Testes Não Paramétricos: Mann-Whitney e Kruskal-Wallis

MÉTODOS QUANTITATIVOS Profª Fabiana Lopes da Silva 2 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS PARTE 2 3 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Apresentar os testes não paramétricos para amostras independentes i Teste de MannWhitney e ii Teste de KruskalWallis 4 SUMÁRIO 1 Testes Não Paramétricos para Amostras Independentes 2 Teste de MannWhitney 3 Teste de KruskalWallis 5 1 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS PARA AMOSTRAS INDEPENDENTES A seguir apresentaremos os testes não paramétricos para amostras independentes que buscam verificar No caso de duas amostras independentes se estas provêm de populações com médias iguais Teste de MannWhitney No caso de k amostras independentes três ou mais grupos independentes Teste de KruskalWallis Os tópicos a seguir detalharão os referidos testes 6 2 TESTE DE MANNWHITNEY Segundo Martins e Domingues 2017 o teste de MannWhitney é usado para testar se duas amostras independentes foram extraídas de populações com médias iguais Esse teste é uma alternativa ao teste paramétrico para igualdade de médias teste t visto no material anterior mas sem a exigência de que as distribuições populacionais sigam a distribuição normal Segundo Stevenson 2001 o teste de MannWhitney é baseado na soma de postos Especificamente dispõese os dados em postos como se todas as observações fizessem parte de uma única amostra Se a hipótese nula é verdadeira H0 os postos baixos médios e altos devem distribuirse equilibradamente entre as duas amostras Assim comparase a soma de postos de uma amostra com a soma esperada supondo médias iguais Primeiramente temos que considerar se as duas amostras possuem tamanhos iguais Se forem iguais a soma esperada de qualquer coluna será Caso os tamanhos das amostras sejam diferentes a soma dos postos deve ser distribuída proporcionalmente aos tamanhos das amostras Assim utilizamos a seguinte fórmula STEVENSON 2001 A soma esperada para o Grupo 1 será E soma esperada para o Grupo 2 será Onde n1 tamanho da amostra do Grupo 1 n2 tamanho da amostra do Grupo 2 ER1 soma esperada de postos do Grupo 1 ER2 soma esperada de postos do Grupo 2 N número total de observações n1 n2 7 Além disso observase que a distribuição amostral é aproximadamente normal e tem desvio padrão dado por Assim temos que a estatística do teste será dada por Onde R é a soma dos postos que está sendo testada Exemplo STEVENSON 2001 Compare as velocidades médias de dois grupos de alunos em datilografia O Grupo I aprendeu datilografia por um método tradicional enquanto o Grupo II não teve aula de datilografia Assim a ideia é verificar se os alunos no Grupo I tiveram desempenho pior do que o Grupo II dado um nível de significância de 5 Os dados observados estão apresentados na tabela a seguir Na sequência apresentaremos os dados dos dois grupos dispostos em ordem crescente para a seguir ser colocada a atribuição dos postos Vale lembrar que caso ocorra o empate será atribuído o posto médio 8 Temos que a soma dos postos do Grupo I foi de 1445 contendo 11 indivíduos e a soma dos postos do Grupo II foi de 1553 contemplando 13 indivíduos conforme tabela Somatória do Posto Qtde Grupo 1 1445 11 Grupo 2 1555 13 Agora vamos calcular a soma esperada dos postos para um qualquer dos grupos Comparamos com a soma observada de postos para aquele grupo Para o nosso exemplo vamos considerar o Grupo I O cálculo do desvio padrão será apresentado por meio da fórmula Finalmente vamos calcular a estatística teste para o Grupo I 9 Ao consideramos a hipótese alternativa como H1 μ1μ2 teremos que observar a área de rejeição e não rejeição a seguir Como a estatística teste foi de 0406 que fica à direita do Z crítico de 164 decidimos pela não rejeição de H0 Ou seja não há indícios que levem à rejeição da hipótese nula de igualdade de médias Mas se tivéssemos escolhido o Grupo II teríamos a soma esperada dos postos de O desvio padrão seria o mesmo de 1726 e a estatística teste caso fosse considerado o Grupo II seria Se usarmos a hipótese alternativa como H1 μ1 μ2 teremos a área de rejeição e não rejeição a seguir Portanto como a estatística teste foi de 0406 que fica à esquerda do Z crítico de 164 decidimos pela não rejeição de H0 Ou seja não há indícios que levem à rejeição da hipótese nula de igualdade de médias 10 3 TESTE DE KRUSKALWALLIS O teste de KruskalWallis é útil para decidir se k amostras