Matemática para Contabilidade

ESTUDO DIRIGIDO 5 MATEMÁTICA PARA CONTABILIDADE PROF PAULO BONFIM INFLEXÕES CRITÉRIOS DAS DERIVADAS MÁXIMOS E MÍNIMOS FUNÇÕES MARGINAIS 1 Para a função fx 2x³15x² 84x 13 a Encontre a primeira derivada fx b Encontre a segunda derivada fx Derivada da Derivada c Encontre as raízes se possível da fx d Analise os sinais da fx e Encontre a raiz da fx f Analise os sinais da fx g Determine as inflexões de fx usando o critério da segunda derivada h Esboce o gráfico da função fx com todas as informações anteriores i Encontro os máximos ou mínimos locais 2 Para a função fx x³ 9x² 15x 5 a Encontre a primeira derivada fx b Encontre a segunda derivada fx Derivada da Derivada c Encontre as raízes se possível da fx d Analise os sinais da fx e Encontre a raiz da fx f Analise os sinais da fx g Determine as inflexões de fx usando o critério da segunda derivada h Esboce o gráfico da função fx com todas as informações anteriores i Encontro os máximos ou mínimos locais 3 Em uma fábrica de ventiladores a receita na venda de um tipo de ventilador é dada por Rq 2q² 800q onde 0 q 400 Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dado por Cq 200q 25000 a Obtenha a função Lucro b Obtenha a função Lucro Marginal c Obtenha o lucro marginal aos níveis q 100 e q 200 interpretando os resultados d Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo a partir das derivadas do lucro e Obtenha o valor do lucro máximo 4 Em uma fábrica de automóveis a função receita por automóvel é dada por Rq q³3 750q² 80000q E a função custo é por Cq 500q² 20000q 3000 a Obtenha a função Lucro b Obtenha a função Lucro Marginal c Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo a partir das derivadas do lucro d Obtenha o valor do lucro máximo 4 Uma função de Custo é modelada pela expressão Cq 45q² 8100q 700000 A Calcule o Δ b² 4ac B A função Cq possui raízes reais ou não Justifique C Calcule sua função marginal Cq D Calcule os valores de Cq em q 89 q 90 e q 91 E Calcule o valor de q onde Cq é mínimo F Determine os valores de Cq onde Cq0 e Cq 0 G Esboce o gráfico das funções Cq e Cq ESTUDO DIRIGIDO 4 MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO PROF PAULO BONFIM DERIVADAS ESPECIAIS REGRA DA CADEIA E FUNÇÕES MARGINAIS Derivadas especiais e regra da cadeia i eˣ eˣ Esse número e é especial A função é caracterizada com a Base Neperiana e Possui um valor aproximado de e 2718 É o número que produz a igualdade entre a função exponencial neperiana e sua derivada ii ln x 1x O logaritmo em questão possui a base neperiana e iii Para funções compostas a uma variável é necessário o uso da regra da cadeia para se tomar uma derivada gfx gf fx dgdf dfdx Exemplo Calcule hx com hx eˣ² Aqui chamamos ux x² logo hux eᵘˣ então hx huux ou hx eˣ² 2x 2x eˣ² 1 Use a regra da cadeia para calcular as funções derivadas a seguir a Ix eˣ²3x logo Ix b Jx e⁸ˣ logo jx c vx x³ 4x logo vx d mx ln5x 7 logo mx e nx x⁴ 4x³⁶ logo nx f px eˣ ln x logo px g qx lnx⁵ 9x⁴ logo qx 2 Para todas os itens do exercício anterior calcule os valores das funções derivadas nos pontos x1 x2 e x3 Será necessário o uso de calculadora e o valor deve ser aproximado de apenas 2 casas decimais depois da vírgula As FUNÇÕES MARGINAIS geralmente são definidas a partir do acréscimo de 1 produto ou serviço a mais no argumento da função normal em algum ponto Lq Lq 1 Lq porém para valores muito grandes de q este acréscimo unitário equivale a própria derivada no ponto q Podemos