Algebra Linear - Elon Lages Lima - Livro Completo

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Álgebra Linear pruv vuuu u COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA Elon Lages Lima Álgebra Linear Este livro ganhou o prêmio Jabuti de Ciências Exatas e Tecnologia outorgado pela Câmara Brasileira do Livro em 1996 Lima Elon Lages Álgebra linear Elon Lages Lima 1ed Rio de Janeiro IMPA 2014 357 p il 23 cm Coleção matemática universitária Inclui bibliografia eISBN 9788524403903 1 Matrizes 2 Espaços Vetoriais I Título II Série CDD512 COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA Álgebra Linear Elon Lages Lima INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Copyright 2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil Printed in Brazil Capa Rodolfo Capeto Noni Geiger e Sérgio R Vaz Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial Elon Lages Lima S Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados Análise Real vol 1 Funções de uma Variável Elon Lages Lima EDP Um Curso de Graduação Valéria Iório Curso de Álgebra Volume 1 Abramo Hefez Álgebra Linear Elon Lages Lima Introdução às Curvas Algébricas Planas Israel Vainsencher Equações Diferenciais Aplicadas Djairo G de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves Geometria Diferencial Paulo Ventura Araújo Introdução à Teoria dos Números José Plínio de Oliveira Santos Cálculo em uma Variável Complexa Marcio G Soares Geometria Analítica e Álgebra Linear Elon Lages Lima Números Primos Mistérios e Recordes Paulo Ribenboim Análise no Espaço Rn Elon Lages Lima Análise Real vol 2 Funções de n Variáveis Elon Lages Lima Álgebra Exterior Elon Lages Lima Equações Diferenciais Ordinárias Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes Análise Real vol 3 Análise Vetorial Elon Lages Lima Álgebra Linear Exercícios e Soluções Ralph Costa Teixeira Números Primos Velhos Mistérios e Novos Recordes Paulo Ribenboim Distribuição IMPA Estrada Dona Castorina 110 22460320 Rio de Janeiro RJ email ddicimpabr httpwwwimpabr Prefacio Algebra Linear e o estudo dos espacos vetoriais e das transformacoes lineares entre eles Quando os espacos tˆem dimensoes finitas as transformacoes lineares possuem matrizes Tambem possuem ma trizes as formas bilineares e mais particularmente as formas qua draticas Assim a Algebra Linear alem de vetores e transformacoes lineares lida tambem com matrizes e formas quadraticas Sao nu merosas e bastante variadas as situacoes em Matematica e em suas aplicacoes onde esses objetos ocorrem Daı a importˆancia central da Algebra Linear no ensino da Matematica O presente livro apresenta uma exposic ao introdutoria de Alge bra Linear Ele nao pressupoe conhecimentos anteriores sobre o as sunto Entretanto convem lembrar que a posic ao natural de um tal curso no currıculo universitario vem apos um semestre pelo menos de Geometria Analıtica a duas e trˆes dimensoes durante o qual o estudante deve adquirir alguma familiaridade em nıvel elementar com a representac ao algebrica de ideias geometricas e viceversa Tornouse quase obrigatorio ja faz alguns anos dedicar as pri meiras sessenta ou mais paginas de todo livro de Algebra Linear ao estudo dos sistemas de equacoes lineares pelo metodo da eliminac ao gaussiana motivando assim a introduc ao das matrizes e dos deter minantes Somente depois disso sao definidos os espacos vetoriais Esse costume nao e seguido neste livro cuja primeira sentenca e a definic ao de espaco vetorial Mencionarei trˆes razoes para isso a A definic ao de Algebra Linear dada acima b Nao vejo vantagem em longas motivacoes c Sistemas lineares sao entendidos mais in teligentemente depois que ja se conhecem os conceitos basicos de Algebra Linear De resto esses conceitos nucleo imagem base posto subespaco etc quando estudados independentemente tˆem muitas outras aplicacoes O metodo da eliminac ao gaussiana e apresentado na Sec ao 9 e retomado na Sec ao 17 Ele e aplicado para obter respostas a varios outros problemas alem da resoluc ao de sistemas lineares O livro e dividido em vinte e duas secoes As oito primeiras de senvolvem os conceitos fundamentais e as proposicoes basicas que formam a linguagem mınima necessaria para falar inteligentemente sobre Algebra Linear A nona sec ao faz a primeira aplicac ao dessas ideias tratando da eliminac ao gaussiana A partir da Sec ao 10 os espacos dispoem de produto interno o que possibilita o emprego de evocativas nocoes geometricas como perpendicularismo comprimento distˆancia etc Sao destacados tipos particulares de operadores lineares cujas propriedades especiais sao demonstradas nas Secoes 13 14 e 15 O Teorema Espectral para operadores autoadjuntos e provado na Sec ao 13 onde se demonstra tambem o Teorema dos Valores Singulares Teorema 1310 cuja grande utilidade nao corresponde a sua cons pıcua ausˆencia na maioria dos textos elementares Outro assunto igualmente importante e igualmente esquecido no ensino da Algebra Linear e a pseudoinversa que expomos na Sec ao 16 Tratase de um topico facil atraente de grande apelo geometrico que constitui um bom campo de aplicac ao para os con ceitos anteriormente estudados A Sec ao 17 e um interludio matricial onde se mostra como as propriedades das transformacoes lineares estudadas antes se tradu zem imediatamente em fatos naotriviais sobre matrizes principal mente algumas decomposicoes de grande utilidade nas computacoes As formas bilineares e quadraticas sao estudadas na Sec ao 18 onde e estabelecida a correspondˆencia fundamental isomorfismo entre formas e operadores Teorema 182 e provado o Teorema dos Eixos Principais Teorema 183 que e a versao do Teorema Espec tral para formas quadraticas E ainda exposto o metodo de Lagrange para reduzir uma forma quadratica a uma soma ou diferenca de quadrados e e feito um estudo das superfıcies quadricas Os determinantes sao estudados na Sec ao 19 onde se define di retamente o determinante de um operador sem recurso a bases nem matrizes Em seguida o determinante de uma matriz n n e ca racterizado como a unica func ao nlinear alternada de suas colunas ou linhas que assume o valor 1 na matriz unitaria A colocac ao dos determinantes quase no final do livro depois de ja terem sido es tabelecidos os resultados principais da Algebra Linear e ensinados os metodos mais eficientes para resolver sistemas inverter matri zes etc e uma atitude deliberada que visa pˆor esse conceito em seu devido lugar Tratase de uma noc ao de grande importˆancia teorica indispensavel em varias areas da Matematica a qual foi e ainda nao deixou inteiramente de ser equivocadamente considerada como instrumento computacional Usar a Regra de Cramer para resolver um sistema linear ou calcular o determinante de um operador para ver se ele e invertıvel ou nao sao metodos que funcionam bem no caso 2 2 e ate mesmo 3 3 mas se tornam altamente inviaveis a partir daı Depois que se tˆem os determinantes o polinˆomio caracterıstico e estudado na Sec ao 20 Esse estudo se completa na Sec ao 21 com a introduc ao dos espacos vetoriais complexos nos quais vale o notavel fato de que todo operador possui autovetores logo pode ser triangu larizado Este resultado e devidamente explorado o que concede a esta sec ao um ar de happy ending para a teoria mas nao o fim do livro A sec ao final numero 22 apresenta uma breve exposic ao das equacoes a diferencas finitas essencialmente limitada as equacoes e sistemas lineares de segunda ordem Basicamente tratase de obter metodos eficazes de calcular as potˆencias sucessivas de um operador ou de suas matrizes Esta introduc ao a Algebra Linear reflete uma longa experiˆencia como usuario do assunto e nos ultimos dez anos como professor Ao escrevˆela fui influenciado pelas reacoes dos meus alunos suas participacoes nas aulas e suas palavras de incentivo Um agradeci mento especial por esse motivo e devido aos estudantes da EPGE da Fundac ao Getulio Vargas Agradeco ao meu colega Jonas de Mi randa Gomes por me ter convencido de que ainda havia lugar para mais um livro nesta area e por suas sugestoes sempre objetivas que contribuıram para melhorar a comunicabilidade Agradeco tambem a Wilson L de Goes pela incrıvel eficiˆencia e grande boa vontade na preparac ao do manuscrito Rio de Janeiro maio de 1995 Elon Lages Lima Prefacio da Segunda Edicao A boa acolhida dispensada a primeira edic ao esgotada rapidamente animoume a fazer nesta algumas modificacoes que enumero a se guir Foi feita uma extensa revisao do texto eliminandose varios erros de impressao exercıcios incorretamente propostos e trechos obscuros ou imprecisos Para este trabalho valime da colaborac ao de diversos leitores dentre os quais destaco de modo muito especial o Professor Florˆencio Guimaraes que elaborou uma lista minuciosa de correcoes A todos esses amigos registro meus sinceros agradeci mentos O numero de exercıcios foi consideravelmente aumentado com a inclusao em especial de mais problemas elementares de natureza computacional visando fazer com que os leitores menos experientes ganhem confianca em si ao lidarem com assuntos novos A Sec ao 15 foi inteiramente reescrita passando a tratar dos ope radores normais em espacos vetoriais reais um assunto facil atra ente e muitas vezes negligenciado A antiga Sec ao 15 operadores antisimetricos tornouse um mero caso particular Sem esforco nem espaco adicional o tratamento ganhou uma abrangˆencia bem maior Atendendo a varios pedidos acrescentei ao livro um Apˆendice sobre a forma canˆonica de Jordan tratando esse tema de modo sim ples nao apenas sob o ponto de vista matricial mas formulandoo tambem sob o aspecto de operadores Rio de Janeiro setembro de 1996 Elon Lages Lima Prefacio da Oitava Edicao Esta edic ao alem de conter novas correcoes sugeridas pela atenta vigilˆancia do Professor Florˆencio Guimaraes deume oportunidade de acrescentar a lista de indicacoes bibliograficas o livro do Professor Ralph Costa Teixeira que traz as solucoes de todos os exercıcios aqui propostos Rio de Janeiro outubro de 2009 Elon Lages Lima Conteudo 1 Espacos Vetoriais 1 2 Subespacos 9 3 Bases 24 4 Transformacoes Lineares 38 5 Produto de Transformacoes Lineares 51 6 Nucleo e Imagem 58 7 Soma Direta e Projecao 75 8 A Matriz de uma Transformacao Linear 83 9 Eliminacao 101 10 Produto Interno 118 11 A Adjunta 133 12 Subespacos Invariantes 145 13 Operadores AutoAdjuntos 156 14 Operadores Ortogonais 174 15 Operadores Normais Caso Real 189 16 Pseudoinversa 195 5 17 Topicos Matriciais 204 18 Formas Quadraticas 224 19 Determinantes 245 20 O Polinˆomio Caracterıstico 268 21 Espacos Vetoriais Complexos 280 22 Equacoes a Diferencas Finitas 299 Apˆendice A Forma Canˆonica de Jordan 321 Indicacoes Bibliograficas 335 Lista de Sımbolos 341 Indice Remissivo 343 1 Espacos Vetoriais A nocao de espaco vetorial e a base do estudo que faremos e o terreno onde se desenvolve toda a Algebra Linear Esta secao apresenta os axiomas de espaco vetorial deduz suas consequˆencias mais imedia tas e exibe os exemplos mais importantes dessa nocao Um espaco vetorial E e um conjunto cujos elementos sao chama dos vetores no qual estao definidas duas operacoes a adicao que a cada par de vetores u v E faz corresponder um novo vetor uv E chamado a soma de u e v e a multiplicacao por um numero real que a cada numero α R e a cada vetor v E faz corresponder um vetor α v ou αv chamado o produto de α por v Essas operacoes devem satisfazer para quaisquer α β R e u v w E as condicoes abaixo chamadas os axiomas de espaco vetorial comutatividade u v v u associatividade u v w u v w e αβv αβv vetor nulo existe um vetor 0 E chamado vetor nulo ou vetor zero tal que v 0 0 v v para todo v E inverso aditivo para cada vetor v E existe um vetor v E chamado o inverso aditivo ou o simetrico de v tal que v v v v 0 distributividade α βv αv βv e αu v αu αv multiplicac ao por 1 1 v v 2 Espacos Vetoriais Secao 1 Observac ao O mesmo sımbolo 0 representa o vetor nulo e o nume ro zero Exemplo 11 Para todo numero natural n o sımbolo Rn representa o espaco vetorial euclidiano ndimensional Os elementos de Rn sao as listas ordenadas u α1 αn v β1 βn de numeros reais Por definic ao a igualdade vetorial u v significa as n igualdades numericas α1 β1 αn βn Os numeros α1 αn sao chamados as coordenadas do vetor u As operacoes do espaco vetorial Rn sao definidas pondo u v α1 β1 αn βn α u αα1 ααn O vetor zero e por definic ao aquele cujas coordenadas sao todas iguais a zero 0 0 0 0 O inverso aditivo de u α1 αn e u α1 αn Verificase sem dificuldade que estas definicoes fazem de Rn um espaco vetorial Para n 1 temse R1 R reta numerica R2 e o plano euclidiano e R3 e o espaco euclidiano tridimensional da nossa experiˆencia cotidiana Para ajudar a compreensao os vetores de R2 e R3 podem ser re presentados por flechas com origem no mesmo ponto O A soma uv e a flecha que liga a origem O ao vertice que lhe e oposto no parale logramo que tem u e v como lados Veja Figura 11 v v u u 0 Figura 11 Soma de vetores Secao 1 Espacos Vetoriais 3 Por sua vez o produto αu e a flecha colinear a u de comprimento α vezes o comprimento de u com o mesmo sentido de u se α 0 e com sentido oposto se α 0 Exemplo 12 Os elementos do espaco vetorial R sao as sequˆencias infinitas u α1 αn v β1 βn de numeros reais O elemento zero de R e a sequˆencia 0 0 0 formada por infinitos zeros e o inverso aditivo da sequˆencia u α1 αn e u α1 αn As operacoes de adic ao e multiplicac ao por um numero real sao definidas por u v α1 β1 αn βn α u αα1 ααn Exemplo 13 Uma matriz real m n a aij e uma lista de numeros reais aij com ındices duplos onde 1 i m e 1 j n Costumase representar a matriz a como um quadro numerico com m linhas e n colunas no qual o elemento aij situase no cruzamento da iesima linha com a jesima coluna a a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn O vetor ai1 ai2 ain Rn e o iesimo vetorlinha da matriz a e o vetor a1j a2j amj Rm e o jesimo vetorcoluna de a Quando m n dizse que a e uma matriz quadrada O conjunto Mmn de todas as matrizes m n tornase um espaco vetorial quando nele se define a soma das matrizes a aij e b bij como ab aij bij e o produto da matriz a pelo numero real α como αa αaij A matriz nula 0 Mm n e aquela formada por zeros e o inverso aditivo da matriz a aij e a aij Exemplo 14 Seja X um conjunto naovazio qualquer O sımbolo FX R representa o conjunto de todas as funcoes reais f g X R Ele se torna um espaco vetorial quando se definem a soma f g de duas funcoes e o produto α f do numero α pela func ao f da maneira natural f gx fx gx αfx α fx 4 Espacos Vetoriais Secao 1 Variando o conjunto X obtˆemse diversos exemplos de espacos vetoriais da forma FX R Por exemplo se X 1 n entao FX R Rn se X N entao FX R R se X e o produto carte siano dos conjuntos 1 m e 1 n entao FX R Mm n Outros exemplos de espacos vetoriais ocorrem como subespacos como veremos a seguir Valem num espaco vetorial como consequˆencias dos axiomas as regras operacionais habitualmente usadas nas manipulacoes nume ricas Vejamos algumas delas 1 Se w u w v entao u v Em particular w u w implica u 0 e w u 0 implica u w Com efeito da igualdade w u w v seguese que u 0 u w w u w w u w w v w w v 0 v v Em particular w u w implica w u w 0 logo u 0 E se w u 0 entao w u w w logo u w 2 Dados 0 R e v E temse 0 v 0 E Analogamente dados α R e 0 E vale α 0 0 Com efeito v0v 1v0v 10v 1v v logo 0v 0 como vimos acima De modo analogo como α0α0 α00 α0 seguese de 1 que α 0 0 3 Se α 0 e v 0 entao α v 0 Com efeito se fosse α v 0 entao v 1 v α1 αv α1 αv α1 0 0 isto e terıamos v 0 4 1 v v Com efeito v 1 v 1 v 1 v 1 1 v 0 v 0 logo 1v v pela regra 1 No que se segue escreveremos u v para significar u v Evidentemente u v w u v w Seção 1 Espaços Vetoriais 5 Exemplo 15 Sejam u ab e v cd vetores em R2 com u 0 isto é a 0 ou b 0 A fim de que v seja múltiplo de u isto é v αu para algum α R é necessário e suficiente que se tenha ad bc 0 A necessidade é imediata pois v αu significa c αa e d αb Multiplicando a primeira destas igualdades por b e a segunda por a obtemos bc αab e ad αab logo ad bc ou seja ad bc 0 Reciprocamente se ad bc então supondo a 0 obtemos d cab Além disso é claro que c caa Logo pondo α ca vem d αb e c αa isto é v αu Se for b 0 tomaremos α db para ter v αu Exercícios 11 Dadas as matrizes a 1 1 2 3 2 1 b 2 3 0 2 3 1 e c 4 8 4 12 13 1 a Calcule a matriz 3a 2b c b Ache números α e β ambos diferentes de zero tais que αaβbc tenha a primeira coluna nula 12 Mostre que as operações definidas no texto fazem realmente dos conjuntos Rn Mm n e FX R espaços vetoriais 13 Ache o valor de t que torna a matriz abaixo igual à matriz nula t2 1 t2 t t3 1 t2 3t 2 14 Determine os vetores u v R4 sabendo que as coordenadas de u são todas iguais a última coordenada de v é igual a 3 e u v 1 2 3 4 15 Dados u 1 2 3 v 3 2 0 e w 2 0 0 ache números α β e γ tais que αu βv γw 1 1 1 6 Espacos Vetoriais Secao 1 16 Dados os vetores v1 1 2 1 v2 2 1 2 v3 3 3 2 e v4 1 5 1 em R3 determine os vetores u v1 3v2 2v3 v4 v v1 v2 v3 v4 e w v3 1 3v2 4 3v1 17 Considere a seguinte afirmac ao Num espaco vetorial E existe um unico vetor nulo e cada elemento de E possui um unico inverso Qual fato demonstrado nesta sec ao assegura que esta afirmac ao e verdadeira 18 Use os axiomas do espaco vetorial E para provar que se v E e n e um numero natural entao n v v v n parcelas 19 Sejam u v vetores naonulos do espaco vetorial E Prove que v e multiplo de u se e somente se u e multiplo de v Que se pode dizer caso nao suponhamos u e v ambos diferentes de zero 110 Sejam u x1 xn e v y1 yn vetores em Rn Prove que um deles e multiplo do outro se e somente se xiyj xjyi para quaisquer i j 1 n 111 Use as relacoes 2u v 2u 2v 2w w w para provar que a comutatividade u v v u pode ser demonstrada a partir dos demais axiomas de espaco vetorial 112 Em R2 mantenhamos a definic ao do produto αv de um numero por um vetor mas modifiquemos de 3 maneiras diferentes a defini c ao da soma u v dos vetores u x y e v x y Em cada tentativa dizer quais axiomas de espaco vetorial continuam validos e quais sao violados 1 u v x y x y 2 u v xx yy 3 u v 3x 3x 5x 5x 113 Defina a media u v entre dois vetores u v no espaco vetorial E pondo u v 1 2u 1 2v Prove que u v w u v w se e somente se u w 114 Dados os espacos vetoriais E1 E2 considere o conjunto E E1 E2 produto cartesiano de E1 por E2 cujos elementos sao os pares ordenados v v1 v2 com v1 E1 e v2 E2 Defina operacoes que tornem E um espaco vetorial Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definic ao se estende para o caso de Secao 1 Espacos Vetoriais 7 n espacos vetoriais E1 En ou mesmo de uma sequˆencia infinita E1 E2 En 115 