Algebra Linear Completo - Espaços Vetoriais Autovalores e Aplicações

ÁLGEBRA LINEAR ÁLGEBRA LINEAR BELO HORIZONTE MG ÁLGEBRA LINEAR SUMÁRIO 1 SURGIMENTO E DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA LINEAR 4 11 Equações Algébricas e Notação 5 12 Álgebra no Egito 6 13 Álgebra Geométrica Grega 7 14 Álgebra na Europa 9 2 ESPAÇOS VETORIAIS ARBITRÁRIOS 10 21 Espaços Vetoriais Definição 10 22 Subespaços Vetoriais 11 23 Subespaço Gerador 12 24 Base de um Espaço Vetorial 12 25 Tipos de Espaços Vetoriais 13 3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ARBITRÁRIAS 13 31 Definição 13 32 Achando uma lei de formação 14 33 Transformação no plano 15 4 AUTOVALORES E AUTOVETORES 17 41 Sistemas Bidimensionais Abstratos 26 42 Propriedades de Autovalores 28 43 Traço com soma de Autovalores 28 44 Autovalores repetidos 30 45 Resolvendo equações a diferenças não diagonalizáveis 31 5 ESPAÇOS COM PRDUTO INTERNO 36 51 Produto Interno Euclidiano e a Adjunta de uma Transformação Linear 39 52 Vetores Ortogonais 40 53 Vetores Ortonormais 41 ÁLGEBRA LINEAR 54 Complemento Ortogonal 43 55 A Adjunta 46 6 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES 47 61 Diagonalização de Operadores 47 62 Diagonalização de uma matriz quadrada 47 7 APLICAÇÕES 49 8 FUNÇÕES QUADRÁTICAS 50 81 Funções Quadráticas Definidas 51 82 Matrizes quadradas e simétricas definidas 53 9 IDENTIFICAÇÃO DE CÔNICAS E QUADRÁTICAS 59 91 Sobre parametrização de curvas no plano e no espaço 60 92 Parametrização da circunferência em 60 93 Parametrização de uma hélice 61 94 Curvas especiais cônicas 63 95 Cônicas como secções planas do cone 63 96 Estudo da parábola 65 97 Mudança de Sistemas Cartesianos com Rotação nos Eixos 72 98 Estudo da elipse 74 99 Equação de uma elipse na forma paramétrica 79 910 Propriedade focal da elipse 80 911 Estudo da hipérbole 81 912 Propriedade focal da hipérbole 84 913 Classificação das cônicas 85 10 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 92 ÁLGEBRA LINEAR 1 SURGIMENTO E DESENVOLVIMENTO DA ÁLGEBRA LINEAR Estranha e intrigante é a origem da palavra álgebra Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como por exemplo a palavra aritmética que deriva do grego arithmos número Álgebra é uma variante latina da palavra árabe aljabr às vezes transliterada al jebr usada no título de um livro Hisab aljabr walmuqabalah escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibnMusa al Khowarizmi Maomé filho de Moisés de Khowarizmi Este trabalho de álgebra é com frequência citado abreviadamente como Al jabr Uma tradução literal do título completo do livro é a ciência da restauração ou reunião e redução mas matematicamente seria melhor ciência da transposição e cancelamento ou conforme Boher a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação e o cancelamento de termos semelhantes iguais em membros opostos da equação Assim dada a equação Talvez a melhor tradução fosse simplesmente a ciência das equações Ainda que originalmente álgebra refirase a equações a palavra hoje tem um significado muito mais amplo e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases Álgebra antiga elementar é o estudo das equações e métodos de resolvêlas Álgebra moderna abstrata é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos anéis e corpos para mencionar apenas algumas De fato ÁLGEBRA LINEAR é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual 11 Equações Algébricas e Notação A fase antiga elementar que abrange o período de 1700 aC a 1700 dC aproximadamente caracterizouse pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações em geral coeficientes numéricos por vários métodos apresentando progressos pouco importantes até a resolução geral das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète também conhecido por Vieta 15401603 O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios o retórico ou verbal o sincopado no qual eram usadas abreviações de palavras e o simbólico No último estágio a notação passou por várias modificações e mudanças até tornarse razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton É interessante notar que mesmo hoje não há total uniformidade no uso de símbolos Por exemplo os americanos escrevem 31416 como aproximação de Pi e muitos europeus escrevem 31416 Em alguns países europeus o símbolo significa menos Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi A explanação naturalmente é feita em português e usase a notação decimal indoarábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna Eis o exemplo 1 Comprimento largura Multipliquei comprimento por largura obtendo assim a área 252 Somei comprimento e largura 32 Pedese comprimento e largura ÁLGEBRA LINEAR Notase que na etapa 1 o problema é formulado na 2 os dados são apresentados na 3 a resposta é dada na 4 o método de solução é explicado com números e finalmente na 5 a resposta é testada A receita acima é usada repetidamente em problemas semelhantes Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema A O procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver digamos a primeira equação para y em termos de x substituir na segunda equação e então resolver a equação quadrática resultante em x isto é usaríamos o método de substituição Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico Ou seja usandose notação moderna eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita ou parâmetro t fazendo xk2t e yk2t Então o produto xy k2 t k2 t k22 t2 P Levavaos à relação B k22 P t2 Em segundo lugar o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega geométrica dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução traduzida entretanto em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas Alguns séculos depois outro grego Diofanto também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações diofantinas Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica Em terceiro lugar os matemáticos árabes inclusive alKhowarizmi não usavam o método empregado no problema acima preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números Antes de deixar a álgebra babilônica notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas todas com coeficientes numéricos naturalmente 12 Álgebra no Egito A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica bem como a variedade de equações resolvidas a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind documentos egípcios que datam de cerca de 1850 aC e 1650 aC respectivamente mas refletem