Lista de Exercicios Resolvidos Matematica Aplicada Limites UFR Ciencia Contabeis

Lista de Exercícios Matemática Aplicada Profa Maria Amélia R Da Costa UFR Ciência Contábeis 1 2 2 3 LIMITES Lista 1 1 Encontre o valor do limite lim x2 2x 1 x 2 i lim lim y 3 y 1 2 y 2 3y 4 x 2 c lim t 2 5 j lim y 3 t 2 2t 3 6 d lim 2x 1 k lim x 1 x 2 y 3 3x 4 8 t 3 2 e lim y 2 y 2 l lim x 0 x f lim s 3 1 m lim s 1 s 1 x 2 g lim 5x 6 t 0 t n lim x 3 x h lim x 12 h 0 o lim h x3 x 2 x 10 r 1 x 2 p lim x 2 3x 2x3 5x 2 2 2x 3 x 3 4x3 13x 2 4x 3 2 Calcule os seguintes limites lim x x 2 h lim x 2 2x lim 2x 2 x 1 x 2 x 1 3x 1 lim x3 x 2 lim4x 2 x 3 2x 1 limx3 x 2 x 2 310 lim 2x x 1 lim2x3 3x 2 x 1 x 3 limx x 1 25 lim x6 lim3x 2 2x 1 x3 x 2 x 1 d x 1 lim x 2 x l x 1 lim x 1 s lim x 3 x 1 x 2 x e x 3 m x 2 x 2 t lim x 0 x x 2 x 1 2 8r 1 r 3 b i p c j r a b a p Lista de Exercícios Matemática Aplicada Profa Maria Amélia R Da Costa UFR Ciência Contábeis 2 f lim x 1 n lim4x3 2x 2 x 2 u lim 3 x 3 x 2 x 0 x 1 2x 1 lim3x x 2 x 2 limx 4 x 1 x3 x 2 x 1 v lim x 1 3x 2 2 x 1 x lim x3 2x 2 3x 2 x 0 2x3 x 2 2x 4 g o Lista de Exercícios Matemática Aplicada Profa Maria Amélia R Da Costa UFR Ciência Contábeis 3 3 2 2 2 5 2 2 3 Calcule os seguintes limites indeterminados a lim x2 9 e lim x i lim x2 7x 12 x 3 x 3 x 0 2x2 x x 4 x 4 b lim 49 x f lim 49 14x x j lim x 1 2 x 7 7 x x 7 7 x x 1 x 3x 2 c lim 5 x 2 g lim x 2 6x 9 l lim x2 2x 1 x 5 25 x x 3 x 3 x 1 x 1 x2 x d lim 2 h lim x2 4x 3 m lim x 2 2 x 0 x 3x x 1 x 1 x 2 x 4 4 Calcule os seguintes limites lim x x 4 lim8x x 1 x 2 lim4x 3 x 1 2x 2 x 2 lim x 3 x 4 h lim 5x x limx 4 x 0 x 3 x 2 x 1 lim x 3 x 4 x 2 x lim x 2 x 3 3 2x 15 lim 2x 2 x 3 x 2 lim 3x8 x 1 lim2x 3 x 1 3x 2 7x 3 limx 3 x 1 x 2 37 e lim x 5 x 2 3x lim4x 3 x 1 x 2 4x 2 1 limx 2 1 4 x 2 lim 3x 2 x 3 2x 2 3x 7x8 x 7 f x 2 x 2 m lim x 3 x 2 8 s lim x 0 2x 3 5x 2 x 6 5 Calcule os seguintes limites indeterminados a lim x 2 16 e lim x i lim x 2 13x 42 x 4 x 4 x 0 5x 2 3x x 6 x 6 b lim 64 x f lim 16 8x x j lim x 4 2 x 8 8 x x 4 4 x x 4 x 7x 12 n p l r a g b o c i d j q Lista de Exercícios Matemática Aplicada Profa Maria Amélia R Da Costa UFR Ciência Contábeis 4 c lim 9 x 2 g lim x 2 20x 100 l lim x 2 8x 7 x 9 81 x x 10 x 10 x 1 x 1 d lim 3x 2 x h lim x 2 9x 20 m lim x 11 x 11 2 x 0 x 7x x 5 x 5 x 121 2 Lista de Exercícios Matemática Aplicada Profa Maria Amélia R Da Costa UFR Ciência Contábeis 5 6 Calcule os limites laterais q a r b s c lim x 6 lim x 6 lim 4 x 6 4 x 6 3 x 1 1 x t d lim 3 x 1 1 x u e lim x 5 x 0 x v f lim x 5 w g x h x 0 lim x 1 lim x 1 x x 2 x 1 x 2 x 1 y i lim 1 x 0 x2 z j lim 1 x 0 x2 UFR MATEMÁTICA APLICADA CIÊNCIAS CONTÁBEIS PROFA AMÉLIA COSTA Lista 02 de Exercícios