Sejam X um conjunto qualquer e E um espaco vetorial Mos tre que com as definicoes naturais o conjunto FX E das funcoes f X E se torna um espaco vetorial Identifique os casos particu lares em que X 1 n X N X A B onde A 1 m e B 1 n 116 Dados os vetores u 1 2 3 v 3 2 1 e w 3 2 7 em R3 obtenha numeros α β tais que w αu βv Quantas solucoes admite este problema 117 Sejam u 1 1 v 1 2 e w 2 1 Ache numeros a b c a b c todos naonulos tais que au bv cw au bv cw com a a b b c c 118 Sejam E um espaco vetorial e u v E O segmento de reta de extremidades u v e por definic ao o conjunto u v 1 tu tv 0 t 1 Um conjunto X E chamase convexo quando u v X u v X Ou seja o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de X esta contido em X Prove a A intersec ao X1 Xm de conjuntos convexos X1 Xm E e um conjunto convexo b Dados a b c R o conjunto X x y R2 ax by c e convexo em R2 c O conjunto Y x y z R3 a x b c y d e convexo em R3 d Seja X E convexo Se r s t sao numeros reais 0 tais que r s t 1 entao u v w X ru sv tw X e Generalizando o resultado acima a expressao t1v1 tkvk onde t1 tk sao 0 e t1 tk 1 chamase uma combinacao convexa dos vetores v1 vk Se o conjunto X E e convexo prove que toda combinac ao convexa de vetores v1 vk X ainda per tence a X 119 Prove que o disco D x y R2 x2 y2 1 e um conjunto convexo 8 Espacos Vetoriais Secao 1 120 Um subconjunto C do espaco vetorial E chamase um cone quando para todo v C e todo t 0 temse tv C Prove a O conjunto dos vetores v Rn que tˆem exatamente k coordenadas positivas 0 k n e um cone b O conjunto das funcoes f X R que assumem valores negativos em todos os pontos de um subconjunto fixado Y X e um cone em FX R c Um cone C E e um conjunto convexo se e somente se u v C u v C d A intersec ao e a reuniao de uma famılia qualquer de cones sao ainda cones 121 Dado um subconjunto X no espaco vetorial E seja CX o con junto das combinacoes convexas t1v1 tkvk ti 0 Σti 1 dos elementos de X Prove que CX e um conjunto convexo que X CX e que se C e qualquer subconjunto convexo de E contendo X entao C CX Por este motivo dizse que CX e o menor subconjunto convexo de E que contem X CX chamase a envoltoria convexa do conjunto X 2 Subespacos Um subespaco vetorial do espaco vetorial E e um subconjunto F E que relativamente as operacoes de E e ainda um espaco vetorial Os subespacos vetoriais constituem uma rica fonte de exemplos de espacos vetoriais como se vera nas secoes seguintes Seja E um espaco vetorial Um subespaco vetorial ou simples mente um subespaco de E e um subconjunto F E com as seguintes propriedades 1 0 F 2 Se u v F entao u v F 3 Se v F entao para todo α R αv F Seguese que se u e v pertencem ao subespaco F e α β sao numeros reais quaisquer entao αuβv F Mais geralmente dados v1 vm F e α1 αm R temse v α1v1 αmvm F O conjunto 0 com o unico elemento 0 e o espaco inteiro E sao exemplos triviais de subespacos de E Todo subespaco e em si mesmo um espaco vetorial Exemplo 21 Seja v E um vetor naonulo O conjunto F αv α R de todos os multiplos de v e um subespaco vetorial de E chamado a reta que passa pela origem e contem v Exemplo 22 Seja E FR R o espaco vetorial das funcoes reais de uma variavel real f R R Para cada k N o conjunto CkR 10 Subespaços Seção 2 das funções k vezes continuamente deriváveis é um subespaço vetorial de E Também são subespaços de E o conjunto C0R das funções contínuas o conjunto CR das funções infinitamente deriváveis o conjunto P PR dos polinômios px a0 a1 x an xn e o conjunto Pn dos polinômios de grau n Para n k N quaisquer temse C0R CkR Ck1R CR P Pn Observe que o conjunto dos polinômios de grau n não é um subespaço vetorial de E pois a soma de dois polinômios de grau n pode ter grau n Exemplo 23 Sejam a1 an números reais O conjunto H de todos os vetores v x1 xn Rn tais que a1 x1 an xn 0 é um subespaço vetorial de Rn No caso desinteressante em que a1 an 0 o subespaço H é todo o Rn Se ao contrário pelo menos um dos ai é 0 H chamase um hiperplano de Rn que passa pela origem Exemplo 24 Sejam E um espaço vetorial e L um conjunto de índices Se para cada λ L Fλ é um subespaço vetorial de E então a interseção F λL Fλ é ainda um subespaço vetorial de E Seguese então do Exemplo 23 que o conjunto dos vetores v x1 xn Rn cujas coordenadas satisfazem as m condições abaixo a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 amn xn 0 é um subespaço vetorial de Rn o qual é a interseção F F1 Fm dos hiperplanos Fi definidos segundo o Exemplo 23 por cada uma das equações acima Secao 2 Subespacos 11 Seja X um subconjunto do espaco vetorial E O subespaco ve torial de E gerado por X e por definic ao o conjunto de todas as combinacoes lineares α1v1 α2v2 αmvm de vetores v1 vm X E facil ver que o conjunto de todas as combinacoes lineares que se podem formar com vetores retirados do conjunto X e de fato um subespaco vetorial que indicaremos pelo sımbolo SX O subespaco SX gerado pelo subconjunto X E contem o con junto X e alem disso e o menor subespaco de E que contem X Nou tras palavras se F e um subespaco vetorial de E e X F entao SX F Evidentemente se X ja e um subespaco vetorial entao SX X Quando o subespaco SX coincide com E dizse que X e um conjunto de geradores de E Explicitamente um conjunto X e um conjunto de geradores do espaco vetorial E quando todo vetor w E pode exprimirse como combinac ao linear w α1v1 αmvm de vetores v1 vm pertencentes a X Exemplo 25 Se v E e um vetor naonulo o subespaco gerado por v e a reta que passa pela origem e contem v Exemplo 26 Sejam u a b e v c d vetores de R2 tais que nenhum deles e multiplo do outro Entao u 0 v 0 e pelo Exem plo 15 ad bc 0 Afirmamos que X u v e um conjunto de geradores de R2 ou seja que qualquer vetor w r s R2 pode exprimirse como uma combinac ao linear w xu yv De fato esta igualdade vetorial em R2 equivale as duas igualdades numericas ax cy r bx dy s Como ad bc 0 o sistema de equacoes acima possui uma soluc ao x y logo existem x y R tais que xu yv w Esta mesma con clusao pode tambem ser obtida geometricamente conforme mostra a Figura 21 A partir da ponta de w tracamse paralelas as retas que contˆem u e v determinando assim os multiplos xu yv que somados dao w 12 Subespacos Secao 2 v w xu xu yv yv u 0 Figura 21 Exemplo 27 Os chamados vetores canˆonicos e1 1 0 0 0 e2 0 1 0 0 en 0 0 0 1 constituem um conjunto de geradores do espaco Rn Com efeito dado v α1 αn Rn temse v α1e1 αnen Analo gamente os monˆomios 1 x xn em numero infinito formam um conjunto de geradores do espaco P dos polinˆomios reais Por sua vez os n 1 primeiros deles a saber 1 x xn constituem um conjunto de geradores de Pn espaco vetorial dos polinˆomios de grau n Resulta do Exemplo 26 que os unicos subespacos vetoriais de R2 sao 0 as retas que passam pela origem e o proprio R2 Com efeito seja F R2 um subespaco vetorial Se F contem apenas o vetor nulo entao F 0 Se F contem algum vetor u 0 entao ha duas possibilidades ou todos os demais vetores de F sao multiplos de u e neste caso F e a reta que passa pela origem e contem u ou entao F contem alem de u um outro vetor v que nao e multiplo de u Neste caso F contem todas as combinacoes lineares xu yv logo F R2 pelo Exemplo 26 Secao 2 Subespacos 13 Exemplo 28 O sistema linear de m equacoes a n incognitas a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm possui uma soluc ao x1 xn se e somente se o vetor b b1 bm e combinac ao linear dos vetorescoluna v1 a11 a21 am1 vn a1n a2n amn da matriz a aij Com efeito estas equacoes significam que b x1v1 x2v2 xnvn Em particular se os vetorescoluna v1 vn gerarem Rm o sistema possui soluc ao seja qual for o segundo membro b Sejam F1 e F2 subespacos vetoriais de E O subespaco vetorial de E gerado pela reuniao F1 F2 e como se vˆe facilmente o conjunto de todas as somas v1 v2 onde v1 F1 e v2 F2 Ele e representado pelo sımbolo F1 F2 Mais geralmente dados os subconjuntos X Y E indicase com X Y o conjunto cujos elementos sao as somas u v onde u X e v Y Quando X u reduzse a um unico elemento u escrevese u Y em vez de u Y Dizse entao que u Y resulta de Y pela translac ao de u Quando os subespacos F1 F2 E tˆem em comum apenas o ele mento 0 escrevese F1 F2 em vez de F1 F2 e dizse que F F1 F2 e a soma direta de F1 e F2 Teorema 21 Sejam F F1 F2 subespacos vetoriais de E com F1 F e F2 F As seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 F F1 F2 14 Subespacos Secao 2 2 Todo elemento w F se escreve de modo unico como soma w v1 v2 onde v1 F1 e v2 F2 Demonstrac ao Provemos que 1 2 Para isto suponhamos que F1 F2 0 e que se tenha u1 u2 v1 v2 com u1 v1 F1 e u2 v2 F2 Entao u1 v1 v2 u2 Como u1 v1 F1 e v2 u2 F2 seguese que u1 v1 e v2 u2 pertencem ambos a F1 e a F2 Mas F1 F2 0 Logo u1 v1 v2 u2 0 ou seja u1 v1 e u2 v2 Para provar que 2 1 seja v F1 F2 Entao 0 v v 0 com 0 v F1 e v 0 F2 Pela hipotse 2 isto implica 0 v portanto F1 F2 0 Exemplo 29 Em R4 sejam F1 o subespaco gerado pelos vetores e1 1 0 0 0 e3 0 0 1 0 e F2 o subespaco gerado pelos veto res e2 0 1 0 0 e4 0 0 0 1 Entao F1 e o conjunto dos ve tores da forma α1 0 α3 0 enquanto os vetores de F2 tˆem a forma 0 α2 0 α4 E claro que R4 F1 F2 A noc ao de subespaco vetorial abrange as retas planos e seus analogos multidimensionais apenas nos casos em que esses conjun tos contˆem a origem Para incluir retas planos etc que nao passam pela origem temse a noc ao de variedade afim que discutiremos agora Seja E um espaco vetorial Se x y E e x y a reta que une os pontos x y e por definic ao o conjunto r 1 tx ty t R Pondo v y x podemos ver que r x tv t R Um subconjunto V E chamase uma variedade afim quando a reta que une dois pontos quaisquer de V esta contida em V Assim V E e uma variedade afim se e somente se cumpre a seguinte condic ao x y V t R 1 tx ty V Exemplo 210 Um exemplo obvio de variedade afim e um subespa co vetorial Ao contrario dos subespacos vetoriais que nunca sao vazios pois devem conter o zero a definic ao acima e formulada de tal modo que o conjunto vazio a cumpre logo e uma variedade afim Secao 2 Subespacos 15 Se V1 Vm E sao variedades afins entao a intersec ao V V1 Vm e ainda uma variedade afim Todo ponto p E e uma variedade afim Exemplo 211 Sejam a1 an b numeros reais O conjunto H dos pontos x x1 xn Rn tais que a1x1 anxn b e uma variedade afim que nao contem a origem quando b 0 Se os numeros ai nao sao todos nulos H chamase um hiperplano Se a1 an 0 temse H quando b 0 e H Rn quando b 0 Mais geralmente o conjunto das solucoes de um sistema linear de m equacoes com n incognitas vide Exemplo 28 e uma variedade afim eventualmente vazia intersec ao das m variedades afins definidas pelas equacoes do sistema O teorema a seguir mostra que toda variedade afim naovazia V pode ser obtida transladandose um subespaco vetorial F Dizse que F e o subespaco vetorial paralelo a V Teorema 22 Seja V uma variedade afim naovazia no espaco veto rial E Existe um unico subespaco vetorial F E tal que para todo x V temse V x F x v v F 0 F F x x Demonstrac ao Dado x V seja F o conjunto de todos os vetores v y x onde y V Mostremos que F e um subespaco vetorial E claro que 0 F Alem disso se α R e v F entao v y x com y V logo αv αy x 1 αx αy x z x 16 Subespacos Secao 2 com z 1 αx αy V Portanto αv F Finalmente se v y x e v y x pertencem a F entao z 1 2y 1 2y V portanto z x F Seguese daı que a soma v v y y 2x 2z x pertence a F Em seguida mostremos que V x F Com efeito y V y x y x com y x F logo y x F Assim V x F Por outro lado um elemento qualquer de x F tem a forma x y x com y V logo e igual a y e daı x F V Finalmente se F e F sao subespacos vetoriais de E tais que x F x F para algum x E provemos que se tem F F Com efeito v F x v x F x v x F x v x vv F v v v F Portanto F F Da mesma forma vˆese que F F o que conclui a demonstrac ao Exemplo 212 Vimos no exemplo 28 que o conjunto V das solucoes de um sistema linear de m equacoes com n incognitas e uma va riedade afim Supondo V tomemos x0 V e chamemos de F o subespaco vetorial de Rn formado pelas solucoes do sistema ho mogˆeneo correspondente descrito no Exemplo 24 veja tambem a pagina 27 Temse V x0 F Dizse entao que todas as solucoes do sistema se obtˆem somando uma soluc ao particular com a soluc ao geral do sistema homogˆeneo associado Exercıcios 21 Seja R o subconjunto de R formado pelas sequˆencias v x1 x2 xn que tˆem apenas um numero finito de termos xn diferentes de zero Mostre que R e um subespaco vetorial de R e que as sequˆencias que tˆem um unico termo naonulo constituem um conjunto de geradores para R 22 Use o ındice deste livro para localizar a definic ao de matriz triangular Mostre que o conjunto F1 das matrizes triangulares in feriores e o conjunto F2 das matrizes triangulares superiores sao Secao 2 Subespacos 17 subespacos vetoriais de Mn n que Mn n F1 F2 e que nao se tem Mn n F1 F2 23 Seja E FR R Para X R qualquer ponhamos NX ϕ E ϕx 0 para todo x X Prove a Para todo X R NX e um subespaco vetorial de E b X Y NY NX c NX Y NX NY d NX 0 X R e NX Y NX NY f NX NY E Y R X 24 No espaco vetorial E FR R sejam F1 conjunto das funcoes f R R que se anulam em todos os pontos do intervalo 0 1 F2 conjunto das funcoes g R R que se anulam em todos os pontos do intervalo 2 3 Mostre que F1 e F2 sao subespacos vetoriais de E que E F1 F2 e que nao se tem E F1 F2 25 Considere os subespacos F1 F2 R3 assim definidos F1 e o conjunto de todos os vetores v x x x que tˆem as trˆes coordenadas iguais e F2 e o conjunto de todos os vetores w x y 0 que tˆem a ultima coordenada igual a zero Mostre que R3 F1 F2 26 Dados u 1 2 e v 1 2 sejam F1 e F2 respectivamente as retas que passam pela origem em R2 e contˆem u e v Mostre que R2 F1 F2 27 Sejam F1 Su1 v1 e F2 Su2 v2 os subespacos de R3 gerados pelos vetores u1 0 1 2 v1 1 1 1 u2 1 0 3 e v2 2 1 0 Ache numeros a1 b1 c1 e a2 b2 c2 tais que se tenha F1 x y z R3 a1x b1y c1z 0 F2 x y z R3 a2x b2y c2z 0 28 No exercıcio anterior mostre que u2 F1 e que F1 F2 R3 Exiba um vetor nao nulo w F1 F2 e conclua que nao se tem R3 F1 F2 completar a indução suponhamos o lema verdadeiro para um sistema com m 1 equações Mudando se necessário a ordem das equações e os nomes das incógnitas podemos admitir que no sistema dado temse amn 0 Então da mésima equação resulta xn am1 amn x1 amn1 amn xn1 Substituindo em cada uma das m 1 primeiras equações a incógnita xn por este valor obtemos um sistema homogêneo de m 1 equações nas n 1 incógnitas x1 xn1 Pela hipótese de indução este sistema admite uma solução nãotrivial α1 αn1 pois n 1 m 1 Pondo αn am1 amn α1 amn1 amn αn1 obtemos uma solução nãotrivial α1 αn1 αn do sistema proposto Teorema 33 Se os vetores v1 vm geram o espaço vetorial E então qualquer conjunto com mais de m vetores em E é LD Demonstração Dados os vetores w1 wn em E com n m para cada j 1 n temos wj α1j v1 αmj vm pois os vetores v1 vm geram E Para mostrar que os vetores wj são LD devemos achar coeficientes x1 xn não todos iguais a zero tais que x1 w1 xn wn 0 Substituindo os wj por suas expressões em termos dos vi esta igualdade significa que Σj1n xj α1j v1 Σj1n xj α2j v2 Σj1n xj αmj vm 0 Certamente esta última condição será satisfeita desde que todos os somatórios dentro dos parênteses sejam nulos ou seja que x1 xn seja uma solução nãotrivial do sistema homogêneo α11 x1 α12 x2 α1n xn 0 α21 x1 α22 x2 α2n xn 0 αm1 x1 αm2 x2 αmn xn 0 Secao 2 Subespacos 19 c O conjunto Z das matrizes 2 3 nas quais alguma coluna e formada por elementos iguais d O conjunto F FR R formado pelas funcoes f R R tais que fx 1 fx para todo x R e O conjunto L Rn dos vetores v x 2x nx onde x R e arbitrario f O conjunto dos vetores v R5 que tˆem duas ou mais coordena das nulas g O conjunto dos vetores de R3 que tˆem pelo menos uma coorde nada 0 216 Exprima em termos das operacoes num espaco vetorial E uma condic ao para que u v w E sejam colineares isto e pertencam a uma mesma reta que pode conter ou nao o vetor zero 217 Obtenha numeros a b c d tais que a variedade afim plano de R3 definida pela equac ao ax by cz d contenha os pontos e1 1 0 0 e2 0 1 0 e e3 0 0 1 218 Prove que na definic ao de subespaco vetorial a condic ao 0 F pode ser substituıda por F 219 Quais dos seguintes conjuntos sao subespacos vetoriais a O conjunto dos vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressao aritmetica b Os vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressao ge ometrica c Os vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressao ari tmetica de razao fixada d Os vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressao ge ometrica de razao fixada e Os vetores de Rn cujas primeiras k coordenadas sao iguais f Os vetores de Rn que tˆem k coordenadas iguais g As sequˆencias xn R tais que xn2 3xn xn1 para todo n h Os vetores x y R2 tais que x2 3x y2 3y i As funcoes f CR tais que f 2f f 0 20 Subespacos Secao 2 220 Sejam v1 v2 v3 os vetoreslinha e w1 w2 w3 os vetorescoluna da matriz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Verifique as relacoes v3 2v2 v1 w3 2w2 w1 Exprima w1 e w2 como combinacoes lineares de v1 e v2 e viceversa Conclua que os vetoreslinha e os vetorescoluna da matriz dada geram o mesmo subespaco de R3 221 Dˆe exemplo de uma matriz 3 3 cujos vetoreslinha geram um subespaco de R3 diferente daquele gerado pelos vetorescoluna 222 Prove que a reuniao de dois subespacos vetoriais de E e um subespaco vetorial se e somente se um deles estiver contido no ou tro 223 A partir da definic ao prove que dados os numeros a1 an c o conjunto V dos vetores x x1 xn Rn tais que a1x1 anxn c e um subespaco vetorial de Rn se e somente se c 0 Prove a afirmac ao feita no texto de que V e uma variedade afim 224 Seja F um subespaco vetorial de E Assinale Verdadeiro ou Falso Se u F e v F entao u v F Se u F e α 0 entao αu F 225 Dizse que um subconjunto X de um espaco vetorial E e sime trico quando v X v X Prove que um cone convexo simetrico e naovazio e um subespaco vetorial de E 226 Dˆe exemplo de um cone convexo que nao seja simetrico e um cone simetrico que nao seja convexo 227 Uma matriz quadrada a aij chamase simetrica respect antisimetrica quando aij aji respect aij aji para todo i e todo j Prove que o conjunto S das matrizes simetricas e o conjunto A das matrizes antisimetricas n n sao subespacos vetoriais de Mn n e que se tem Mn n S A 228 Seja E FR R Fixada g R R mostre que o conjunto F de todas as funcoes f R R tais que fgx fx e um subespaco Secao 2 Subespacos 21 vetorial de E Para qual func ao g temse F conjunto das funcoes periodicas de perıodo a E se fosse gfx fx Ou fgx gx 229 Prove que o subespaco vetorial gerado por um cone convexo C E e o conjunto das diferencas u v onde u v C Conclua que o conjunto das funcoes f X R que so assumem valores positivos e um conjunto de