Matemática para a Vida Cotidiana: Porcentagens, Comparações, Proporções e Geometria Plana

Unidade 2 porcentagens comparações e proporções UNIDADE 4 GEOMETRIA PLANA Matemática para a Vida Cotidiana unidade 2 Matemárica para a Vida Cotidiana 87 Unidade 2 porcentagens comparações e proporções UNIDADE 4 Unidade 4 geometria plana unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana 87 90 GEOMETRIA PLANA 90 TRIÂNGULO 97 PARALELOGRAMO 98 RETÂNGULO 98 QUADRADO 99 TRAPÉZIO 99 CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA 100 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 100 ENEM 2010 QUESTÃO 162 CADERNO AZUL 102 ENEM 2011 QUESTÃO 140 CADERNO AZUL 104 ENEM 2012 QUESTÃO 142 CADERNO AZUL 105 ENEM 2014 QUESTÃO 178 CADERNO AZUL 107 ENEM 2017 QUESTÃO 153 CADERNO AZUL 111 GEOMETRIA ESPACIAL 112 PARALELEPÍPEDO RETANGULAR unidade 2 Matemárica para a Vida Cotidiana 89 Unidade 2 porcentagens comparações e proporções Unidade 4 geometria plana unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana 89 113 PRISMA 114 CILINDRO CIRCULAR RETO 114 CONE 115 ESFERA 115 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 115 ENEM 2009 QUESTÃO 157 CADERNO AZUL 117 ENEM 2010 QUESTÃO 157 CADERNO AZUL 119 ENEM 2013 QUESTÃO 170 CADERNO AZUL 120 ENEM 2014 QUESTÃO 177 CADERNO AZUL 122 ENEM 2015 QUESTÃO 148 CADERNO AZUL 124 ENEM 2015 QUESTÃO 171 CADERNO AZUL 126 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 90 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 GEOMETRIA PLANA Quando nos referimos a geometria em particular a geometria plana estamos colocando nosso olhar à noção de área A própria etimologia da palavra geometria nos remete a essa noção Figura 1 Etimologia geometria Fonte Autor 2020 Assim a geometria é aquela parte da matemática que trata da medida de superfícies e em particular a geometria plana relaciona se ao cálculo de áreas de superfícies planas O interesse pelo cálculo de áreas de superfícies planas é bastante antigo que nos remete às civilizações egípcias antigas cujo interesse em determinar áreas estava ligado como ocorre ainda hoje nas civilizações modernas em poder a partir da área especificar o imposto que deveria ser atribuído a uma determinada área produtiva Para começar a estudar o cálculo de áreas vamos olhar para algumas figuras que são bastante familiares TRIÂNGULO O triângulo é um polígono com 3 lados cuja soma dos ângulos internos é sempre igual a 180 graus 180º Podemos classificar um triângulo quanto aos seus ângulos internos e também quanto a seus lados Quando nos referimos a um triângulo que tem os 3 ângulos internos menores do que 90º dizemos que o triângulo é acutângulo conforme o exemplo abaixo unidade 4 91 90 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Figura 2 Triângulo acutângulo Fonte Autor 2020 Quando um dos ângulos internos do triângulo é maior que 90º dizemos que o triângulo é obtusângulo Figura 3 Triângulo obtusângulo Fonte Autor 2020 Quando o triângulo tem um ângulo interno igual a 90o nos referimos a um triângulo retângulo Geometria Plana Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 4 Triângulo retângulo Fonte Autor 2020 As três classificações acima referemse aos ângulos internos do triângulo acutângulo obtusângulo e retângulo Quanto aos lados se os três lados do triângulo forem iguais dizemos que ele é equilátero 92 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Figura 5 Triângulo equilátero Fonte Autor 2020 Se um triângulo tem dois lados com a mesma medida dizemos que esse triângulo é isósceles Figura 6 Triângulo isósceles Fonte Autor 2020 Se nos referimos a um triângulo em que os três lados são diferentes dizemos que ele é escaleno Geometria Plana Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Triângulo escaleno Fonte Autor 2020 Vamos olhar algumas características nomenclaturas e propriedades atribuídas ao triângulo retângulo que aparece com frequência em situações do dia a dia Posto que o triângulo retângulo é aquele triângulo que tem um ângulo interno igual a 90o o lado oposto ao ângulo de 90o chamamos de hipotenusa e os outros dois lados chamamos de catetos unidade 4 93 92 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Figura 8 Triângulo retângulo Fonte Autor 2020 No triângulo retângulo acima o lado BC é a hipotenusa o lado AB e o