Métodos Quantitativos: Testes Paramétricos e Objetivos de Aprendizagem

MÉTODOS QUANTITATIVOS Profª Fabiana Lopes da Silva TESTES PARAMÉTRICOS 3 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Apresentar os testes paramétricos i teste de uma amostra para médias ii teste de uma amostra para proporções iii teste de duas amostras para média e iv teste de duas amostras para proporções 4 SUMÁRIO 1 Testes Unilateriais e Testes Bilaterais 2 Teste de Uma Amostra para Médias 3 Testes de Uma Amostra para Proporções 4 Testes de Duas Amostras para Médias 5 Testes de Duas Amostras para Proporções 5 1 TESTES UNILATERIAIS E TESTES BILATERAIS A Figura 1 apresenta as áreas de rejeição e não rejeição da hipótese nula sendo o nível de significância α de um teste a probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada quando verdadeira Figura 1 Áreas de rejeição e não rejeição da hipótese nula H0 Quando trabalhamos com os testes de hipótese a hipótese alternativa H1 pode i concentrar o teste em ambas as direções ii concentrar nos desvios abaixo do valor esperado ou iii concentrar nos desvios acima do valor esperado STEVENSON 2001 Os testes unilaterais ou unicaudais buscam verificar a existência de dois limites únicos e opostos em que o interesse é de analisar apenas um dos extremos BRUNI 2011 A Figura 2 apresenta o nível de confiança e de significância com H1 do tipo ou seja para uma hipótese alternativa definida através de uma suposição de diferença Figura 2 Nível de confiança e significância com H1 do tipo Agora podemos trabalhar também com situações em que a hipótese alternativa apresenta o parâmetro analisado de desigualdade por meio 6 de uma expressão de maioridade como pode ser vista na Figura 3 a seguir Figura 3 Nível de confiança e significância com H1 do tipo A Figura 3 apresenta uma situação em que o nível de confiança e o nível de significância com H1 são do tipo teste de cauda superior Agora podemos trabalhar também com situações em que a hipótese alternativa apresenta o parâmetro analisado de desigualdade por meio de uma expressão unilateral à esquerda como pode ser visto na Figura 4 a seguir Figura 4 Nível de confiança e significância com H1 do tipo A Figura 4 apresenta uma situação em que o nível de confiança e o nível de significância com H1 são do tipo ou seja teste de cauda inferior A Figura 5 apresenta três exemplos de hipótese alternativa 7 Figura 5 Exemplos A seguir apresentamos os testes de médias para uma amostra para médias proporção e teste com duas amostras médias e proporções 8 2 TESTE DE UMA AMOSTRA PARA MÉDIAS Segundo Bruni 2011 o teste de uma amostra para médias é característico de situações em que se procura testar alguma afirmação sobre o parâmetro média da população Assim a alegação é confrontada com dados de uma amostra extraída da população A partir do teste é possível saber se a informação extraída da amostra condiz com a alegação sobre a população Para ilustrar consideremos três hipóteses alternativas possíveis mas imagine que na prática estejamos interessados em apenas uma delas H1 μ10000 H1 μ10000 H1 μ10000 Após escolhido o nível de significância podemos coletar os dados amostrais e calcular a estatística teste com a seguinte fórmula Vale destacar que se o desvio padrão da população é conhecido a estatística teste será Onde X média da amostra μ média da população σ desvio padrão populacional n número de elementos da amostra Quando conhecemos o desvio padrão da população a distribuição amostral adequada será a distribuição normal Caso o desvio padrão da população seja desconhecido a estatística teste será dada pela formulação a seguir 9 Quando não se conhece o desvio padrão da população devese estimálo a partir dos dados amostrais usando o desvio padrão amostral Sx Nessa situação a distribuição tStudent é a distribuição amostral adequada Mas na prática normalmente se exige o uso da distribuição t quando o tamanho da amostra é igual ou inferior a 30 Para grandes amostras os valores de z e t são aproximadamente iguais podendose utilizar a distribuição z para aproximar a distribuição t STEVENSON 2001 p 235 Exemplo prático BRUNI 2011 Uma revista de negócios brasileira afirmou que o faturamento médio da indústria de uma determinada região seria igual a 82000000 Sabese que o desvio padrão do faturamento de todas as empresas da região é igual a 12000000 Um pesquisador independente analisou os dados de uma amostra formada por 19 empresas encontrando um faturamento médio igual a 78000000 Assumindo nível de significância igual a 5 seria possível concordar com a alegação Assim temos as seguintes hipóteses formuladas H0 μ82000000 H1 μ 82000000 Agora vamos calcular a estatística teste com base na seguinte formulação Aplicando a fórmula aos dados do exemplo temos o seguinte valor da estatística teste Z Agora devemos comparar o resultado da estatística teste com os valores de aceitação ou rejeição considerando o nível de significância de 5 10 Observase que Zteste 14530 está na área de não rejeição de H0 área de aceitação do gráfico 196 Zteste 196 Assim com base nos resultados não rejeitamos a afirmação de que o faturamento médio da indústria seja de R82000000 Isto é é possível supor com base nas informações da amostra que a alegação feita pela revista seja verdadeira 11 3 TESTES DE UMA AMOSTRA PARA PROPORÇÕES Os testes para proporções são adequados quando os dados analisados consistem em contagens ou frequência de itens Os testes se baseiam na premissa de que