Progressões Aritméticas Funções e limites 01 Obtenha o valor de x de modo que x 2x 1 5x 7 seja uma PA 02 Obtenha o valor de a de modo que a2 a 12 a 52 seja uma PA 03 Calcule o 17º termo da PA cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5 04 Obtenha a razão da PA em que o primeiro termo é 8 e o vigésimo é 30 05 Obtenha a razão da PA em que a2 9 e a14 45 06 Obtenha o primeiro termo da PA de razão 4 cujo 23º termo é 86 07 Qual é o termo igual a 60 na PA em que o 2º termo é 24 e a razão é 2 08 Obtenha a PA em que a10 7 e a12 8 09 Obtenha o valor de a PA em que se verificam as relações a12 a21 302 e a23 a46 446 10 Qual é o primeiro termo negativo da PA 60 53 46 11 Dada a função fx 2x 3 determine f1 12 dada a função fx 4x 5 determine fx 7 13 Escreva a função afim fx ax b sabendo que a f1 5 e f3 7 b f1 7 e f2 1 c f1 5 e f2 4 14Dada a função afim fx 2x 3 determine a f1 b f0 3 c f 1 15Dada a função afim fx 2x 3 determine os valores de x para que c fx 1 d fx 0 e fx 3 1 16Dados fx x 1 e gx 5x 6 determine as funções compostas abaixo a fgx bgfx cffx dggx 17 Calcule os limites a 0 0 lim x y 2 5 3 2 2 2 2 y x y x b 0 4 lim x y y x c 3 4 lim x y 1 2 2 y x d 2 3 2 1 1 lim y x x y i 0 0 lim x y x e x x sen j 3 11 1 cos lim xy x y k 1 0 lim x y 1 sen 2 x y x l 0 2 lim x y x y y sen 1 cos UFR MATEMÁTICA APLICADA CIÊNCIAS CONTÁBEIS PROFA AMÉLIA COSTA e 4 0 lim y x sec x tg y f 0 0 lim x y cos 1 3 2 y x y x g 0 0 lim x y e y x h 11 lim x y ln 2 2 1 x y m 1 2 lim x y e 1 xy ey n 0 0 lim x y x 2 2 x y o 1 2 lim x y 3x 2 2 2 2 xy xy y p 0 0 lim x y xy 1 senx seny q 1 2 lim x y sen 2 cos2 2 y y 18Limites de quociente a 11 lim x y y x y xy x 2 2 2 x y b 11 lim x y y x y x 2 2 x y c 11 lim x y 1 2 2 x x y xy x 1 d 4 2 lim x y x x xy y x y 4 4 4 2 2 x 2 4 x x e 0 0 lim x y y x y x y x 2 2 x y m 2 0 lim x y 4 2 2 2 y x y x 2 xy 4 f 1 1 lim x y y x y xy x 2 2 2 x y g 2 2 lim x y 2 4 y x y x xy 4 h 12 lim x y xy y x x xy 4 8 5 2 2 2 i 10 lim x y 2 2 2 2 3 3 y x xy x j 11 lim x y 2 2 2 y x xy x k 1 2 lim x y 4 2 1 ln xy xy l 0 0 lim x y y x sen 1 n 2 2 lim x y 2 2 2 3 y x x y x Matemática Aplicada Arquivo 1 MARIA 1 2x 1 x 5x 7 2x 1 2x 1 x 5x 7 2x 1 x 1 3x 6 1 2x 6 5 2x x 5 2 Portanto o valor de x que faz com que x 2x 1 5x 7 seja uma PA é x 52 2 a 12 a2 a 52 a 12 a2 2a 1 a2 a2 10a 25 a2 2a 1 2a 1 10a 25 2a 1 2a 1 8a 24 6a 1 24 6a 23 a 23 6 Portanto o valor de a que faz com que a2 a 12 a 52 seja uma PA é a 236 3 Fórmula geral da PA an a1 n 1 r Onde an é o termo que desejamos encontrar n17 neste caso a1 é o primeiro termo da PA 3 r é a razão da PA 5 Agora podemos substituir os valores na fórmula a17 3 17 1 5 a17 3 16 5 a17 3 80 a17 83 Portanto o 17º termo da PA com o primeiro termo 