Eventos Independentes e Probabilidade Condicional

EVENTOS INDEPENDENTES PROBABILIDADE CONDICIONAL TEOREMA DO PRODUTO PERMUTAÇÃO Eventos independentes Sejam A Ω e B Ω A e B são independentes se e somente se PA B PAPB Generalização Se os eventos A₁ A₂ Aₙ são independentes então PA₁ A₂ Aₙ PA₁PA₂ PAₙ Obs Se A e B forem mutuamente exclusivos então A e B são dependentes pois se A ocorre B não ocorre isto é a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência do outro EXEMPLO 1 Considere o lançamento de dois dados Qual a probabilidade de obtermos no primeiro dado o número 3 e no segundo dado um número maior que 4 Solução 1ª situação S 123456 nΩ 6 A obter o número 3 3 nA 1 Logo PA nAnΩ 16 2ª situação S 123456 nΩ 6 Bobter um número maior que 4 56 nB2 Logo PB nBnΩ 26 Sendo assim PA B PA PB PA B 1626 236 118 0055 ou 555 Probabilidade condicional Probabilidade Generalização do Teorema do Produto P Aᵢ PA₁PA₂A₁PA₃A₁ A₂ PAₙA₁ A₂ Aₙ₁ Se os eventos forem mutuamente exclusivos dependentes as probabilidades condicionais serão calculadas por PA₂A₁ nA₂nΩ A₁ ou PA₃A₁ A₂ nA₃nΩ A₁ A₂ e assim por diante Teorema do Produto OBS Se A e B são independentes e Probabilidade SORTEIO COM REPOSIÇÃO E SEM REPOSIÇÃO Com reposição significa que o evento ao ser sorteado é reposto numa urna ou num procedimento Neste caso repetidos sorteios são considerados eventos independentes Assim Sem reposição significa que o evento ao ser sorteado não é reposto Neste caso repetidos sorteios são considerados eventos dependentes sendo necessários o uso de probabilidade condicional Assim 𝛾 Probabilidade PERMUTAÇÃO Em um sorteio onde a ordem não importa mas apenas quais eventos aconteceram precisamos considerar a quantidade de opções geradas pela permutação desses eventos entre si Quando a ordem de um sorteio pode ser alterada devemos fazer a permutação PR dos eventos dada por n número total de objetos α β e representam a quantidade de elementos iguais n PRn EXEMPLO 2 De quantos modos podemos selecionar 7 bolas sendo 4 amarelas 2 verdes e 1 laranja 105 2 1 4 7 7 12 4 PR 𝛾 Probabilidade 105 OPÇÕES DIFERENTES Sendo A bolas amarelas V bolas verdes L bola laranja Utilizando a expressão para o cálculo da quantidade de opções EXEMPLO 3 Uma urna contem seis bolinhas sendo quatro amarelas e duas verdes Qual a probabilidade de retirarmos quatro bolinhas successivamente e com reposição e sair três amarelas A e uma verde V Solução PA A A V PA PAA PAA A PVA A A PR4 31 PA A A V 46 46 46 26 PR4 31 PA A A V 1281296 431 1281296 4 5121296 PA A A V 3281 EXEMPLO 4 Uma urna contém seis bolinhas sendo quatro amarelas e duas verdes Qual a probabilidade de retirarmos três bolinhas sucessivamente e sem reposição e sair uma verde V e duas amarelas A Solução PV A A PV PAV PAA V PR3 12 PV A A 26 45 34 PR3 12 PV A A 24120 312 24120 3 PV A A 72120 PV A A 35 EXEMPLO 5 Uma urna contém 5 bolas brancas 4 vermelhas e 3 azuis Extraemse sucessivamente três bolas ao acaso e por um processo sem reposição Determine a probabilidade de que a nenhuma seja vermelha b exatamente uma seja vermelha c todas sejam de mesma cor Solução a Pnenhuma vermelha PŶ Ŷ Ŷ PŶ Ŷ Ŷ PŶ PŶ PŶ PŶ Ŷ Ŷ 812 711 610 1455 EXEMPLO 5 CONTINUAÇÃO b exatamente uma seja vermelha Pexatamente uma seja vermelha PV V VPR3 21 Pexatamente uma seja vermelha PV PVV PVV V PR3 21 Pexatamente uma seja vermelha 4 12 8 11 7 10 