independentes k 2 provêm de populações com médias iguais As hipóteses a serem testadas são H0 as médias populacionais são iguais H1 há pelo menos um par de médias populacionais diferentes Para a realização do teste devemos proceder aos seguintes passos Martins e Domingues 2017 Dispor em ordem crescente as observações de todos os k grupos atribuindolhes postos de 1 a n Caso haja empates atribuir o posto médio Determinar o valor da soma dos postos para cada um dos k grupos Ri i 1 2 k Realizar o teste considerando as hipóteses nula e alternativa H0 as médias dos k grupos são iguais H1 há pelo menos um par diferente Devese fixar o nível de significância α e utilizar a distribuição quiquadrado com k1 graus de liberdade para a fixação da área de rejeição e não rejeição da hipótese nula E por fim calcular a estatística H do teste Onde N número total de observações k número de amostras nj número de observações na jésima amostra Rj soma dos postos da jésima amostra 11 Logo o valor calculado da estatística H pode ser comparado a um valor tabulado de quiquadrado sendo a hipótese nula rejeitada se o valor calculado for maior que o valor tabulado ao nível de significância escolhido Ou seja se a estatística H for Se H χ² não podemos rejeitar H0 Se H χ² rejeitamos H0 Exemplo STEVENSON 2001 Para avaliar o mérito de três métodos de ensino diferentes cada um de um grupo de 16 estudantes foi aleatoriamente matriculado em uma de três sessões cada uma das quais por sua vez utilizou uma técnica diferente dentre as três em estudo Após uma sessão de duas horas pediuse a cada estudante que resolvesse o mesmo problema Os tempos respectivos em minutos constam no seguinte quadro Leitura Materiais Videotapes 15 10 11 12 21 19 18 16 17 20 13 22 10 14 24 9 Fonte Stevenson 2001 A tabela a seguir apresenta os dados com a atribuição dos postos a cada um dos valores Mas para facilitar foram ordenados os valores em cada amostra e depois foi feita a atribuição dos postos considerando o conjunto completo dos dados Leitura Posto Materiais Posto Videotapes Posto 10 25 9 1 11 4 12 5 10 25 17 10 15 8 13 6 19 12 18 11 14 7 22 15 20 13 16 9 24 16 21 14 395 395 57 Determinase a soma dos postos para cada coluna Assim R1395 R2395 R357 12 Agora procedemos o cálculo da estatística teste Assim o valor da estatística H foi de 290 o qual deveremos comparar com o valor crítico considerando a distribuição quiquadrado ao nível de significância α e k1 graus de liberdade Se H0 é verdadeira então H terá distribuição quiquadrado com k1 2 graus de liberdade Considerando o nível de significância de 10 temos o valor crítico de 461 considerando nível de significância de 10 como pode ser observado na tabela da distribuição quiQuadrado a seguir Tabela Distribuição QuiQuadrado Fonte Martins e Domingues 2017 Assim como a estatística H foi de 290 e o valor crítico dado pela distribuição quiquadrado foi de 461 não podemos rejeitar H0 pois a estatística teste H está na área de não rejeição de H0 13 Ou seja como H χ² não há evidência que levam à rejeição da hipótese nula H0 INDICAÇÃO DE LEITURA OBRIGATÓRIA MARTINS G A DOMINGUES Osmar Estatística Aplicada 6ª ed São Paulo Atlas 2017 Capítulo 12 itens 126 e 1293 14 REFERÊNCIAS BRUNI A L Estatística Aplicada à Gestão Empresarial 3 ed São Paulo Atlas 2011 MARTINS G A DOMINGUES Osmar Estatística Aplicada 5 ed São Paulo Atlas 2014 SPIEGEL Murray R STEPHENS Larry J Estatística 4 ed São Paulo BOOKMAN 2009 STEVENSON WJ Estatística Aplicada à Administração São Paulo Harbra 2001 SWEENEY D WILLIAMS D ANDERSON D Estatística aplicada à administração e economia 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 FIPECAFI Todos os direitos reservados A FIPECAFI assegura a proteção das informações contidas nesse material pelas leis e normas que regulamentam os direitos autorais marcas registradas e patentes Todos os textos imagens sons vídeos eou aplicativos exibidos nesse volume são protegidos pelos direitos autorais não sendo permitidas modificações reproduções transmissões cópias distribuições ou quaisquer outras formas de utilização para fins comerciais ou educacionais sem o consentimento prévio e formal da FIPECAFI CRÉDITOS Autoria Fabiana Lopes da Silva Coordenação de Operações Juliana Nascimento Design Instrucional Patricia Brasil Design Gráfico e Diagramação Dejailson Markes Captação e Produção de Mídias Erika Alves Gabriel Rodrigues Gabriel dos Santos e Mauricio Leme Revisão de Texto Patricia Brasil