lado AC são os catetos Observe que indicamos o ângulo de 90o do triângulo com a marcação A A c b c h b B a C B D C a Figura 7 Figura 8 A A β α c b h h α β B m D D n C Figura 9 feita no vértice A Costumamos denotar vértices por letras maiúsculas e medidas de lados por letras minúsculas Assim os vértices do triângulo acima são A B e C o lado BC tem a medida a a porque é o lado oposto ao vértice A o lado AC tem a medida b b porque é o lado oposto ao vértice B e o lado AC tem a medida c c porque é o lado oposto ao vértice C As medidas a b e c correspondem às medidas da hipotenusa e dos dois catetos respectivamente Um elemento que merece destaque no triângulo retângulo é a altura relativa a hipotenusa denotada pela medida h na figura abaixo que corresponde a linha vertical que foi traçada a partir do vértice A que tem ângulo de 90o até a hipotenusa Figura 9 Altura relativa à hipotenusa Fonte Autor 2020 94 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Note que quando se cria a altura relativa a hipotenusa obtemos três triângulos que são semelhantes O triângulo original ABC é semelhante ao triângulo ABD que também é semelhante ao triângulo ADC Figura 10 Triângulos semelhantes Fonte Autor 2020 A notação matemática usada para a semelhança desses triângulos é ΔABCΔABDΔADC Quando temos triângulos semelhantes podemos estabelecer relações conforme apontado a seguir Considerando os triângulos ABC e ABD as relações que podem ser estabelecidas são as seguintes Figura 11 Semelhança dos triângulos ABC e ABD Fonte Autor 2020 A medida AB dividida pela medida BC do triângulo original é igual ao quociente da medida DB pela medida BA do outro triângulo ABD Note no ΔABC o vértice com o ângulo de 90o é o vértice A e no ΔABD o vértice com o ângulo de 90o é o vértice D Dito de outra forma a medida c está para a assim como a medida m está para c unidade 4 95 94 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Quanto aos triângulos ABC e ADC a medida AB está para a medida BC assim como a medida DA está para a medida AC Figura 12 Semelhança dos triângulos ABC e ADC Fonte Autor 2020 Quanto os triângulos DBA e DAC a medida DA está para a medida DB assim como a medida DC está para a medida DA Figura 13 Semelhança dos triângulos ABD e ADC Fonte Autor 2020 Estabelecendo manipulações algébricas com as relações acima mencionadas chegase a famosa fórmula de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos 96 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 catetos Ou olhando para o triângulo retângulo abaixo a medida a ao quadrado é igual a medida b ao quadrado somado com a medida c ao quadrado Figura 14 Triângulo retângulo Fonte Autor 2020 hipotenusa² cateto² cateto² a² b² c² Estabelecidas as relações entre as medidas dos lados de triângulos semelhantes vamos para o cálculo da área de região triangular Não importa o tipo de triângulo que estamos considerando a área de um triângulo é igual a medida da base vezes altura divido por 2 Desse modo identificado o lado para corresponder a base b do triângulo a altura h deste triângulo será a distância do vértice superior até a referida base Figura 15 Triângulos diversos Fonte Autor 2020 Área do triângulo Base b x Altura h 2 unidade 4 97 96 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Se forem conhecidas as medidas a b e c dos três lados do triângulo podemos empregar a fórmula de Heron Figura 16 Lados de triângulo Fonte Autor 2020 Área do Triângulo onde p Paralelogramo Um paralelogramo é um polígono de quatro lados que tem os lados opostos paralelos e as medidas dos lados opostos são iguais Figura 17 Paralelogramo Fonte Autor 2020 Para calcular a área do paralelogramo considere um de seus lados como sendo a base b e a distância do lado oposto a base como altura h Área do paralelogramo b h 98 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Retângulo Um retângulo é um polígono de quatro lados com os quatro ângulos internos iguais a 90o A área de um retângulo é base altura Denotando um lado de b e o outro lado de h a área do retângulo é Área do retângulo b h Figura 18 Retângulo Fonte Autor 2020 Observe que um retângulo é um paralelogramo pois para que os ângulos internos sejam todos iguais a 90o seus lados opostos devem ser paralelos e as medidas dos lados opostos devem ser iguais