3 28 55 c todas da mesma cor Ptodas da mesma cor Ptodas brancas Ptodas vermelhas Ptodas amarelas Ptodas brancas PB B B PB PBB PBB B Ptodas vermelhas PV V V PV PVV PVV V Ptodas amarelas PA A A PA PAA PAA A Ptodas da mesma cor 5 12 4 3 3 10 4 12 11 10 3 12 11 10 3 44 EXEMPLO 6 As probabilidades de 3 jogadores A B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são PA 2 3 PB 4 5 PC 7 10 Se cada um cobrar uma única vez qual a probabilidade de que a não saia um gol b pelo menos um marque um gol Solução PA 2 3 PB 4 5 PC 7 10 Então PA 1 3 PB 1 5 PC 3 10 a Pnão saia um gol PA B C PA PB PC Considerase que eventos indep Pnão saia um gol PA B C 1 3 1 5 3 10 1 50 b Ppelo menos um marque um gol PA B C 1 Pnenhum marque gol PABC 1 PA B C 1 PAPBPC 1 1 50 49 50 PABC 49 50 EXEMPLO 7 Da produção de peças de uma determinada máquina 10 são defeituosas Retiramse 5 peças da produção dessa máquina Qual a probabilidade de que a no máximo duas sejam boas b pelo menos quatro sejam boas c exatamente três sejam boas d pelo menos uma seja defeituosa Solução Seja D o evento tirar uma peça defeituosa e B é o evento sair uma peça boa Considerase aqui que ao se retirar 5 peças os eventos de retirada de cada peça é independente da retirada da próxima peça Assim vale que PD B PD PB EXEMPLO 7 continuação a no máximo duas sejam boas Pk 2boas PD D D D PB D D DPR5 14 PB B D DPR5 23 Pk 2 PD PD PD PD PD PD PD PB PB PD PD PD PB PB PD PD PR5 14 PB PB PD PD PD PR5 23 Pk 2 012010101 0901010101 Pk 2 015 09014 092013 Pk 2 000856 b pelo menos quatro sejam boas Pk 4boas PB B B DPR5 41 PB B B B Pk 4boas PB PB PB PB PB PB Pk 4boas 09 09 09 01 PR5 41 09 09 09 09 Pk 4boas 09401 095 Pk 4boas 091854 EXEMPLO 7 continuação c exatamente três sejam boas Pk 3boas PB B B D DPR5 32 Pk 3boas PB PB PB PD PD PR5 32 Pk 3boas 0930112 Pk 3boas 00729 Pk 1def 1 Pk 1def 1 PB B B B Pk 1def 1 PB PB PB PB Pk 1def 1 095 Pk 1def 040951 EXEMPLO 1 Em uma empresa existem 70 funcionários distribuídos da seguinte forma 44 homens 10 mulheres com mais de 50 anos e 19 homens com mais de 50 anos Um funcionário será sorteado para ganhar uma viagem como parte do programa de premiação da empresa Qual é a probabilidade do funcionário ser homem ou ter mais de 50 anos Sejam PA probabilidade do funcionário ser homem PB probabilidade do funcionário ter mais de 50 anos Queremos PA B probabilidade do funcionário ser homem ou ter mais de 50 anos Da Tabela temos PA 4470 PB 2970 PA B 1970 PA B PA PB PA B PA B 4470 2970 1970 PA B 5470 2735 EXEMPLO 2 Uma urna contém 5 bolas verdes 4 azuis e 5 brancas Retiramse ao acaso e sem reposição 4 bolas desta urna Qual a probabilidade de obter a exatamente 3 bolas azuis Sem reposição eventos dependentes e portanto há necessidade do uso da probabilidade condicional Seja k o número de bolas azuis A então Pk 3 PA A A A PR4 31 Pk 3 PA PAA PAA A PAA A A PR4 31 Pk 3 40 1001 003996 b pelo menos uma bola verde Seja k o número de bolas verdes V então Pk 1 1 Pk 0 1 PV V V 1 PV PVV PVV V 1 9 14 8 13 7 12 6 11 125 143 08741 EXEMPLO 3 Uma caixa contém 6 lâmpadas de 40W 3 de 60W e 1 de 100W Retiramse 5 lâmpadas com reposição Qual a probabilidade de que saiam 3 de 40W 1 de 60W e 1 de 100W Seja E o evento sair 3 de 40W 1 de 60W e 1 de 100W Com reposição eventos independentes Assim PE P40 40 40 60 100 PR5 311 PE P40 P40 P40 P60 P100 PR5 311 PE 6 10 3 3 10 1 10 5 311 