métodos matemáticos de um período anterior Para equações lineares os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome um tanto abstruso de regra da falsa posição A álgebra do Egito como a da Babilônia era retórica ÁLGEBRA LINEAR O sistema de numeração egípcio relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indoarábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações 13 Álgebra Geométrica Grega A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica Por exemplo o que nós escrevemos como ab2 a2 2ab b2 Era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos livro II proposição 4 Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm Isto é ab2 a2 2ab b2 Somos tentados a dizer que para os gregos da época de Euclides a2 era realmente um quadrado Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e de fato seguiam os métodospadrão babilônios de resolução de equações Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos Para ilustrálo escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima Do livro VI dos Elementos temos a proposição 28 uma versão simplificada Dada uma linha reta AB isto é xyk construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área xy P admitindo que o retângulo fique aquém em AB por uma quantidade preenchida por outro retângulo o quadrado BF na Figura 2 semelhante a um dado retângulo que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado ÁLGEBRA LINEAR Na solução desta construção solicitada Fig2 o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente Conforme indicado por TL Heath EUCLID II 263 os passos são os seguintes Como fazia frequentemente Euclides deixou o outro caso para o estudante neste caso x k2 t o que Euclides certamente percebeu mas não formulou É de fato notável que a maior parte dos problemaspadrão babilônicos tenham sido refeitos desse modo por Euclides Mas por quê O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada A resposta é básica eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações tratando as como razões de inteiros eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2 por exemplo Lembramos o escândalo lógico dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado ou seja diaglado é diferente da razão de dois inteiros Assim foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos Pois ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário Talvez não seja ÁLGEBRA LINEAR apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear De passagem devemos mencionar Apolônio c 225 aC que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas De fato seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas toda fraseada em terminologia geométrica do que os cursos universitários de hoje A matemática grega deu uma parada brusca A ocupação romana tinha começado e não encorajava a erudição matemática ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita necessitava de um meio de comunicação vivo oral Era possível seguir o fluxo de ideias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse mas as escolas de instrução direta não sobreviveram 14 Álgebra na Europa A álgebra que entrou na Europa via Liber abaci de Fibonacci e traduções havia regredido tanto em estilo como em conteúdo O semisimbolismo sincopação de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores Facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indoarábico muito superior aos sistemas tais como o romano que requeriam o uso do ábaco Invenção da imprensa com tipos móveis que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações baseada em ampla distribuição Ressurgimento da economia sustentando a atividade intelectual e a retomada do comércio e viagens facilitando o intercâmbio de ideias tanto quanto de bens Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início1 1 Texto extraído de wwwsomatematicacombr ÁLGEBRA LINEAR 2 ESPAÇOS VETORIAIS ARBITRÁRIOS 21 Espaços Vetoriais Definição Observação Os elementos do espaço vetorial V são chamados vetores Se na definição tomarmos como escalares o conjunto C dos números complexos V seria um espaço vetorial complexo Exemplo 1 V R² x y x y R é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real definidas usualmente 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝛼 𝑥1 𝑦1 𝛼𝑥1 𝛼𝑦1 ÁLGEBRA LINEAR Verifique os oito axiomas do espaço vetorial considere 𝒖 𝑥1 𝑦1 𝒗 𝑥2 𝑦2 𝑒 𝒘 𝑥3 𝑦3 22 Subespaços Vetoriais A definição parece indicar que para um subconjunto S ser subespaço vetorial de V se deveria fazer a verificação em S dos oito axiomas de espaço vetorial relativos à adição e à multiplicação por escalar Entretanto como S é parte de V que é espaço vetorial não é necessária essa verificação Por exemplo o axioma da comutatividade da adição é válido para todos os vetores de V ela valerá para todos os vetores de S A seguir as condições para um subconjunto S ser um subespaço vetorial de V Um subconjunto S nãovazio de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições I Para quaisquer u v S u v S II Para quaisquer α R u S αu S Todo espaço vetorial V 0 admite pelo menos dois subespaços o conjunto 0 chamado subespaço zero ou subespaço nulo e o próprio espaço vetorial V Esses dois são os subespaços triviais de V Os demais são denominados subespaços próprios de V Os subespaços triviais do R² por exemplo são 0 0 e R² enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem do sistema de referência De modo análogo os subespaços triviais do R³ são 0 0 0 e o R³ os subespaços próprios do R³ são as retas e os planos que passam pela origem do sistema de referência Exemplo 2 Verificar se os conjuntos são subespaços vetoriais de V ÁLGEBRA LINEAR a Sejam V R² e S x y R² y 2x ou S x 2x x R b Sejam V R² e S x y R² y 4 2x ou S x 4 2x x R c Sejam V R³ e S x y 0 x y R isto é S é o conjunto dos vetores do R³ que têm a terceira componente nula d Sejam V R³ e S x y z R³2x 3y 4z 0 23 Subespaço Gerador Gerador do espaço é um conjunto de vetores pelo qual podese gerar todos os elementos do espaço Suponha que 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 são vetores em um espaço vetorial V Dizse que esses vetores geram V se V consiste de todas as combinações lineares de 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 isto é se todo vetor v em V pode ser expresso na forma v 𝑎𝒗1 𝑏𝒗2 𝑘𝒗𝑛 onde a b k são os escalares Exemplo 3 a Os vetores u 1 0 e v 0 1 geram o espaço vetorial R² b Os vetores u 1 0 0 v 0 1 0 e w 0 0 1 geram o espaço vetorial R³ 24 