3 e razão 5 é igual a 83 4 a20 a1 20 1 r 30 8 20 1 r 30 8 19r Agora isole o termo 19r na equação 19r 30 8 19r 38 r 38 19 r 2 Portanto a razão da PA é igual a 2 5 Para encontrar a razão r de uma Progressão Aritmética PA sabendo o segundo termo a2 e o décimo quarto termo a14 podemos usar as seguintes equações a2 a1 r a14 a1 13r a2 a1 r 9 a1 r a14 a1 13r 45 a1 13r Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas a1 e r 9 a1 r 45 a1 13r 45 9 13r r 36 12r 12r 36 r 36 12 r 3 Portanto a razão r da PA é igual a 3 6 a23 a1 23 1 r a23 86 r 4 86 a1 23 1 4 86 a1 22 4 86 a1 88 a1 86 88 a1 2 Portanto o primeiro termo a1 da PA com razão 4 e com o 23º termo igual a 86 é 2 7 an a1 n 1 r a2 a1 2 1 2 24 a1 2 2 24 a1 4 a1 24 4 a1 20 an a1 n 1 r 60 20 n 1 2 60 20 n 1 2 60 20 n 1 2 40 n 1 2 40 2 n 1 20 n 1 20 1 n n 21 Portanto o termo igual a 60 na PA dada é o 21º termo 8 an a1 n 1 r Usaremos a10 7 para encontrar a relação entre a10 a1 e r 7 a1 10 1 r 7 a1 9r Agora usaremos a12 8 para encontrar outra relação 8 a1 12 1 r 8 a1 11r Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas a1 e r 7 a1 9r 8 a1 11r Podemos resolver esse sistema subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar a1 7 8 a1 9r a1 11r 15 2r r 15 2 r 15 2 r 75 Agora 7 a1 9r 7 a1 9 75 7 a1 675 Subtraindo 675 de ambos os lados encontramos a1 a1 7 675 a1 605 Portanto a Progressão Aritmética PA em que a10 é igual a 7 e a12 é igual a 8 é definida por a1 605 r 75 Os primeiros termos da PA serão a1 605 a2 a1 r 605 75 53 a3 a2 r 53 75 455 E assim por diante 9 A fórmula geral da PA é an a1 n 1 r Primeiro usando a12 a21 302 a12 a21 302 a1 11r a1 20r 302 2a1 31r 302 Agora usando a23 a46 446 a23 a46 446 a1 22r a1 45r 446 2a1 67r 446 Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas a e r 1 2a1 31r 302 2 2a1 67r 446 Subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a1 2a1 67r 2a1 31r 446 302 36r 144 r 144 36 r 4 podemos usar a primeira equação 2a1 31r 302 para encontrar o valor de a1 2a1 31r 302 2a1 31 4 302 2a1 124 302 2a1 302 124 2a1 178 a1 178 2 a1 89 Portanto o valor de a é igual a 89 na Progressão Aritmética PA dada 10 A razão é 7 a9 60 9 1 7 a9 60 8 7 a9 60 56 a9 4 a10 60 63 3 11 Para a função fx 2x 3 determine f1 f1 2 1 3 f1 2 3 f1 1 Portanto f1 1 12 Para a função fx 4x 5 determine fx 7 Para encontrar o valor de x quando fx 7 podemos igualar a expressão a 7 e resolver para x 4x 5 7 4x 7 5 4x 2 x 2 4 x 12 Portanto para fx 7 x é igual a 12 13 a f1 5 e f3 7 1 f1 a1 b 5 2 f3 a3 b 7 Temos o seguinte sistema de equações 1 a b 5 2 3a b 7 Vamos resolver esse sistema Subtrair a Equação 2 da Equação 1 a b 3a b 5 7 a b 3a b 5 7 4a 12 Dividindo ambos os lados por 4 a 12 4 a 3 Agora que temos o valor