geradores de FX R 230 Dizse que uma func ao f X R e limitada quando existe k 0 dependendo de f tal que fx k para todo x X Prove que o conjunto das funcoes limitadas e um subespaco vetorial de FX R o qual e gerado pelas funcoes limitadas positivas 231 Um subespaco vetorial de R3 gerado por dois vetores naocoli neares u v chamase um plano Use um argumento geometrico para provar que se o vetor w R3 nao pertence ao plano gerado por u e v entao u v e w geram R3 232 Mostre que o vetor b 1 2 2 nao e combinac ao linear dos vetores v1 1 1 2 e v2 1 2 1 A partir daı formule um sistema linear de 3 equacoes com 2 incognitas que nao possui soluc ao e que tem o vetor b como segundo membro 233 Sejam F1 Fk E subespacos vetoriais Prove 1 O subespaco gerado pela uniao F1 Fk e o conjunto F1 Fk das somas x1 xk onde x1 F1 xk Fk 2 As seguintes afirmacoes sao equivalentes a Cada x F1 Fk se escreve de modo unico como soma x x1 xk b Para cada j 1 k temse FjF1 Fj1Fj1 Fk 0 Quando uma das condicoes a ou b vale escrevese F1 Fk em vez de F1 Fk e dizse que este subespaco e a soma direta de F1 Fk 234 Seja E F1 F2 G1 G2 Se F1 G1 e F2 G2 prove que F1 G1 e F2 G2 22 Subespacos Secao 2 235 Sejam E F espacos vetoriais Uma func ao f E F chamase par respect ımpar quando fv fv respect fv fv para todo v E Prove a O conjunto A das funcoes pares e o conjunto B das funcoes ımpa res sao subespacos vetoriais de FE F vide Exerc 115 e vale FE F A B b Alem dos conjuntos A dos polinˆomios pares e B dos polinˆomios ımpares considere tambem o conjunto A dos polinˆomios da forma px Σaix2i que so contˆem expoentes pares e o conjunto B dos po linˆomios da forma qxΣaix2i1 que so contˆem expoentes ımpares Prove que A e B sao subespacos vetoriais do espaco P de todos os polinˆomios que A A B B e P A B Conclua que A A e B B 236 Para todo n N seja Qn o conjunto dos polinˆomios de graus arbitrarios que sao divisıveis por xn Prove que Qn e um subespaco vetorial de P Ache um subespaco F P tal que P F Qn 237 Dado X E seja Y o conjunto obtido de X substituindo um dos seus elementos v por v αu onde u X e α R Prove que X e Y geram o mesmo subespaco vetorial de E Conclua daı que os conjuntos v1 vk E e v1 v2v1 vkv1 E geram o mesmo subespaco vetorial de E 238 Prove que a reuniao de trˆes subespacos vetoriais so pode ser um subespaco vetorial quando um deles contem os outros dois 239 Sejam F1 F2 subespacos vetoriais de E Se existir algum a E tal que a F1 F2 prove que F1 F2 240 Seja V E uma variedade afim Dados v1 vm V e α1 αm R com α1 αm 1 prove que α1v1 αmvm V 241 Para todo subespaco vetorial F Rn prove que existe um subespaco G Rn tal que Rn F G 242 Verdadeiro ou falso Para quaisquer subconjuntos X Y E temse SX Y SX SY SX Y SX SY Secao 2 Subespacos 23 A ultima das igualdades acima sugere uma pergunta qual seria o subespaco vetorial gerado pelo conjunto vazio A convenc ao mais conveniente e S 0 243 Dado o subconjunto naovazio X do espaco vetorial E a va riedade afim gerada por X e por definic ao o conjunto VX de to das as combinacoes lineares α1v1 αnvn com v1 vn X e α1 αn 1 Prove que a VX e uma variedade afim b Fixado qualquer v0 X temse VX v0 F onde F e o subespaco vetorial de E gerado pelos vetores v v0 onde v X 3 Bases Os espacos vetoriais de dimensao finita objetos centrais do nosso estudo possuem uma estrutura algebrica extremamente simples evi denciada pelas ideias de base e dimensao que apresentaremos agora Uma vez fixada uma base num espaco vetorial de dimensao n seus elementos sao meramente combinacoes lineares dos n vetores basicos com coeficientes univocamente determinados Nesta secao esses fatos serao estabelecidos e analisados em detalhe Seja E um espaco vetorial Dizse que um conjunto X E e line armente independente abreviadamente LI quando nenhum vetor v X e combinac ao linear de outros elementos de X Para evitar ambiguidade no caso em que X v consta de um unico elemento v dizse que X e LI por definic ao quando v 0 Quando X e LI dizse tambem que os elementos de X sao vetores linearmente inde pendentes Quando o conjunto X e LI seus elementos sao todos 0 pois o vetor nulo e combinac ao linear de quaisquer outros 0 0 v1 0 vm Se nao ha outros X v v 0 Um criterio extremamente util para verificar a independˆencia linear de um conjunto e dado pelo teorema abaixo Teorema 31 Seja X um conjunto LI no espaco vetorial E Se α1v1 αmvm0 com v1 vm X entao α1 αm0 Re ciprocamente se a unica combinacao linear nula de vetores de X e aquela cujos coeficientes sao todos iguais a zero entao X e um con junto LI Secao 3 Bases 25 Demonstrac ao Suponhamos por absurdo que se tenha α1v1 αmvm 0 com v1 vm X mas nem todos os αi sejam nulos Por simplicidade seja α1 0 Entao teremos v1 α2α1v2 αmα1vm 0 o que exprime v1 como combinac ao linear de outros elementos de X Reciprocamente se X nao fosse LI algum dos seus vetores seria combinac ao linear dos demais v α1v1 αmvm logo 1 v α1v1 αmvm 0 uma combinac ao linear nula de vetores em X na qual pelo menos o primeiro coeficiente nao e zero Corolario Se v α1v1 αmvm β1v1 βmvm e os vetores v1 vm sao LI entao α1 β1 αm βm Com efeito temse neste caso α1 β1v1 αm βmvm 0 logo α1 β1 αm βm 0 Evidentemente todo subconjunto de um conjunto LI e ainda LI Exemplo 31 Os vetores canˆonicos e1 1 0 0 en 0 0 1 em Rn sao LI Com efeito α1e1 αnen 0 significa α1 αn 0 logo α1 αn 0 Analogamente os monˆomios 1 x xn em Pn sao LI pois αo α1x αnxn px e o vetor nulo em Pn somente quando px e a func ao identi camente nula isto e px 0 para todo x R Isto obriga a ser αo αn 0 pois um polinˆomio nao nulo de grau k tem no maximo k raızes reais Esta observac ao nos permite ainda concluir que X 1 x xn P e um conjunto infinito LI Na pratica o criterio seguinte e as vezes util Teorema 32 Sejam v1 vm vetores naonulos do espaco veto rial E Se nenhum deles e combinac ao linear dos anteriores entao o conjunto X v1 vm e LI Demonstrac ao Suponhamos por absurdo que uma combinac ao li near dos vetores dados com coeficientes nao todos nulos fosse igual a zero Se αrvr fosse a ultima parcela naonula dessa combinac ao terıamos entao α1v1 αrvr 0 26 Bases Secao 3 com αr 0 Daı viria vr α1 αr v1 αr1 αr vr1 logo vr seria combinac ao linear dos elementos anteriores a ele na lista v1 vm Observe que r 1 pois v1 0 Observac ao Evidentemente vale um resultado analogo com sub sequentes em vez de anteriores no enunciado Um conjunto X E dizse linearmente dependente abreviada mente LD quando nao e LI Isto significa que algum dos vetores v X e combinac ao linear de outros elementos de X ou entao que X 0 A fim de que X seja LD e necessario e suficiente que exista uma combinac ao linear nula α1v1 αmvm 0 de vetores v1 vm X com algum coeficiente αi 0 Se X Y e X e LD entao Y tambem e LD Se 0 X entao o conjunto X e LD Exemplo 32 Os vetores u 1 2 3 v 4 5 6 w 7 8 9 em R3 sao LD pois w 2v u Exemplo 33 Quando os vetores v1 vm sao LD isto nao signi fica que qualquer um deles seja combinac ao linear dos demais Por exemplo se u 1 2 v 3 4 e w 4 8 entao u v w R2 e um conjunto LD pois w 4u 0 v porem v nao e combinac ao linear de u e w Uma base de um espaco vetorial E e um conjunto B E linear mente independente que gera E Isto significa que todo vetor v E se exprime de modo unico como combinac ao linear v α1v1 αmvm de elementos v1 vm da base B Se B v1 vm e uma base de E e v α1v1 αmvm entao os numeros α1 αm chamamse as coordenadas do vetor v na base B Exemplo 34 Os vetores e1 1 0 0 en 0 0 1 cons tituem uma base e1 en de Rn chamada a base canˆonica Ana logamente os monˆomios 1 x xn formam uma base para o espaco vetorial Pn dos polinˆomios de grau n O conjunto 1 x xn dos monˆomios de graus arbitrarios constitui uma base infinita para o espaco vetorial P de todos os polinˆomios reais Convem obser var entretanto que o conjunto X e1 en R onde ηn 0 0 1 0 é a sequência infinita cujo nésimo termo é 1 e os demais são iguais a zero é um conjunto infinito LI mas não é uma base de R pois não gera este espaço Com efeito o subespaço vetorial de R gerado por X é o conjunto R formado pelas sequências v α1 αn nas quais apenas um número finito de coordenadas αn é 0 Demonstramos a seguir que se um espaço vetorial E admite uma base com n elementos então todas as bases de E têm o mesmo número n de elementos Este número é chamado a dimensão de E O ponto de partida é o lema abaixo Nele um sistema linear é chamado homogêneo quando o segundo membro de cada equação é igual a zero Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução trivial 0 0 0 Isto é coerente com o Exemplo 24 pois as soluções v x1 xn de um sistema homogêneo constituem um subespaço vetorial de Rn e todo subespaço contém o vetor nulo Lema 31 Todo sistema linear homogêneo cujo número de incógnitas é maior do que o número de equações admite uma solução nãotrivial Demonstração Consideremos o sistema a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 amn xn 0 de m equações com n incógnitas onde m n Usaremos indução no número m de equações Para m 1 temos uma única equação a11 x1 a1n xn 0 com n 1 incógnitas Um dos coeficientes a1i é 0 Mudando os nomes das incógnitas se necessário podemos supor que a1n 0 A equação dada equivale a xn a11 a1n x1 a1n1 a1n xn1 Atribuindo arbitrariamente valores nãonulos às n 1 incógnitas x1 xn1 e calculando xn por meio desta última expressão obtemos uma solução nãotrivial x1 xn para a equação dada Para completar a indução suponhamos o lema verdadeiro para um sis tema com m 1 equações Mudando se necessário a ordem das equações e os nomes das incógnitas podemos admitir que no sis tema dado temse amn 0 Então da mésima equação resulta xn am1 amn x1 amn1 amn xn1 Substituindo em cada uma das m 1 primeiras equações a incógnita xn por este valor obtemos um sistema homogêneo de m 1 equa ções nas n 1 incógnitas x1 xn1 Pela hipótese de indução este sistema admite uma solução nãotrivial α1 αn1 pois n 1 m 1 Pondo αn am1 amn α1 amn1 amn αn1 obtemos uma solução nãotrivial α1 αn1 αn do sistema proposto Teorema 33 Se os vetores v1 vm geram o espaço vetorial E então qualquer conjunto com mais de m vetores em E é LD Demonstração Dados os vetores w1 wn em E com n m para cada j 1 n temos wj α1j v1 αmj vm pois os vetores v1 vm geram E Para mostrar que os vetores wj são LD deve mos achar coeficientes x1 xn não todos iguais a zero tais que x1 w1 xn wn 0 Substituindo os wj por suas expressões em termos dos vi esta igualdade significa que Σj1n xj α1j v1 Σj1n xj α2j v2 Σj1n xj αmj vm 0 Certamente esta última condição será satisfeita desde que todos os somatórios dentro dos parênteses sejam nulos ou seja que x1 xn seja uma solução nãotrivial do sistema homogêneo α11 x1 α12 x2 α1n xn 0 α21 x1 α22 x2 α2n xn 0 αm1 x1 αm2 x2 αmn xn 0 Secao 3 Bases 29 Uma tal soluc ao existe pelo Lema 31 pois n m Logo w1 wn sao LD e o teorema esta demonstrado Corolario 1 Se os vetores v1 vm geram o espaco vetorial E e os vetores u1 un sao LI entao n m Este corolario e uma mera reformulac ao do Teorema 33 Corolario 2 Se o espaco vetorial E admite uma base Bu1 un com n elementos qualquer outra base de E possui tambem n elemen tos Com efeito seja B v1 vm outra base de E Como B gera E e B e LI temos n m pelo Corolario 1 Como B gera E e B e LI do mesmo corolario seguese m n Logo m n Dizse que o espaco vetorial E tem dimensao finita quando ad mite uma base B v1 vn com um numero finito n de elemen tos Este numero que e o mesmo para todas as bases de E chamase a dimensao do espaco vetorial E n dim E Por extensao dizse que o espaco vetorial E 0 tem dimensao zero Corolario 3 Se a dimensao de E e n um conjunto com n vetores gera E se e somente se e LI Com efeito se X v1 vn gera E e nao e LI entao um dos seus elementos e combinac ao dos n 1 restantes Estes n 1 veto res formariam ainda um conjunto de geradores de E em contradic ao com o Teorema 33 pois E contem uma base com n vetores line armente independentes Reciprocamente suponhamos que X seja LI Se X nao gerasse E existiria um vetor v E que nao seria combinac ao linear dos elementos de X Entao pelo Teorema 32 v1 vn v seria LI em contradic ao com o Teorema 33 pois uma base de E com n elementos gera o espaco Como a base canˆonica e1 en Rn tem n elementos Rn e um espaco vetorial de dimensao finita n Seguese entao do Corolario 3 que para mostrarmos que n vetores v1 vn Rn formam uma base basta provarmos que eles sao LI ou alternativamente que geram Rn 30 Bases Secao 3 Teorema 34 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita n Entao a Todo conjunto X de geradores de E contem uma base b Todo conjunto LI v1 vm E esta contido numa base c Todo subespaco vetorial F E tem dimensao finita a qual e n d Se a dimensao do subespaco F E e igual a n entao F E Demonstrac ao a Os conjuntos LI em E tˆem no maximo n elementos Seja Y v1 vm X um subconjunto LI de X com o numero maximo possıvel de elementos Se existisse algum vetor v X que nao fosse combinac ao linear de v1 vm entao o conjunto v1 vm v X seria LI pelo Teorema 32 mas isto con tradiria a maximalidade de m Logo devemos ter X SY donde E SX SY e daı SY E ou seja Y e uma base de E contida em X como se devia demonstrar b Seja Y v1 vm vm1 vk um conjunto LI com o numero maximo possıvel de elementos con tendo os m vetores dados Pelo Teorema 33 temse k n Se existisse em E algum vetor v que nao fosse combinac ao linear dos elementos de Y entao Y v seria um conjunto LI de acordo com o Teorema 32 em contradic ao com a maximalidade de k Seguese que Y gera E logo e uma base de E contendo v1 vm c Seja Y v1 vm F um subconjunto de F que e LI e tem o numero maximo possıvel de elementos Entao Y gera F pois se algum elemento v F nao fosse combinac ao linear dos vetores de Y entao pelo Teorema 32 v1 vm v F seria um conjunto LI contrariando a maximalidade de m Portanto Y e uma base de F e F tem dimensao finita Alem disso temse dim F m n pois nenhum conjunto com mais de n elementos em E pode ser LI d Se dim F dim E n entao toda base de F e um subconjunto LI com n elementos em E logo gera E pelo Corolario 3 Seguese que F E Secao 3 Bases 31 Neste livro trataremos primordialmente dos espacos vetoriais de dimensao finita Dizse que o espaco vetorial E tem dimensao infinita quando ele nao tem dimensao finita isto e quando nenhum subconjunto finito de E e uma base Como todo subconjunto finito que nao se reduza ao vetor 0 contem um subconjunto LI que gera o mesmo subespaco podemos dizer que um espaco vetorial E tem dimensao infinita se e somente se nao e gerado por um conjunto finito de vetores Por exemplo o espaco P de todos os polinˆomios reais tem dimensao infinita pois se X P e um conjunto finito de polinˆomios e r e o mais alto grau de um polinˆomio qualquer de X entao o subespaco vetorial gerado por X esta contido em Pr logo nao e igual a P Exemplo 35 Os monˆomios 1 x xn constituem uma base do espaco vetorial Pn dos polinˆomios de grau n logo Pn tem di mensao finita e dim Pn n 1 Por outro lado o conjunto infi nito 1 x xn e uma base do espaco vetorial P de todos os polinˆomios o qual tem dimensao infinita Tambem tem dimensao in finita o espaco R introduzido no Exemplo 34 pois admite a base infinita e1 e2 en onde en 0 0 1 0 e a sequˆencia infinita cujo nesimo termo e 1 e os demais sao zeros Finalmente embora nao exibamos explicitamente uma base para o espaco R podemos assegurar que ele nao tem dimensao finita em virtude do item c do Teorema 34 acima ja que R e um subespaco de R com dimensao infinita Exemplo 36 O espaco vetorial Mm n das matrizes m n tem dimensao finita igual a m n Uma base para Mm n e formada pelas matrizes eij cujo ijesimo elemento na intersec ao da iesima linha com a jesima coluna e igual a 1 e os demais elementos sao iguais a zero Exemplo 37 Se os coeficientes a1 an nao sao todos iguais a zero o hiperplano H x1 xn Rn a1x1 anxn 0 e um subespaco vetorial de dimensao n 1 em Rn Com efeito ad mitindo por simplicidade que an 0 vemos que v x1 xn H xn a1 an x1 an1 an xn1 Em particular para todo i 1 n 1 o vetor vi 0 1 0 aian cuja iésima coordenada é 1 a última é aian e as demais são zero pertence a H Além disso os vetores v1 vn1 são LI como se vê facilmente Logo o subespaço H tem dimensão n 1 ou n Como H Rn por exemplo o vetor v 0 0 an não pertence a H seguese que dim H n 1 e os vetores v1 vn1 formam uma base do hiperplano H Dizse que a variedade afim V E tem dimensão r quando V x F onde o subespaço vetorial F E tem dimensão r Exercícios 31 Dados os vetores u a1 a2 a3 v b1 b2 b3 e w c1 c2 c3 escreva u a1 a2 v b1 b2 e w c1 c2 Supondo u e v LI existem α β R tais que w αu βv Prove que u v w é LD se e somente se w αu βv com os mesmos α e β Use esse critério para determinar se os vetores u v e w abaixo são LI ou LD a u 1 2 3 v 1 3 2 w 1 2 3 b u 1 2 3 v 1 3 2 w 1 4 1 32 Mostre que as matrizes a b e c abaixo são LI a 1 1 0 0 b 1 0 0 1 c 1 1 1 1 33 Prove que os polinômios seguintes são linearmente independentes px x3 5x2 1 qx 2x4 5x 6 rx x2 5x 2 34 Seja X um conjunto de polinômios Se dois polinômios quaisquer pertencentes a X têm graus diferentes prove que X é LI Secao 3 Bases 33 35 No espaco P3 dos polinˆomios de grau 3 verifique se os po linˆomios abaixo sao LI ou LD px x3 3x2 5x 1 qx x3 x2 6x 2 rx x3 7x2 4x 36 Se uma func ao em CR e combinac ao linear de outras entao suas derivadas sucessivas sao combinacoes lineares com os mes mos coeficientes das derivadas dessas outras Use este fato para mostrar que ex e2x x3 x2 x e um conjunto LI 37 Seja E F1 F2 Se B1 e uma base de F1 e B2 e uma base de F2 prove que B1 B2 e uma base de E 38 Exiba uma base para cada um dos subespacos de R4 listados a seguir F x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 G x1 x2 x3 x4 x1 x2 e x3 x4 H x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 K x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 0 39 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita Dado um subespa co F E prove que se pode obter um subespaco G E tal que E F G 310 Seja F o subespaco vetorial plano de R3 formado pelos vetores v x y z tais que x 2y 4z 0 Obtenha uma base u1 u2 u3 R3 tal que u1 e u2 pertencam a F 311 Mostre que os polinˆomios 1 x1 e x23x1 formam uma base de P2 Exprima o polinˆomio 2x2 5x 6 como combinac ao linear dos elementos dessa base 312 Mostre que os vetores u 1 1 e v 1 1 formam uma base de R2 Exprima cada um dos vetores e1 1 0 e e2 0 1 como combinac ao linear dos elementos dessa base 34 Bases Secao 3 313 Mostre que os vetores u 1 1 1 v 1 2 1 e w 2 1 2 sao LD 314 Assinale Verdadeiro ou Falso quanto a validez da afirmac ao A uniao de dois subconjuntos LI do espaco vetorial E e ainda um conjunto LI Sempre Nunca Quando um deles e disjunto do outro Quando um deles e parte do outro Quando um deles e