Base de um Espaço Vetorial Se V é um espaço vetorial qualquer e B 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 é um conjunto de vetores em V dizemos que B é uma base de V se valerem as seguintes condições B é linearmente independente B gera V ÁLGEBRA LINEAR 25 Tipos de Espaços Vetoriais Espaço Vetorial Euclidiano É qualquer espaço que possui um número finito de dimensões e possui uma operação denominada produto interno Espaço de Hilbert É qualquer espaço vetorial que possui uma operação denominada produto interno e cuja métrica gerada por esse produto interno o torne um espaço completo Espaço Normado É qualquer espaço vetorial que possui uma norma definida Espaço de Banach É um espaço normado completo na métrica gerada por esta norma Espaço Vetorial Topológico Se existe uma topologia compatível com as operações de espaço vetorial 3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ARBITRÁRIAS 31 Definição Uma transformação linear T UV é uma função que associa os elementos de um espaço vetorial U com os de um espaço vetorial V que possui as seguintes propriedades Tu1u2 Tu1 Tu2 para todo u1 u2 U Tαu αTu para todo u U e para todo α ÁLGEBRA LINEAR No caso em que U V podemos chamar uma transformação linear F UU de operador linear Exemplos A aplicação F dada por F x y z x 2y 4z é uma transformação linear já que tomando uv sendo u u1 u2 u3 v v1 v2 v3 temos que F u v F u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1 v1 2u2 v2 4u3 v3 u1 2u2 4u3 v1 2v2 4v3 Fu Fv Fαu F αu1 αu2 αu3 αu1 2αu2 4αu3 α u1 2u2 4u3 αFu Assim como a aplicação DVV definida por Df f onde f é primeira derivada de uma função f Esta aplicação é linear pois se tomarmos α β fx gx temos Dαfx βgx αDfx βDgx Observação Isso também vale para a derivada de ordem n de uma função f que seja derivável e integrais de uma função f que seja integrável Lembrando que a Derivada e a Integral não são aplicações bijetoras 32 Achando uma lei de formação Podemos tentar achar uma lei de formação de uma transformação linear por exemplo temos que T ℝ²ℝ³ e T 21 130 e T 11 021 como podemos resolver Sabendo que 21 11 é base de ℝ² já que a21 b11 tem única solução para a b 0 e gera o espaço ℝ² pois n21 k11 x y temos o sistema 2n k x n k y resolvendo achamos que n x y e k 2y x podemos escrever qualquer vetor x y como uma combinação linear da base com n e k substituindo temos x y x y 2 1 2y x 1 1 Como T é uma transformação linear então T x y T x y 2 1 2y x 1 1 ÁLGEBRA LINEAR T x y x y T 2 1 2y x T 1 1 Substituindo pelos valores de T 21 e T 11 T x y x y 1 3 0 2y x 021 Operando a transformação que procuramos é T x y x y x y 2y x 33 Transformação no plano Considere todas as aplicações T como T ℝ²ℝ² algumas transformações que podemos fazer no plano são Reflexão em torno do eixo x T x y x y Reflexão em torno do eixo y T x y x y ÁLGEBRA LINEAR Reflexão em relação ao eixo y x T x y y x Expansão ou contração em no eixo x T x y kx y Expansão ou contração em no eixo x Expansão ou contração em no eixo y ÁLGEBRA LINEAR T x y x ky Expansão ou contração em eixo y E se fizermos a seguinte pergunta Qual a importância de aprender esse conteúdo É de extrema importância pois com esse conteúdo que vimos podemos girar rotacionar diminuir aumentar coisas no plano e no espaço Podemos aplicar a imagens por exemplo já que formam uma matriz gigante podendo assim transformar cada valor na matriz As transformações lineares também são aplicadas na computação gráfica usadas para por exemplo mudança de coordenadas do sistema RBG para XYZ Além das inúmeras aplicações na matemática e na física como por exemplo a diferenciação que é um operador linear no espaço vetorial de funções e podemos resolver equações diferenciais usando técnicas da álgebra linear 4 AUTOVALORES E AUTOVETORES Os autovalores de uma matriz n n são os n números que resumem as propriedades essenciais daquela matriz Como esses n números realmente caracterizam a matriz sendo estudada também são denominadas algumas vezes valores características ou valores próprios Definição Seja A uma matriz n n Um autovalor de A é um número tal que se for subtraído de cada entrada na diagonal de A converte A numa matriz singular Subtrair um escalar r de cada entrada diagonal de A é o mesmo que subtrair r vezes a matriz identidade I de A Portanto r é um autovalor de A se e somente se A rI é uma matriz singular Exemplo 1 ÁLGEBRA LINEAR Subtraindo 2 de cada entrada diagonal A transformamos essa matriz em singular Teorema As estradas de uma matriz diagonal D são autovalores de D Teorema Uma matriz quadrada A é singular se e somente se 0 é um autovalor de A Definição Matriz Singular Uma matriz A é singular se e somente se detA 0 Nesse caso r é um autovalor de A ou seja ArI é uma matriz singular se e somente se detArI 0 Para Ann o lado esquerdo da equação acima é um polinômio de grau n na variável r denominado polinômio característico de A O número r é um autovalor de A se e somente se r é uma zero do polinômio característico de A Seja A22 Portanto uma matriz 22 tem no máximo dois autovalores e uma matriz nn no máximo n autovalores Definição Quando r é um autovalor de A e um vetor não nulo V tal que ArIV 0 Então denominamos V um autovetor de A associado ao autovalor r Av rIV 0 Av rV ÁLGEBRA LINEAR Teorema Seja Ann e r um escalar Então as seguintes afirmações são equivalentes A subtração de r de cada elemento da diagonal de A transforma A em uma matriz Singular ArI é uma matriz Singular detArI 0 detArIV 0 para algum vetor V não nulo AV rV Exemplo Vejamos a seguinte matriz As raízes do polinômio característico 3 e 2 autovalores Vejamos os autovetores ÁLGEBRA LINEAR A rIV 0 A 2IV 0 3 3 2 2 2 0 0 2 V 0 3 3 2 1 V1 V2 0 3V1 3V2 0 V1 V2 2V1 2V2 0 V2 V1 A 3rIV 0 1 3 2 0 3 0 0 3 V 0 2 3 2 3 V1 V2 0 2V1 3V2 0 V1 32 V2 62 V2 3V2 0 r 3 1 23 3 2 32 1 r 2 1 1 ÁLGEBRA LINEAR Definição O conjunto unidimensional da equação linear arIV 0 incluindo V 0 é denominado autoespaço de A em relação a r Exemplo ÁLGEBRA LINEAR V1 V2 0 auto vetor para r 5 V2 1 0 V3 0 Para r 1 B 1IV 2 0 2 0 6 0 3 0 3 V1 V2 V3 0 2V1 2V3 0 6V2 0 3V1 3V3 0 Solução V2 0 e V1 V3 1 0 1 2 0 0 2 Para r 4 2 0 3 Em alguns casos é necessário utilizar eliminação gaussiana para solucionar o sistema linear A rIV 0 ÁLGEBRA LINEAR Teorema Os autovalores de uma matriz triangular são as suas entradas diagonais Triangular superior 22 Teorema Seja A uma matriz invertível Se ArIV 0 então A2 1 r IV 0 isto é se A é invertível r é seu autovalor se e somente se 1 