uma proporção amostral será igual à verdadeira proporção populacional a não ser pela variabilidade amostral STEVENSON 2001 O valor da estatística teste Zteste é apresentado a seguir Onde p proporção amostral pxn P0 proporção alegada para a população n número de elementos da amostra x número de elementos com a característica desejada Exemplo prático STEVENSON 2001 Inspecionamse uma amostra de 142 peças de uma grande remessa encontrandose 8 defeituosas O fornecedor garante que não haverá mais de 6 de peças defeituosas em cada remessa O que devemos responder com auxílio dos testes de significância é se a afirmação do fornecedor é verdadeira Nesse caso o objetivo do teste é verificar se uma estatística amostral observada pode razoavelmente provir de uma população com o parâmetro alegado Assim temos as seguintes hipóteses formuladas H0 p6 H1 p6 Aplicando a fórmula aos dados do exemplo temos o seguinte valor da estatística teste Z Agora devemos comparar o resultado da estatística teste com os valores de aceitação ou rejeição considerando o nível de significância de 5 que corresponde a um Z crítico de 165 teste unilateral 12 Se α5 então Zcrítico165 Como o valor de Zteste 100 foi inferior ao Z crítico Zc165 Zteste 165 há indícios que levam à não rejeição da hipótese nula H0 p6 aceitação de H0 de que a quantidade de proporção de peças defeituosas é de 6 13 4 TESTES DE DUAS AMOSTRAS PARA MÉDIAS O teste busca analisar a diferença relativa entre as médias de duas amostras uma de cada população Nessas situações se deseja decidir se um grupo é diferente de outro São usados para decidir se as médias de duas populações são iguais Exigemse duas amostras independentes uma de cada população BRUNI 2011 Para o teste de comparação de duas amostras teremos as seguintes hipóteses a serem testadas H0 μ1μ2 H1 μ1μ2 ou H1 μ1μ2 ou H1 μ1μ2 O valor da estatística teste dependerá dos tamanhos das amostras e do conhecimento dos desvios padrões O tamanho da amostra será igual à soma dos tamanhos das duas amostras n1 n2 n Sendo n1 o tamanho da amostra do primeiro grupo e n2 o tamanho da amostra do segundo grupo BRUNI 2011 Quanto à formulação do teste teremos Se n1 n2 30 e se os desvios populacionais forem conhecidos Se n1 n2 30 e se os desvios populacionais forem desconhecidos O valor de Tteste supondo H0 verdadeira pode ser bem aproximado por z se n1 n2 for superior a 30 Se n1 n2 30 e se os desvios populacionais forem desconhecidos n1 n2 14 Se n1 n2 30 e se os desvios populacionais forem desconhecidos e n1 n2 Exemplo prático Uma amostra formada por 37 estudantes do período matutino revelou uma nota média em contabilidade geral igual a 72 com desvio padrão de 14 Outra amostra formada por 33 alunos do noturno revelou uma média igual a 67 com desvio padrão amostral igual a 08 Considerando um nível de significância de 5 desejase testar se há diferença significativa entre as médias populacionais desses dois grupos de alunos Assim temos as seguintes hipóteses formuladas H0 μmatutino μnoturno H1 μmatutino μnoturno Aplicando a fórmula aos dados do exemplo temos o seguinte valor da estatística teste Z Agora devemos comparar o resultado da estatística teste com os valores de aceitação ou rejeição considerando o nível de significância de 5 15 Como Zteste 18587 encontrase na área de não rejeição de H0 área de aceitação do gráfico 196 Zteste 196 decidimos pela não rejeição da afirmação de que há diferença nas notas dos alunos do matutino com o noturno 16 5 TESTES DE DUAS AMOSTRAS PARA PROPORÇÕES O teste consiste na aplicação de procedimentos similares aos empregados no teste de hipóteses de igualdade de médias O valor da estatística pode ser definido como Onde A seguir demonstraremos a aplicação do teste de duas amostras para proporções a partir de um exemplo prático Exemplo prático BRUNI 2011 Uma fábrica de televisores fábrica ABC constatou que a proporção de televisores fabricados com defeito era de 35 em cada 10000 televisores Sua concorrente fábrica Beta constatou 50 unidades com defeito em uma amostra de 12000 televisores produzidos Pedese testar a afirmação da qualidade de produção da ABC ser inferior à da Beta assumindo um nível de significância de 5 Assim temos as seguintes hipóteses formuladas H0 PABC PBeta H1 PABC PBeta Zcrítico 165 nível de significância de 5 Aplicando a fórmula aos dados do exemplo temos o seguinte valor da estatística teste Z 17 Assim temos Agora devemos comparar o resultado da estatística teste com os valores de aceitação ou rejeição considerando o nível de significância de 5 que corresponde a um Z crítico de 165 Como o valor de Z teste 08333 foi superior ao valor crítico 165 aceitase a hipótese de igualdade de proporções Assim não é possível concordar com a alegação de que a proporção de defeitos da ABC seja inferior 18 REFERÊNCIAS BRUNI A L Estatística Aplicada à Gestão Empresarial 3 ed São Paulo Atlas 2011 MARTINS G A DOMINGUES Osmar Estatística Aplicada 5 ed São Paulo Atlas 2014 SPIEGEL Murray R STEPHENS Larry J Estatística 4 ed São Paulo BOOKMAN 2009 STEVENSON WJ Estatística Aplicada à Administração São Paulo Harbra 2001 SWEENEY D WILLIAMS D ANDERSON D Estatística aplicada à administração e economia 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA SWEENEY D WILLIAMS D ANDERSON D Estatística aplicada à administração e economia 3ª ed São Paulo Cengage Learning Capítulo 9 19 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos 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