disjunto do subespaco gerado pelo outro Quando o numero de elementos de um deles mais o numero de elementos do outro e igual a dimensao de E 315 Seja S o conjunto das matrizes simetricas n n Para cada par i j de numeros naturais de 1 ate n com i j seja sij a matriz n n cujos elementos nas posicoes ij e ji sao iguais a 1 e os de mais sao zero Prove que estas matrizes constituem uma base para o subespaco vetorial S Mn n De modo analogo obtenha uma base do subespaco A das matrizes antisimetricas n n Conclua que dim S nn 12 e dim A nn 12 316 As matrizes t tij Mn n tais que tij 0 quando i j sao chamadas triangulares inferiores Prove que elas constituem um subespaco vetorial L Mn n obtenha uma base para L e determine a sua dimensao 317 Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensao de cada um dos subespacos de Mn n abaixo descritos a matrizes cuja soma dos elementos da diagonal traco e zero b matrizes que tˆem a primeira e a ultima linha iguais c matrizes cuja segunda linha e igual a terceira coluna d matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha e igual a soma dos elementos da segunda coluna 318 Sejam u v E vetores linearmente independentes Dado α 0 prove que o conjunto de dois elementos v v αu é uma base do subespaço gerado pelos vetores v v u v 2u v nu 319 Sejam v1 1 2 n v2 n 1 n 2 2n vn n2 n 1 n2 n 2 n2 Prove que estes vetores geram em Rn o mesmo subespaço F que os vetores w1 1 n 1 2n 1 n2 n 1 w2 2 n 2 n2 n 2 wn n 2n n2 e que dim F 2 Veja Exercício 23 320 Ache uma solução nãotrivial para o sistema homogêneo x1 2x2 3x3 4x4 0 2x1 x2 x3 x4 0 3x1 2x2 x3 2x4 0 e a partir daí obtenha uma combinação linear nula dos vetores v1 1 2 3 v2 2 1 2 v3 3 1 1 v4 4 1 2 na qual os coeficientes não são todos iguais a zero 321 Seja v1 vn uma base do espaço vetorial E Se os números a1 an não são todos iguais a zero prove que o conjunto F dos vetores v x1v1 xnvn tais que a1x1 anxn 0 é um subespaço vetorial de E com dim F n 1 322 Prove que 1 ex e2x e3x e4x é um conjunto LI no espaço CR Sugestão dada uma combinação linear nula derivea depois divida por ex e prossiga 323 Sejam X1 Xn subconjuntos LI do espaço vetorial E a Se X1 X2 Xn Xn1 prove que X Xn é LI b Se cada Xn tem n elementos prove que existe um conjunto linearmente independente X x1 xn com xn Xn para cada n N c Supondo E R e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores é verdade que X Xn seja uma base de E 324 Se os vetores v1 vm são LI prove que o mesmo se dá com os vetores v1 v2 v1 vm v1 Vale a recíproca 325 Dado o conjunto finito X a1 an obtenha uma base para o espaço vetorial FX R 36 Bases Secao 3 326 Seja X um conjunto infinito Para cada a X seja fa X R a func ao tal que faa 1 e fax 0 se x a Prove que o conjunto Y FX R formado por estas funcoes e linearmente independente logo FX R nao tem dimensao finita Prove ainda que Y nao gera FX R 327 Sejam F1 F2 E subespacos de dimensao finita Obtenha uma base do subespaco F1 F2 que contenha uma base de F1 uma base de F2 e uma base de F1 F2 328 Exiba uma base para cada um dos espacos vetoriais abaixo e daı calcule sua dimensao a polinˆomios pares de grau n b polinˆomios ımpares de grau n c polinˆomios de grau n que se anulam para x 2 e x 3 d vetores de Rn n 6 nos quais a segunda a quarta e a sexta coordenadas sao iguais 329 Podese ter uma base de Pn formada por n 1 polinˆomios de grau n 330 Mostre que os vetores u 1 1 1 v 1 2 3 e w 1 4 9 formam uma base de R3 Exprima cada um dos vetores e1 e2 e3 da base canˆonica de R3 como combinac ao linear de u v e w 331 Ache uma sequˆencia infinita F1 F2 Fn de subespacos vetoriais de P tais que a dim Fn b Fm Fn 0 se m n 332 Para 1 i m e 1 j n sejam si tj Mm n R as funcoes definidas por sia soma dos elementos da iesima linha de a e tja soma dos elementos da jesima coluna de a Prove que s1 sm t1 tn sao LD no espaco vetorial E FMm n R mas o conjunto s1 sm1 t1 tn e LI 333 Com as notacoes do exercıcio anterior sejam τ σ Mn n R as funcoes definidas para cada a aij Mn n por τa a11 ann soma dos termos da diagonal principal e σa a1n a2n1 an1 soma dos termos da outra diagonal Prove que para n 3 s1 sn1 t1 tn τ σ são funções linearmente independentes 334 Num espaço vetorial E dizse que o vetor v é uma combinação afim dos vetores v1 vr quando se tem v α1v1 αrvr com α1 αr 1 Dizse que os vetores v1 vr são afimindependentes quando nenhum deles é uma combinação afim dos demais Prove que as seguintes afirmações são equivalentes 1 Os vetores v1 vr são afimindependentes 2 Se α1v1 αrvr 0 e α1 αr 0 então α1 αr 0 3 Se α1v1 αrvr β1v1 βrvr com i1r αi i1r βi então α1 β1 αr βr Em particular duas combinações afins dos vi só podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes 4 Os vetores v2 v1 v3 v1 vr v1 são LI 5 A variedade afim gerada por v1 vr tem dimensão r 1 4 Transformacoes Lineares A Algebra Linear pode ser apresentada sob trˆes pontos de vista equi valentes transformacoes lineares matrizes ou formas quadraticas A ˆenfase ou ate mesmo a exclusividade que se da a uma dessas abordagens e muitas vezes uma questao de habito gosto pessoal ou conviccao Neste livro os trˆes aspectos serao devidamente tratados porem a primazia sera concedida as transformacoes lineares pelos trˆes motivos apontados principalmente o ultimo Sejam E F espacos vetoriais Uma transformacao linear A E F e uma correspondˆencia que associa a cada vetor v E um vetor Av A v Av F de modo que valham para quaisquer u v E e α R as relacoes Au v Au Av Aα v α Av O vetor Av chamase a imagem ou o transformado de v pela trans formac ao A Se A E F e uma transformac ao linear entao A 0 0 Com efeito A 0 A0 0 A 0 A 0 Alem disso dados u v E e α β R temse Aαu βv Aαu Aβv α Au β Av Mais geralmente dados v1 vm em E e α1 αm R vale Aα1v1 αmvm α1 Av1 αm Avm Daı resultam Av Av e Au v Au Av Secao 4 Transformacoes Lineares 39 A soma de duas transformacoes lineares A B E F e o produto de uma transformac ao linear A E F por um numero α R sao as transformacoes lineares A B E F e αA E F definidas respectivamente por A Bv Av Bv e αAv α Av para todo v E O sımbolo 0 indica a transformac ao linear nula 0 E F definida por 0 v 0 e definindo A E F por A v Av vˆese que A A A A 0 Seja LE F o conjunto das transformacoes lineares de E em F As definicoes acima tornam LE F um espaco vetorial Quando E F usaremos a notac ao LE em vez de LE E As transformacoes li neares A E E do espaco vetorial E em si mesmo sao chamadas operadores lineares em E Por sua vez as transformacoes lineares ϕ E R com valores numericos sao chamadas funcionais linea res Escrevese E em vez de LE R e o conjunto E dos funcionais lineares ϕ E R chamase o espaco vetorial dual de E Um operador linear especial e o operador identidade I E E definido por I v v para todo v E Quando for necessario especifi car escreveremos IE em vez de I Uma transformac ao linear A E F e um tipo particular de func ao que tem o espaco vetorial E como domınio e o espaco F como contradomınio Em geral para se definir uma func ao f X Y e necessario especificar o valor fx para cada elemento x no seu domınio X O que torna as transformacoes lineares tao manejaveis e que para se conhecer A LE F basta que se saibam os valores A v que A assume nos vetores v B onde B e uma base de E Isto e particularmente util quando E tem dimensao finita Neste caso um numero finito de valores A v1 A vn onde v1 vn E e uma base atribuıdos arbitrariamente definem inteiramente uma transformac ao linear A E F Mais precisamente vale o Teorema 41 Sejam E F espacos vetoriais e B uma base de E A cada vetor u B facamos corresponder de maneira arbitraria um vetor u F Entao existe uma unica transformac ao linear A E F tal que A u u para cada u B Demonstrac ao Todo vetor v E se exprime de modo unico como uma combinac ao linear v α1u1 αmum de elementos u1 um da base B Definimos A E F pondo A v α1u 1 αmu m Dados v w E temos v α₁u₁ αₘuₘ e w β₁u₁ βₘuₘ Mesmo que a base B seja infinita podemos exprimir v e w como combinações lineares dos mesmos elementos de B completando com coeficientes zero os múltiplos dos uᵢ que aparecem apenas numa das duas expressões Então v w i1m αᵢ βᵢuᵢ logo Av w αᵢ βᵢuᵢ αᵢuᵢ βᵢuᵢ A v A w De maneira análoga se vê que Aαv α Av portanto A E F assim definida é uma transformação linear tal que A u u para todo u B Quanto à unicidade seja B E F outra transformação linear tal que B u u para todo u B Então para cada v αᵢuᵢ E temse B v Bαᵢuᵢ αᵢ Buᵢ αᵢ uᵢ A v portanto B A Isto completa a demonstração Em virtude do Teorema 41 se quisermos definir uma transformação linear A Rⁿ Rᵐ basta escolher para cada j 1 n um vetor vⱼ a₁ⱼ a₂ⱼ aₘⱼ Rᵐ e dizer que vⱼ A eⱼ é a imagem do jésimo vetor da base canônica eⱼ 0 1 0 pela transformação linear A A partir daí fica determinada a imagem A v de qualquer vetor v x₁ xₙ Rⁿ Com efeito temse v x₁e₁ xₙeₙ logo A v Aj1n xⱼeⱼ j1n xⱼA eⱼ j1n a₁ⱼxⱼ a₂ⱼxⱼ aₘⱼxⱼ j1n a₁ⱼxⱼ j1n a₂ⱼxⱼ j1n aₘⱼxⱼ ou seja Ax₁ x₂ xₙ y₁ y₂ yₘ onde y₁ a₁₁x₁ a₁₂x₂ a₁ₙxₙ y₂ a₂₁x₁ a₂₂x₂ a₂ₙxₙ yₘ aₘ₁x₁ aₘ₂x₂ aₘₙxₙ Resumindo uma transformação linear A Rⁿ Rᵐ fica inteiramente determinada por uma matriz a aᵢⱼ Mm n Os vetorescoluna dessa matriz são as imagens A eⱼ dos vetores da base canônica de Rⁿ A imagem A v de um vetor arbitrário v x₁ xₙ Rⁿ é o vetor w y₁ yₘ Rᵐ cujas coordenadas são dadas pelas equações acima nas quais ocorrem os vetoreslinha da matriz a Dizse que a é a matriz da transformação A relativa às bases canônicas de Rⁿ e Rᵐ Temse A eⱼ i1m aᵢⱼeᵢ j 1 n onde os eⱼ estão em Rⁿ e os eᵢ em Rᵐ Em particular a matriz de um funcional linear φ Rⁿ R é do tipo 1 n logo pode ser escrita simplesmente como a₁ a₂ aₙ onde aⱼ φeⱼ Para todo vetor x x₁ xₙ Rⁿ temse φx a₁x₁ aₙxₙ Na situação dual uma transformação linear A R Rⁿ é dada por uma matriz n 1 cuja única coluna é o vetor v A 1 a₁ aₙ A base canônica de R¹ R tem um único elemento e₁ 1 Assim a transformação linear A R Rⁿ fica inteiramente determinada por um único vetor v Rⁿ Temse A t t v para todo t R Evidentemente o mesmo se pode dizer de toda transformação linear A R F seja qual for o espaço vetorial F conhecendo v A 1 F temse A t tv para todo t R Exemplo 41 Se dim E 1 todo operador A E E é do tipo A αI isto é existe uma constante α R tal que Av αv para todo v E Com efeito seja u E um vetor nãonulo Então u E é uma base todo vetor em E é múltiplo de u Portanto existe α R tal que Au αu Para qualquer outro vetor v E temos v λu portanto Av Aλu λAu λ αu αλu αv Exemplo 42 Rotação de ângulo θ em torno da origem em R² Tratase do operador R R² R² que leva cada vetor v no vetor Rv que dele resulta pela rotação de ângulo θ em torno da origem A Fig 41 deixa claro que Ruv R u R v É bem mais claro ainda que Rαv α Rv para v R² e α R logo R é uma transformação linear Para um vetor v x y R² arbitrário seja R v x y Sabemos que x ax by e y cx dy e queremos determinar a matriz a b c d onde Re₁ a c e Re₂ b d com e₁ 1 0 e e₂ 0 1 Ora pelas definições de seno e cosseno o vetor unitário Re₁ que forma com e₁ um ângulo θ tem coordenadas cos θ e sen θ ou seja Re₁ cos θ sen θ Além disso como e₂ forma com e₁ um ângulo reto Re₂ também forma com Re₁ um ângulo reto Logo Re₂ sen θ cos θ Veja Fig 42 Figura 42 Rotação de ângulo θ Portanto a rotação R R² R² leva um vetor v x y no vetor Rv x y onde x x cos θ y sen θ y x sen θ y cos θ A matriz de R relativa à base canônica de R² é cos θ sen θ sen θ cos θ Exemplo 43 Projeção ortogonal sobre uma reta A reta y ax é o conjunto dos pontos x ax R² onde x varia em R Ela é o subespaço vetorial de R² gerado pelo vetor 1 a Consideremos o operador P R² R² que faz corresponder a cada v x y R² o vetor Pv x ax cuja extremidade é o pé da perpendicular baixada de v sobre a reta y ax Veja Fig 43 Figura 43 Projeção ortogonal sobre uma reta Queremos determinar x em função de x e y o que nos dará as coordenadas x ax de Pv em função das coordenadas de v No caso particular em que a 0 a reta y ax é o eixo das abcissas e a projeção Pv é simplesmente igual a x 0 As equações da projeção P sobre o eixo horizontal são portanto x x y 0 A matriz de P na base canônica de R² é 1 0 0 0 No caso geral a extremidade do vetor Pv é o vértice do ângulo reto num triângulo retângulo cujos demais vértices são a origem e a extremidade do vetor v Pelo teorema de Pitágoras temos distv 0² distPv 0² distv Pv² ou seja x² y² x² a²x² x x² y ax² Suponhamos x 0 Desenvolvendo simplificando e dividindo ambos os membros por x obtemos 1 a²x x ay donde x x ay 1 a² ou seja x 11 a² x a1 a² y O caso x 0 significa que v x y está sobre a perpendicular à reta y ax passando pela origem Ora a equação dessa perpendicular é x ay 0 logo a expressão x x ay1 a² fornece x em função de x e y em todos os casos Vemos em particular que a projeção P R² R² é um operador linear cuja matriz na base canônica de R² é 11a² a1a² a1a² a²1a² Exemplo 44 Reflexão em torno de uma reta Seja S R² R² a reflexão em torno da reta y ax Para todo v x y R² a reta y ax é a bissetriz do ângulo entre v e Sv e é perpendicular à reta que liga v a Sv Seja P R² R² a projeção ortogonal sobre a reta y ax A Fig 44 mostra que para todo v R² temse v Sv 2Pv ou seja que I S 2P onde I R² R² é o operador identidade Daí vem S 2P I Usando o exemplo anterior concluímos que para todo v x y temse Sv x y onde x 1 a²1 a² x 2a1 a² y y 2a1 a² x 1 a²1 a² y do espaço de funções E Cº a b podemos definir um operador linear K E E do seguinte modo fixamos uma função contínua k a b a b ℝ de duas variáveis e fazemos corresponder a cada f E a função g Kf E dada por gx ₐᵇ kxyfy dy Finalmente temos o importante operador de derivação D Cℝ Cℝ definido por Df f derivada de f Ele também pode ser considerado de forma mais restrita como um operador D ₙ ₙ onde D ᵢ₀ⁿ aᵢxⁱ ᵢ₁ⁿ i aᵢxⁱ¹ ou de forma mais ampla como uma transformação linear D Cᵏℝ Cᵏ¹ℝ para k 0 Exercícios 41 Prove que se A B E F são transformações lineares e α é um número real então A B e αA conforme definidas no texto são transformações lineares 42 Sejam RPS ℝ² ℝ² respectivamente a rotação de 30 em torno da origem a projeção ortogonal sobre a reta y x3 e a reflexão em torno da mesma reta Dado o vetor v 25 determine os vetores Rv Pv e Sv 43 Assinale verdadeiro V ou falso F É dada uma transformação linear A E F Se v E é tal que Av 0 então v 0 Se Aw Au Av então w u v Se v é combinação linear de u₁uₘ então Av é combinação linear de Au₁Auₘ Se uvw E são colineares isto é pertencentes a uma mesma reta então Au Av e Aw são colineares Secao 4 Transformacoes Lineares 47 44 Seja A R2 R2 a projec ao sobre o eixo x paralelamente a reta y ax a 0 Isto significa que para todo v x y tem se Av x 0 tal que v Av pertence a reta y ax Exprima x em func ao de x e y e escreva a matriz de A relativamente a base canˆonica de R2 45 Dados os vetores u1 2 1 u2 1 1 u3 1 4 v1 1 3 v2 2 3 e v3 5 6 decida se existe ou nao um operador linear A R2 R2 tal que Au1 v1 Au2 v2 e Au3 v3 Mesma pergunta com v3 5 6 e com v3 5 6 46 A expressao geral de um operador linear A R2 R2 e Ax y ax by cx dy Determine as constantes a b c e d de modo que A transforme os vetores u 1 2 e v 3 4 nos vetores Au 1 1 e Av 2 2 47 A expressao geral de um funcional linear f R3R e fx y z ax by cz Dados os vetores u 1 2 3 v 1 2 3 e w 1 2 3 determine a b e c de tal modo que se tenha fu 1 fv 0 e fw 0 48 Seja A R2 R2 o operador linear definido por Ax y 5x 4y 3x 2y Ache vetores naonulos u x y e v s t tais que Au u e Av 2v Sao unicas as solucoes Sera possıvel achar w 0 em R2 com Aw αw onde α 1 e α 2 49 Dˆe as expressoes dos funcionais lineares f g h R3 R que formam a base dual em R3 da base u v w R3 onde u 1 1 1 v 1 1 1 e w 1 1 1 Vide Exercıcio 420 410 Temse uma transformac ao linear A R2 R3 Sabese que A1 1 1 2 3 e A2 3 1 1 1 Pedese a matriz a M3 2 de A relativamente as bases canˆonicas de R2 e R3 411 Prove que uma transformac ao linear A E F transforma todo conjunto convexo C E num conjunto convexo AC F 412 Determine a expressao do operador linear A R2 R2 sa bendo que para todo v x y o segmento de reta que liga v a Av x y e horizontal e tem seu ponto medio sobre a reta y x Qual e a imagem do eixo vertical pelo operador A 413 Prove que os operadores lineares E11 E12 E21 E22 R2 R2 definidos por E11x y x 0 E12x y 0 x E21x y y 0 E₂₂xy 0y constituem uma base do espaço vetorial Lℝ² Prove ainda que outra base deste espaço pode ser formada com os operadores A B C I onde Axy x 3yy Bxy x0 Cxy x yx y e Ixy xy 414 Verifique que as funções definidas nos Exercícios 332 e 333 são funcionais lineares 415 Seja A E F uma transformação linear a Se os vetores Av₁ Avₘ F são LI prove que v₁ vₘ E também são LI b Se F E e os vetores Av₁ Avₘ geram E prove que v₁ vₘ geram E c Valem as recíprocas de a e b Seria b verdadeira com F E 416 Quais das transformações abaixo são lineares a A ℝ³ ℝ³ Axyz x 2y 2z b A ℝ³ ℝ³ Axyz 3x a 5z onde a ℝ c A ℝ⁴ ℝ³ Axyzw x w y w x z d A Mn n ℝⁿ Aaᵢⱼ a₁₁ a₂₂ aₙₙ e A Cℝ Cℝ Af 3f 2f 1 f A M2 2 ℝ A a bc d ad bc 417 Sejam A E F uma transformação linear e E E F F subespaços vetoriais Prove que AE Av v E é um subespaço de F e A¹F v E Av F é um subespaço de E Se V E e W F são variedades afins prove que os conjuntos AV F e A¹W E definidos analogamente são também variedades afins 418 No exercício anterior prove que se E tem dimensão finita então dim AE é finita e dim AE dim E Dê um exemplo de um operador não identicamente nulo A ℝ² ℝ² e um subespaço E ℝ² tal que dim AE dim E Prove também que se E e F têm dimensão finita e A é sobrejetiva então dim A¹F dim F Dê um exemplo em que A 0 e dim A¹F dim F Dê também um exemplo com dim E onde dim F é finita mas dim A¹F 419 Dados os espaços vetoriais E F prove que LEF é um subespaço vetorial de FEF Vide Exercício 115 Secao 4 Transformacoes Lineares 49 420 Seja V v1 vn uma base do espaco vetorial E Para cada i 1 2 n seja fi E R o funcional linear determinado conforme o Teorema 41 pelas condicoes fivi 1 fivj 0 se j i Prove que f1 fn e uma base de E LE R chamada a base dual da base V Mostre que se tem fiv xi para todo v x1v1 xnvn E 421 Seja f R2 R um funcional linear Sabendo que f1 1 3 e f2 3 1 calcule f1 0 e f0 1 422 Seja A R2 R2 o operador linear dado por Ax y ax by cx dy com ad bc 0 Prove 1 Para todo v 0 em R2 temse Av 0 2 Toda reta R R2 variedade afim de dimensao 1 e transfor mada por A numa reta 3 A transforma retas paralelas em retas paralelas 423 Determine α de modo que as retas perpendiculares em R2 de equacoes y αx e y xα sejam transformadas em retas per pendiculares pelo operador linear A R2 R2 dado por Ax y 2x 3y x 2y 424 Sejam E F espacos vetoriais de dimensao finita Dados os vetores v1 vm E e w1 wm F a fim de que exista uma transformac ao linear A E F com Av1 w1 Avm wm e necessario e suficiente que para toda combinac ao linear