de a podemos usar a Equação 1 para encontrar b a b 5 3 b 5 Subtraindo 3 de ambos os lados b 5 3 b 2 Portanto a função afim correspondente é fx 3x 2 b f1 7 e f2 1 1 f1 a1 b 7 2 f2 a2 b 1 Temos o seguinte sistema de equações 1 a b 7 2 2a b 1 Vamos resolver esse sistema Adicionando as duas equações a b 2a b 7 1 a 2a b b 8 Aqui a 2a a e b b 2b a 2b 8 Agora isole a a 8 2b Agora substitua a em uma das equações originais por exemplo na Equação 1 a b 7 8 2b b 7 Agora simplifique a equação 8 2b b 7 Combine os termos 3b 8 7 Agora adicione 8 a ambos os lados 3b 7 8 3b 15 Divida ambos os lados por 3 para encontrar b b 15 3 b 5 Agora que temos o valor de b podemos encontrar a usando a expressão a 8 2b a 8 25 a 8 10 a 2 Portanto a função afim correspondente é fx 2x 5 c f1 5 e f2 4 1 f1 a1 b 5 2 f2 a2 b 4 Temos o seguinte sistema de equações 1 a b 5 2 2a b 4 Vamos resolver esse sistema Subtrair a Equação 2 da Equação 1 a b 2a b 5 4 a b 2a b 5 4 3a 9 a 9 3 a 3 Agora que temos o valor de a podemos usar a Equação 1 para encontrar b a b 5 3 b 5 b 5 3 b 2 Portanto a função afim correspondente é fx 3x 2 14 a Para encontrar f1 simplesmente substitua x por 1 na expressão da função f1 21 3 f1 2 3 f1 1 Portanto f1 1 b Para encontrar f0 substitua x por 0 na expressão da função f0 20 3 f0 0 3 f0 3 Portanto f0 3 c Para encontrar f13 substitua x por 13 na expressão da função f13 213 3 Aqui podemos simplificar a expressão antes de calcular f13 23 3 Agora encontre um denominador comum f13 23 93 Agora some os termos f13 2 93 f13 73 Portanto f13 73 15 a Para encontrar f1 simplesmente substitua x por 1 na expressão da função f1 21 3 f1 2 3 f1 5 Portanto f1 5 b Para encontrar f0 substitua x por 0 na expressão da função f0 20 3 f0 0 3 f0 3 Portanto f0 3 c Para encontrar f13 substitua x por 13 na expressão da função f13 213 3 Aqui podemos simplificar a expressão antes de calcular f13 23 3 Agora encontre um denominador comum f13 23 93 Agora some os termos f13 2 93 f13 113 Portanto f13 113 16 a fgx fgx significa que você deve aplicar a função gx primeiro e em seguida aplicar a função fx ao resultado fgx f5x 6 Agora substitua fx por x 1 em f5x 6 f5x 6 5x 6 1 Simplificando fgx 5x 7 b gfx gfx significa que você deve aplicar a função fx primeiro e em seguida aplicar a função gx ao resultado gfx gx 1 Agora substitua gx por 5x 6 em gx 1 gx 1 5x 1 6 Agora distribua o 5 na expressão gfx 5x 5 6 Simplificando gfx 5x 11 c ffx ffx significa que você deve aplicar a função fx duas vezes consecutivas ffx fx 1 Agora substitua fx por x 1 em fx 1 fx 1 x 1 1 Simplificando ffx x 2 d ggx ggx significa que você deve aplicar a função gx duas vezes consecutivas ggx g5x 6 Agora substitua gx por 5x 6 em g5x 6 g5x 