Quadrado Um quadrado é um polígono de quatro lados com a mesma medida e com todos os ângulos internos iguais a 90o Figura 19 Quadrado Fonte Autor 2020 A medida da área do quadrado é lado lado que é o mesmo que lado² unidade 4 99 98 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Área do quadrado L2 Note que o quadrado é um caso particular de retângulo visto que os ângulos internos são iguais a 90o como no retângulo os lados opostos são iguais como no retângulo A particularidade é que o quadrado tem os quatro com a mesma medida Trapézio Um trapézio é um polígono de quatro lados com apenas dois lados paralelos Os dois lados que são paralelos são chamados de bases do trapézio aquele que tem a maior medida é a chamada base maior B e o que tem menor medida é chamado de base menor b A distância entre os dois lados paralelos é chamada de altura h Observe a figura Figura 20 Trapézio Fonte Autor 2020 Área do trapézio Círculo e Circunferência Observe as figuras abaixo Figura 21 Círculo e circunferência Fonte Autor 2020 100 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Quando nos referimos a círculo estamos considerando uma superfície plana um disco A circunferência é apenas o contorno é uma linha formada por pontos cuja distância r chamada de raio até um ponto C chamado centro é sempre a mesma Assim considerando qualquer ponto da circunferência a distância deste ponto até o centro C é sempre igual a r raio Desse modo quando consideramos um círculo calculamos a sua área e quando consideramos uma circunferência podemos determinar o comprimento dessa circunferência Área de círculo π x r² Comprimento de circunferência 2 x π x r Onde π é uma constante que pode ser aproximada como 31416 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ENEM 2010 questão 162 caderno azul O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados Figura 22 Questão 162 caderno azul ENEM 2010 Fonte ENEM 2010 unidade 4 101 100 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação a medida do lado do retângulo que representa os 4 deve ser de aproximadamente A 1 mm B 10 mm C 17 mm D 160 mm E 167 mm Resolução Interpretando geometricamente o que está enunciado o que se tem é um retângulo com medidas 260mm x 400mm e devese determinar a medida do lado x de um retângulo menor que tem outro lado com medida de 26 mm e que ocupa 4 da área total do retângulo maior Na situação do enunciado o retângulo maior corresponde a página inteira de jornal Vamos inicialmente calcular a área total At desta página de jornal At 260 x 400 104000mm² Assim 100 da área da página inteira corresponde a 104000mm² Com esse dado é possível determinar a área correspondente a 4 desta área total 4 de 104000 104000 4160mm² Ou seja a área do retângulo menor é de 4160mm² Com isso a medida do lado x do retângulo menor é lembrando que área de retângulo base vezes altura 26 x 4160 x x 160mm 102 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Para que o retângulo menor ocupe 4 da área total a medida x deve ser de 160mm Resposta correta alternativa D ENEM 2011 questão 140 caderno azul Em uma certa cidade os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construíla em formato retangular devido às características técnicas do terreno Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos no máximo 180 m de tela para cercar a praça A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça Terreno 1 55 m por 45 m Terreno 2 55 m por 55 m Terreno 3 60 m por 30 m Terreno 4 70 m por 20 m Terreno 5 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área que atenda às restrições impostas pela prefeitura os moradores deverão escolher o terreno A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Resolução O que está estabelecido nesta situação é que um terreno retangular deve ser cercado com no máximo 180 m de tela e que foram dadas unidade 4 103 102 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 cinco configurações de terreno Devemos determinar qual dessas cinco configurações se adequa à restrição cercar com no máximo 180 m de tela e que tenha a maior área O perímetro de um retângulo é a soma das medidas dos seus lados e que nesta situação corresponde a quantidade de tela necessária para cercar o terreno retangular O perímetro do terreno 1 é 55 55 45 45 200 m que é maior que a