nula α1v1 αmvm 0 se tenha tambem α1w1 αmwm 0 425 Seja v um vetor naonulo de um espaco vetorial E de dimensao finita Dado qualquer espaco vetorial F 0 mostre que existe uma transformac ao linear A E F tal que Av 0 426 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita Dada uma base F f1 fn E mostre que existe uma base v1 vn E da qual F e dual Veja Exercıcio 420 427 Seja Y um conjunto de geradores do espaco vetorial E Se as transformacoes lineares A B E F sao tais que Aw Bw para todo w Y prove que Av Bv para todo v E 428 Seja X v₁ vₘ um conjunto LI no espaço vetorial E de dimensão finita Dados arbitrariamente os vetores w₁ wₘ no espaço vetorial F prove que existe uma transformação linear A E F tal que Av₁ w₁ Avₘ wₘ A é única se e somente se X é uma base de E 429 Uma transformação T E F entre espaços vetoriais chamase afim quando se tem T1 tu tv 1 tTu tTv para quaisquer uv E e t ℝ Dada a transformação afim T E F prove a Toda variedade afim V E é transformada por T numa variedade afim V F b Se T 0 0 então escrevendo αv 1 α0 αv resulta que Tαv α Tv para quaisquer α ℝ v E c Supondo ainda T 0 0 a relação T ½ u v ½ Tu Tv implica que Tu v Tu Tv para quaisquer uv E d Para todo b F a transformação S E F definida por Sv Tv b também é afim Conclua que T E F é uma transformação afim se e somente se existem A LEF e b F tais que Tv Av b para todo v E 430 Seja H ℝⁿ um subespaço vetorial de dimensão n 1 Tome uma base V H formada pelos vetores v₁ vₙ₁ onde vᵢ αᵢ αᵢₙ i 1 n 1 Use o fato de que o sistema de equações lineares ⱼ₁ⁿ αᵢⱼxⱼ 0 com n 1 equações e n incógnitas admite uma solução nãotrivial para concluir que existem n números α₁ αₙ tais que v x₁ xₙ pertence a H se e somente se α₁x₁ αₙxₙ 0 Todo subespaço vetorial de ℝⁿ com dimensão n 1 é um hiperplano isto é é o conjunto das soluções de uma equação linear homogênea 5 Produto de Transformacoes Lineares O produto de transformacoes lineares que introduziremos nesta secao e um exemplo concreto de estrutura algebrica que apresenta variados e interessantes fenˆomenos nao encontrados nas operacoes entre numeros ou entre vetores Dadas as transformacoes lineares A E F B F G onde o domınio de B coincide com o contradomınio de A definese o produto BA E G pondo para cada v E BAv BAv E A F B G BA Vˆese imediatamente que BA e uma transformac ao linear Ob servese tambem que BA nada mais e do que a composta B A das funcoes B e A Seguese entao dos princıpios gerais que se C G H e outra transformac ao linear vale a Associatividade CBA CBA A linearidade tampouco e necessaria para mostrar que dadas A E F e B C F G temse a Distributividade a esquerda B CA BA CA que decorre simplesmente da definic ao de B C Usando a linearidade de C F G vˆese que dadas A B E F vale a 52 Produto de Transformacoes Lineares Secao 5 Distributividade a direita CA B CA CB Com efeito para todo v E temse CA Bv CA Bv CAv Bv CAv CBv CAv CBv CA CBv Exemplo 51 Sejam f g h R R definidas por fx x gx x 1 e hx x2 Entao h f gx 4x2 4x 1 enquanto h f h gx 2x2 2x 1 logo h f g h f h g Isto se da porque h nao e linear Outra consequˆencia da linearidade de B e a Homogeneidade BαA αBA valida para α R A E F e B F G quaisquer Evidentemente dada A E F temse AIE A IFA de modo que as aplicacoes identidade IE E E IF F F sao elementos neutros para a multiplicac ao cada uma delas do lado apropriado Diferencas notaveis entre o produto de transformacoes lineares e o produto de numeros reais sao as ausˆencias da comutatividade da lei do corte e da inversa multiplicativa para uma transformac ao 0 alem da presenca de transformacoes nilpotentes para as quais temse An 0 com A 0 Devese ainda mencionar a restric ao de que o produto BA so esta definido quando A toma valores no domınio de B Esta restric ao desaparece naturalmente quando se trata de operadores lineares no mesmo espaco E entao o produto BA esta definido quaisquer que sejam A B LE Exemplo 52 Sejam P R R2 R2 respectivamente a projec ao orto gonal sobre a reta y x e a rotac ao de um ˆangulo de 90 em torno da origem Entao para todo v x y R2 temse Pv 1 2x y x y Rv y x Seguese que RPv 1 2x y x y e PRv 1 2x y x y Portanto RPv PRv para todo v exceto para v 0 0 Observe que bastaria que RPv PRv para um unico v a fim de termos RP PR Secao 5 Produto de Transformacoes Lineares 53 Exemplo 53 Seja P R2 R2 a projec ao ortogonal sobre uma certa reta r Para todo v sobre a reta r temse Pv v Assim para qual quer v R2 temse PPv Pv pois Pv esta sobre r Noutras palavras vale PP P ou seja PP PI embora P I Assim nao e per mitido cortar o fator P a esquerda em ambos os membros da igual dade PP PI Seguese que nao existe Q LR2 tal que QP I Com efeito se um tal operador Q existisse de PP P concluirıamos QPP QP isto e IP I donde P I Exemplo 54 Sejam P Q R2 R2 projecoes ortogonais sobre duas retas do plano uma das quais e perpendicular a outra Todo vetor v R2 e a diagonal de um retˆangulo que tem Pv e Qv como lados Veja Fig 51 Pv Qv v Figura 51 Seguese entao que v PvQv para todo v R2 ou seja PQ I e Q I P Portanto PQ PI P P P2 P P 0 Obtemos assim dois operadores naonulos P Q com PQ 0 E possıvel mesmo que um operador naonulo A LR2 cumpra A2 0 Basta pˆor Ax y x y x y Um operador A chamase nilpotente quando para algum n N temse An 0 Um exemplo significativo de operador nilpotente e a derivac ao D Pn Pn Para todo polinˆomio p de grau n temse Dn1 p 0 logo Dn1 0 Exemplo 55 Se Rα Rβ R2 R2 sao rotacoes em torno da origem com ˆangulos α e β respectivamente entao Rα Rβ Rαβ Isto pode ser visto geometricamente na Fig 52 ou usando as fórmulas de cosα β e senα β Se S R² R² é a reflexão em torno de uma reta então S S I Isto se segue da expressão S 2P I levando em conta que P P P mas também pode ser visto geometricamente com mais facilidade Figura 52 Rotações do plano Exercícios 51 Verifique explicitamente que o produto BA de transformações lineares é ainda uma transformação linear 52 Considere os operadores lineares R S P R² R² onde R é a rotação de 30 em torno da origem S é a reflexão em torno da reta y 2x e P é a projeção ortogonal sobre a mesma reta i Mostre que se tem PS SP P ii Verifique a igualdade RSR S iii Mostre que R não comuta com S nem com P iv Determine todos os vetores v tais que PRv 0 e RPv 0 53 Dado o operador linear A E E seja N o conjunto dos vetores v E tais que Av 0 Mostre que N é um subespaço vetorial de E Prove que A² 0 se e somente se para todo v E temse Av N Secao 5 Produto de Transformacoes Lineares 55 54 Sejam R R R2 R2 respectivamente as rotacoes de ˆangulos θ e θ em torno da origem Partindo do fato de que o produto RR e a rotac ao de ˆangulo θ θ use o Exemplo 42 para obter as formulas classicas cosθ θ cos θ cos θ sen θ sen θ e senθ θ sen θ cos θ sen θ cos θ 55 Seja A E E um operador nilpotente Prove que existe algum vetor v 0 em E tal que Av 0 56 Dados os operadores A B R2 R2 dados por Ax y xy 0 e Bx y y x obtenha as expressoes dos operadores A B AB BA A2 e B2 Descreva geometricamente esses cinco operadores Exemplo A e a projec ao sobre o eixo x paralelamente a uma certa reta Qual 57 Seja A R3 R3 dado por Ax y z ay bz cz 0 Mostre que A3 0 58 Sejam A B C D R2 R2 os operadores dados por Ax y x 0 Bx y y x Cx y 0 y e Dx y y x Deter mine o operador ABCD 59 Considere as transformacoes lineares A R2 R3 e B R3 R2 definidas por Ax y x y x y e Bx y z ax a 1y 1 az bx 1 by bz Determine o operador BA R2 R2 510 Dado o operador A R2 R2 com Ax y 3x 2y 2x 7y ache um vetor naonulo v x y tal que Av 5v 511 Sejam A B E E operadores lineares Suponha que existam vetores u v E tais que Au e Av sejam LD Prove que BAu e BAv sao LD Se a dimensao de E for igual a 2 prove tambem que ABu e ABv sao LD Sugestao se u e v sao LD o fato e obvio Caso contrario u e v formam uma base de E Exprima Bu e Bv em termos dessa base e depois aplique A 512 Sejam A B R3 R3 definidos por Ax y z x y 0 e Bx y z x z y 0 Obtenha vetores u v R3 tais que Au e Av sejam LD porem ABu e ABv sejam LI 513 No espaco vetorial P dos polinˆomios considere os operadores lineares D A P P de derivac ao Dpx px e multiplicac ao por x Apx xpx respectivamente Determine DA AD 56 Produto de Transformacoes Lineares Secao 5 514 Seja A R2 R2 o operador linear definido por Ax y ax by cx dy Verifique que A2 a dA bc adI Use esta igualdade para provar que se adbc 0 existe um operador linear B R2 R2 tal que BA AB I 515 Seja CA o conjunto dos operadores lineares X E E que comutam com o operador A LE isto e AX XA Prove que CA e um subespaco vetorial de LE e que X Y CA XY CA 516 Seja A R2 R2 um operador linear que nao e da forma αI Prove a Existe w R2 tal que w Aw w R2 e uma base b Se P R2 R2 e o operador que a cada v xw yAw w R2 faz corresponder Pv xw entao AP PA Conclua que os unicos operadores lineares em R2 que comutam com todos os demais sao os da forma αI 517 Estenda o exercıcio anterior para todos os espacos vetoriais de dimensao finita maior do que 1 em vez de R2 518 Sejam A E F uma transformac ao linear e B F E uma func ao tal que AB IF e BA IE Prove que B e uma transformac ao linear 519 Seja E um espaco vetorial de dimensao n Para todo k 2 n exiba um operador linear A E E tal que Ak 0 mas Aj 0 se j k 520 Sejam A P E E operadores lineares naonulos tais que AP 0 Prove que existem vetores diferentes de zero u v com Au Av 521 Sejam A R2 R2 um operador linear e P R2 R2 a projec ao ortogonal sobre uma reta r passando pela origem Prove que as seguintes afirmacoes sao equivalentes a Para todo v r temse Av r b PAP AP 522 Seja X F G uma transformac ao linear tal que Xw 0 para todo w 0 em F Prove que se A B LE F cumprem XA XB entao A B Secao 5 Produto de Transformacoes Lineares 57 523 Seja X E F uma transformac ao linear com a seguinte pro priedade para cada w F existe pelo menos um vetor v E tal que Xv w Suponha que A B LF G cumprem a igualdade AX BX Prove que A B 524 Sejam A B E F transformacoes lineares tais que para todo operador linear X F F temse XAXB Prove que AB 6 Nucleo e Imagem Nesta secao sera examinada com cuidado a possibilidade de uma transformacao linear admitir ou nao uma inversa Veremos que isto esta associado a existˆencia e a unicidade da solucao de um sistema de equacoes lineares Sera introduzido o conceito de isomorfismo que dara um sentido preciso a afirmacao de que dois espacos vetoriais de mesma dimensao sao algebricamente indistinguıveis Tudo comeca com o nucleo e a imagem de uma transformacao A toda transformac ao linear A E F estao associados dois sub espacos vetoriais indispensaveis para estudar o comportamento de A o nucleo de A que e um subespaco de E e a imagem de A que e um subespaco de F A imagem de A e o subconjunto ImA F formado por todos os vetores w Av F que sao imagens de elementos de E pela transformac ao A A noc ao de imagem tem sentido seja qual for a func ao A E F seja linear ou nao Quando A e linear entao ImA e um subespaco vetorial de F como se vˆe facilmente Se ImA F dizse que a transformac ao A e sobrejetiva Isto significa que para qualquer w F dado podese achar v E tal que A v w Seja X E um conjunto de geradores do espaco vetorial E A imagem da transformac ao linear A E F e o subespaco vetorial de F gerado pelos vetores Av v X Em particular A e sobreje tiva se e somente se transforma X num conjunto de geradores de F Se v₁ vₙ geram E os vetores Av₁ Avₙ geram ImA Seguese que a dimensão de ImA é menor do que ou igual à dimensão do domínio de A Este fato será tornado mais preciso a seguir V Teorema 66 Exemplo 61 Dado um sistema linear de m equações a n incógnitas seja A Rⁿ Rᵐ a transformação linear cuja matriz nas bases canônicas de Rⁿ e Rᵐ é a aᵢⱼ Isto significa como sabemos que para j 1 n os vetores são os vetorescoluna da matriz a Em termos da transformação linear A o sistema acima pode ser interpretado como o problema de achar um vetor x x₁ xₙ Rⁿ tal que Ax b onde b b₁ bₘ Portanto o sistema admite solução se e somente se o vetor b pertence à imagem da transformação linear A o que equivale a dizer que os conjuntos v₁ vₙ e v₁ vₙ b geram ambos o mesmo subespaço ImA Exemplo 62 Um funcional linear f E R é sobrejetivo ou é igual a zero pois 0 e R são os únicos subespaços vetoriais de R A derivação D CᵏR Cᵏ¹R é sobrejetiva e o mesmo se dá com o operador D CR CR e com a transformação linear D Pₙ Pₙ₁ Se P R² R² é a projeção ortogonal sobre uma reta r a imagem de P é essa reta r Uma transformação linear B F E chamase uma inversa à direita da transformação linear A E F quando se tem AB IF ou seja quando ABw w para todo w F Teorema 61 A fim de que uma transformação linear A E F entre espaços vetoriais de dimensão finita possua uma inversa à direita B LF E é necessário e suficiente que A seja sobrejetiva 60 Nucleo e Imagem Secao 6 Demonstrac ao Se A admite uma inversa a direita B F E entao para todo w F temse ABw w logo w A v onde v Bw e A e sobrejetiva Aqui nao se usou a linearidade de A e muito menos a finitude das dimensoes de E e F Suponhamos em se guida que A seja sobrejetiva A fim de definir uma transforma c ao linear B F E com ABw w para todo w F tomamos uma base B w1 wm F Como A e sobrejetiva podemos escolher vetores v1 vm E tais que Av1 w1 Avm wm Pelo Teorema 41 existe uma transformac ao linear B F E tal que Bw1 v1 Bwm vm Afirmamos que para todo w F tem se ABw w Com efeito sendo B uma base podemos escrever w β1w1 βmwm portanto ABw Aβ1Bw1 βmBwm Aβ1v1 βmvm β1Av1 βmAvm β1w1 βmwm w Exemplo 63 Uma transformac ao linear sobrejetiva A E F pode admitir mais de uma inversa a direita B F E Um exem plo simples e dado pela transformac ao linear A R3 R2 defi nida por Ax y z x y Fixados arbitrariamente a b R a transformac ao linear B R2 R3 definida por Bx y x y ax by e uma inversa a direita para A Variando os numeros a e b obtemos infinitas possibilidades para B Exemplo 64 Uma inversa a direita para a derivac ao D Pn1 Pn e a transformac ao linear J Pn Pn1 que a cada polinˆomio px ao a1x anxn de grau n faz corresponder o polinˆomio Jpx aox a1 2 x2 an n 1xn1 O nucleo da transformac ao linear A E F e o conjunto dos ve tores v E tais que Av 0 Usaremos a notac ao NA para repre sentar o nucleo de A E facil ver que NA e um subespaco vetorial de E Uma transformac ao linear A E F chamase injetiva quando v v em E Av Av em F Equivalentemente Av Av v v Esta noc ao tem sentido para qualquer func ao A E F seja ela Secao 6 Nucleo e Imagem 61 linear ou nao No caso linear porem o teorema abaixo simplifica a verificac ao da injetividade Teorema 62 A fim de que uma transformacao linear A E F seja injetiva e necessario e suficiente que seu nucleo NA contenha apenas o vetor nulo Demonstrac ao Seja A injetiva Entao v NA A v 0 A 0 v 0 logo NA 0 Reciprocamente seja NA 0 Entao Av Av Av v Av Av 0 v v NA v v 0 v v logo A e injetiva Teorema 63 Uma transformacao linear e injetiva se e somente se leva vetores LI em vetores LI Demonstrac ao Seja A E F uma transformac ao linear injetiva Se os vetores v1 vn E sao linearmente independentes vamos provar que suas imagens Av1 Avn sao vetores linearmente inde pendentes em F Com efeito se α1 Av1 αn Avn 0 entao Aα1v1 αnvn 0 logo α1v1 αnvn 0 pois A e in jetiva Como v1 vn sao LI seguese que α1 αn 0 portanto Av1 Avn sao LI Reciprocamente se a transformac ao linear A E F leva vetores LI em vetores LI entao v 0 em E v LI Av LI Av 0 portanto NA 0 e A e inje tiva Seguese deste teorema que se E tem dimensao finita n e A E F e uma transformac ao linear injetiva entao dim F n Assim por exemplo nao existe uma transformac ao linear injetiva de R3 em R2 Teorema 64 Seja A E F uma transformacao linear Para todo b ImA o conjunto V x E Ax b formado pelas solucoes do sistema linear Ax b e uma variedade afim em E paralela ao nucleo NA Demonstrac ao Fixemos x0 V isto e com Ax0 b Afirmamos que V x0 NA Com efeito v NA Ax0 v Ax0 Av 62 Nucleo e Imagem Secao 6 b 0 b x0 v V Logo x0 NA V Reciprocamente x V x x0 x x0 x0 v b Ax Ax0 v Ax0 Av b Av b b Av Av 0 x x0 v x0 NA Logo V x0 NA Observac ao Geometricamente o Teorema 64 significa que o espa co vetorial E se exprime como uma reuniao de lˆaminas paralelas V x0 NA cada uma das quais e uma variedade afim que se transforma por A num unico ponto bImA Este ponto na turalmente varia quando se passa de uma lˆamina para outra Veja Fig 61 A A x x 0 0 A A x0 O O E F N N Im A Figura 61 Algebricamente o Teorema 64 significa que para cada b ImA obtˆemse todas as solucoes x E do sistema linear Ax b assim achase uma soluc ao particular x0 desse sistema e a soluc ao geral x xo v e a soma dessa soluc ao particular com a soluc ao ge ral v do sistema homogˆeneo associado Ax 0 Naturalmente esta ultima e um elemento qualquer do nucleo de A Se b ImA entao o sistema Ax b evidentemente nao possui soluc ao Exemplo 65 O nucleo de uma rotac ao ou de uma reflexao no plano R2 reduzse a 0 O nucleo da projec ao ortogonal P R2 R2 sobre a reta r e a reta que contem 0 e e perpendicular a r O nucleo da Secao 6 Nucleo e Imagem 63 derivac ao D CkR Ck1R e o subespaco unidimensional de CkR formado pelas funcoes constantes O nucleo de um funcional linear naonulo ϕ E R e um hiperplano H E Sejam A E F e B F E transformacoes lineares Dizse que B e uma inversa a esquerda de A quando BA IE isto e quando BAv v para todo v E Exemplo 66 Seja A R2 R3 definida por Ax y x 2y 2x 3y 3x 4y A transformac ao linear B R3 R2 dada por Bx y z 3x 2y 2x y cumpre a relac ao BAx y Bx 2y 2x 3y 3x 4y 3x 2y 22x 3y 2x 2y 2x 3y x y para qualquer x y R2 Logo B e uma inversa a esquerda para A Exemplo 67 Uma transformac ao linear pode admitir uma infini dade de inversas a esquerda Por exemplo seja A R2 R3 dada por Ax y x y 0 Para quaisquer a b R a transformac ao linear B R3 R2 dada por Bx y z x az y bz e uma in versa a esquerda de A pois BAx y Bx y 0 x y para todo x y R2 Teorema 65 Sejam E e F espacos vetoriais de dimensao finita A transformacao linear A E F possui inversa a esquerda se e so mente se e injetiva Demonstrac ao Seja B F E inversa a esquerda de A Entao Au Av u BAu BAv v logo A e injetiva Reciproca mente suponhamos que A seja injetiva A fim de obter uma inversa a esquerda B para A tomemos v1 vn E uma base Pelo Te orema 63 os vetores Av1 Avn F sao LI logo podemos achar vetores w1 wk F tais que Av1 Avn w1 wk F seja uma base Teorema 34 Pelo Teorema 41 a fim de definir a transformac ao linear B F E basta especificar seus valores nos 64 Nucleo e Imagem Secao 6 elementos desta base Poremos BAv1 v1 BAvn vn Bw1 0 Bwk 0 Dado qualquer v E temse v α1v1 αnvn logo BAv Bα1Av1 αnAvn α1BAv1 αnBAvn α1v1 αnvn v portanto B e uma inversa a esquerda de A Uma transformac ao linear A E F chamase invertıvel quando existe B F E linear tal que BA IE e AB IF ou seja quando B e ao mesmo tempo inversa a esquerda e a direita de A Neste caso dizse