r é um autovalor de A1 Demonstração Exemplo Equações lineares a diferenças ÁLGEBRA LINEAR Exemplo Modelo de Leslie As duas matrizes dos coeficientes são inversas uma da outra ÁLGEBRA LINEAR Está facilmente desacoplado ÁLGEBRA LINEAR 41 Sistemas Bidimensionais Abstratos Zn1 AZn Vamos reproduzir o exemplo anterior mas utilizaremos notação matricial abstrata Escreva P e P1 para as matrizes de mudança de coordenadas Teorema Seja A uma matriz kk Sejam r1 rk autovalores de A e V1 V2 Vk os autovetores associados Forme a matriz ÁLGEBRA LINEAR Reciprocamente se P1AP é uma matriz diagonal D então as colunas de P são autovetores de A e todas entradas da diagonal D são autovalores de A Teorema Seja A uma matriz k k com h autovalores distintos r1rh Sejam V1Vhos autovalores Então V1Vh são linearmente independentes ou seja nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos demais Teorema Seja A uma matriz k k com k autovalores reais e distintos r1rk e autovetores associados V1Vk Então a solução geral do sistema de equações a diferenças zn1 Azn é zn C1r n 1 V1 Ckr n k Vk Teorema Seja A uma matriz k k Suponha que exista uma matriz não singular P tal que ÁLGEBRA LINEAR Teorema Se a matriz A de tamanho kk tem k autovetores reais distintos então todas as soluções do sistema linear geral de equações a diferenças zn1 Azn tendem a zero se e somente se todos os autovalores de A têm valor absoluto menor do que 1 42 Propriedades de Autovalores Do ponto de vista prático os autovalores de uma matriz A de tamanho k k são simplesmente os zeros do polinômio característico de A o polinômio de grau K dado por p r det ArI De fato há 3 possibilidades para as raízes de p r pr tem K raízes reais distintas pr tem algumas raízes repetidas ou pr tem algumas raízes complexas 43 Traço com soma de Autovalores Definição O traço de uma matriz quadrada é a soma das suas entradas diagonais trA a11 a22 a33 akk Teorema Seja Ak k com autovalores r1 rk Então r1 r2 rk trA e r1r2rk detA Demonstração ÁLGEBRA LINEAR Exemplo Para matrizes markovianas a soma da coluna é sempre 1 logo ele é um autovalor ÁLGEBRA LINEAR 44 Autovalores repetidos Definição Uma matriz A que tem um autovalor de multiplicidade m 1 mas não possui m autovalores independentes associados a esse autovalor é denominada matriz não diagonalizável ou defectiva Teorema Seja A uma matriz 22 com dois autovalores iguais Então A é diagonalizável se e somente se A já é diagonal Demonstração Se A é diagonalizável pela mudança de variáveis P então as entradas na diagonal de P 1AP são os autovalores de A Seja o único autovalor de A Então P 1AP deve ser a matriz Definição Seja r um autovalor da matriz A Um vetor nãonulo v tal que mas Imv 0 para algum inteiro m 1 é denominado um autovetor generalizado de A associado a r Exemplo ÁLGEBRA LINEAR Teorema Seja A uma matriz 22 com dois autovalores iguais r r Então a ou A tem dois autovetores independentes associados a r e neste caso A é a matriz diagonal rI b ou A tem somente um autovetor independente digamos v1 tal que Ar Iv2 v1 e se P v1v2 então 45 Resolvendo equações a diferenças não diagonalizáveis Vamos solucionar um sistema de equações a diferenças zn1 Azn quando A não é diagonalizável ÁLGEBRA LINEAR Agora temos uma equação a diferenças linear homogênea e escalar para resolver Vamos iterar a equação 34 a partir de n 0 para descobrirmos a solução geral ÁLGEBRA LINEAR Para ver que 35 é a solução geral de 34 substituaa em 34 Teorema Seja A uma matriz 2 2 com um autovalor múltiplo r e somente um autovetor independente v1 Seja v2 um autovetor generalizado associado a v1 e r Então a solução geral ÁLGEBRA LINEAR do sistema de equações a diferenças zn1 Azn é zn c0rn nc1rn1 v1 c2rn v2 Teorema Seja A uma matriz k k com entradas reais Se r α iβ é um autovalor de A também seu complexo conjugado r αiβ é um autovalor Se uiv é um autovetor para αiβ então uiv é um autovetor para αiβ Se k é ímpar então A deve possuir pelo menos um autovalor real Seja ÁLGEBRA LINEAR Teorema Seja A uma matriz 22 real com autovalores complexos α iβ com autovetores complexos associados u iv Escreva os autovalores α iβ em coordenadas polares como r cosθ isenθ onde2 2 Texto extraído de wwwrodrigofernandezcombr ÁLGEBRA LINEAR 5 ESPAÇOS COM PRDUTO INTERNO Produto interno no espaço vetorial V é uma função de V V em IR que a todo par de vetores u v V V associa um número real indicado por u v ou tal que os seguintes axiomas sejam verificados P1 uv vu P2 u v w uv uw P3 uv uv IR P4 uu 0 e uu 0 se e somente se u 0 Dos quatro axiomas decorrem as propriedades 0 u u 0 0 u V u v w u w v w U v u v IR U v1 v2 vn u v1 u v2 u vn Exemplos ÁLGEBRA LINEAR P2 Se ω x3 y3 então μ v ω x1 y1 x2 x3 y2 y3 2x1 x2 x3 5y1 y2 y3 2x1x2 5y1y2 2x1x3 5y1y3 μ v μ ω P3 α μ v αx1 αy1 x2 y2 2αx1x2 5 αy1 y2 α2x1x2 5y1y2 αμ v P4 μ μ 2x1x1 5y1y1 2x12 5y12 0 e μ μ 2x12 5y12 0 se e somente se x1 y1 0 isto é se μ 00 0 O produto interno examinado neste exemplo é diferente do produto interno usual no IR2 este seria definido por μ v x1x2 y1y2 Daí se depreende ser possível a existência de mais um produto interno num mesmo espaço vetorial 2 O número uv 2x₁x₂ y₁²y₂² sendo u x₁ y₁ e v x₂ y₂ não define no IR² um produto interno Nesse caso não se verificam os axiomas P₂ e P₃ Considerando o axioma P₃ temse αuv αx₁ αy₁x₂ y₂ 2αx₁x₂ α²y₁²y₂² αuv α2x₁x₂ y₁²y₂² 2αx₁x₂ αy₁²y₂² e portanto αuv αuv Problemas resolvidos 1 Em relação ao produto interno usual do IR² calcular μv sendo a μ 2 6 e v 3 4 b μ 4 8 e v 0 0 Solução a μv 23 64 6 24 30 b μv 40 80 0 0 0 ÁLGEBRA LINEAR 51 Produto Interno Euclidiano e a Adjunta de uma Transformação Linear ÁLGEBRA LINEAR Definição 52 Vetores Ortogonais Definição Um conjunto de vetores A v1 v2 vn em Rn é um conjunto ortogonal se Além disso se A é ortogonal então todos estes vetores são LI Demonstração É óbvio pela definição de produto interno euclidiano que se dois vetores são ortogonais então Por outro lado sabendo que é um conjunto ortogonal então devemos provar que este conjunto é LI De fato temos que ÁLGEBRA LINEAR 53 Vetores Ortonormais Definição Nota A projeção do vetor v sobre o vetor u é dada por ÁLGEBRA LINEAR Basta lembrar que Demonstração ÁLGEBRA LINEAR 54 Complemento Ortogonal Definição Exemplo Proposição ÁLGEBRA LINEAR Demonstração Teorema Demonstração Tomemos uma base ortonormal de V v1 v2 vn Se u 𝜖 V então v from i1 to n v ui ui Lv from i1 to n v ui Lui Lv from i1 to n v ui Lui Lv v from i1 to n Lui ui Agora tomando u from i1 to n Lui ui segue a