definir as FUNÇÕES MARGINAIS A função marginal Lq é função derivada da função LUCRO A função marginal Cq é função derivada da função CUSTO A função marginal Rq é função derivada da função RECEITA Sabemos que Lq Rq Cq 3 Considere a função custo Cx x³1000 3x a Calcule o aumento de custo de uma unidade a mais de produção ao nível de produção q 200 Ou seja calcule C201 C200 b Calcule a função marginal Cx c Calcule o valor da função marginal no ponto x 200 d Faça a subtração dos valores encontrados em a e c Comente 1 a fx2x³15x²84x13 fx6x²30x84 b fx12x30 c fx6x²30x84 por 6 a equação x²5x140 a1 b5 c14 x5254114 2 59 2 x₁7 x₂2 d Intervalo 2 x3 f360 0 crescente Intervalo 27 x0 f084 0 Decrescente Intervalo 7 x8 f860 0 crescente e fx12x30 12x300 x30 12 25 f Intervalo 25 x0 f030 0 côncava p baixo Intervalo 25 x3 f36 0 côncava p cima g fx12x300 x25 fx é côncava p baixo em 25 fx é côncava p cima em 25 Essa mudança de concavidade indica que 25 é um ponto de inflexão h i fx0 x2 e x7 f2105 máximo local f7624 mínimo local 2 a fxx³9x²15x5 fx3x²18x15 b fx6x18 c fx3x²18x150 x²6x50 a1 b6 c5 x636415 2 64 2 x₁5 x₂1 d Intervalo 1 x0 f015 0 crescente Intervalo 15 x3 f312 0 decrescente Intervalo 5 x6 f615 0 crescente e fx6x180 x3 f Intervalo 3 x0 f018 0 côncava p baixo Intervalo 3 x4 f46 0 côncava p cima g fx0 x3 fx é côncava para baixo em 3 fx é côncava para cima em 3 Essa mudança da concavidade em x3 indica que este é um ponto de inflexão h i fx 0 x 1 e x 5 f1 2 máximo local f5 30 mínimo local3 a Lq Rq Cq Lq 2q² 800q 200q 25000 Lq 2q² 600q 25000 b Lq 4q 600 c L100 4100 600 200 aumentar a produção ainda é lucrativo L200 4200 600 200 aumentar a produção reduz o lucro d Lq 0 4q 600 0 q 150 e L150 2150² 600150 25000 200004 a Lq Rq Cq Lq q³3 750q² 80000q 500q² 20000q 3000 Lq q³3 250q² 60000q 3000 b Lq q² 500q 60000 c Lq q² 500q 60000 0 a 1 b 500 c 60000 q 500 500² 4160000 2 q₁ 300 q₂ 200 d Lq q³3 60000q 3000 250q² L200 200³3 60000200 3000 250200² L300 466666667 lucro máx L300 300³3 250300² 60000300 3000 4503000 4 Cq 45q² 8100q 700000 a Δ b² 4ac a 45 b 8100 c 700000 Δ 8100² 445700000 Δ 6039000 b Δ 0 não possui raízes reais apenas complexas c Cq 90q 8100 d C89 4589² 810089 700000 335545 C90 4590² 810090 700000 335500 custo mínimo C91 4591² 810091 700000 335545 e Cq 90q 8100 0 90q 8100 q 90 f Cq 0 q 90 Para q 90 Cq 0 decrescendo Para q 90 Cq 0 crescendog graph with y and x axes 90 marked on x with annotations Cq and Cq showing flat lines and approximation fora de escala 1 a Mx x² 3x IMx eMx IM eM Ix IMMx Ix eM2x3 ex²3x2x3 b Mx 8x JMx eMx JM eM Jx JMMx Jx eM8 e8x8 c Mx x³ 4x RMx Mx RM M Rx RMMx Rx 12M3x² 4 12x³ 4x 3x² 4 d mx 5x 7 mux lnmx mu lnu mx 0u ux mx 1m 5 55x7 l mx x4 4x nmx mx6 nu u6 nx nu ux nx 6u54x3 4 nx 6 x4 4x5 4x3 4 f mx ex lnx pmx sqrtmx pu sqrtu px pu ux px 12sqrtu ex 1x px ex 1x2sqrtex lnx g mx x5 9x4 qmx lnmx qu lnu qx qu ux qx 1u 5x4 36x3 qx 5x4 36x3x5 9x4 2 a I1 27301 I2 15418529 I3 5909396601 b J1 2384768 J2 710888416 J3 223255455888 c n1 157 n2 2 n3 248 d m1 042 m2 029 m3 023 e n1 6 n2 1724406528 n3 43319085665 f p1 113 p2 182 p3 312 g q1 41 q2 209 q3 142 3 C200 20031000 3200 7400 a C201 20131000 3201 7517601 C201 C200 11760 b Cx 3x21000 3 c C200 117 d C201 C200 C200 060 A diferença entre o aumento do custo exato ao produzir uma unidade adicional e a função custo marginal calculada no ponto x 200 é 060 Isso ocorre porque a função marginal é uma aproximação da taxa de variação do custo para pequenas mudanças na quantidade