Cálculo Diferencial e Integral MultiVariável - Lista de Exercícios Resolvidos

Questão 2 A superfície de um lago é representada por uma região D no plano XY e a sua profundidade em cada ponto xy é dada pela função fxy 2003x2y² metros Um menino está nadando no lago e num certo instante se encontra no ponto P 49 Assinale a alternativa que contém a taxa de variação da profundidade e se o menino nadar na direção do vetor U 22 22 A Duf49 3022 B Duf49 60 C Duf49 3022 D Duf49 62 Questão 3 O estudo das integrais de funções de várias variáveis reais nos permite dentre outros investigar a probabilidade de partículas estarem mais concentradas em determinados pontos do espaço relacionar a densidade de massa total de placas finas ou lâminas além de calcular médias e outras médias específicas nas respectivas regiões Considere a alternativa que apresenta a massa total da lâmina 2 e qual densidade em qualquer ponto xy é dada pela função fxy 2 x 2 y A 8 B 10 C 12 D 16 E 20 Questão 4 As derivadas parciais podem auxiliar no estudo de problemas que envolvem máximo e mínimos de funções de duas variáveis Um conceito que está relacionado a esse estudo é o de ponto crítico Com base nessas informações analise as assertivas que seguem I O ponto 11 é ponto crítico da função xy x² 2 x 3 y² 6 y PORQUE II O ponto 11 satisfaz a igualdade fxxy fyxy 0 A respeito destas assertões assinale a alternativa correta As assertóis I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta da I As assertóis I e II são proposições verdadeiras mas a I não é uma justificativa correta da I 3 ₀² ₀² 2x 2y dy dx ₀² 2xy y²y2y0 dx ₀² 4x 4 dx 2x² 4xx2x0 24 8 16 Logo a massa vale 16 Resposta D 4 fxy x² 2x 3y² 6y f fx fy 2x 2 6y 6 ② f11 2 2 6 6 00 logo 11 é ponto crítico Pois fx11 fy11 0 A II justifica a I Resposta A 1 fxy 3x y A função f está definida quando 3x y 0 ou seja y 3x Logo Df xy R² y 3x Resposta C 2 fxy 200 3x² 2y² 𝑼 22 22 f xy fx fy 6x 4y f 49 64 49 24 36 Como 𝑼 24 24 1 temos D𝑼 f 49 f 49𝑼 24 36 22 22 D𝑼 f 49 122 182 302 Resposta A Questão 1 Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais xy de um conjunto D um único valor real denotado por fxy O conjunto D é denominado domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f Com base nessas informações analise a função fxy 3x y Assinale a alternativa que contém o domínio da função A Df xy R² y 3x B Df xy R² y 3x C Df xy R² y 3x D Df xy R² y 3x E Df xy R² y 3x