igualdade Lv v u v V Suponha que exista w V tal que Lv v w Então v u v w v u w 0 v V Logo u w 0 ou u w 55 A Adjunta A adjunta Definição Sejam V e W dois espaços vetoriais com um produto interno e T V W é uma aplicação linear Então a aplicação T W V é a adjunta de T se Tv u v Tu u v V Exemplo Seja T R² R² tal que Txy 3x 8x y O operador T R² R² tal que Txy 3x 8y y é o operador adjunto de T Vamos verificar isto tomando dois vetores em R² Sejam eles v x₁ y₁ e u x₂ y₂ então Tv u v Tu 3x₁ 8x₁ y₁x₂ y₂ x₁ y₁3x₂ 8y₂ y₂ 3x₁x₂ 8x₁y₂ y₁y₂ 3x₁x₂ 8x₁y₂ y₁y₂ Teorema Seja V um espaço vetorial com produto interno e de dimensão finita e T V V um operador linear Se β v₁ v₂ vₙ é uma base ortonormal de V e A Tβ então aᵢⱼ Tvⱼ vᵢ Demonstração Observe em primeiro lugar que cada coluna de Tβ é dada pelas coordenadas do vetor Tvⱼ from k1 to n aₖⱼvₖ Daí Tvⱼ vᵢ k1 to n aₖⱼvₖ vᵢ k1 to n aₖⱼvₖ vᵢ aᵢⱼ ÁLGEBRA LINEAR 6 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES LINEARES 61 Diagonalização de Operadores Sabese que dado um operador linear T V V a cada base B de V corresponde uma matriz TB que representa T na base B O objetivo aqui é encontrar uma base do espaço vetorial V de tal modo que a matriz de T seja a mais simples possível isto é de modo que esta matriz seja diagonal 62 Diagonalização de uma matriz quadrada Uma matriz quadrada A é dita diagonalizável se existir uma matriz invertível P tal que P 1AP é uma matriz diagonal Dizemos então que a matriz P diagonaliza A ÁLGEBRA LINEAR Teorema Se uma matriz A n x n é diagonalizável Então A possui n autovetores linearmente independentes Demonstração ÁLGEBRA LINEAR 7 APLICAÇÕES Muitos fenômenos que ocorrem na Física na Química na Biologia na Engenharia e na Economia podem ser descritos por modelos matemáticos envolvendo equações diferenciais isto é equações envolvendo funções e suas derivadas Vamos aplicar o que vimos até aqui na resolução de alguns tipos de sistemas de equações diferenciais simples Iniciemos lembrando que uma das equações diferenciais mais simples podem ser escritas da seguinte forma ÁLGEBRA LINEAR 8 FUNÇÕES QUADRÁTICAS Denominação de uma função especial definida genericamente por Em termos matriciais a função quadrática pode ser representada por ÁLGEBRA LINEAR Por exemplo 81 Funções Quadráticas Definidas Dizse que uma função quadrática é definida se para todo x Rn tal que x 0 ela apresentar os seguintes resultados Qx 0 caso em que a função é Definida Positiva Qx 0 caso em que a função é Definida Negativa Se admitirmos a possibilidade da função quadrática assumir o valor zero para pelo menos um x ℝⁿ tal que x 0 então dizemos que essa função é Semidefinida Qx 0 caso em que a função é Semidefinida Positiva Qx 0 caso em que a função é Semidefinida Negativa OBS Se Qx é tal que dependendo do x ela pode assumir valores positivos e negativos então dizse que ela é do tipo indefinido 1 Definida Positiva Qx₁x₂ x₁² x₂² ÁLGEBRA LINEAR Como toda matriz quadrada e simétrica pode ser utilizada para se obter uma função quadrática podese então utilizar a tipologia desta apresentada acima para a seguinte definição 82 Matrizes quadradas e simétricas definidas Dizse que uma matriz simétrica de ordem n x n é definida se para todo x ÁLGEBRA LINEAR Rn tal que x 0 ela é tal que xT Ax 0 caso em que a matriz é Definida Positiva xT Ax 0 caso em que a matriz é Semidefinida Positiva xT Ax 0 caso em que a matriz é Definida Negativa xT Ax 0 caso em que a matriz é Semidefinida Negativa Portanto para quaisquer valores de x₁ e x₂ com pelo menos um deles diferente de zero temos que Qx₁x₂ 0 se e somente se a 0 e ac b² 0 Qx₁x₂ 0 se e somente se a 0 e ac b² 0 Mas podemos observar que ac b² a b b c e a a Portanto aqueles dois resultados podem ser reescritos como Qx₁x₂ 0 se e somente se a 0 e a b b c 0 Qx₁x₂ 0 se e somente se a 0 e a b b c 0 Ou seja a matriz será definida positiva ou negativa dependendo da combinação de sinais do seu próprio determinante e do determinante da submatriz resultante da eliminação da sua última linha e última coluna Mas esses determinantes são conhecidos e denominados de Menores Principais de ordem 2 e 1 respectivamente Para conhecer isso vamos considerar os seguintes conceitos associados a qualquer matriz quadrada Definição 1 Seja A uma matriz de ordem n x n Uma submatriz desta de ordem k x k formada pela eliminação de quaisquer nk colunas e linhas de mesmas posições é chamada de Submatriz Principal de ordem k de A Definição 2 O determinante de uma submatriz principal de ordem k de A é chamado de Menor Principal de ordem k de A Exemplo Considere a matriz de ordem 3 x 3 A a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ Essa matriz possui os seguintes menores principais um menor principal de ordem 3 a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ três menores principais de ordem 2 a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a₂₂ a₂₃ a₃₂ a₃₃ a₁₁ a₁₃ a₃₁ a₃₃ três menores principais de ordem 1 a₁₁ a₂₂ a₃₃ Definição 3 Se a submatriz principal de ordem k de A é obtida pela eliminação das últimas nk colunas e linhas de mesmas posições então a mesma é denominada especificamente de Submatriz Principal Líder de ordem k de A ou simplesmente de késima Submatriz Principal de A Definição 4 O determinante da késima submatriz principal de A ou submatriz principal líder de ordem k de A é denominado de késimo Menor Principal de A ou também por Menor Principal Líder de ordem k de A Exemplo Uma matriz A de ordem 4 x 4 apresenta os seguintes késimos menores principais Primeiro menor principal a11 Segundo menor principal a11 a12 a21 a22 Terceiro menor principal a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Quarto menor principal A TEOREMA Seja A uma matriz simétrica de ordem n x n Então A é DEFINIDA POSITIVA SEMIDEFINIDA POSITIVA se e somente se todos os seus n késimos menores principais são positivos não negativos ou seja se a11 0 0 a11 a12 0 0 a12 a22 a11 a12 a1n a12 a22 a2n 0 0 a1n a2n ann DEFINIDA NEGATIVA SEMIDEFINIDA NEGATIVA se e somente se os seus késimos menores principais são negativos não positivos para todos os k impares e positivos não negativos para todos os k pares ou seja se a11 0 0 a11 a12 0 0 a12 a22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 0 0 a31 a32 a33 a11 a12 a1n a12 a22 a2n 0 0 se n e par a1n a2n ann 0 0 se n e impar ÁLGEBRA LINEAR 9 IDENTIFICAÇÃO DE CÔNICAS E QUADRÁTICAS As cônicas são casos especiais de curvas e as quádricas casos especiais de superfícies Ambos podem ser