6 55x 6 6 Agora distribua o 5 na expressão ggx 25x 30 6 Simplificando ggx 25x 36 Portanto as funções compostas são a fgx 5x 7 b gfx 5x 11 c ffx x 2 d ggx 25x 36 17 ARQUIVO 2 LISTA 1 1 a Substituição 22 22 1 7 b Substituição 13 212 314 10 c Substituição 2 25 22 36 122 d Substituição 211 1 2314 18 e Substituindo e fatorando lim 𝑦2𝑦 22𝑦4 𝑦2 2 2 2 2 4 12 f 1 verificando os limites pro numerador e denominar Isso vai dar zerozero então é necessário fatorar 2 lim s1 𝑠1𝑠 2𝑠1 𝑠1 1 2 1 1 3 g mesmo processo do f lim x3 𝑥𝑥32𝑥3 𝑥𝑥34𝑥3 32 34 1 7 h 8 1 1 13 32 i 2 2324 2 31 14 3 j Você faz a raiz do limite Ou seja primeiro calcula o limite relacionado à fração por substituição Aí você coloca a raiz 6 5 6 5 k Você faz a raiz do limite Ou seja primeiro calcula o limite relacionado à fração por substituição 92 Aí você coloca a raiz 9 2 ILUSTRAÇÃO l ILUSTRAÇÃO limx 0 sqrtx2 sqrt2 x Evaluate the limits limx 0 sqrtx 2 limx 0 x Evaluate 0 0 Try transforming the expression limx 0 sqrtx 2 sqrt2 x Expand the expression limx 0 sqrtx 2 sqrt2 x sqrtx 2 sqrt2 sqrtx 2 sqrt2 Multiply the fractions limx 0 sqrtx 2 sqrt2 sqrtx 2 sqrt2 x sqrtx 2 sqrt2 Simplify the product limx 0 x 2 2 x sqrtx 2 sqrt2 Remove the opposites limx 0 x x sqrtx 2 sqrt2 Reduce the fraction limx 0 1 sqrtx 2 sqrt2 Evaluate 1 sqrt0 2 sqrt2 Simplify Solution sqrt2 4 limt 0 2 sqrt4 t t Evaluate the limits limt 0 2 sqrt4 t limt 0 t Evaluate 0 0 Try transforming the expression limt 0 2 sqrt4 t t Expand the expression limt 0 2 sqrt4 t t 2 sqrt4 t 2 sqrt4 t Multiply the fractions limt 0 2 sqrt4 t 2 sqrt4 t t 2 sqrt4 t Simplify the product limt 0 4 4 t t 2 sqrt4 t Remove the opposites limt 0 t t 2 sqrt4 t Reduce the fraction limt 0 1 2 sqrt4 t Evaluate 1 2 sqrt4 0 Simplify Solution 1 4 limh 0 cuberooth 1 1 h Expand the expression limh 0 cuberooth 1 1 h cuberooth 12 cuberooth 1 1 cuberooth 12 cuberooth 1 1 Multiply the fractions limh 0 cuberooth 13 1 h cuberooth 12 cuberooth 1 1 Simplify the product limh 0 h 1 1 h cuberooth 12 cuberooth 1 1 Remove the opposites limh 0 1 cuberooth 12 cuberooth 1 1 Evaluate 1 cuberoot0 12 cuberoot0 1 1 Simplify Solution 1 3 limx 2 x3 x2 x 10 x2 3x 2 Rewrite the expression limx 2 x3 2x2 3x2 6x 5x 10 x2 2x x 2 Factor the expressions limx 2 x2 x 2 3x x 2 5 x 2 x x 2 x 2 Factor the expressions limx 2 x 2 x2 3x 5 x 2 x 1 Reduce the fraction limx 2 x2 3x 5 x 1 Evaluate 22 3 2 5 2 1 Simplify Solution 15 limx 3 2x3 5x2 2x 3 4x3 13x2 4x 3 Rewrite the expression limx 3 2x3 6x2 x2 3x x 3 4x3 12x2 x2 3x x 3 Rewrite limx 3 2x2 x 3 x x 3 1x 3 4x2 x 3 x x 3 1 x 3 Factor the expressions limx 3 x 3 2x2 x 1 x 3 4x2 x 1 Reduce the fraction limx 3 2x2 x 1 4x2 x 1 Evaluate 2x3 3 1 4x3 3 1 Simplify Solution 11 17