8 Questões - Cálculo 2 Não Aceito Resolução com Ia

Q01 Considere as seguintes regiões do semiplano y 0 as 4 retas verticais são definidas por x 32 x 12 os arcos de circunferência azuis têm raio 1 e centros 00 10 enquanto que os arcos de circunferência vermelhos têm raio 13 e centros 130 230 A transformação Txy xx2y2 yx2y2 leva a região R definida por 12 x 12 x2 y2 1 na região de número 3 8 5 2 4 9 6 1 7 Q02 Considere o elipsóide de equação 699x2 396xy 468xz 234y2 72yz 390z2 30242 ou em notação matricial x y z 699 198 234 x 30242 198 234 36 y 234 36 390 z O volume deste elipsóide é da forma Nπ para algum número inteiro N Qual o valor de N Q03 Sejam A e B tais que 94x 21609x2 265x 7656 dx Ax33 Bx232 dx A lnx 33 B lnx 232 c Então A B é igual a Q04 Considere a região do plano delimitada pela curva 54x2 144xy 96y2 20x 15y 0 e pela reta 4x 3y 780 0 O volume do sólido obtido rotacionandose esta região em torno da reta 3x 4y 0 é da forma Nπ para algum inteiro N Qual Q05 Considere a função φR2 xy xy0 R2 dada por φxy x26 y60 x18 y40 a Na vizinhança do ponto 11 temos que a melhor aproximação afim dφ11 de φ em notação matricial é dada por dφ11 x y a b c dx y e f para certas constantes abcf Qual o valor da soma a b c f 1 ponto b Quais são os autovalores da matriz a b c d em ORDEM CRESCENTE 1 ponto c Seja Qh o quadrado de vértices 11 1 h 1 1 1 h e 1 h 1 h Seja φQh a imagem deste quadrado por φ Qual o valor do seguinte limite 1 ponto limh0 área φQhárea Qh Q07 Se 4x4 9x3 11x2 5x 2 x 15 A x 1 B x 12 C x 13 D x 14 E x 15 então 4x4 9x3 11x2 5x 2 x 15 dx A ln x 1 B x 1 C 2x 12 D 3x 13 E 4x 14 constante onde A B C D E Q06 Qual a menor distância entre o ponto 186618661866 e o plano de equação x 2y 2z 30 Q08 Um triângulo equilátero tem centro na origem 0 0 e um de seus vértices é 14 34 Então o próximo vértice no sentido antihorário é da forma a b3 c d3 onde a 7 b 17 c 0 d 7 a 7 b 17 c 17 d 7 a 17 b 0 c 7 d 0 a 7 b 17 c 17 d 7 a 7 b 0 c 17 d 0 Q1 γpy p p2 y2 y p2 y2 é a composição de uma inversão de razão 1 com a reflexão em relação ao eixo Oy O semiplano y 0 permanece em y 0 porque y p2 y2 0 A fronteira de R é dada por 12 p 12 p2 y2 1 y 0 Imagem do arco do círculo unitário Se p2 y2 1 então γpy py isto é o próprio arco unitário no semiplano superior permanece sendo o arco unitário apenas refletido em Oy Assim o bordo circular de R mapeiase no mesmo arco azul de centro 00 e raio 1 Imagem das retas verticais p a com a 12 Para um ponto ay dessas retas escreve γay uv Eliminando y u a a2 y2 v y a2 y2 u2 v2 1 a2 y2 Da primeira relação u au2 v2 Logo au2 v2 u 0 u2 v2 ua 0 u 12a2 v2 14a2 Portanto a reta p a transformase no círculo com centro 12a0 e raio 12a um círculo que passa pela origem Para a 12 u 12 v2 1 isto é o semicírculo de raio 1 e centro 10 Para a 12 u 1² u² 1 isto é o semicírculo de raio 1 e centro 1 0 Qual caso desses círculos corresponde a 12 p 12 Tomase um ponto típico de R por exemplo 0 2 tem p² y² 4 1 Sua imagem é 70 2 0 24 As distâncias até os centros 1 0 e 1 0 valem 0 1² 05² 125 1118 1 logo esse ponto está fora de ambos os semicírculos laterais Além