quantidade de tela disponível portando devemos desconsiderar esse terreno O perímetro do terreno 2 é 55 55 55 55 220 m que é maior que a quantidade de tela disponível portando também devemos desconsiderar esse terreno O perímetro do terreno 3 é 60 60 30 30 180m Portanto este terreno deve ser considerado O perímetro do terreno 4 é 70 70 20 20 180m Portanto este terreno também deve ser considerado O perímetro do terreno 5 é 95 95 85 85 360 m que é maior que a quantidade de tela disponível portando este terreno deve ser desconsiderado Observe que dentre as cinco opções de terreno devemos levar em conta somente os terrenos 3 e 4 pois são esses que podem ser cercados com 180 m de tela disponível A outra condição imposta para a escolha do terreno é ele deve ter a maior área possível A área do terreno 3 é AT3 60 x 30 1800 m² A área do terreno 4 é AT4 70 x 20 1400 m² Portanto o terreno que melhor se adequa nesta situação é o terreno 3 pois a sua área é maior que a do terreno 4 e ele pode ser cercado com 180m de tela Resposta correta alternativa C 104 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 ENEM 2012 questão 142 caderno azul A capacidade mínima em BTUh de um aparelho de ar condicionado para ambientes sem exposição ao sol pode ser determinada da seguinte forma 600 BTUh por m² considerandose até duas pessoas no ambiente Para cada pessoa adicional neste ambiente acrescentar 600 BTUh Acrescentar mais 600 BTUh para cada equipamento eletroeletrônico em funcionamento no ambiente Será instalado um aparelho de arcondicionado em uma sala sem exposição ao sol de dimensões 4m x 5m em que permaneçam quatro pessoas e possua um aparelho de televisão em funcionamento A capacidade mínima em BTUh desse aparelho de ar condicionado deve ser A 12000 B 12600 C 13200 D 13800 E 15000 Resolução O enunciado desta questão contém os dados técnicos para determinar a capacidade mínima em BTUh que deve ter um ar condicionado para instalação em ambientes sem exposição ao sol Se no ambiente tiverem até duas pessoas 600 BTUh por m² Acrescentar 600 BTUh por pessoa adicional no ambiente Acrescentar 600 BTUh por equipamento eletroeletrônico em funcionamento no ambiente unidade 4 105 104 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 A questão que se coloca é se o ambiente que tem 4m x 5m com quatro pessoas e uma TV qual deve ser a capacidade mínima do aparelho de arcondicionado a ser instalado nesse ambiente Figura 23 Ilustração da situação do enunciado Fonte Autor 2020 A área deste ambiente é de A 4x5 20 m² Se a área é de 20 m² e são necessários 600 BTUh por m² considerandose até 2 pessoas no ambiente então a capacidade do aparelho de arcondicionado deve ser 600 x 20 12000 BTUh No entanto o ambiente é ocupado por 4 pessoas então devese acrescentar mais 600 BTUh por cada pessoa a mais são mais duas pessoas e mais 600 BTUh pois tem um aparelho de TV Assim 12000 20m2 com duas pessoas 1200 mais duas pessoas no ambiente 600 um aparelho de TV 13800 BTUh Portanto o arcondicionado para atender a este ambiente deve ter uma capacidade mínima de 13800 BTUh Resposta correta alternativa D ENEM 2014 questão 178 caderno azul Diariamente uma residência consome 20160 Wh Essa residência possui 100 células solares retangulares dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica e dimensões 6 cm x 8 cm Cada uma das tais células produz ao longo do dia 24 Wh por centímetro de diagonal O proprietário dessa residência quer produzir por dia exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome 4 Pessoas 1 TV 4m 6m 106 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja esse objetivo A Retirar 16 células B Retirar 40 células C Acrescentar 5 células D Acrescentar 20 células E Acrescentar 40 células Resolução Nessa questão os dados são o consumo da residência é de 20160 Wh o proprietário da residência tem 100 células medindo 6 cm x 8 cm cada uma a produção de energia de cada uma dessas células é de 24 Wh por cm de diagonal A questão colocada é verificar se esse proprietário tem células suficientes para atender ao consumo se ele tem células a mais ou a menos A partir dessa verificação assinalar qual a atitude que o proprietário deve tomar para que ele tenha em sua residência a quantidade de células que que sejam necessárias apenas para seu consumo Note que