6 Questões Calculo B

1 Considerando rt t² 1i tj calcule Bt 2 Uma partícula movese pelo espaço tridimensional de tal maneira que sua velocidade é vt i tj t²k Determine as coordenadas da partícula no instante t 1 dado que a partícula está no ponto 124 no instante t 0 3 Usando a regra da cadeia calcule dwdt em que w 5x²y³z⁴ sendo que x t² y t³ e z t⁵ 4 Obtenha a derivada direcional de fxyz x³y yz² z no ponto 121 na direção e sentido do vetor a 2i j 2k 5 Se R é a região da figura abaixo calcule a área dessa região utilizando os conceitos de integrais 6 Calcule a integral iterada ₁¹₀²₀¹x² y² z² dxdydz Questão 1 Temos rt 21itj Logo r 2t i j r 2i Assim temos r r i j k 2t 1 0 2 0 0 r r 2k Assim temos B r r r r B 2k 2k B2k 2 Bk Questão 2 Temos vitjt 2k Mas vdx dt Logo integrando de ambos lados entre t0 e t1 obtemos 0 1 vdt 0 1 itjt 2kdt 0 1 dx dt dtti t 2 2 j t 3 3 k 0 1 0 1 dxi 1 2 j 1 3 k x 1 x 0 1 1 2 1 3 x 1 x 0 1 1 2 1 3 x 1 124 1 1 2 1 3 x 1 0 1 22 1 34 x 1 0 5 2 13 3 Questão 3 Temos pela regra da cadeia dw dt dw dx dx dt dw d y d y dt dw d z d z dt dw dt d 5x 2 y 3z 4 dx d t 2 dt d5 x 2 y 3 z 4 dy d t 3 dt d5 x 2 y 3 z 4 dz d t 5 dt dw dt 10 x y 3 z 42t 15 x 2 y 2 z 43t 220x 2 y 3z 35t 4 dw dt 5 x 2 y 3 z 4 2 x2t 3 y3t 2 4 z5t 4 Ou deixando tudo em função de t temos dw dt 5t 4t 9t 20 2 t 22t 3 t 33t 2 4 t 55t 4 dw dt 5t 33 4 t 9 t 20 t dw dt 5t 33 33 t dw dt 165t 32 Questão 4 Esta derivada é dada por D f 12 1 a a Calculando temos D f x f y f z 12 1 212 212 D x 3 y y z 2 z x x 3 yy z 2z y x 3 yy z 2z z 121 212 2 21 22 2 D3 x 2 y x 3z 2 2 yz1121 212 414 D6 11 41 212 9 D605 212 3 D 12010 3 D22 3 Questão 5 Podemos calcular a área mediante a seguinte integral única I 1 3 454 31 y12 12 31 y1dy Calculando obtemos I 1 3 4 1 2 y121 2 y1dy I 1 3 2 y1 dy I 1 3 1 y dy Iy y 2 2 1 3 I3 9 211 2 I2 8 2 I6 Questão 6 Temos I 1 1 0 2 0 1 x 2 y 2z 2d xdydx z Integrando passo a passo obtemos I 1 1 0 2 x 3 3 x y 2x z 20 1 dydz I 1 1 0 2 1 3 y 2z 2dydz I 1 1 y 3 y 3 3 y z 2 0 2 dz I 1 1 2 3 8 3 