disso 0² 05² 14 1 de modo que ele está dentro do círculo unitário central Conclusão A imagem de R é o conjunto de pontos dentro do círculo unitário de centro 0 0 e fora dos dois semicírculos de raio 1 e centros 1 0 Na figura fornecida essa é exatamente a região numerada como 3 Resposta 3 Q2 x y z 699 198 234 198 234 36 234 36 390 x y z 3024² pT A p 3024² A 699 198 234 198 234 36 234 36 390 Primeiro verificase que A é definida positiva logo a superfície é um elipsóide pelo critério de Sylvester todos os menores principais à esquerda devem ser positivos Menor 1 x 1 det699 699 0 Menor 2 x 2 det 699 198 198 234 699 234 198 198 163866 39504 124362 0 Determinante de A por expansão de cofatores na primeira linha Calculamse os três menores 2 x 2 Para o cofator C11 menor M11 M11 234 36 36 390 234 390 36 36 91260 1296 89964 Para o cofator C12 menor M12 M12 198 36 234 390 198 390 36 234 77220 8424 68796 Para o cofator C13 menor M13 M13 198 234 234 36 198 36 234 234 7128 54756 47628 Logo det A 699 M11 198 M12 234 M13 699 89964 198 68796 234 47628 38118276 0 Como os três menores principais são positivos A é definida positiva e a superfície é um elipsóide Para o volume usase que o conjunto p pT A p 1 é a imagem da bola unitária por uma transformação linear y L x com LT L A por exemplo a de Cholesky O jacobiano é det L det A Assim VolpT A p 1 Volbola unitáriadet A 43 πdet A No elipsóide pedido pT A p 3024² fazse a dilatação p 3024 q que multiplica o volume por 3024³ V 43 π 3024³det A Fatorase det A para simplificar exatamente det A 38118276 2² 3⁴ 7⁶ det A 2¹ 3² 7³ 6174 além disso 3024 2⁴ 3³ 7 portanto 4 3024³ 3 det A 2² 2⁴ 3³ 7³ 3 2¹ 3² 7³ 2² 2¹² 3⁹ 7³ 3¹ 2¹ 3² 7³ 2¹³ 3⁶ 5974968 concluise que V Nπ N 5974968 Q3 I 94p 21609p² 265p 7656 dp Primeiro fatorase o denominador resolvendo p² 265p 7656 0 Observase que 33 232 265 e 33 232 7656 logo p² 265p 7656 p 33p 232 Para integrar uma fração racional cujo denominador se decompõe em fatores lineares distintos usase frações parciais 94p 21609p 33p 232 Ap 33 Bp 232 Somando à direita Ap 232 Bp 33 p 33p 232 A Bp 232A 33B p 33p 232 Igualando numeradores obtémse o sistema linear igualdade de polinômios A B 94 232A 33B 21609 Resolvendo explicitamente da primeira equação A 94 B Substituindo na segunda 23294 B 33B 21609 21808 199B 21609 B 1 e então A 94 1 93 Integrase termo a termo usando 1p a dp lnp a I 93x33 1x232 dx 93 lnx33 1lnx232 c Como o enunciado escreve I A lnx33 B lnx232 c concluise A 93 B 1 A B 92 Q4 54x² 144xy 96y² 20x 15y 0 e 4x 3y 780 0 eixo 3x 4y 0 Observase que 54x² 144xy 96y² 63x 4y² Escolhese uma mudança ortogonal que coloca esse termo na forma U U 3x 4y5 V 4x 3y5 O inverso resolvendo o sistema 3x 4y 5U 4x 3y 5V é x 3U 4V5 y 4U 3V5 Como a transformação é ortogonal preserva distâncias e volumes e o eixo 3x 4y 0 tornase U 0 Na nova base substituise na cônica 63x 4y² 20x 15y 0 65U² 20x 15y 0 150U² 20x 15y 0 Usando as expressões de x e y 20x 15y 203U 4V5 154U 3V5 12U 16V 12U 9V 25V Assim a curva tornase 150U² 25V 0 V 6U² uma parábola de eixo paralelo ao U A reta 4x 3y 780 0 vira 5V 780 0 isto é V 156 A região