que B e a inversa de A e escrevese B A1 A fim de que a transformac ao linear A seja invertıvel e neces sario e suficiente que ela seja injetiva e sobrejetiva Dizse entao que A e uma bijecao linear entre E e F ou mais apropriadamente que A E F e um isomorfismo e que os espacos vetoriais E e F sao isomorfos Se A E F e B F G sao isomorfismos entao A1 F E e BA E G tambem sao isomorfismos Temse BA1 A1B1 e para α 0 αA1 1 α A1 Um isomorfismo A E F entre espacos vetoriais transforma toda base de E numa base de F Reciprocamente se uma transfor mac ao linear A E F leva alguma base de E numa base de F entao A e um isomorfismo Do que foi dito acima resulta em particular que dois espacos vetoriais de dimensao finita isomorfos tˆem a mesma dimensao A recıproca e verdadeira como veremos agora Com efeito seja E um espaco vetorial de dimensao finita n Fi xando uma base v1 vn E podemos definir uma transfor mac ao linear A Rn E pondo para cada v α1 αn Rn Av α1v1 αnvn Temse Ae1 v1 Aen vn Assim A transforma a base canˆonica e1 en Rn na base v1 vn E logo e um isomorfismo entre Rn e E Noutras palavras todo espaco vetorial de dimensao n e isomorfo a Rn Como o inverso A1 E Rn e o produto BA1 E F de A por outro isomorfismo B Rn F sao isomorfismos seguese que dois espacos vetoriais E F ambos de dimensao n sao isomorfos Secao 6 Nucleo e Imagem 65 Exemplo 68 O espaco Pn dos polinˆomios de grau n tem di mensao n1 logo e isomorfo a Rn1 Por sua vez o espaco Mmp das matrizes m p e isomorfo a Rmp portanto Pn e isomorfo a Mm p se e somente se n 1 mp A noc ao de isomorfismo entre espacos vetoriais e fundamental Ela nos permite identificar sob o ponto de vista da Algebra Li near espacos vetoriais que se apresentam sob formas a primeira vista diferentes Por exemplo a correspondˆencia ao an ao a1x anxn e um isomorfismo natural entre Rn1 e Pn que desempenha papel relevante em Analise Noutro exemplo se dispusermos os elementos de uma matriz n n em fileiras paralelas a sua diagonal principal veremos que ha um total de n n 1 2 1 nn 1 2 elementos nesta diagonal ou acima dela Colocando esses elementos numa linha em ordem determinada obtemos um vetor de Rnn12 Se a matriz dada e simetrica os elementos abaixo da diagonal nao sao necessarios para determinala pois apenas repetem os demais Este processo estabelece um isomorfismo entre o espaco vetorial S das matrizes simetricas n n e o espaco euclidiano Rnn12 o que nos permite concluir que dim S nn 12 Um isomor fismo analogo desprezando a diagonal principal que neste caso so contem zeros mostra que as matrizes antisimetricas n n formam um espaco vetorial de dimensao nn 12 Teorema 66 Teorema do N ucleo e da Imagem Sejam E F espacos vetoriais de dimensao finita Para toda transformacao linear A E F temse dim E dim NA dim ImA Demonstrac ao O teorema resulta imediatamente da seguinte afirmac ao mais precisa que provaremos a seguir se Au1 Aup e uma base de ImA e v1 vq e uma base de NA entao u1 up v1 vq e uma base de E Com efeito em primeiro lugar se tivermos α1u1 αpup β1v1 βqvq 0 entao aplicando o operador A a ambos os membros desta igualdade e lembrando que v1 vq pertencem ao nucleo de A obtemos α1 Au1 αp Aup 0 66 Nucleo e Imagem Secao 6 Como os vetores Au1 Aup sao LI resulta daı que α1 αp 0 Portanto a igualdade se reduz a β1v1 βqvq 0 Como v1 vq sao LI concluımos que β1 βq 0 Isto mostra que os vetores u1 up v1 vq sao LI Em seguida consideremos um vetor arbitrario w E Como Aw ImA podemos escrever Aw α1 Au1 αp Aup pois Au1 Aup e uma base da imagem de A A igualdade acima pode ser reescrita como Aw α1u1 αpup 0 Assim o vetor w α1u1 αpup pertence ao nucleo de A logo pode ser expresso como combinac ao linear dos elementos da base v1 vq Temos entao w α1u1 αpup β1v1 βqvq ou seja w α1u1 αpup β1v1 βqvq Isto mostra que os vetores u1 up v1 vq geram E e portanto constituem uma base Corolario Sejam E F espacos vetoriais de mesma dimensao finita n Uma transformacao linear A E F e injetiva se e somente se e sobrejetiva e portanto e um isomorfismo Com efeito temos n dim NA dim ImA Logo NA 0 se e somente se dim ImA n ou seja ImA F Exemplo 69 Um caso particular do corolario acima diz que num espaco vetorial de dimensao finita um operador linear e injetivo se e somente se e sobrejetivo Isto seria falso num espaco de dimensao infinita como se vˆe no seguinte exemplo sejam A B R R definidos por Ax1 x2 x3 0 x1 x2 x3 e Bx1 x2 x3 x2 x3 x4 Secao 6 Nucleo e Imagem 67 A e B sao operadores lineares O primeiro e injetivo mas nao e so brejetivo e o segundo e sobrejetivo mas nao e injetivo Exemplo 610 O Teorema do Nucleo e da Imagem da outra expli cac ao para o fato de um hiperplano H Rn ter dimensao n 1 Por esse teorema se dim E n e f E R e um funcional linear 0 entao o nucleo de f e um subespaco vetorial de dimensao n 1 em E pois f naonulo implica Imf R logo dim Imf 1 e dim Nf dim E dim Imf n 1 Ora o hiperplano H x1 xn Rn a1x1 anxn 0 e o nucleo do funcional linear nao nulo f Rn R definido por fx1 xn a1x1 anxn Teorema 67 Se uma transformacao linear A E F tem uma inversa a esquerda B F E e uma inversa a direita C F E entao B C e A e um isomorfismo com A1 B C Demonstrac ao Temse BA IE e AC IF Portanto B BIF BAC BAC IEC C Corolario Seja dim E dim F Se as transformacoes lineares A E F B F E sao tais que BA IE entao AB IF e B A1 Com efeito BA IE A injetiva A sobrejetiva Corolario do Teorema 66 AC IF para alguma C C B Teor 67 AB IF Exercıcios 61 Prove que o nucleo e a imagem de uma transformac ao linear A E F sao respectivamente subespacos vetoriais de E e F 62 Seja A E E um operador linear Para quaisquer vetores u NA e v ImA prove que se tem Au NA e Av ImA 63 Encontre numeros a b c d de modo que o operador A R2 R2 dado por Ax y axby cxdy tenha como nucleo a reta y 3x 64 Ache a b c d tais que o operador A R² R² com Ax y ax by cx dy tenha a reta y 2x como imagem 65 Escreva a expressão de um operador A R² R² cujo núcleo seja a reta y x e cuja imagem seja a reta y 2x 66 Defina um operador A R² R² que tenha como núcleo e como imagem o eixo x 67 Resolva um exercício análogo ao anterior com a reta y 5x em lugar do eixo x 68 Considere a transformação linear A R⁴ R³ dada por Ax y z t x y z 2t x y 2z 4x 2y 5z 6t encontre um vetor b R³ que não pertença à imagem de A e com isso exiba um sistema linear de três equações com quatro incógnitas sem solução 69 Seja E C⁰R o espaço das funções contínuas f R R Defina o operador linear A E E pondo para cada f E Af φ onde φx ₀ˣ ft dt x R Determine o núcleo e a imagem do operador A 610 Seja E R o espaço vetorial cujos elementos são as seqüências x x₁ x₂ de números reais Defina os operadores lineares A B E E pondo Ax x₁ 0 x₂ 0 x₃ e Bx y onde y y₁ y₂ onde yₖ xₖ₁ 2xₖ Determine o núcleo e a imagem de A e B 611 Assinale verdadeiro V ou falso F Uma transformação linear A EF é sobrejetiva se e somente se dim NA dim E dim F Dada a transformação linear A E F para todo b fixado em F o conjunto G x E Ax b é um subespaço vetorial de E Para todo operador linear A E E temse E NA Im A Todo operador linear injetivo no espaço C⁰R das funções contínuas f R R é também sobrejetivo O núcleo de toda transformação linear A R5 R3 tem dimensão 3 612 Seja a aij uma matriz m x n Se suas colunas geram um subespaço vetorial F de dimensão r em Rm prove que para todo b F as soluções x x1 xn do sistema linear Σj1n aij xj bi i 1 m formam uma variedade afim de dimensão n r em Rn 613 Prove que cada uma das transformações lineares abaixo é injetiva e obtenha uma inversa à esquerda linear para cada uma delas a A R Rn Ax x 2x nx b B R2 R3 Bxy x 2y x y x y c D R3 R4 Dxyz 2x 3y 5z x y z d C Pn Pn2 C px x2 1px 614 Seja E um espaço vetorial de dimensão finita Dado um operador linear A E E defina o novo operador TA LE LE pondo TAX AX para todo X LE Prove que TA é invertível se e somente se A é invertível Mesmo problema para SAX XA 615 Sejam F1 F2 subespaços de E tais que dim F1 dim F2 dim E Mostre que existe um operador linear A E E tal que F1 NA e F2 ImA 616 Prove que uma transformação linear A E F é sobrejetiva se e somente se transforma um conjunto de geradores de E num conjunto de geradores de F 617 Seja A R2 R2 um operador linear 0 Se An 0 para algum n 2 prove que A2 0 Sugestão seja F Im A Então a restrição de A à reta F é zero ou é invertível 618 Seja A Pn Pn o operador linear definido por A px x px Descreva o núcleo e a imagem de A Obtenha bases para NA e para ImA 619 Assinale verdadeiro V ou falso F Se a transformação linear A Rm Rn é injetiva então dim ImA m Se A Rm Rn é sobrejetiva então dim NA m n Se A B LRn são tais que dim ImA dim ImB então dim ImAB dim ImBA dim ImA Se NA é gerado pelos vetores v1 v2 v3 então a imagem do operador A R5 R5 tem dimensão 2 620 Determine uma base para a imagem de cada uma das transformações lineares abaixo e indique quais são sobrejetivas a A R2 R2 Axy x y x y b B R4 R4 Bxyzt x y z t x z y t c C R3 R3 Cxyz x y2 y z2 z x2 d D M2 x 2 M2 x 2 D X AX onde A 1 1 0 1 e E Pn Pn1 E px x px 621 Prove que as transformações lineares a seguir são sobrejetivas e obtenha uma inversa à direita linear para cada uma delas a A R3 R2 Axyz 2x y z b B Pn R B px p1 c C R2 R2 Cxy x y x y d P Rn Rn1 Px1 xn x1 xn1 Mostre que em três dos quatro exemplos acima as transformações dadas admitem infinitas inversas à direita lineares e infinitas nãolineares Secao 6 Nucleo e Imagem 71 622 Para cada uma das nove transformacoes lineares dos exercı cios anteriores determine o nucleo e obtenha uma base do mesmo caso nao se reduza a 0 623 Seja T Pn Pn o operador linear definido por Tpx 5px 4px px Mostre que seu nucleo e 0 e conclua que para todo polinˆomio bx existe um polinˆomio px tal que 5px 4px px bx 624 Seja X F um subconjunto com a seguinte propriedade toda transformac ao linear A E F cuja imagem contem X e sobrejetiva Prove que X e um conjunto de geradores de F Sugestao e muito mais facil do que parece 625 Seja A E F uma transformac ao linear sobrejetiva entre espacos vetoriais de dimensao finita Prove que existe um subespaco vetorial E E tal que a restric ao de A a E e um isomorfismo sobre F 626 Seja A E F um isomorfismo Se T F E e tal que AT IF ou TA IE prove que T e linear 627 Sejam E F espacos vetoriais de dimensao finita Se dim E dim F prove que existem transformacoes lineares A E F e B F E tais que A e injetiva e B e sobrejetiva 628 Dadas as transformacoes lineares A E F B F G assi nale Verdadeiro ou Falso nas seguintes implicacoes BA sobrejetiva B sobrejetiva BA sobrejetiva A sobrejetiva BA injetiva B injetiva BA injetiva A injetiva Prove ainda que se E F G entao as quatro implicacoes sao verdadeiras 629 Prove que toda transformac ao linear A pode escreverse como o produto A TS onde S e uma transformac ao linear sobrejetiva e T e uma transformac ao linear injetiva Vale tambem uma decomposic ao do tipo A ST com S sobrejetiva e T injetiva 630 Dado o conjunto finito X com n elementos prove que o espaco vetorial FX R e isomorfo a Rn Mais geralmente dado qualquer espaço vetorial E estabeleça um isomorfismo entre FXE e En E x x E n fatores 631 Dados os números reais a a0 a1 an b considere o conjunto E1 Fab R formado pelas funções f ab R que em cada intervalo fechado ai1 ai i 1 n são representadas por polinômios de grau 1 isto é fx αi x βi para ai1 x ai Prove que E1 é um subespaço vetorial e que a correspondência f fa0 fan é um isomorfismo entre E1 e Rn1 Conclua que dim E1 n1 Descreva a base de E1 que corresponde à base canônica de Rn1 632 Com a notação de exercício anterior seja E2 o conjunto das funções deriváveis f ab R cujas restrições aos intervalos ai1 ai i 1 n são polinômios de grau 2 Considerando a derivação D E2 E1 prove que E2 Fab R é um subespaço vetorial de dimensão n 2 633 Sejam E um espaço vetorial de dimensão finita E LE R seu dual e E LE R seu bidual Considere a correspondência ξ E E que associa a cada vetor v E o elemento ξv v E tal que vf fv para todo v E Prove que ξ é um isomorfismo Este exercício significa que fv pode ser considerado como um valor da função f de variável v ou da função v mais exatamente v de variável f 634 Seja f E R um funcional linear nãonulo no espaço vetorial E de dimensão n Prove que existe uma base u1 un E tal que fu1 fun1 0 e fun 1 Use este fato para provar que se g E R é outro funcional linear nãonulo então existe um isomorfismo A E E tal que g f o A 635 Dado o funcional linear nãonulo f E R prove que existe um vetor u E tal que fu 1 Seja F E o subespaço reta gerado por u Prove que E F Nf 636 Sejam f g E R funcionais lineares nãonulos no espaço vetorial E de dimensão finita Prove que um deles é múltiplo do outro se e somente se eles têm o mesmo núcleo 637 Supondo Y X descreva o núcleo e a imagem da transformação linear R FX R FY R que associa a cada função f X R sua restrição Rf fY Y R 638 Sejam E F os espaços vetoriais cujos elementos são respectivamente as funções pares e as funções ímpares R R Descreva o núcleo e a imagem das transformações lineares R E F0 R e R F F0 R que associam a cada função f R R sua restrição ao intervalo 0 639 Estabeleça um isomorfismo entre o espaço vetorial das matrizes simétricas n n e o espaço das matrizes triangulares inferiores aij 0 se i j Idem entre as matrizes antisimétricas e as triangulares inferiores com diagonal nula 640 Sejam F1 e F2 subespaços vetoriais de dimensão 3 em R5 Quais são as dimensões possíveis do subespaço F1 F2 Mesma pergunta com dim F1 4 e dim F2 3 641 Seja A E E um operador linear Prove que A2 0 se e somente se ImA N A 642 Dadas as transformações lineares A B E F entre espaços vetoriais de dimensão finita prove a Se N A N B então existe um isomorfismo Q F F tal que B QA b Se ImA ImB então existe um isomorfismo P E E tal que B AP c Se dim N A dim N B ou equivalentemente dim ImA dim ImB então existem isomorfismos P E E e Q F F tais que B QAP d Existem operadores lineares A B E E tais que N AN B ImA ImB sem que exista um isomorfismo P E E com B P1AP 643 Se os vetores v1 vm E geram um subespaço vetorial de dimensão r prove que o conjunto dos vetores α1 αm Rm tais que α1v1 αmvm 0 é um subespaço vetorial de Rm com dimensão m r Sugestão considere a transformação linear α1 αm α1v1 αmvm de Rm em E 644 Seja A E E um operador linear tal que Ak 0 para algum número natural k Prove que para todo α 0 o operador A αI é invertível 74 Nucleo e Imagem Secao 6 645 Se para algum αo 0 temse αoI α1A αmAm 0 prove que o operador linear A e invertıvel 646 Sem fazer hipoteses sobre as dimensoes de E e F sejam A E F e B F E transformacoes lineares Se AB e invertıvel prove que A e sobrejetiva e B e injetiva Se AB e BA sao invertıveis prove que A e invertıvel 647 Calcule B1 ABm 7 Soma Direta e Projecao Esta secao trata da decomposicao de um espaco vetorial como soma de subespacos independentes mostra que essa decomposicao equivale a definir um operador idempotente no espaco e estabelece a conexao entre projecoes e involucoes ou simetrias Na Sec ao 2 vimos que se F1 e F2 sao subespacos do espaco vetorial E o subespaco vetorial de E gerado pela reuniao F1 F2 e o conjunto F1 F2 de todas as somas u v onde u F1 e v F2 No caso particular em que F1 F2 0 escrevese F1 F2 em vez de F1 F2 dizse que F1 F2 e a soma direta de F1 com F2 e provase Teorema 21 que a condic ao F1 F2 0 equivale a dizer que u v u v com u u F1 e v v F2 implica u u e v v Existe uma noc ao analoga a de soma direta que e o produto car tesiano E1 E2 de dois espacos vetoriais E1 e E2 Aqui E1 e E2 nao precisam ser subespacos vetoriais do mesmo espaco E Os elemen tos do conjunto E1 E2 sao os pares ordenados u v onde u E1 e v E2 As operacoes que tornam E1 E2 um espaco vetorial sao definidas por u v u v u u v v αu v αu αv para quaisquer u u E1 v v E2 e α R O vetor nulo de E1 E2 e o par 00 e o inverso aditivo de u v e u v Se u1 um E1 e v1 vn E2 são bases é imediato constatar que u1 0 um 0 0 v1 0 vn E1 E2 é uma base de modo que dimE1 E2 dim E1 dim E2 Se F1 e F2 são subespaços vetoriais de E com F1 F2 0 então a transformação linear A F1 F2 F1 F2 definida por Au v u v u F1 v F2 é um isomorfismo como se verifica facilmente Se u1 um F1 e v1 vn F2 são bases então a base u1 0 um 0 0 v1 0 vn de F1 F2 é transformada por A no conjunto u1 um v1 vn o qual é por conseguinte uma base de F1 F2 Seguese que dimF1 F2 dim F1 dim F2 m n No caso mais geral em que a interseção F1 F2 dos dois subespaços F1 F2 E não se reduz necessariamente ao vetor nulo a soma F1 F2 pode não ser uma soma direta mas mesmo assim está bem definida a transformação linear A F1 F2 F1 F2 onde Au v u v para u F1 e v F2 Obviamente A é sobrejetiva Seu núcleo é formado pelos pares u v tais que u v 0 isto é v u logo u e v pertencem ambos a F1 e a F2 Noutras palavras N A u u u F1 F2 A correspondência u u u é um isomorfismo evidente entre F1 F2 e N A Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos dim F1 dim F2 dimF1 F2 dim N A dimF1 F2 dimF1 F2 dimF1 F2 Isto nos permite enunciar o Teorema 71 Sejam F1 e F2 subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial E Temse dim F1 dim F2 dimF1 F2 dimF1 F2 A noção de soma direta está intimamente ligada à noção de projeção Se E F1 F2 é a decomposição do espaço vetorial E como soma Secao 7 Soma Direta e Projecao 77 direta dos subespacos F1 e F2 definese o operador linear P E E projecao de E sobre F1 paralelamente a F2 do seguinte modo todo vetor w E se escreve de modo unico como soma w u v de um vetor u F1 com um vetor v F2 Poese entao Pw u Veja Fig 71 w O u v F F 2 1 Figura 71 O operador linear P E E assim definido tem imagem F1 e nucleo F2 Alem disso como se vˆe facilmente P e idempotente isto e P2 P O teorema seguinte mostra que reciprocamente todo operador linear idempotente e uma projec ao Preliminarmente observemos que se P2 P entao para todo w ImP temse Pw w pois w ImP w Pv Pw PPv Pv w Teorema 72 Seja P E E um operador linear Se P2 P entao E e a soma direta do nucleo com a imagem de P Alem disso P e a projecao sobre ImP paralelamente a NP Demonstrac ao Todo v E escrevese como soma v v Pv Pv onde Pv evidentemente pertence a ImP e como Pv Pv Pv PPv Pv Pv 0 vemos que v Pv NP Portanto E NP ImP Se w NP ImP por um lado temse Pw 0 e por outro Pw w logo w 0 Assim NP ImP 0 e temse a soma direta E NP ImP A ultima afirmac ao do enunciado e obvia 78 Soma Direta e Projecao Secao 7 Exemplo 71 Para todo operador linear A E E num espaco vetorial de dimensao finita vale a relac ao dim E dim NA dim ImA Isto porem nao implica que se tenha sempre E NA ImA Por exemplo se A R2 R2 e definido por Ax y x y x y entao tomando w 1 1 temos w Av com v 2 1 e Aw 0 logo NA ImA contem o vetor naonulo w Outro exemplo de operador linear que esta ligado a decomposic ao de um espaco vetorial como