2z 2dz I 1 1 10 3 2 z 2dz I 10 3 z 2 3 z 31 1 I 10 3 2 3 10 3 2 3 I2 10 3 2 3 I2 12 3 I8 Questão 1 Temos 𝑟 𝑡2 1𝑖 𝑡𝑗 Logo 𝑟 2𝑡𝑖 𝑗 𝑟 2𝑖 Assim temos 𝑟 𝑟 𝑖 𝑗 𝑘 2𝑡 1 0 2 0 0 𝑟 𝑟 2𝑘 Assim temos 𝐵 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝐵 2𝑘 2𝑘 𝐵 2𝑘 2 𝐵 𝑘 Questão 2 Temos 𝑣 𝑖 𝑡𝑗 𝑡2𝑘 Mas 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Logo integrando de ambos lados entre 𝑡 0 e 𝑡 1 obtemos 𝑣𝑑𝑡 1 0 𝑖 𝑡𝑗 𝑡2𝑘𝑑𝑡 1 0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 0 𝑡𝑖 𝑡2 2 𝑗 𝑡3 3 𝑘 0 1 𝑑𝑥 1 0 𝑖 1 2 𝑗 1 3 𝑘 𝑥1 𝑥0 1 1 2 1 3 𝑥1 𝑥0 1 1 2 1 3 𝑥1 124 1 1 2 1 3 𝑥1 0 1 2 2 1 3 4 𝑥1 0 5 2 13 3 Questão 3 Temos pela regra da cadeia 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 𝑑5𝑥2𝑦3𝑧4 𝑑𝑥 𝑑𝑡2 𝑑𝑡 𝑑5𝑥2𝑦3𝑧4 𝑑𝑦 𝑑𝑡3 𝑑𝑡 𝑑5𝑥2𝑦3𝑧4 𝑑𝑧 𝑑𝑡5 𝑑𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 10𝑥𝑦3𝑧4 2𝑡 15𝑥2𝑦2𝑧4 3𝑡2 20𝑥2𝑦3𝑧3 5𝑡4 𝑑𝑤 𝑑𝑡 5𝑥2𝑦3𝑧4 2 𝑥 2𝑡 3 𝑦 3𝑡2 4 𝑧 5𝑡4 Ou deixando tudo em função de 𝑡 temos 𝑑𝑤 𝑑𝑡 5𝑡4𝑡9𝑡20 2 𝑡2 2𝑡 3 𝑡3 3𝑡2 4 𝑡5 5𝑡4 𝑑𝑤 𝑑𝑡 5𝑡33 4 𝑡 9 𝑡 20 𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 5𝑡33 33 𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 165𝑡32 Questão 4 Esta derivada é dada por 𝐷 𝑓121 𝑎 𝑎 Calculando temos 𝐷 𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑧 121 21 2 21 2 𝐷 𝑥3𝑦 𝑦𝑧2 𝑧 𝑥 𝑥3𝑦 𝑦𝑧2 𝑧 𝑦 𝑥3𝑦 𝑦𝑧2 𝑧 𝑧 121 21 2 22 12 22 𝐷 3𝑥2𝑦𝑥3 𝑧2 2𝑦𝑧 1121 21 2 4 1 4 𝐷 6 1 1 4 1 21 2 9 𝐷 605 21 2 3 𝐷 12 0 10 3 𝐷 22 3 Questão 5 Podemos calcular a área mediante a seguinte integral única 𝐼 4 5 4 3 1 𝑦 1 2 1 2 3 1 𝑦 1 𝑑𝑦 3 1 Calculando obtemos 𝐼 4 1 2 𝑦 1 2 1 2 𝑦 1 𝑑𝑦 3 1 𝐼 2 𝑦 1𝑑𝑦 3 1 𝐼 1 𝑦𝑑𝑦 3 1 𝐼 𝑦 𝑦2 2 1 3 𝐼 3 9 2 1 1 2 𝐼 2 8 2 𝐼 6 Questão 6 Temos 𝐼 𝑥2 𝑦2 𝑧2𝑑𝑥 1 0 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑥𝑧 1 1 Integrando passo a passo obtemos 𝐼 𝑥3 3 𝑥𝑦2 𝑥𝑧2 0 1 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑧 1 1 𝐼 1 3 𝑦2 𝑧2 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑧 1 1 𝐼 𝑦 3 𝑦3 3 𝑦𝑧2 0 2 𝑑𝑧 1 1 𝐼 2 3 8 3 2𝑧2 𝑑𝑧 1 1 𝐼 10 3 2𝑧2 𝑑𝑧 1 1 𝐼 10 3 𝑧 2 3 𝑧3 1 1 𝐼 10 3 2 3 10 3 2 3 𝐼 2 10 3 2 3 𝐼 2 12 3 𝐼 8