Precificação pelo Momento de Segunda a Quarta Ordem em Finanças

Momentos Superiores Bruno Pérez Ferreira Precificação pelo momento de segunda ordem Em finanças seja um indivíduo com função de utilidade u sobre a riqueza W com sua expectativa sobre a riqueza EW logo pela expansão de segunda ordem 2 2 2 2 1 E W W u E W dW d E W W dW u E W d u E W W u em que 3 1 n n n n E W W E W u dW d n 2 Precificação pelo momento de segunda ordem Ao aplicar o operador de esperança matemática temse que 2 1 2 1 2 2 2 2 2 E u E W V W dW d E W u E E W W u E W dW d E W E W dW u E W d u E W u W E 3 Precificação pelo momento de segunda ordem em V é a função da variância e objeto de minimização pelo modelo de Markowitz dado que 0 2 1 2 2 dW u E W d Esta formulação foi desenvolvida por Sharpe 1964 Lintner 1965 e Mossin 1966 4 Precificação pelo momento de terceira ordem Ao expandir a função de Taylor até a terceira ordem ao redor de EW temse que 3 3 3 2 2 2 6 1 2 1 E W W dW u E W d E W W u E W dW d E W W dW u E W d u E W W u em que 4 1 n n n n E W W u E W dW d n 5 Precificação pelo momento de terceira ordem Ao aplicar o operador de esperança matemática temse que 6 1 2 1 6 1 2 1 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 E A W dW u E W d u E W V W dW d E W u E E W W dW u E W d E W W u E W dW d E W E W dW u E W d u E W u W E 6 Precificação pelo momento de terceira ordem Como segundo Pratt 1964 o prêmio de risco π é definido por 2 2 2 2 dW u W d u W dW d W Dado que a medida que aumenta a riqueza W do agente menor fica o prêmio de risco logo 0 W dW d 7 Precificação pelo momento de terceira ordem Temse que 0 2 2 2 2 2 3 3 2 dW u W d u W dW d dW u W d dW u W d W dW d Então 0 3 3 dW u W d O modelo de apreçamento com três momentos foi inicialmente proposto por Rubinstein 1973 Ingersoll Jr 1975 e Kraus e Litzenberger 1976 8 Precificação pelo momento de quarta ordem Ao expandir a equação da esperança da utilidade da riqueza do agente financeiro afim de contemplar o quarto momento na expansão de Taylor temse que Em que 4 4 4 3 3 3 2 2 2 24 1 6 1 2 1 E W W dW u E W d E W W dW u E W d E W W dW u E W d E W W dW u E W d u E W W u 5 1 n n n n E W W u E W dW d n 9 Precificação pelo momento de quarta ordem Ao aplicar o operador de esperança matemática temse que 24 1 6 1 2 1 24 1 6 1 2 1 4 4 3 3 2 2 4 4 4 3 3 3 2 2 2 E K W E W u dW d A W E W u dW d E W V W u dW d E W u E E W W E W u dW d E W W E W u dW d E W W E W u dW d E W E W E W u dW d u E W u W E 10 Precificação pelo momento de quarta ordem Scott e Horvath 1980 mostram que para um agente com coeficiente absoluto de aversão ao risco decrescente a preferência é positiva 0 para momentos ímpares centrados na esperança e é negativa 0 em momentos pares também centrados na esperança Logo 0 4 4 dW u W d 11 Precificação pelo momento de quarta ordem A avaliação dos momentos estatísticos por meio de uma expansão de Taylor de quarto grau envolve Δ w Γ w Vw w μ w p p p f f p r K r A r V w r r E em que wf é a fração da riqueza aplicada no ativo livre de risco rf é a taxa de retorno do ativo livre de risco w é o vetor N x 1 de pesos investidos nos ativos com risco µ é o vetor N x 1 da esperança das taxas de retorno dos ativos com risco V é a matriz N x N das covariâncias dos retornos dos ativos com risco Γ é o vetor N x 1 de coassimetrias das taxas de retorno dos ativos com o retorno da carteira Δ é o vetor N x 1 de cocurtoses das taxas de retorno dos ativos com o retorno da carteira 12 Precificação pelo momento de quarta ordem Cabe destacar que a assimetria da taxa de retorno de uma carteira Arp é definida pela coassimetria entre a taxa de retorno desta carteira e o quadrado desta mesma taxa de retorno logo temse que 2 2 3 p p p p p p p p p E r V r C r r E r E r coA r r A r Para a curtose da taxa de retorno de uma carteira Krp é aplicada a cocurtose de maneira que 3 3 2 2 3 3 p i p p i p p i p i p p p p p p i p r C r r E E r C r r C r r coK r r r K E r r E r E r coK r r r K 13