apresentados parametricamente ou implicitamente Vamos introduzir esses conceitos passo a passo nas sessões a seguir ÁLGEBRA LINEAR 91 Sobre parametrização de curvas no plano e no espaço O conjunto imagem de uma curva parametrizada αI xt yt t I resp αI xt yt zt t I é chamado traço de α As curvas parametrizadas aparecem naturalmente na trajetória de uma partícula em movimento parametrizadas pelo tempo t O traçoo da curva corresponde ao conjunto de pontos por onde a partícula passa O intervalo I corresponde ao intervalo de tempo em que dura o movimento Mas os parâmetros podem representar outros elementos como veremos a seguir 92 Parametrização da circunferência em ÁLGEBRA LINEAR Qual é o centro Qual é o raio Descreva as diferenças entre as curvas parametrizações Interprete as parametrizações como trajetórias de uma partícula 93 Parametrização de uma hélice Considere a parametrização Esta é uma curva no espaço em que Que no plano Oxy é a equação da circunferência de raio 2 e centro na origem Isto quer dizer que a projeção ortogonal do traço da curva sobre o plano Oxy está contido na circunferência Então o traço da curva está sobre o cilindro de base circular de raio 2 e eixo Oz Esta curva é chamada de hélice A ilustração mostra a curva com o parâmetro t no intervalo I 0 2π e portanto é dado uma volta em torno do cilindro com uma diferença em z de 2π chamado passo da hélice Observe que o eixo Oz nesta ilustração está achatado Alguns dos pontos f0 2 0 0 fπ2 0 2 3π2 f3π2 0 2 9π2 f2π 2 0 6π f0 0 0 6π Após dar uma volta completa por exemplo de f0 a f2π a curva continua na forma f2nπ t ft 0 0 2nπ para t 0 2π e n 1 2 3 Podese estender para t 0 da mesma forma tomando n 1 2 3 Em geral uma hélice cilíndrica tem parametrização padrão dada por αt a cos t a sen t bt cujo passo é 2πb Estude o significado geométrico do sinal de b o que ocorre com a hélice quando b é negativo Curva de Viviani A curva parametriza αt 21 cos t sen t 2 sent2 t 2π 2π é uma curva espacial definida com parâmetro t no intervalo fechado dado É uma curva famosa chamada curva de Viviani descoberta em 1692 As coordenadas xt 21 cos t e yt 2 sen t satisfazem a equação x 22 y2 4 indicando que o traço da curva se projeta ortogonalmente na circunferência de centro 2 0 0 e raio 2 no plano Oxy isto é ÁLGEBRA LINEAR 94 Curvas especiais cônicas Vimos que a intersecção de dois planos resulta ser uma reta e também vimos a curva de Viviani como intersecção de uma casca esférica e uma casca cilíndrica Assim a intersecção de duas superfícies pode dar origem a curvas que podem possuir propriedades interessantes As cônicas são curvas planas que se originam da intersecção de cone circular por um plano As diversas posições desse plano em relação ao cone dão origem a cônicas particulares muito importantes como veremos a seguir 95 Cônicas como secções planas do cone Considere um cone circular de vértice V e eixo r cujas geratrizes formam ângulo θ com o eixo do cone ÁLGEBRA LINEAR Seja π o plano que secciona o cone Temos então os seguintes casos para a intersecção do cone com o plano 1 Se o plano π é perpendicular ao eixo do cone mas não passa pelo vértice V então a secção é uma circunferência Logo uma circunferência é uma cônica 2 Se π é paralelo a uma geratriz do cone e não contém V então a curva de intersecção é uma parábola 3 Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é maior que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz e π não passa pelo vértice a intersecção é uma elipse Um caso extremo é quando o ângulo é π2 e a elipse se torna uma circunferência ÁLGEBRA LINEAR Quando o plano π passa pelo vértice V e o ângulo entre π e o eixo é igual a θ a intersecção resulta em uma reta que é uma reta geratriz Quando o plano π passa pelo vértice V e o ângulo entre π e o eixo é menor que θ a intersecção resulta em um par de retas concorrentes Quando o plano π passa pelo vértice V e o ângulo entre π e o eixo é maior que θ a intersecção resulta em um ponto mais precisamente o vértice V As cônicas obtidas como intersecção do cone por planos passando pelo vértice V são exemplos de cônicas tidas como degeneradas Existem mais dois outros casos de cônicas degeneradas que não comparecem na intersecção do cone circular com o plano que são para de retas paralelas e vazio Estas cônicas podem ser obtidas como intersecção do cilindro com um plano Na Geometria Projetiva o cilindro é um cone com vértice no infinito Essas cônicas foram obtidas no espaço mas como são curvas planas isto é contidas num plano vamos passar ao estudo analítico das cônicas como curvas do plano isto é de 96 Estudo da parábola A parábola é uma curva plana caracterizada pela seguinte propriedade geométrica ÁLGEBRA LINEAR Essa propriedade pode ser demonstrada a partir de sua concepção como uma secção do cone mas não a faremos aqui O interessados podem procurar as construções de Dandelin Para obtermos uma equação para a parábola lançamos mão de um sistema de referencial cartesiano adequado no plano da parábola Seja então um sistema S O x y escolhido como segue ÁLGEBRA LINEAR Logo Elevando ao quadrado temos Esta é a equação reduzida da parábola Esta equação corrobora as observações geométricas feitas anteriormente 1 A origem O 00 satisfaz a equação da parábola É chamada vértice da parábola 2 Os pontos xy da parábola satisfazem a condição pois Além disso vemos que a parábola é simétrica em relação ao eixo Ox porque se x0 y0 satisfaz a equação então x0 y0 também y02 y2o 2px0 Por esta razão o eixo Ox é chamado eixo da parábola Alguns autores chamam p de parâmetro da parábola porém nestas notas esta denominação será evitada para não confundir com o parâmetro de uma curva parametrizada Estamos dizendo que uma parametrização da curva parábola y2 8x por exemplo pode ser dada pela aplicação Observamos também que outros autores utilizam p para denotar a semi A distância de ÁLGEBRA LINEAR distância do foco à diretriz Então antes de utilizar a notação veja a definição dentro do texto Fazendo a escolha do sistema de coordenadas S O x y de modo que o foco F esteja sobre o semieixo negativo de Ox a equação fica y2 2px onde p 0 é a distância do foco F à diretriz d agora no semiplano x 0 ÁLGEBRA LINEAR Exercício Deduzir a equação da parábola no sistema S O x y de modo que o foco se situe sobre o semieixo negativo de Oy e tenha V 0 0 Como fica a concavidade da curva Existe algum eixo de simetria Suponhamos agora que uma parábola tenha foco F 3 2 e tenha como diretriz