Modelo Binomial para Precificação de Opções - Guia Completo

Modelo Binomial Bruno Pérez Ferreira Introdução Em finanças o modelo de opções binomial fornece um método numérico generalizável para a avaliação de opções O modelo difere de outros modelos de precificação de opção em que ele usa um tempo discreto Assim tratase de um modelo do preço para o derivativo variando ao longo de momentos discretos no tempo Introdução Tal modelo é capaz de lidar com uma variedade de condições em que outros modelos não podem ser aplicadas Essencialmente a avaliação opção é realizada por meio da aplicação da hipótese de neutralidade de risco sobre a vida da opção como o preço do ativosubjacente evolui O modelo Binomial foi primeiramente proposto por Cox Ross e Rubinstein 1979 O modelo O modelo de precificação binomial usa um quadro de tempo discreto para rastrear a evolução da variávelchave da opção subjacente Esse rastreamento do preço é realizado por meio de uma malha binomial árvore para um determinado número de passos de tempo entre a data de vencimento da opção e a avaliação A Estrutura da Árvore Alta Baixa Quebra O modelo Cada nó na árvore representa um preço possível do ativosubjacente em um determinado ponto no tempo Esta evolução dos preços é a base para a avaliação de opções O processo de avaliação é iterativo a partir de cada nó final é realizada a avaliação para um passo atrás por meio da árvore Esse procedimento é repetido até o primeiro nó data da avaliação onde o resultado calculado é o valor da opção Procedimento de avaliação Seguindo a descrição anterior a avaliação de opções usando este método é um processo de três passos Geração de árvore de preço Cálculo do valor da opção em cada nó final e O cálculo progressivo do valor da opção em cada nó anterior o valor no primeiro nó é o valor da opção A árvore binomial A árvore de preços é produzida para um intervalo de tempo à frente ou seja n períodos até o vencimento a partir da data de avaliação para a expiração A cada passo ou seja unidade de tempo discreto presumese que o ativo subjacente irá mover para cima ou para baixo por um fator específico u ou d Trajetória dos Preços Cox Ross e Rubinstein 1979 mostraram que para se determinar o valor exato de uma opção de compra C é necessário e suficiente que se tenha Preço de exercício X Preço do ativo subjacente S Média dos movimentos de subida u e de descida d no preço do ativosubjacente Taxa de juros r 1 rf sendo rf a taxa livre de risco Trajetória dos Preços O modelo binomial assume que O preço do ativo segue um processo multiplicativo binomial em períodos discretos Assim para cada período o ativo representado por uma ação no momento do desenvolvimento do modelo pode assumir somente dois valores distintos no tempo Estes movimentos são descritos como ascendente e descendente pelo fato de representarem um valor maior e outro menor que o anterior A taxa de juros é constante Podese emprestar ou tomar emprestado a esta mesma taxa livre de risco Trajetória dos Preços Supondose que o preço do ativo no tempo t seja S no tempo t1 a opção valerá uS com probabilidade q ou dS com probabilidade 1q Os valores de u e d representam as taxas de retorno se o ativo move para cima ou para baixo respectivamente Preço da Opção Para valorar uma opção de compra C sobre este ativo Cup e Cd representam o valor da opção ao final de um período quando o preço do ativo é uS e dS respectivamente Sendo X o preço de exercício da opção os possíveis valores para a opção serão Cup Max uS X 0 Cd Max dS X 0 Trajetória dos Preços C q 1 q Cup Max uS X 0 Cd Max dS X 0 Probabilidades Neutras ao Risco Segundo Cox Ross e Rubinstein 1979 as probabilidades objetivas q e 1 q são substituídas por probabilidades intrínsecas ao movimento ascendente e descendente do modelo binomial p e 1 p denominadas de probabilidades neutras ao risco Estas podem ser definidas da seguinte maneira e 𝑝 𝑟 𝑑 𝑢 𝑑 1 𝑝 𝑢 𝑟 𝑢 𝑑 Preço de uma Call Cox Ross e Rubinstein 1979 chegaram à seguinte equação para calcular o preço de uma opção de compra sobre um ativo que não paga dividendos um período antes de sua expiração em termos de S X r u e d Em que rf é a taxa livre de risco 𝐶 𝑝 𝐶𝑢𝑝 1 𝑝 𝐶𝑑 1 𝑟𝑓 d u d e p p C pC e C T r d up T r f f 1 Preço de uma Call Cox Ross e Rubinstein 1979 enfatizam as principais características da relação apresentada nesta equação A probabilidade objetiva q não aparece na fórmula Isto significa que as diferentes visões dos diversos investidores quanto às probabilidades que acreditam com relação ao movimento de subida ou descida da ação não influenciarão o valor da opção O valor da opção não depende das atitudes dos investidores em relação ao risco A única variável aleatória da qual o preço da opção de compra depende é o preço da própria ação ou do ativo subjacente à opção Preço de uma Call A avaliação de uma opção pelo método binomial quando existe mais de um período é uma extensão direta da fórmula para um período Assim este método pode avaliar situações com grande número de períodos Retorno e Volatilidade Outra importante relação apresentada por Cox Ross e Rubinstein 1979 foi a estimativa dos valores de u e d os quais se baseiam no desvio padrão da taxa de retorno da ação ou volatilidade do retorno σ no intervalo Δt até a expiração De outra maneira Δt representa o tempo transcorrido entre mudanças sucessivas no preço do ativo As fórmulas apresentadas por estes autores são t t e d e u