soma direta de dois subespacos e forne cido pelas involucoes Uma involucao e um operador linear S E E tal que S2 I ou seja SSv v para todo v E Noutras palavras uma involuc ao e um operador invertıvel igual ao seu proprio inverso Um exemplo de involuc ao e a reflexao orto gonal no plano em torno de uma reta que passa pela origem Veremos agora que toda involuc ao e a reflexao em torno de um subespaco paralelamente a outro Teorema 73 Seja S E E uma involucao Os conjuntos F1 u E Su u e F2 v E Sv v sao subespacos vetoriais e E F1F2 Para todo w uv com u F1 e v F2 temse Sw uv Alem disso P 1 2S I e a projecao sobre F1 paralelamente a F2 Veja Fig 72 u v w v Sw 0 F2 F 1 Figura 72 Secao 7 Soma Direta e Projecao 79 Demonstrac ao Para todo w E podemos escrever w uv onde u w Sw2 e v w Sw2 Como S2 I e claro que Su u e Sv v ou seja u F1 e v F2 E claro tambem que F1 F2 0 e que w u v Sw u v se u F1 e v F2 Finalmente P 1 2S I P2 1 4S2 2S I 1 42S 2I 1 2S I P Vˆese facilmente que o nucleo de P e F2 e a imagem de P e F1 Na situac ao descrita pelo Teorema 73 dizse que a involuc ao S e a reflexao em torno do subespaco F1 paralelamente a F2 O caso mais comum de reflexao e aquele em que se tem dim E n dim F1 n1 e dim F2 1 de modo que S e a reflexao em torno do hiperplano F1 paralelamente a reta F2 Exercıcios 71 No plano R2 considere as retas F1 e F2 definidas respectiva mente pelas equacoes y ax e y bx com a b Em seguida 1 Exprima cada vetor v x y R2 como soma de um vetor em F1 e um vetor em F2 2 Obtenha a matriz em relac ao a base canˆonica da projec ao P R2 R2 que tem F1 como nucleo e F2 como imagem 3 Ache a matriz da reflexao S R2 R2 em torno da reta F2 paralelamente a F1 72 Se P Q E E sao projecoes e PQ QP prove que PQ e uma projec ao cujo nucleo e NPNQ e cuja imagem e ImPImQ 73 Exprima um vetor arbitrario v x y z R3 como soma de um vetor do plano F1 cuja equac ao e x y z 0 com um vetor da reta 80 Soma Direta e Projecao Secao 7 F2 gerada pelo vetor 1 2 1 Conclua que R3 F1 F2 Determine a matriz relativa a base canˆonica da projec ao P R3 R3 que tem imagem F1 e nucleo F2 74 E dado um operador linear P E E Assinale verdadeiro V ou falso F Se E NP ImP entao P e uma projec ao Se E NP ImP entao P e uma projec ao Se P e uma projec ao entao I P tambem e Se P e uma projec ao entao ImP NI P e NP ImI P 75 Se NP ImI P prove que o operador linear P E E e uma projec ao 76 Mostre que 1 0 a b 0 1 c d 0 0 0 0 0 0 0 0 e a matriz na base canˆonica de uma projec ao P R4 R4 Escreva as equacoes que definem o nucleo e a imagem dessa projec ao 77 Prove que o operador P R2 R2 dado por Px y 2x 4y 3 2x 3y e a projec ao sobre uma reta Determine o nucleo e a imagem de P 78 Considere o operador linear A R3 R3 dado por Ax y z 40x 18y 6z 18x 13y 12z 6x 12y 45z Mostre que P 1 49 A e uma projec ao que ImP e um plano e determine a equac ao desse plano 79 Sejam F1 F2 subespacos vetoriais de E com dim F1 dim F2 dim E dimensoes finitas Prove que E F1 F2 se e somente se F1 F2 0 Secao 7 Soma Direta e Projecao 81 710 Seja A E E um operador linear num espaco vetorial de dimensao finita Prove que E NA ImA se e somente se NA NA2 711 Suponha que o espaco vetorial de dimensao finita E admita a decomposic ao E F1 Fk como soma direta de subespacos vetoriais Vide Exercıcio 233 Para cada i 1 k escreva Gi F1 Fi1 Fi1 Fk e chame de Pi E E a projec ao sobre Fi paralelamente a Gi Prove que P1 Pk I e PiPj 0 se i j 712 Sejam P1 Pk E E operadores lineares tais que P1 Pk I e PiPj 0 se i j Prove que esses operadores sao projecoes 713 Sejam P Q E E projecoes Prove que as seguintes afirma coes sao equivalentes a P Q e uma projec ao b PQ QP 0 c PQ QP 0 Para provar que b c multiplique a esquerda e depois a direita por P 714 Prove que o produto de duas involucoes e uma involuc ao se e somente se elas comutam 715 Mostre que os seguintes operadores sao involucoes e determine em cada caso a projec ao correspondente na forma do Teorema 73 a S FR2 R FR2 R Sf f fx y fy x b U FR R FR R Uf f fx f1x c V Rn Rn Vx1 xn x1 xk xk1 xn 716 Se o espaco vetorial E tem dimensao finita prove que para todo subespaco F E existe pelo menos um subespaco G E tal que E F G 82 Soma Direta e Projecao Secao 7 717 Seja E F1 F2 O grafico de uma transformac ao linear A F1 F2 e o subconjunto G E formado pelas somas v Av onde v F1 Prove que G e um subespaco vetorial de E e que a projec ao P E F1 restrita a G define um isomorfismo entre G e F1 Recipro camente se G E e um subespaco vetorial tal que a restric ao de P a G e um isomorfismo de G sobre F1 prove que G e o grafico de uma transformac ao linear A F1 F2 718 Dizse que X Y Z e uma particao de Z quando X Y Se J K 1 n e uma partic ao prove que Rn RJ RK onde RJ e RK sao os subespacos vetoriais de Rn gerados pelos vetores ej j J e pelos vetores ek k K respectivamente Seja F Rn um subespaco vetorial Prove que existe uma partic ao J K 1 n tal que F e o grafico de uma transformac ao linear A RJ RK onde dim F numero de elementos de J 719 Seja P E E uma projec ao Prove que os vetores v e 1 tv tPv para todo v E e todo t R tˆem a mesma imagem por P 720 Sejam P Q E E projecoes Se P Q for ainda uma projec ao prove que ImP Q ImP ImQ Considerando as projecoes P Q R2 R2 com Px y x 0 e Qx y 1 2x y x y mostre que a recıproca e falsa 721 Prove que todo espaco vetorial de dimensao finita e soma di reta de subespacos de dimensao 1 8 A Matriz de uma Transformacao Linear A matriz de uma transformacao linear e um objeto concreto asso ciado a essa transformacao na presenca de bases em seu domınio e seu contradomınio A matriz permite obter uma variedade ilimi tada de exemplos de transformacoes lineares bem como calcular es pecificamente a imagem de um dado vetor por uma transformacao Nesta secao sera estudada a relacao entre uma transformacao linear e sua matriz Em particular o produto de transformacoes conduzira a uma profıcua nocao de produto de matrizes Veremos como se re lacionam as matrizes da mesma transformacao tomadas em bases diferentes e daremos uma demonstracao direta da igualdade entre o postolinha e o postocoluna de uma matriz Vimos na Sec ao 4 que uma transformac ao linear A Rn Rm fica inteiramente determinada pela matriz a aij Mmn cujo ijesimo termo aij e a iesima coordenada do vetor A ej Rm Com efeito conhecendo essa matriz temse para cada v x1 xn Rn o valor A v y1 ym dado por yi ai1x1 ainxn i 1 m Estenderemos agora essas consideracoes a uma transformac ao li near entre dois quaisquer espacos vetoriais de dimensao finita Sejam E F espacos vetoriais de dimensao finita e A E F uma transformac ao linear Fixadas bases V v1 vn E e W w1 wm F para cada j 1 n o vetor Avj se exprime como combinação linear dos vetores da base W Avj a1jw1 a2jw2 amjwm Σi1m aijwi Assim a transformação linear A E F juntamente com as bases V E e W F determinam uma matriz a aij Mm n chamada a matriz de A relativamente a essas bases ou nas bases V W Por definição a jésima coluna da matriz a é formada pelas coordenadas de Avj em relação à base W Embora isso não seja mencionado explicitamente convém salientar que os vetores nas bases V e W são dispostos numa ordem fixa sem o que a matriz a não ficaria bem definida No caso em que A E E é um operador linear a menos que seja feita menção explícita em contrário considerase apenas uma base V v1 vn E e a matriz a aij do operador A relativamente à base V ou na base V é definida pelas n igualdades Avj Σi1n aijvi j 1 n Neste caso a Mn n é a matriz quadrada n n cuja jésima coluna é formada pelas coordenadas do vetor Avj a1jv1 a2jv2 anjvn na base V Quando considerarmos uma transformação linear A Rn Rm e dissermos apenas a matriz de A estaremos significando a matriz de A relativamente às bases canônicas de Rn e Rm Caso utilizemos outras bases isto será dito explicitamente Exemplo 81 Consideremos um espaço vetorial E de dimensão finita Dado α R seja A E E o operador linear definido por Av αv para todo v E Relativamente a qualquer base V v1 vn E a matriz a do operador A é sempre a mesma com números α na Secao 8 A Matriz de uma Transformacao Linear 85 diagonal e zeros fora dela a α 0 0 0 α 0 0 0 α O operador A αI e o que se chama uma homotetia de razao α Estes sao os unicos operadores cujas matrizes independem da base dada Vide Exercıcio 835 Exemplo 82 Seja P E E a projec ao sobre o subespaco F1 pa ralelamente ao subespaco F2 Sejam ainda V1 F1 e V2 F2 bases quaisquer desses subespacos Entao V V1 V2 e uma base de E relativamente a qual a matriz p de P tem os k primeiros termos da diagonal iguais a 1 k dim F1 e todos os demais termos sobre a diagonal ou fora dela iguais a zero Analogamente se S E E e a reflexao em torno de F1 paralelamente a F2 sua matriz s na base V tem os primeiros k termos da diagonal iguais a 1 os restantes iguais a 1 e todos os termos fora da diagonal iguais a zero A fixac ao das bases V E e W F determina portanto uma transformac ao ϕ LE F Mm n que faz corresponder a cada A LE F sua matriz a nas bases V W A transformac ao ϕ e linear ou seja se a b Mm n sao as matrizes de A B LE F respectivamente e α β sao numeros reais entao a matriz de A B e a b a matriz de αA e αa e mais geralmente a matriz de αA βB e αa βb Mais ainda ϕ e um isomorfismo a bijetividade de ϕ e assegurada pelo Teorema 41 Convem observar que no caso de E Rn e F Rm existe um par natural de bases canˆonicas nestes espacos de modo que o iso morfismo ϕ LRn Rm Mmn pode ser definido sem depender de escolhas arbitrarias A cada transformac ao linear A Rn Rm corresponde a matriz ϕA aij cujo jesimo vetorcoluna e A ej a1j amj Em particular a cada funcional linear f Rn R corresponde de modo natural uma matriz a1 an M1 n ou o que e o mesmo um vetor a1 an As correspondˆencias entre a ma triz a1 an e o funcional f tal que fei ai e entre f e o vetor α₁αₙ são isomorfismos entre M1 n Rⁿ e Rⁿ determinados pela base canônica de Rⁿ Entre transformações lineares além das operações A B e αA existe também a multiplicação BA O isomorfismo φ faz corresponder ao produto BA o produto ba das matrizes de B e de A segundo definiremos a seguir Sejam u α₁αₙ e v β₁βₙ vetores em Rⁿ O produto interno de u por v é definido como o número uv α₁β₁ αₙβₙ A noção geral de produto interno suas propriedades e aplicações serão estudadas na Seção 10 Um caso particular será usado agora para introduzir o produto de duas matrizes Sejam b bᵢⱼ Mm n e a aᵢⱼ Mn p matrizes tais que o número de colunas de b é igual ao número de linhas de a O produto da matriz b pela matriz a nesta ordem é a matriz ba c cᵢⱼ Mm p cujo ijésimo elemento cᵢⱼ bᵢ₁ a₁ⱼ bᵢ₂ a₂ⱼ bᵢₙ aₙⱼ Σ k1 até n bᵢₖ aₖⱼ é o produto interno do iésimo vetorlinha de b pelo jésimo vetorcoluna de a Exemplo 83 Uma transformação linear A Rⁿ Rᵐ pode ser interpretada como uma multiplicação de matrizes em vez de A LRⁿRᵐ considerase sua matriz a aᵢⱼ Mm n Em particular os funcionais lineares f Rⁿ R são substituídos por matrizes 1 n ou seja por vetoreslinha Além disso os vetores x x₁xₙ Rⁿ e b b₁bₘ passam a ser considerados como matrizes n1 e m1 respectivamente ou seja como vetorescoluna Então a igualdade Ax b passa a ser escrita sob a forma ax b isto é a₁₁ a₁ₙ a₂₁ a₂ₙ aₘ₁ aₘₙ x₁ x₂ xₙ b₁ b₂ bₘ Dentro deste ponto de vista a Álgebra Linear se reduz ao cálculo de matrizes o que traz vantagens sob o aspecto computacional mas o custo é a perda da intuição geométrica da simplicidade conceitual além da impossibilidade de se tratar o caso de dimensão infinita A definição do produto de matrizes foi formulada de modo a tornar verdadeiro o teorema seguinte Nele A E F e B F G são transformações lineares U u₁uₚ E V v₁vₙ F e W w₁wₘ G são bases a Mn p é a matriz de A nas bases U V e b Mm n é a matriz de B nas bases V W Teorema 81 A matriz de BA E G nas bases U W é o produto ba Mm p das matrizes b e a Demonstração Por definição temos Auj Σ k1 até n akj vk j 1p e Bvk Σ i1 até m bik wi k 1n Seja c cij Mm p a matriz de BA nas bases U W Por definição para cada j 1p temos Σ i1 até m cij wi BAuj BΣ k1 até n akj vk Σ k1 até n akj Bvk Σ k1 até n akj Σ i1 até m bik wi Σ i1 até m Σ k1 até n bik akj wi Igualando os coeficientes de cada wi concluímos que para i1m e j1p temse cij Σ k1 até n bik akj logo c ba Resulta imediatamente do teorema acima e do isomorfismo φ LEF Mm n que as regras operacionais do produto de transformações lineares se transferem diretamente para o produto de matrizes No que se segue indicaremos com o símbolo In a matriz identidade n n Temse In δij onde δij é o símbolo de Kronecker δij 0 se i j e δii 1 Quando não houver ambigüidade escreveremos simplesmente I em vez de In As propriedades abaixo listadas se provam considerando para cada a Mm n a transformação linear A Rⁿ Rᵐ cuja matriz é a e aplicando a propriedade correspondente para transformações lineares já provada anteriormente 1 cba cba 2 ca b ca cb b ca ba ca 3 a In a Im a a se a Mm n 4 bαa αba Dada a Mm n dizse que x Mn m é uma matriz inversa à esquerda de a quando xa In e que y Mn m é uma matriz inversa à direita de a quando ay Im 5 Uma matriz mn possui inversa à esquerda se e somente se seus vetorescoluna são LI e uma inversa à direita se e somente se esses vetorescoluna geram Rᵐ Uma matriz a chamase invertível quando é quadrada e existe uma matriz a¹ chamada a inversa de a tal que a¹ a aa¹ I 6 Se uma matriz a possui uma inversa à esquerda x e uma inversa à direita y então a é quadrada é invertível e x y a¹ 7 Uma matriz quadrada a admite uma inversa à esquerda se e somente se admite uma inversa à direita Neste caso a matriz a é invertível e cada uma dessas inversas laterais é igual a a¹ A seguir determinaremos como varia a matriz de uma transformação linear A E F quando se mudam as bases em E e F Sejam V v₁vₙ E e W w₁wₘ F bases em relação às quais a matriz da transformação linear A E F é a aij Mm n Isto significa que Avj Σ i1 até m aij wi j 1n Tomando novas bases V v₁vₙ E e W w₁wₘ F a transformação linear A tem nova matriz a aij Mm n definida por Avj r1m arj wr j1n Para obter a relação entre as matrizes a e a consideramos as matrizes de passagem p pkj Mn n e q qir Mm m definidas pelas igualdades vj k1n pkj vk e wr i1m qir wi Por definição p é a matriz de passagem da base V para a base V e q é a matriz de passagem da base W para a base W Cada um dos dois membros da igualdade pode ser escrito separadamente em termos da base W assim Avj k1n pkj Avk k1n pkj i1m aik wi k1n i1m pkj aik wi i1m k1n aik pkj wi r1m arj wr r1m arj i1m qir wi r1m i1m arj qir wi i1m r1m qir arj wi Igualando os coeficientes de wi vem k1n aik pkj r1m qir arj isto é ap qa Observemos agora que toda matriz de passagem é invertível Com efeito se p é a matriz de passagem da base V para a base V então p é também a matriz em relação à base V do operador linear P E E tal que P vj vj j1n o qual é invertível porque leva uma base numa base Assim da igualdade ap qa podemos concluir a q1 ap Esta é a fórmula que nos dá a matriz a de A nas bases V W em função da matriz a de A nas bases V W No caso particular de um operador A E E e de suas matrizes a a relativas às bases V V temos uma única matriz de passagem p que nos dá a p1 ap As duas matrizes quadradas a e p1 ap dizemse semelhantes Assim as matrizes do mesmo operador em relação a bases diferentes são semelhantes Vale também a recíproca se a e a p1 ap são matrizes n n semelhantes então existe um operador A ℝn ℝn tal que a e a são matrizes de A relativamente a bases distintas de ℝn Com efeito dadas a e a p1 ap consideramos o operador A ℝn ℝn cuja matriz na base canônica ℰ de ℝn é a Em seguida consideramos a base ℰ ℝn obtida da base canônica pela matriz de passagem p Então a é a matriz de A na base ℰ Para efeitos práticos é útil observar que se V v1vn é uma base em ℝn então a matriz de passagem da base canônica para V é aquela cujas n colunas são os vetores v1vn Exemplo 84 Seja A ℝ2 ℝ2 o operador linear que consiste na reflexão em torno da reta y ax Como se viu no Exemplo 44 a matriz de A relativamente à base canônica de ℝ2 é a 1 a2 1 a2 2a 1 a2 2a 1 a2 a2 1 1 a2 Seja V v1 v2 ℝ2 a base formada pelos vetores v1 1 a e v2 a 1 Para todo vetor v x y ℝ2 temos Ax y 1 a2 1 a2 x 2a 1 a2 y 2a 1 a2 x a2 1 1 a2 y logo Av1 v1 e Av2 v2 De resto estas igualdades são geometricamente óbvias Portanto a matriz de A na base V é a 1 0 0 1 A matriz de passagem da base canônica de ℝ2 para a base V é p 1 a a 1 Seguese que a p1 a p Neste caso foi mais simples calcular a diretamente do que determinar p1 e efetuar a multiplicação p1 ap Observação p1 1 1 a2 1 a a 1 Seja A E F uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita O posto de A é a dimensão da sua imagem Evidentemente dim ImA dim F Além disso pelo Teorema do Núcleo e da Imagem dim ImA dim E Seguese que o posto de A não excede dim E nem dim F O posto de A é igual à dimensão de E se e somente se A é injetiva E é igual à dimensão de F se e somente se A é sobrejetiva Se a Mm n é a matriz de A relativamente a um par qualquer de bases U E V F o posto de A é a dimensão do subespaço de ℝm gerado pelas colunas de a Logo o posto de A é o número máximo de colunas linearmente independentes da matriz a Esta observação nos leva a definir o posto segundo colunas de uma matriz a Mm n como o número máximo de colunas linearmente independentes em a Este número é igual à dimensão do subespaço vetorial de ℝm gerado pelos vetorescoluna de a Espaçocoluna de a De maneira análoga definimos o posto segundo linhas da matriz a Mm n como o número máximo de linhas LI em a ou seja como a dimensão do subespaço vetorial de ℝn gerado pelos vetoreslinha da matriz a Espaçolinha de a Embora o espaçocoluna e o espaçolinha da matriz a sejam subespaços de espaços vetoriais diferentes vale o resultado seguinte Teorema 82 Para toda matriz a Mm n o posto segundo linhas e o posto segundo colunas são iguais Demonstração Seja p o posto segundo colunas da matriz a aij Mm n Então existem p vetores wk b1k bmk ℝm tais que cada uma das colunas vj a1j amj 1 j n é combinação linear de w1 wp vj k1p ckj wk 1 j n Tomando a iésima coordenada de cada um dos membros de vemos que aij k1p ckj bik k1p bik ckj para quaisquer i j com 1 i m e 1 j n Considerando agora os vetoreslinha ui ai1 ain da matriz a juntamente com os vetores zk ck1 ckn 1 k p observamos que a igualdade entre o primeiro e o terceiro membro de significa que para todo i 1 m temse ui k1p bik zk 1 i m Assim os vetoreslinha de a são combinações lineares de z1 zp portanto o posto de a segundo linhas é p Aplicando este resultado à matriz aᵀ chamada a transposta de a que tem como linhas as colunas de a e como colunas as linhas de a concluímos que o posto de a segundo colunas é menor do que ou igual ao posto segundo linhas Isto conclui a