a produção de energia de cada uma dessas células está dada como 24 Wh por cm de diagonal Diagonal é a medida d indicada na figura Figura 24 Ilustração célula solar do exercício Fonte Autor 2020 unidade 4 107 106 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Para saber qual é a produção de cada célula é preciso primeiro determinar a medida da diagonal da célula que pode ser calculada empregando o Teorema de Pitágoras d² 6² 8² 36 64 100 d 10cm Como a medida da diagonal é de 10cm a produção de cada célula será de 24 Wh 10cm 240 Wh É sabido que o consumo total da residência é de 20160 Wh e que a produção por célula é de 240 Wh Efetuando a divisão 84 que é a quantidade de células necessárias para atender o consumo da residência Como o proprietário da residência tem 100 células disponíveis ele deve retirar 16 células para atender o consumo da residência Resposta correta alternativa A ENEM 2017 questão 153 caderno azul A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas Caminhão entala em viaduto no Centro Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido CentroBairro próximo à Ponte de Pedra na capital Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos conforme ilustrado na foto 108 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Figura 25 Caminhão em viaduto Fonte Apresentada na figura Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 060m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 130m do solo O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos Figura 26 Desenho dos canos Fonte Autor 2020 A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja no mínimo 050m menor do que a altura do vão do viaduto Considere 17 como aproximação para Qual deveria ser a altura mínima do viaduto em metro para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão A 282 B 352 C 370 D 402 E 420 Resolução unidade 4 109 108 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 A figura abaixo mostra esquematicamente a situação descrita no enunciado um caminhão carregado com 3 tubos cada tubo com raio externo de 060 m esses três tubos estão em cima da carreta do caminhão que está 13 m distante do chão A questão é determinar a altura do viaduto para que o caminhão passe a uma distância de 05 m do viaduto Figura 27 Esquema de solução Fonte Autor 2020 O que precisa ser calculado é a distancia entre as duas linhas horizontais externas correspondentes ao chão e o viaduto Detalhando mais o esquema acima temos Figura 28 Detalhamento esquema solução Fonte Autor 2020 110 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 A distância entre o viaduto e o chão é 05 06 H 06 13 Assim devemos determinar o valor da medida H indicada no esquema acima Note que o triângulo indicado no esquema é um triângulo equilátero os três lados são iguais com lado L medindo 12 m a soma de dois raios de medida 06 m Figura 29 Triângulo equilátero Fonte Autor 2020 Note que a medida H é a que está indicada na figura abaixo e que divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos Figura 30 Triângulo equilátero e altura Fonte Autor 2020 Neste triângulo retângulo a hipotenusa tem medida L e os catetos medem H e L2 Aplicando a fórmula de Pitágoras Como L 12 temos H unidade 4 111 110 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 O enunciado pede para considerar como 17 o valor de H é H 102m Assim a distância que o viaduto deve ter do chão para que o caminhão passe com segurança é 06 102 06 13 402 metros Resposta correta alternativa D Geometria Espacial A geometria espacial é a parte da matemática que mede espaço ocupado por um sólido Em se tratando de sólidos estamos nos referindo a formas geométricas que ocupam um espaço tridimensional Assim medir o espaço de um sólido geométrico corresponde a medir o volume deste sólido Para medir o volume de um sólido vamos usar como unidade de referência o volume de um cubo unitário ou seja um cubo que tem arestas medindo 1 Figura 31 Cubo unitário Fonte Autor 2020 O volume de cubo é dado pela fórmula Volume Cubo comprimento x largura x altura Assim o volume do cubo unitário é V 1 x 1 x 1 1 112 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Paralelepípedo Retangular Um paralelepípedo retangular é um sólido geométrico com as características da figura Um exemplo de paralelepípedo retangular