o eixo Ox num sistema cartesiano Qual é a equação da parábola neste sistema Observemos que estamos numa situação diferente em que não estamos escolhendo o sistema de referências mas lidando com um sistema já dado Então não podemos de imediato escrever a equação como fizemos até agora ÁLGEBRA LINEAR A análise geométrica e algébrica que foi feita acima com a utilização de um sistema de referenciais cartesianos auxiliar funciona para o estudo de qualquer parábola que tenha eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados Suponhamos agora uma parábola com foco F 1 1 e vértice V O 0 0 Qual a equação da parábola Como o eixo de simetria é a reta contendo o foco e o vértice num sistema de coordenadas S O x y onde a semireta positiva de Oy é a semireta com origem O e contendo F e Ox perpendicular a Oy por O a equação da parábola é conhecida x2 2py Temos que Falta então conhecermos como escrever x e y em termos de x e y ÁLGEBRA LINEAR ÁLGEBRA LINEAR 97 Mudança de Sistemas Cartesianos com Rotação nos Eixos ÁLGEBRA LINEAR Esta última mudança de coordenadas pode ser feita sempre que o eixo de simetria da parábola não for paralelo a qualquer eixo coordenado mas o vértice continua na origem Numa situação mais geral quando o vértice V não é mais a origem e o eixo de simetria não é paralelo a nenhum dos eixos coordenadas devese efetuar duas mudanças de coordenadas uma envolvendo rotação dos eixos e uma outra envolvendo a translação na origem Exercício Obter a equação de uma parábola com foco F 3 2 p 3 e eixo de simetria na direção do vetor Quantas parábolas existem satisfazendo as condições dadas Qual a posição relativa entre elas Sugestão Defina um sistema de coordenadas novo S O x y com origem sobre o vértice existem duas possibilidades quais que deve estar sobre a reta r passando por F e com direção dada por Considere o novo eixo Oy na reta r sendo o semieixo positivo aquele que contém F Defina o eixo Ox de forma a obter um sistema com base positivamente orientada Nesse sistema obtenha a equação da parábola em termos de x e y Agora defina mais um sistema de coordenadas S O x y com mesma origem O e eixos Ox e Oy paralelos aos eixos do sistema original S O x y Para passar a equação da parábola para sistema S basta ver que o sistema S é obtido do sistema S por uma rotação nos eixos e aplicar a mudança correspondente Para obter a equação no sistema original basta agora aplicar a mudança descrita para translação na origem Observação A parábola não tem um ponto de simetria Só tem uma reta de simetria Esta propriedade a destaca de todas as outras cônicas ÁLGEBRA LINEAR 98 Estudo da elipse De maneira análoga ao estudo da parábola vamos estudar a cônica elipse a partir de suas propriedades geométricas Uma elipse é um conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos F1 e F2 é uma constante Então os dados geométricos essenciais de uma elipse são os pontos F1 e F2 chamados focos da elipse e uma medida fixada que denotaremos por 2a A distância entre F1 e F2 é chamada distância focal Se denotarmos distF1 F2 2c devemos ter ÁLGEBRA LINEAR claramente a condição 2a 2c o que implica a c Quando c 0 isto é F1 F2 a elipse se degernera numa circunferência Há quem prefira não chamar a circunferência de elipse Suponhamos então sempre c 0 quando nos referirmos a uma elipse Para estudar analiticamente uma elipse fixemos um sistema cartesiano adequado S O x y em que O é o ponto médio do segmento F1F2 o eixo Ox contendo os focos e o eixo Oy é a reta perpendicular a rF1 F2 por O ÁLGEBRA LINEAR A reta contendo os focos é chamado eixo focal Então o eixo Ox é o eixo focal nestas coordenadas Os focos são F1 c 0 e F2 c 0 Um ponto Px y é um ponto da elipse de focos F1 e F2 e constante 2a se distP F1 distP F2 2a por definição Então xc² y² xc² y² 2a Reescrevemos xc² y² 2a xc² y² e elevamos ambos os membros ao quadrado obtendo xc² y² 4a² 4axc² y² xc² y² Desenvolvendo e simplificando μ² 2cx μ² 4a² 4axc² y² μ² 2cx μ² 4cx 4a² 4axc² y² cx a² axc² y² cx a²² a²xc² y² c²x² 2a²cx a⁴ a²x² 2cx c² y² c²x² 2a²cx a⁴ a²x² μ²2cx a²c² a²y² a² c²x² a²y² a⁴ a²c² a²a² c² Como a c existe um único b 0 tal que a² c² b² Então a equação satisfeita por um ponto Px y da elipse no sistema cartesiano fixado é da forma b²x² a²y² a²b² ou ainda x²a² y²b² 1 chamada equação reduzida da elipse Podemos ver que a elipse nestas condições contém pontos dos eixos cartesianos Efetivamente os pontos A1 a 0 e A2 a 0 no eixo Ox satisfazem a equação Analogamente B1 0 b e B2 0 b no eixo Oy Estes 4 pontos são chamados vértices da elipse Temos que O é o ponto médio de A1A2 e de B1B2 Pela própria definição temos b a sendo portanto 2b distB1 B2 2a ÁLGEBRA LINEAR Como a equação analítica da elipse é quadrática em x e y x² a² y² b² 1 e portanto temos que a elipse é simétrica em relação dos eixos Ox e Oy e em relação ao centro O A razão e ca é chamada excentricidade da elipse e no caso é sempre estritamente menor que 1 Não vamos discorrer sobre este conceito mas deixamos registrado aqui que o significado geométrico da excentricidade pode ser dado por e cos βcos θ onde θ é o ângulo da geratriz do cone com o eixo e β é o ângulo entre o plano que secciona o cone com o eixo do cone recuperando a origem da cônica como intersecção do cone com um plano Assim a excentricidade mede a inclinação relativa do plano em relação ao cone Para a parábola por exemplo temos e 1 já que β θ Para a circunferência como β π2 temos que cos β 0 e portanto e 0 Numa elipse temos 0 e 1 Observemos que se e 0 teríamos c 0 e a b na equação da elipse o que significa que a elipse teria focos cada vez mais próximos e a equação da elipse tenderia a x² y² a² que é a equação da circunferência com centro O e raio a Observamos que se a escolha do sistema cartesiano fosse com Oy contendo os focos simétricos em relação a O portanto Ox conteria o eixo menor da elipse teríamos a equação na forma x²b² y²a² 1 com a b e a² c² b² De maneira análoga ao estudo feito com parábola se o eixo focal for paralelo a um dos eixos coordenados de um sistema cartesiano préestabelecido então a equação da elipse fica na forma i x x₀² a² y y₀² b² 1 ou ii x x₀² b² y y₀² a² 1 conforme o eixo focal é paralelo a Ox ou a Oy respectivamente com centro da elipse ponto médio dos focos em O x₀ y₀ ÁLGEBRA LINEAR Exemplo Suponha dada a equação quadrática 4x2 9y28x36y 4 0 Esta equação foi dada num sistema cartesiano fixado e como contém termos com x e y lineares e não quadráticos não conseguimos identificar