PE 81 625 01296 EXEMPLO 4 A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade com informações sobre área de estudo e classe social econômica Determine a probabilidade de Retirada de estudantes sem reposição probabilidade condicional a Dois estudantes de classe média PMedia Media PMedia PMediaMedia 386 385 1000 999 01488 b Três estudantes na área de humanas PH H H PH PHH PHH H 269 268 267 1000 999 998 00193 c Dois estudantes da classe baixa dado que estudam na área de biológicas Seja E o evento estudante da classe baixa dado que estuda na área de biológicas PE E PE PEE PE 73 72 387 386 00352 EXEMPLO 5 Num certo colégio 30 homens e 20 mulheres têm mais de 165m de altura Sabendo que no total há 120 mulheres e 80 homens determine a probabilidade de ao sortear uma pessoa deste grupo obtemos a um homem sabendo que a pessoa sorteada tem mais de 165 m de altura b uma pessoa com mais de 165 m de altura sabendo que a pessoa sorteada é homem c uma mulher sabendo que a pessoa sorteada tem menos de 165 m de altura d uma pessoa com menos de 165 m de altura sabendo que a pessoa sorteada é uma mulher X 165 m X 165m Total Homem 30 50 80 Mulher 20 100 120 Total 50 150 200 a um homem sabendo que a pessoa sorteada tem mais de 165m de altura b uma pessoa com mais de 165m de altura sabendo que a pessoa sorteada é homem Probabilidade EXEMPLO 5 Solução X 165 m X 165m Total Homem 30 50 80 Mulher 20 100 120 Total 50 150 200 c uma mulher sabendo que a pessoa sorteada tem menos de 165m de altura d uma pessoa com menos de 165m de altura sabendo que a pessoa sorteada é uma mulher Probabilidade EXEMPLO 5 CONTINUAÇÃO EXEMPLO 6 Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de 3 fábricas distintas X Y e Z X produziu 500 das quais 400 são boas Y produziu 700 das quais 600 são boas e Z as restantes das quais 500 são boas Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas desse supermercado qual a probabilidade de que ela a seja boa b seja fabricada pela fábrica X sabendo que a lâmpada sorteada é defeituosa c seja defeituosa sabendo que foi fabricada pela empresa X Fábricas Boas Defeituosas Total X 400 100 500 Y 600 100 700 Z 500 300 800 Total 1500 500 2000 a seja boa b seja fabricada pela fábrica X sabendo que a lâmpada sorteada é defeituosa c seja defeituosa sabendo que foi fabricada pela empresa X Probabilidade EXEMPLO 7 Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo das quais 4 apresentam defeitos a Se um cliente comprar uma geladeira qual a probabilidade de levar uma com defeito b Se um cliente comprar duas geladeiras qual a probabilidade de levar as duas em bom estado c Se um cliente comprar duas geladeiras qual a probabilidade de levar uma em bom estado e a outra com defeito d Se um cliente comprar duas geladeira qual a probabilidade de levar pelo menos uma com defeito Probabilidade a Dados nΩ 12 Sejam D geladeira com defeito assim temos nD 4 nD 8 PD nD nΩ PD 4 12 b Ao vender duas geladeiras vamos considerar que será sem reposição assim PD D PD PDD PD D 8 12 7 11 14 33 c Ao vender duas geladeiras vamos considerar que será sem reposição assim PD D PD PDD PR2 11 PD D 4 12 8 11 2 16 33 d Dados nΩ 12 Sejam D geladeira com defeito assim temos nD 4 D geladeira sem defeito nD 8 Seja k o número de geladeiras com defeito Pk 1 Pk 1 Pk 2 PD PDD PR2 11 PD PDD Pk 1 4 12 8 11 2 1 1 4 12 3 11 16 33 3 33 19 33 FIM