é uma caixa de sapato Figura 32 Paralelepípedo Fonte Autor 2020 Da mesma forma que o cubo o volume do paralelepípedo retangular é dado pela fórmula Volume Par Ret comprimento x largura x altura No caso da figura acima o volume é V A x B x C Observe que um cubo é um paralelepípedo retangular com as medidas de comprimento largura e altura as arestas do cubo iguais Figura 33 Cubo de aresta a Fonte Autor 2020 O volume do cubo acima é V A x A x A A³ unidade 4 113 112 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Prisma Um prisma é um sólido que tem bases paralelas que são iguais e cujas faces são paralelogramos Um prisma reto é aquele que cujas arestas laterais são perpendiculares em relação a base e suas faces são retângulos Um prisma oblíquo é aquele que tem arestas laterais inclinadas em relação a sua base e suas faces são paralelogramos Observe a figura abaixo Figura 34 Prisma reto e prisma oblíquo Fonte Toda Matéria 20201 Dependendo da forma da base do prisma é feita a classificação desse sólido Se a base for triangular chamamos de prisma triangular se a base for um quadrado temos um prisma quadrangular se a base for um polígono de 5 lados então temos um prisma pentagonal se a base for um hexágono um polígono de 6 lados temos um prisma hexagonal e assim por diante Figura 35 Alguns tipos de prisma Fonte Toda Matéria 20202 Para qualquer tipo de prisma seu volume é dado pela fórmula Volume Prisma área da base x altura 1 Fonte httpswwwtodamateriacombrprisma adaptado Acesso em 15 jan 2020 2 Fonte httpswwwtodamateriacombrprisma adaptado Acesso em 15 jan 2020 114 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Cilindro circular reto O cilindro circular reto é uma forma geométrica comumente encontrada em pistões de motores copos etc r h Figura 36 Cilindro circular reto Fonte Autor 2020 Da mesma forma que no prisma o volume do cilindro circular reto é Volume Cilindro Área da base x Altura Como a base do cilindro é um círculo cuja área é π x r² então o volume do cilindro fica Volume Cilindro π x r² x h Cone Figura 7 T T h h O r O r Figura 9 Figura 10 Figura 11 Figura 37 Cone reto e cone oblíquo Fonte Autor 2020 Na figura acima o cone da esquerda é chamado de cone reto e o cone da direita é chamado de cone oblíquo ambos com base circular e com raio r unidade 4 115 114 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 O cone tem volume igual a do volume do cilindro Portanto o volume do cone é V cone Esfera Geometria Espacial Figura 1 Figura 2 Figura 3 r Figura 4 Figura 5 Figura 6 1 1 1 a b c a a a Figura 7 T T h h O r O r Figura 9 Figura 10 Figura 11 Figura 38 Esferas Fonte Autor 2020 O sólido geométrico esfera pode ser associado a objetos como esferas de aço encontradas em rolamentos ou a bolas de basquete dentre outros Denotando o raio r como sendo a distancia de qualquer ponto da superfície da esfera ao centro o seu volume é V esfera π r³ EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ENEM 2009 questão 157 caderno azul Uma empresa que fabrica esferas de aço de 6 cm de raio utiliza caixas de madeira na forma de um cubo para transportá las Sabendo que a capacidade da caixa é de 13824 cm³ então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a 116 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 A 4 B 8 C 16 D 24 E 32 Resolução A questão que se coloca é determinar quantas esferas de raio igual a 6cm cabem numa caixa cubica com volume de 13824cm³ Dizer que a caixa é cúbica significa que suas arestas tem a mesma medida que chamaremos de a conforme ilustra a figura Figura 39 Caixa cúbica de aresta a Fonte Autor 2020 Como foi dado o volume da caixa cúbica para determinar o valor da aresta a resolvemos a equação lembre que V cubo A x A x A A³ V 13824cm³ a³ 13824cm³ a a 24cm Como o cubo é um sólido tridimensional podemos pensar em dividilo em dois andares cada um deles com dimensões 24cm x 24cm x 12cm largura x comprimento x altura Assim no andar de baixo é possível colocar 4 esferas e no andar de cima mais 4 esferas pois se a esfera tem raio igual a 6cm o diâmetro dessa esfera é 12cm Observe a figura unidade 4 117 116 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Figura 40 Esquema das esferas acomodadas na caixa cúbica Fonte Autor 2020 Portanto podem ser transportadas no máximo 8 esferas na