Algebra Geometria Analitica Linera

Geometria Analítica e Álgebra Linear Pergunta 1 Opção A 6 3 9 Opção B 6 3 9 Opção C 639 Opção D 6 3 9 Opção E 6 3 9 Pergunta 2 Opção A Opção B Opção C Opção D Opção E Pergunta 3 Opção A Opção B Opção C Opção D Opção E Pergunta 4 Opção A Opção B Opção C Opção D Opção E Gabarito completo 1 v 6 3 9 2 a 3 ou a 1 3 3 x 3 6 9 4 projx v 4 0 0 projy v 0 3 0 projz v 0 0 2 A seguir apresento cada questão resolvida com o passo a passo 1 Questão 1 1 O vetor v x y z é paralelo a u 2 1 3 e satisfaz v u 42 Determine v Solução Se v é paralelo a u existe um escalar t R tal que v tu t2 1 3 Usando a condição do produto escalar v u tu u 42 Calculemos u u u u 22 12 32 4 1 9 14 Assim 14t 42 t 3 Portanto isso especifica o vetor v como v 32 1 3 6 3 9 2 Questão 2 2 Encontre a de modo que o ângulo entre u 2 1 e v 1 a seja 45 Solução Pela fórmula do produto escalar em R2 u v u v cos θ u v u v cos 45 u v 2 Calculamos os termos u v 2 1 1 a 2 a u 22 12 5 v 1 a2 Logo 2 a 5 1 a2 2 Elevando ao quadrado 2 a2 51 a2 2 Multiplicando por 2 e desenvolvendo 24 4a a2 5 5a2 8 8a 2a2 5 5a2 Reorganizando 0 3a2 8a 3 Resolvendo a quadrática a 8 64 36 6 8 10 6 Portanto as soluções são a 3 ou a 1 3 3 Questão 3 3 Dados A4 0 1 B2 2 1 u 2 1 1 e v 1 2 3 determine o vetor x tal que 3x 2v x AB uv Solução Primeiro calculemos AB B A AB 2 4 2 0 1 1 2 2 2 Agora o produto escalar com u AB u 2 2 2 1 2 1 4 2 2 4 Substituindo na equação dada 3x 2v x 4v x 4v Isolando x 3x x 4v 2v 2x 6v Logo x 3v 31 2 3 3 6 9 4 Questão 4 4 Os vetores projeção de v 4ı 3ȷ 2k sobre os eixos x y e z respectivamente Solução A projeção de v sobre o eixo x é apenas a componente x na direçãoı projx v 4 0 0 4ı A projeção de v sobre o eixo y é apenas a componente y na direçãoı projy v 0 3 0 3ȷ A projeção de v sobre o eixo z é apenas a componente z na direçãoı projz v 0 0 2 2k Observação Veja que a projeção é em suma definida por proju v ˆu v em que ˆu é o versor vetor unitário de direção u Nos casos acima fizemos respectivamente u x u y e u z 5