ni1 p 1 logo np 1 e portanto p 1n INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Exemplos eventos equiprováveis 1 Seja o experimento aleatório jogar uma moeda Assim Ω e₁ cara e₂ coroa Considere que a moeda é honesta ou seja e₁ e₂ são eventos equiprováveis Então Pe₁ Pe₂ p Assim 2i1 Peᵢ 2i1 pᵢ p p 1 2p 1 p 12 2 Seja o experimento aleatório jogar um dado Assim Ω e₁ 1 e₂ 2 e₃ 3 e₄ 4 e₅ 5 e₆ 6 Considere que o dado é honesto ou seja e₁ e₂ e₃ e₄ e₅ e₆ são eventos equiprováveis Então Pe₁ Pe₂ Pe₃ Pe₄ Pe₅ Pe₆ p Assim 6i1 Peᵢ 6i1 pᵢ 6p 1 6p 1 p 16 Exemplo 5 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Solução A melhor forma de resumir os dados é apresentar uma tabela a Probabilidade de sair uma mulher Seja Da tabela vemos que O espaço amostral é formado pela 18 pessoas que estavam na sala assim temos que Podemos calcular a probabilidade como 𝑃 𝐸 𝑛 𝐸 𝑛 Ω 𝑃 𝐸 9 18 𝑃 𝐸 1 2 21 anos 21 anos total moça 5 4 9 rapaz 6 3 9 total 11 7 18 Continuação Seja Da tabela vemos que O espaço amostral é formado pela 18 pessoas que estavam na sala assim temos ainda que Podemos calcular a probabilidade como INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Continuação Seja Da tabela vemos que O espaço amostral é formado pela 18 pessoas que estavam na sala assim temos ainda que Podemos calcular a probabilidade como INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Exemplo 6 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Solução em primeiro lugar podemos resumir as informações na forma de uma tabela jornais A B C A e B A e C B e C AB e C quantidade 470 420 315 110 220 140 75 Pela aplicação das técnicas de teoria dos conjuntos podemos desenhar o diagrama de EulerVenn ao lado Daí têmse nA B C 75 assinam os três nA B C 215 assinam apenas A nB A C 245 assinam apenas B nC A B 30 assinam apenas C nCᴀᴜʙᴀɴᴄ 190 não assinam nenhum Seja E evento não assine nenhum dos três jornais Vamos que nE nCBA 190 O espaço amostral é formado pela 1000 famílias que foram entrevistadas assim temos que nΩ 1000 Podemos calcular a probabilidade como PE nE nΩ PE 190 1000 19 Seja E evento assine apenas um dos três jornais Vamos que nE nA B C nB A C nC A B Portanto nE 215 245 30 nE 490 O espaço amostral é formado pela 1000 famílias que foram entrevistadas assim temos ainda que nΩ 1000 Podemos calcular a probabilidade como PE nE nΩ PE 490 1000 49 Seja E evento assine pelo menos dois jornais Vamos que nE nA B A B C nA C A B C nB C A B C nA B C Portanto nE 35 145 65 75 nE 320 O espaço amostral é formado pela 1000 famílias que foram entrevistadas assim temos ainda que nΩ 1000 Podemos calcular a probabilidade como PE nE nΩ PE 320 1000 32 Exemplo 7 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Solução em primeiro lugar podemos apresentar o espaço amostral de forma explícita a Determine a probabilidade de obter dois números pares assim temos Podemos calcular a probabilidade como 𝑃 𝐸 𝑛 𝐸 𝑛 Ω 𝑃 𝐸 9 36 1 4 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Continuação b Determine a probabilidade de obter dois números primos assim temos Podemos calcular a probabilidade como 𝑃 𝐸 𝑛 𝐸 𝑛 Ω 𝑃 𝐸 16 36 4 9 c Determine a probabilidade de obter dois números com soma igual a 10 𝑛 𝐸 3 𝑃 𝐸 𝑛 𝐸 𝑛 Ω 𝑃 𝐸 3 36 1 12 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Continuação d Determine a probabilidade de obter dois números com soma menor do que 2 assim temos Podemos calcular a probabilidade como 𝑃 𝐸 𝑛 𝐸 𝑛 Ω 𝑃 𝐸 0 36 0 e Determine a probabilidade de obter dois números com soma menor do que 15 𝑛 𝐸 36 𝑃 𝐸 𝑛 𝐸 𝑛 Ω 𝑃 𝐸 36 36 1 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE Evento impossível Evento certo PE1 frac14 e PE2 frac49 Queremos que ocorra os eventos E1 E2 assim PE1 E2 PE1 PE2 PE1 E2 e E1 E2 2 2 nE1 E2 1 PE1 E2 frac136 assim PE1 E2 frac14 frac49 frac136 PE1 E2 frac2436 frac23 FIM