caixa cúbica de volume 13824cm³ Resposta correta alternativa B ENEM 2010 questão 157 caderno azul Para construir uma manilha de esgoto um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura de espessura desprezível foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto contendo 20 cm de espessura Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R 1000 e tomando 31 como valor aproximado de π então o preço dessa manilha é igual a A R23040 B R12400 C R10416 D R5456 E R4960 Resolução De acordo com o enunciado um cilindro de diâmetro 2m e altura 4m vai ser envolvido por uma capa de concreto de espessura igual a 20cm para a construção de uma manilha O que se pede é determinar o custo para envolver esse cilindro com a capa de concreto especificada sabendo que o custo do m³ do concreto é R1000 118 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Considerando o cilindro envolto com a capa de concreto o que se tem é um cilindro de raio igual a 12m o raio do cilindro sem a capa é 1m e a capa de concreto deve ter 20cm que é o mesmo que 02m e altura igual a 4m Figura 41 Ilustração do cilindro com a capa de concreto Fonte Autor 2020 Admitindo este cilindro maciço seu volume é V π x R² x h V 31 x 12² x 4 V 17856 m³ Devemos descontar desse volume o volume do cilindro interno o cilindro original que recebe a capa de concreto Figura 42 Ilustração do cilindro sem a capa de concreto Fonte Autor 2020 V π x R² x h V 31 x 1² x 4 V 124 m³ O volume Vm da manilha a capa de concreto é a diferença entre estes dois volumes Vm 17856 124 Vm 5456 m³ unidade 4 119 118 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Como cada m³ custa R1000 o custo desta manilha será de C 10 5456 C R 5456 Resposta correta alternativa D ENEM 2013 questão 170 caderno azul Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida fl oz que equivale a aproximadamente 295 centilitros cL Sabese que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL Assim a medida do volume da lata de refrigerante de 355 mL em onça fluida fl oz é mais próxima de A 083 B 120 C 1203 D 10473 E 12034 Resolução Sabendo que no Brasil a lata de refrigerante usual tem capacidade de 355mL o que se pede é a equivalência dessa unidade de volume em onça fluida fl oz Note que foi dado no enunciado que 1 onça fluida fl oz equivale a aproximadamente 295 centilitros cL Desse modo vamos primeiro estabelecer a equivalência entre mL a unidade dada para a lata de refrigerante e centilitros cL pois centilitros é a referência que temos para fazer a equivalência em onça fluida fl oz 120 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Como 1mL é a milésima parte do litro ou seja 1L dividido por 1000 e que 1 cL é a centésima parte do litro ou seja 1L dividido por 100 a equivalência entre mL e cL pode ser obtida pela regra de três simples 1mL x mL x 10mL Assim 1cL é o mesmo que 10mL e o volume da lata de refrigerante em cL é obtido pela regra de três 1cL 10mL x cL355mL x 355cL O volume da lata de refrigerante de 355 mL equivale a 355cL Para determinar a unidade de volume em fl oz basta fazer a divisão por 295 dado que 1 fl oz equivale a aproximadamente 295 cL V 1203 fl oz Resposta correta alternativa C ENEM 2014 questão 177 caderno azul Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam como indicado na figura A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo unidade 4 121 120 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 Figura 43 Ilustração de depósito para leite Fonte Autor 2020 Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito A 8 B 10 C 16 D 18 E 24 Resolução Dado que a aresta do cubo de baixo é o dobro da aresta do cubo de cima desse reservatório de leite podemos esquematizar as medidas do reservatório como segue Figura 44 Esquematização do reservatório de leite com medidas Fonte Autor 2020 122 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 O volume total do reservatório pode ser obtido como V do cubo maior 2a³ 8a³ V do cubo menor a³ a³ V total 8a³ a³ 9a³ Se foram necessários 8 minutos para encher a metade do volume maior em 8 minutos a torneira encheu o volume de 4a³ portanto falta encher 9a³ 4a³ 5a³ O tempo total para encher o restante do reservatório é obtido pela regra de três 8 4a³ x 5a³ x simplificar a³ com a³ x 10 minutos Resposta correta alternativa B