pedida no plano UV é delimitada por V 6U² e V 156 Os pontos de encontro satisfazem 6U² 156 U² 26 logo 26 U 26 Girase essa região em torno de U 0 Usando cascas cilíndricas para cada U a altura é hU 6U² 156 156 6U² o raio é U e pela simetria integrase em U 0 e duplicase V sólido 2 ₀26 2πU 156 6U² dU 4π ₀26 156U 6U³ dU A primitiva é 78U² 32 U⁴ Avaliando em 0 e 26 V sólido 4π 7826 32 26² 4π2028 1014 4056π Escrevendo V Nπ obtémse N 4056 Q5 a A melhor aproximação afim em 11 tem matriz igual ao jacobiano em 11 e termo constante escolhido para que passe por φ11 Dφxy xx26y60 yx26y60xx18y40 yx18y40 26 x27 y60 60 x26 y61 18 x17 y40 40 x18 y39 Em 11 A a b c d 26 60 18 40 φ11 11 A forma afim é dφ11xy A x y f g com r s φ11 A 1 1 1 1 26 60 18 40 87 57 Logo a b c d e f 26 60 18 40 87 57 2 b Os autovalores de 26 60 18 40 resolvem λ² trAλ det A 0 onde trA a d 26 40 14 e det A ad bc 26 40 60 18 1040 1080 40 Assim λ² 14λ 40 0 λ 4λ 10 portanto em ordem crescente os autovalores são 4 e 10 c Para um quadrado pequeno Qh centrado em 11 a imagem por φ tem área assintoticamente igual a det Dφ11 vezes a área de Qh pois localmente φ é aproximada pela transformação linear dada pelo jacobiano Como det Dφ11 40 limh0 área φQhárea Qh det Dφ11 40 Respostas a 2 b 4 e 10 c 40 Q6 Plano x 2y 2z 30 n 1 2 2 A menor distância entre um ponto P₀ x₀ y₀ z₀ e o plano ax by cz d é a projeção ortogonal do vetor a até o plano na direção do normal distP₀ Π a x₀ b y₀ c z₀ d a² b² c² Para P 1866 1866 1866 a 1 b 2 c 2 d 30 numerador 11866 21866 21866 30 1 2 21866 30 51866 30 9330 30 9300 denominador raiz quadrada de 1 ao quadrado 2 ao quadrado 2 ao quadrado raiz quadrada de 1 4 4 raiz quadrada de 9 3 Logo dist186618661866 x 2y 2z 30 93003 3100 Q7 4x5 9x3 11x2 5x 2x 15 Ax1 Bx12 Cx13 Dx14 Ex15 Multiplicando por x15 ostemse uma identidade polinomial 4x5 9x3 11x2 5x 2 Ax 14 Bx 13 Cx 12 Dx 1 E Usase o binômio x 12 x2 2x 1 x 13 x3 3x2 3x 1 x 14 x4 4x3 6x2 4x 1 Expandindo e agrupando por potências de x Ax 14 Ax4 4Ax3 6Ax2 4Ax A Bx 13 Bx3 3Bx2 3Bx B Cx 12 Cx2 2Cx C Dx 1 Dx D E E Somando coef x4 A coef x3 4A B coef x2 6A 3B C coef x1 4A 3B 2C D coef x0 A B C D E Igualando aos coeficientes do numerador 4x4 9x3 11x2 5x 2 ostemse o sistema A 4 4A B 9 6A 3B C 11 4A 3B 2C D 5 A B C D E 2 Resolvendo em sequência A 4 B 9 4A 7 C 11 6A 3B 8 D 5 4A 3B 2C 6 E 2 A B C D 3 Logo 4x4 9x3 11x2 5x 2x 15 4x 1 7x 12 8x 13 6x 14 3x 15 e integrando termo a termo integral de 4x4 9x3 11x2 5x 2x 15 dx 4 lnx 1 7x 1 82x 12 63x 13 34x 14 c Valores pedidos A 4 B 7 C 8 D 6 E 3 Q8 Vértice dado 14 34 centro na origem O próximo vértice no sentido antihorário é a rotação desse vetor por 120 Para rotação de ângulo theta em torno da origem x y cos theta sin theta sin theta cos thetax y Com theta 120 cos 120 12 e sen 120 raiz quadrada de 3 sobre 2 Então x 12 14 raiz quadrada de 3 sobre 2 34 7 17 raiz quadrada de 3 y raiz quadrada de 3 sobre 2 14 12 34 7 raiz quadrada de 3 17 Logo o próximo vértice é 7 17 raiz quadrada de 3 17 7 raiz quadrada de 3 a b raiz quadrada de 3 c d raiz quadrada de 3 com a 7 b 17 c 17 d 7 QUARTA ALTERNATIVA