imediatamente a curva em questão Vamos reescrever a equação 4x2 2x 9 y2 4y 4 0 O termo x2 2x pode ser completadocomo segue sem alterar o resultado x2 2x x2 2x 1 1 x 12 1 Analogamente y2 4y y2 4y 4 4 y 22 4 Assim ÁLGEBRA LINEAR 99 Equação de uma elipse na forma paramétrica No sistema cartesiano Oxy considere duas circunferências com centro O raios a e b respectivamente com a b Seja t um parâmetro angular medido no sentido antihorário a partir do semieixo positivo de Ox Sejam M e N respectivamente pontos das circunferências de raio a e b tais que as semiretas OM e ON formem ângulo orientado t com o semieixo positivo Ox como na figura Então M a cos t a sen t e N b cos t b sen t Seja P a cos t b sen t ponto com a abscissa de M e a ordenada de N ÁLGEBRA LINEAR 910 Propriedade focal da elipse Se P é um ponto da elipse de focos F1 e F2 então as semirretas PF1 e PF2 formam ângulos iguais com a reta tangente à elipse em P Esta propriedade é utilizada em espelhos elíticos dos dentistas e outras aplicações envolvendo ótica e acústica ÁLGEBRA LINEAR 911 Estudo da hipérbole Como c a existe um único número positivo b tal que c² a² b² Então b²x² a²y² a²b² ou seja x²a² y²b² 1 Esta equação é chamada equação reduzida da hipérbole Notemos que da equação seguem algumas propriedades importantes O é ponto de simetria da hipérbole chamado centro da hipérbole Os eixos Ox e Oy são eixos de simetria da hipérbole Não existem pontos da hipérbole sobre o eixo Oy quando o eixo focal é Ox De fato fazendo x 0 na equação reduzida temos y²b² 1 que não é satisfeita por nenhum ponto 0 y do eixo Oy Assim a hipérbole é constituída de 2 componentes disjuntas chamadas ramos da hipérbole O eixo Ox contém apenas 2 pontos da hipérbole chamados vértices da hipérbole Fazendo y 0 na equação temos x²a² 1 donde x a Logo V₁ a 0 e V₂ a 0 são os únicos pontos da hipérbole sobre o eixo focal Uma análise da equação da hipérbole x²a² y²b² 1 mostra que a equação pode ser reescrita como xa ybxa yb 1 donde os fatores devem ter necessariamente o mesmo sinal isto é xa yb 0 e xa yb 0 I ou xa yb 0 e xa yb 0 II No primeiro caso os pontos da hipérbole satisfazem y ba x e y ba x representado na figura como ramo I No segundo caso os pontos da hipérbole satisfazem y ba x e y ba x representado na figura como ramo II Equação x²a² y²b² 1 b² c² a² Centro O 0 0 Focos F₁ c 0 e F₂ c 0 Vértices V₁ a 0 e V₂ a 0 assíntota y bax assínteota u bax ÁLGEBRA LINEAR Quando o sistema é escolhido de modo que o eixo Oy seja o eixo focal e o centro em O a equação reduzida com constante 2a fixada fica Neste caso não existem pontos da hipérbole sobre o eixo Ox Observação 1 Não há necessidade de a b ou b a na notação da equação reduzida da hipérbole A relação que deve ser observada é sempre c a e c2 a2 b2 onde 2c é a distância focal e 2a é a constante da hipérbole ÁLGEBRA LINEAR 912 Propriedade focal da hipérbole Como no caso da elipse a hipérbole tem propriedade focal Se P é um ponto da hipérbole de focos F1 e F2 então as semirretas PF1 e PF2 formam ângulos iguais com a reta tangente à hipérbole em P Esta propriedade também é utilizada em aplicações envolvendo ótica como em construção de um certo tipo de telescópio ÁLGEBRA LINEAR 913 Classificação das cônicas Substituindo na equação da cônica temos ÁLGEBRA LINEAR Quando o sistema para o cálculo do centro é impossível temos o único caso de cônica sem centro que é a parábola Suponhamos agora somente as cônicas com centro C 0 0 Se a equação for da forma a11x2 a22y2 a33 0 sem termo misto 2a12xy então já podemos classificar ÁLGEBRA LINEAR Exemplos ÁLGEBRA LINEAR No caso de termos termo quadrático misto na equação da cônica com centro já devidamente colocado na origem temos px y a11x2 2a12xy a22y2 a33 0 Uma rotação nos eixos para deixar os eixos de simetria iguais aos eixos coordenados elimina o termo misto Caso contrário a rotação deve ser tal que tg 2θ 2a₁₂ a₁₁ a₂₂ Neste caso 2θ é o ângulo do triângulo retângulo de cateto oposto 2a₁₂ e cateto adjacente a₁₁ a₂₂ Se tg 2θ 0 posicionase o cateto oposto para baixo Encontrando a direção da bissetriz como diagonal de um losango obtémse cos θ sen θ desejado Também podese mostrar que A C a₁₁ a₂₂ e AC a₁₁a₂₂ a₁₂² ou seja a rotação dos eixos preserva o traço soma dos elementos da diagonal e o determinante da matriz da forma quadrática Q Tanto as direções quanto os novos coeficientes são facilmente obtidos se utilizarmos a técnica de autovalores e autovetores da Álgebra Linear No caso utilizamos a matriz da parte quadrática Q a₁₁ a₁₂ a₁₂ a₂₂ Os autovalores de Q são as raízes λ₁ e λ₂ do polinômio obtido quando se faz det a₁₁ λ a₁₂ a₁₂ a₂₂ λ 0 Um autovetor de Q associado ao autovalor λ é um vetor não nulo v a b tal que a₁₁ λ a₁₂ a₁₂ a₂₂ λ a b 0 0 A nova equação da cônica fica λ₁ x² λ₂ y² a₃₃ 0 onde o eixo Ox tem a direção do autovetor de λ₁ Por exemplo a cônica de equação x² 2xy 3y² 1 0 tem centro na origem pois a equação não tem termos lineares e eixos de simetria não paralelo a eixo coordenado A matriz da parte quadrática da cônica é Q 1 1 1 3 Para calcular os autovalores achamos o polinômio pλ detQ λI 1 λ 1 1 3 λ 1 λ3 λ 1 λ² 4λ 2 As raízes do polinômio também conhecido como polinômio característico de Q são λ₁ 4 8 2 2 2 e λ₂ 2 2 Logo existe um sistema cartesiano S O x y onde a equação fica 2 2x² 2 2y² 1 0 Como 2 2 0 e o termo constante é 1 0 temos que a cônica é uma elipse Exercício calcular a b c e e da elipse ÁLGEBRA LINEAR No caso de parábolas ao se tentar calcular o centro vimos que este não existe Para desenhálo num caso geral primeiro se aplica a rotação dos eixos de ÁLGEBRA LINEAR forma que o termo misto desapareça exatamente como foi feito acima tomando o cuidado de alterar a parte linear Esta rotação dos eixos coordenados deixa o eixo de simetria da parábola paralelo a um dos novos eixos coordenados Depois fazse uma translação da origem para que o vértice fique na nova origem3 3 Texto extraído de wwwsweetuaptcombr ÁLGEBRA LINEAR 10 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ANTON H BUSBY R Álgebra Linear Contemporânea Bookman 2006 ANTON RORRES Álgebra Linear com Aplicações Bookman 2001 BOLDRINI J L COSTA S R C FIGUEIREDO V L WETZLER H G Álgebra Linear Editora Harbra Ltda São Paulo 1986 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR CALLIOLI C A DOMINGUES H H COSTA R C F Álgebra Linear e Aplicações Atual Editora 1987 NOBLE B DANIEL J W Álgebra Linear Aplicada PrenticeHall do Brasil 1977 POOLE D Álgebra Linear Thomson 2004