ENEM 2015 questão 148 caderno azul Uma carga de 100 contêineres idênticos ao modelo apresentado na Figura 1 deverá ser descarregada no porto de uma cidade Para isso uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres Figura 2 unidade 4 123 122 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 De acordo com as normas desse porto os contêineres deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a área delimitada Após o empilhamento total da carga e atendendo à norma do porto a altura mínima a ser atingida por essa pilha de contêineres é A 125 m B 175 m C 250 m D 225 m E 325 m Resolução A situação colocada no enunciado é que devem ser empilhados 100 contêineres com medidas 25 m x 25 m x 64 m comprimento x altura x largura em um terreno com medidas 10 m x 32 m comprimento x largura O que se pede é determinar a altura mínima desse empilhamento sem sobrar espaço entre os contêineres e também sem exceder a área desse terreno Note que considerando a medida 10m do terreno e dividir pela medida 25m do contêiner é possível colocar 4 contêineres no alinhamento do terreno de 10 m O lado do terreno que mede 32m dividido pela medida 64m do contêiner resulta em 5 e assim é possível colocar 5 contêineres no alinhamento do terreno com 32m Figura 45 Esquematização dos contêineres no terreno Fonte Autor 2020 124 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Portanto no terreno cabem 5 x 4 20 contêineres com altura de 25m Isto quer dizer que uma camada de 20 contêineres tem 25m de altura e para empilhar 100 contêineres vamos precisar de 5 camadas de contêineres A altura deste empilhamento será 5 x 25 125 m Resposta correta alternativa A ENEM 2015 questão 171 caderno azul O índice pluviométrico é utilizado para mensurar a precipitação da água da chuva em milímetros em determinado período de tempo Seu cálculo é feito de acordo com o nível de água da chuva acumulada em 1 m² ou seja se o índice for de 10mm significa que a altura do nível de água acumulada em um tanque aberto em formato de um cubo com 1 m² de área de base é de 10 mm Em uma região após um forte temporal verificouse que a quantidade de chuva acumulada em uma lata de formato cilíndrico com raio de 300 mm e altura de 1200 mm era de um terço da sua capacidade Utilize 30 como aproximação para π O índice pluviométrico da região durante o período do temporal em milímetros é de A 18 B 120 C 324 D 1080 E 3240 Resolução unidade 4 125 124 unidade 4 Geometria Plana Unidade 4 A referência utilizada para se determinar o índice pluviométrico da chuva é que quando por exemplo se fala que o índice pluviométrico foi de 10 mm significa que houve acúmulo de 10 mm de água de 10 mm em um cubo medindo 1 m x 1 m x 1 m ou seja em um cubo com arestas medindo 1000mm conforme ilustra a figura Figura 46 Ilustração índice pluviométrico de 10mm Fonte Autor 2020 Dito de outra forma se o índice pluviométrico é de 10 mm isto significa que houve um acúmulo de 1000 x 1000 x 10 10000000mm³ de água A questão que se coloca é determinar o índice pluviométrico equivalente ao acúmulo de água em do volume de uma lata cilíndrica de raio igual a 300 mm e altura igual a 1200 mm Figura 47 Ilustração acúmulo de água na lata cilíndrica Fonte Autor 2020 Lembre que o volume do cilindro π r² h Portando o volume de água acumulada é VH₂O π r² h 3 330² 1200 108000000 mm³ 126 unidade 4 Matemática para a Vida Cotidiana Unidade 4 Comparando esse volume com a unidade de referência que temos aqui 10mm 10000000 mm³ x mm 108000000 mm³ x 108 mm Resposta correta alternativa D REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CASTRUCCI BENEDITO FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ESTUDO AXIOMATICO DO PLANO EUCLIDIANO RIO DE JANEIRO LTR 1978 185p DANTE LUIS ROBERTO MATEMATICA VOLUME UNICO SAO PAULO ATICA 2010 504 ilus ISBN 9788508098026 DOLCE OSVALDO POMPEO JOSE NICOLAU FUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR GEOMETRIA ESPACIAL POSICAO E METRICA 5ed SAO PAULO ATUAL 1993 440P ILUS ISBN 85 7054112 IEZZI GELSON FUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR GEOMETRIA ANALITICA 4ed SAO PAULO ATUAL 1993 271P ILUS ISBN 857056046X LEONARDO FABIO MARTINS DE SILVA WILLIAN RAPHAEL CONEXÕES COM A MATEMÁTICA VOLUME ÚNICO 2ed SAO PAULO MODERNA 2017 ISBN 978851610731 4 httpportalinepgovbr