demonstração Podemos então definir o posto de uma matriz como o número máximo de linhas ou de colunas LI dessa matriz Mesmo quando a matriz é quadrada em cujo caso suas linhas e colunas pertencem ao mesmo espaço ℝn os subespaços gerados pelas linhas e pelas colunas respectivamente podem ser diferentes mas têm a mesma dimensão Exemplo 85 Uma aplicação do Teorema 82 Sejam f1 fm E ℝ funcionais lineares nãonulos no espaço vetorial E de dimensão n Vimos no Exemplo 610 que para cada i 1 m o núcleo de fi é o subespaço vetorial de dimensão n 1 Hi v E fiv 0 hiperplano em E A interseção desses m hiperplanos é o subespaço vetorial F H1 Hm formado pelos vetores v E que cumprem simultaneamente as condições f1v 0 fmv 0 Qual é a dimensão do subespaço F Usando o Teorema 82 juntamente com o Teorema do Núcleo e da Imagem mostraremos agora que dim F n r onde r é o número máximo de elementos linearmente independentes no conjunto f1 fm isto é a dimensão do subespaço de E gerado por estes funcionais Com efeito fixemos uma base V v1 vn E e seja ai1 ain a matriz de fi nesta base i 1 m Temos aij fivj Isto nos dá uma matriz a aij Mm n cuja iésima linha é a matriz de fi logo o posto de a segundo linhas é r Seguese do Teorema 82 que os vetorescoluna w1 wn de a geram um subespaço de dimensão r em ℝm Ora o subespaço gerado em ℝm pelos wj é a imagem da transformação linear A E ℝm definida por Av f1v fmv para todo v E De fato Avj f1vj fmvj a1j amj wj j 1 2 n Evidentemente o núcleo de A é o subespaço F Resulta então do Teorema do Núcleo e da Imagem que dim F dim E dim ImA n r Exemplo 86 O espaçolinha e o espaçocoluna da matriz 1 12 2 são duas retas distintas em ℝ² Exercícios 81 Determine a matriz do operador linear A ℝ² ℝ² relativamente à base canônica sabendo que A11 23 e A11 45 82 O produto vetorial de dois vetores v x y z e w x y z em ℝ³ é por definição o vetor v w yz zy zx xz xy yx Fixado o vetor u a b c determine a matriz relativamente à base canônica do operador A ℝ³ ℝ³ definido por A v v u Descreva geometricamente o núcleo desse operador e obtenha a equação da sua imagem 83 Determine a matriz do operador de derivação D Pn Pn relativamente à base 1 t t² tn 84 Considere os subespaços vetoriais F e G do espaço Cℝ cujas bases são respectivamente os conjuntos cos x sen x e ex cos x ex sen x e2x cos x e2x sen x e3x cos x e3x sen x Determine a matriz do operador de derivação em cada um desses subespaços 85 Seja A E F uma transformação linear de posto r entre espaços vetoriais de dimensão finita Prove que existem bases U u1 un E e V v1 vm F relativamente às quais a matriz a aij de A tem a11 arr 1 e os demais aij 0 86 Ache o valor de x para o qual operador P ℝ³ ℝ³ cuja matriz na base canônica é 12 12 12 1 0 1 12 12 x seja uma projeção 87 Qual é a matriz na base canônica do operador A ℝ² ℝ² tal que A23 23 e A32 0 88 Calcule a nésima potência da matriz 1 a 0 1 89 Seja E F1 F2 Dado o operador linear A E E defina transformações lineares A11 F1 F1 A21 F1 F2 A12 F2 F1 e A22 F2 F2 tais que para todo v v1 v2 E com v1 F1 e v2 F2 seja Av A11 A21v1 A12 A22v2 Dizse então que A11 A12 A21 A22 é a matriz do operador A relativamente à decomposição E F1 F2 Dado outro operador linear B E E determine a matriz de BA relativamente à mesma decomposição 810 Com a notação do exercício anterior sejam a e b as matrizes de A e B respectivamente em relação a uma base U1 U2 E onde U1 F1 e U2 F2 são bases Mostre que se a a11 a12 a21 a22 e b b11 b12 b21 b22 então ba b11 a11 b12 a21 b11 a12 b12 a22 b21 a11 b22 a21 b21 a12 b22 a22 Multiplicação por blocos de matrizes 811 Seja a uma matriz 5 5 cujos elementos sobre a diagonal e abaixo dela são iguais a zero Sem fazer nenhum cálculo conclua que a5 0 812 Sejam a uma matriz m n com m n e b uma matriz n m Podem ab e ba ser ambas invertíveis Uma delas Qual Quando 813 Assinale verdadeiro V ou falso F Se A B E E são operadores de mesmo posto r então o produto BA tem posto r Se as matrizes ab Mm n têm o mesmo espaçocoluna então elas são matrizes da mesma transformação linear A matriz do operador linear A EE na base v1 v2 v3 vn difere da matriz do mesmo operador na base v2 v1 v3 vn pela permutação das duas primeiras colunas Sejam a M2 3 e b M3 2 Se ab I2 então ba I3 Se a matriz a se obtém da matriz a por uma permutação de suas linhas então a e a têm o mesmo posto 814 Seguindo a orientação ali fornecida prove as propriedades 1 a 7 da multiplicação de matrizes listadas após a demonstração do Teorema 81 Em particular prove que se a e b são matrizes n n com ba In então se tem também ab In Cfr Corolário do Teorema 67 815 Sejam dados os vetores v1 vn Rn Se para cada j 1 n o jésimo vetor da base canônica de Rn se exprime como ej x1j v1 xnj vn prove que x xij é a inversa da matriz que tem v1 vn como vetorescoluna 816 Determine a inversa da matriz Ir 0 a Is onde a Ms r e 0 Mr s 817 Sejam a Mm m uma matriz de posto r e b Mn n uma matriz de posto s Prove que a matriz m n m n abaixo tem posto r s a 0 0 b O símbolo 0 na primeira linha significa a matriz nula m n e na segunda linha 0 Mn m 818 Dadas a Mm m b Mn n e c Mm n com posto de a r e posto de b s que postos pode ter a matriz abaixo a c 0 b 819 Seja a b c d com b 0 a matriz de um operador A R2 R2 na base canônica Ache uma base de R2 na qual a matriz de A seja 0 1 bc ad a d 820 Determine a matriz da projeção P R2 R2 Px y x 0 relativamente à base u v R2 onde u 1 1 e v 1 2 821 Sabendo que a matriz do operador A R3 R3 relativamente à base u v w R3 onde u 1 1 1 v 1 2 1 w 1 1 3 é 12 3 1 3 0 2 0 1 1 1 determine a matriz de A relativamente à base canônica de R3 822 Obtenha bases U R2 e V R3 relativamente às quais a matriz da transformação linear A R2 R3 dada por Ax y 2x y 3x 2y x 3y tem as linhas 1 0 0 1 e 0 0 823 Suponha que os operadores lineares A B E E têm a mesma matriz a aij em relação a duas bases U V E Prove que existe um isomorfismo C E E tal que B C A C1 824 Seja A R2 R2 o operador cuja matriz na base canônica é 0 1 1 0 Prove que se a a11 a12 a21 a22 é a matriz de A relativamente a uma base qualquer de R2 então a12 0 ou a21 0 Noutras palavras nenhuma matriz de A é diagonal 825 Considere as transformações lineares A Rn1 Pn Aα0 α1 αn α0 α1 x αn xn B Pn Rn1 Bpx p0 p1 pn Determine a matriz de BA Rn1 Rn1 na base canônica e prove que é uma matriz invertível 826 Seja a matriz n n cujas linhas são os vetores v1 1 2 n v2 n 1 n 2 2n etc Prove que o posto de a é igual a 2 e que o subespaço de Rn gerado por suas linhas coincide com o subespaço gerado por suas colunas 827 Prove que uma matriz c cij Mm n tem posto 1 se e somente se existem vetores nãonulos α α1 αm Rm e b b1 bn Rn tais que cij αi bj para todo i e todo j 828 Assinale Verdadeiro ou Falso Toda matriz é soma de matrizes de posto 1 O conjunto das matrizes de posto k em Mmn é um subespaço vetorial A matriz x1 x2 xn y1 y2 yn tem posto 2 se e somente se existam i j tais que xi yj xj yi Se A E E é um operador linear de posto 1 então E NA ImA 829 Prove que uma matriz m n tem posto r se e somente se é possível selecionar r linhas e r colunas porém não mais de modo que os elementos comuns a elas formem uma matriz invertível r r Sugestão reduza ao caso r minmn e aplique o Teorema 82 830 Sejam f1fm E R funcionais lineares no espaço vetorial E de dimensão n Suponha que estes funcionais gerem em E LER uma variedade afim de dimensão r Prove que o conjunto F formado pelos vetores v E tais que f1v f2v fmv é um subespaço vetorial de dimensão n r 1 831 Uma matriz n n chamase um quadrado mágico quando a soma dos elementos de cada uma de suas linhas de cada coluna da diagonal principal e da outra diagonal ao todo 2n 2 somas são iguais Prove que se n3 o conjunto Qn dos quadrados mágicos nn é um subespaço vetorial de dimensão n2 2n do espaço Mnn Sugestão use os Exercícios 830 332 e 333 832 Em conformidade com o exercício anterior determine os 8 elementos restantes da matriz 4 4 abaixo de modo a obter um quadrado mágico 1 2 3 4 5 6 7 8 Secao 8 A Matriz de uma Transformacao Linear 99 833 Calcule o posto da matriz 1 2 3 4 5 6 2 1 0 e mostre que o subespaco gerado por suas linhas e diferente daquele gerado por suas colunas 834 Obtenha numeros a b c tais que ax by cz 0 seja a equac ao do plano gerado pelas colunas da matriz 1 1 1 1 2 3 2 3 4 835 Seja A E E um operador linear no espaco vetorial E de dimensao finita Supondo que A nao seja um multiplo do opera dor identidade mostre que existem bases de E do tipo v Av e v 2Av Relativamente a estas bases as matrizes de A sao di ferentes Conclua que os operadores αI sao os unicos cuja matriz nao depende da base escolhida e que as matrizes do tipo αIn sao as unicas que comutam com todas as matrizes invertıveis n n 836 Seja a uma matriz triangular isto e aij 0 se i j nn cujos elementos da diagonal sao todos iguais a zero Mostre que an 0 Sugestao considere o operador A Rn Rn cuja matriz na base canˆonica e a 837 O traco de uma matriz quadrada a aij Mnn e a soma tr a a11 ann dos elementos da sua diagonal Prove que tr ab tr ba e conclua que todas as matrizes do mesmo operador A E E num espaco E de dimensao finita tˆem o mesmo traco o qual se indica com a notac ao tr A 838 Prove que o traco de um operador linear idempotente P E E e um numero inteiro igual ao seu posto 839 Seja c cij Mn n uma matriz de posto 1 Prove que c2 tr cc e mais geralmente para todo n 1 cn tr cn1c 100 A Matriz de uma Transformacao Linear Secao 8 840 Sejam U V e W bases finitas do espaco vetorial E Se p e q sao respectivamente as matrizes de passagem de U para V e de V para W prove que as matrizes de passagem de U para W e de V para U sao respectivamente pq e p1 841 Prove que o posto da transformac ao linear BA e menor do que ou igual ao posto de A e ao posto de B Dˆe um exemplo em que posto de A posto de B posto de BA 842 Dada a transformac ao linear A E F entre espacos de di mensao finita sejam E1 E e F1 F subespacos tais que E NA E1 e F ImA F1 Tome bases U E e V F cujos primeiros elementos formam respectivamente uma base de NA e uma base de ImA Que forma tem a matriz de A relativamente a U e V 843 Sejam A E F e B F G transformacoes lineares entre espacos vetoriais de dimensao finita Se B e injetiva prove que o posto de BA e igual ao posto de A Que condic ao sobre A assegura que o posto de BA seja igual ao de B 844 Se E tem dimensao finita prove que nao existem operadores lineares A B E E tais que AB BA I ou tais que AB BA seja uma projec ao Use o traco Compare com o Exercıcio 513 845 Sejam V V E e W W F bases finitas e p q as matrizes de passagem de V para V e de W para W respectivamente Dada a transformac ao linear A E F sejam a e a respectivamente as matrizes de A relativamente as bases V W e V W Mostre que p e a matriz de IE nas bases V V e q e a matriz de IF nas bases W W Use as igualdades A AIE e A IFA para provar que ap e qa sao iguais a matriz de A nas bases V W Obtenha assim uma nova deduc ao da formula a q1ap 846 Prove que uma matriz quadrada de posto 1 e idempotente se e somente se seu traco e igual a 1 9 Eliminacao Esta secao trata de aspectos computacionais dos assuntos tratados ate aqui Do ponto de vista do encadeamento logico sua leitura nao e necessaria para o entendimento das secoes seguintes Salvo no que tange a Secao 17 que por sua vez quase nada influi nas que lhe se guem Entretanto seu valor educativo e inestimavel pois exibe um processo simples e bem sucedido para responder a perguntas natu rais sobre subespacos transformacoes lineares sistemas de equacoes e matrizes Estudaremos a seguir algumas questoes de natureza pratica que serao resolvidas com o uso do tradicional e eficiente metodo de eli minac ao 9A Dimensao do subespaco gerado por m vetores A primeira questao que abordaremos e o problema de determinar a dimensao do subespaco gerado por m vetores v1 vm no espaco vetorial E que por simplicidade porem sem perda de generalidade suporemos ser o espaco euclidiano Rn Noutras palavras queremos achar o numero r tal que r dos vetores dados sao linearmente inde pendentes porem os demais sao combinacoes lineares deles O princıpio basico a ser utilizado e a observac ao obvia de que se um dos vetores dados digamos v1 tem uma de suas coordena 102 Eliminacao Secao 9 das por exemplo a jesima diferente de zero mas todos os demais vetores v2 vm tˆem a jesima coordenada nula entao v1 nao e combinac ao linear de v2 vm Resulta entao do Teorema 32 ou melhor da observac ao logo apos que se cada um dos vetores nao nulos w1 wr tem uma coordenada diferente de zero e a mesma coordenada e zero em todos os vetores seguintes a ele nesta lista entao w1 wr e LI Exemplo 91 Sejam v1 0 1 2 3 4 v2 0 0 1 2 3 e v3 0 0 0 0 1 Neste caso a segunda coordenada de v1 e 1 mas as segundas coordenadas de v2 e v3 sao nulas A terceira coordenada de v2 e 1 mas a terceira coordenada de v3 e zero Logo v1 v2 v3 R5 e um conjunto LI O criterio acima enunciado que garante a independˆencia linear dos vetores w1 wr Rn pode ser refraseado assim a primeira coordenada naonula de cada wi tem ındice menor do que a primeira coordenada naonula dos vetores subsequentes wi1 wr Se para cada i 1 r escrevermos wi ai1 ain te remos uma matriz a aij Mr n cujos r vetoreslinha sao w1 wr Diremos que essa matriz e escalonada quando o primeiro elemento naonulo de cada uma de suas linhas esta a esquerda do primeiro elemento naonulo de cada uma das linhas subsequentes e alem disso as linhas nulas se houver estao abaixo das demais Com esta definic ao podemos dizer que as linhas naonulas de uma matriz escalonada sao vetores linearmente independentes ou seja uma matriz escalonada r n tem posto r se suas linhas forem todas diferentes de zero Exemplo 92 As matrizes abaixo sao escalonadas 1 3 7 2 0 2 5 1 0 0 0 3 0 1 2 3 1 0 0 4 5 2 0 0 0 6 3 0 0 0 0 0 Ambas tˆem posto 3 Dados os vetores v1 vm Rn vamos alteralos passo a passo de tal modo que em cada etapa os vetores obtidos geram o mesmo subespaco que os da etapa anterior e no final os vetores resultantes formam as linhas de uma matriz escalonada Os naonulos dentre eles formarão uma base do subespaço gerado pelos vetores originalmente dados As seguintes modificações chamadas operações elementares levam os vetores v1vm Rn em vetores v1vm Rn que geram o mesmo subespaço Sv1vm Sv1vm 1 Trocar a posição de dois vetores vi vj i j na lista dada Esta operação é esquematizada como v1vivjvm v1vjvivm 2 Somar a um dos vetores um múltiplo de outro vetor da lista ou seja substituir vj por vj vj αvi i j Para justificar a operação 2 sejam V v1vm e V v1vjvm Evidentemente SV SV Além disso como vj vj αvi seguese que SV SV Logo V e V geram o mesmo subespaço SV SV Em termos da matriz cujas linhas são os vetores dados estas operações elementares se exprimem assim 1 Trocar a posição de duas linhas 2 Somar a uma linha um múltiplo de outra linha Portanto o subespaço gerado pelas linhas ou seja o espaçolinha de uma matriz não se altera quando essas duas operações elementares são aplicadas a essa matriz Descreveremos a seguir o processo de eliminação ou escalonamento o qual mediante aplicações sucessivas das duas operações elementares às linhas de uma matriz produz uma matriz escalonada O procedimento é o seguinte a Se a11 0 o processo começa deixando a primeira linha intacta e somando a cada linha Li com i 2 a primeira linha multiplicada por ai1a11 Com isto se obtém uma matriz cuja primeira coluna é a11 00 b Se a11 0 uma troca de linhas fornece uma matriz com a11 0 desde que a primeira coluna não seja nula Se porém todos os elementos da primeira coluna são iguais a zero passase para a segunda coluna ou mais geralmente para a coluna mais próxima à direita da primeira onde haja algum elemento nãonulo e operase 104 Eliminacao Secao 9 como antes de modo a obter uma matriz cuja primeira coluna nao nula comeca com elemento 0 mas todos os demais sao iguais a zero A partir daı nao se mexe mais na primeira linha Recomecase o processo trabalhando com as linhas a partir da segunda ate obter uma matriz escalonada Exemplo 93 Sejam os vetores v1 1 2 3 4 v2 5 6 7 8 e v3 9 10 11 12 em R4 Indicamos abaixo a sequˆencia de operacoes elementares efe tuadas sobre a matriz cujas linhas sao estes vetores conduzindo a uma matriz escalonada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 L25L1 L39L1 1 2 3 4 0 4 8 12 0 8 16 24 L32L2 L32L2 1 2 3 4 0 4 8 12 0 0 0 0 Como a matriz escalonada final tem duas linhas diferentes de zero os trˆes vetores dados geram um subespaco vetorial de dimensao 2 em R4 e w1 1 2 3 4 w2 0 4 8 12 formam uma base desse subespaco No exemplo acima como nos seguintes a notac ao Li αLj signi fica que a matriz a direita foi obtida da matriz a esquerda somando se a iesima linha o multiplo αLj da jesima linha Analogamente usaremos a notac ao Li Lj para indicar a troca da linha i pela li nha j Exemplo 94 Consideremos os vetores v1 0 1 2 3 v2 2 1 3 0 v3 3 4 2 0 e v4 4 2 0 1 em R4 Indicamos abaixo a sequˆencia de operacoes elementares efetuadas sobre a matriz que Secao 9 Eliminacao 105 tem esses vetores como linhas a fim de obter uma matriz escalonada 0 1 2 3 2 1 3 0 3 4 2 0 4 2 0 1 L2L1 2 1 3 0 0 1 2 3 3 4 2 0 4 2 0 1 L3 3 2 L1 L42L1 2 1 3 0 0 1 2 3 0 5 2 5 2 0 0 0 6 1 L3 5 2 L2 2 1 3 0 0 1 2 3 0 0 15 2 15 2 0 0 6 1 L4 4 5 L3 2 1 3 0 0 1 2 3 0 0 15 2 15 2 0 0 0 7 Concluımos que os quatro vetores dados sao LI portanto consti tuem uma base de R4 Alem disso vemos que os vetores w1 2 1 3 0 w2 0 1 2 3 w3 0 0 15 2 15 2 e w4 0 0 0 7 tambem formam uma base de R4 9B Calculo do posto de uma transformac ao linear A resposta a questao 9A permite determinar o posto de uma trans formac ao linear A Rn Rm e ate mesmo uma base para ImA Uma tal base pode ser formada pelas colunas naonulas de uma ma triz escalonada obtida da matriz de A por meio de operacoes ele mentares efetuadas sobre suas colunas Ou entao podemos como acima operar sobre as linhas da transposta da matriz de A Pois as linhas da transposta sao as colunas da matriz dada Nao havera confusao se lembrarmos que a base de ImA e formada por vetores de Rm nao de Rn Quando m n e preciso ter cuidado pois a ima gem de A e gerada pelos vetorescoluna de sua matriz e nao pelos vetoreslinha Exemplo 95 Obter uma base para a imagem da transformac ao linear A R3 R4 definida por Ax y z x 5y 9z 2x 6y 10z 3x 7y 11z 4x 8y 12z Temos Ae1 1 2 3 4 Ae2 5 6 7 8 e Ae3 9 10 11 12 de modo que a imagem de A e gerada pelos vetores v1 v2 v3 do Exemplo 93 Resulta entao daquele exemplo que A tem posto 2 e os vetores w1 1 2 3 4 w2 0 4 8 12 formam uma base de ImA Note que a matriz que ocorre no Exemplo 93 nao e a matriz de A e sim a sua transposta 106 Eliminacao Secao 9 9C Resoluc ao de sistemas lineares O metodo de eliminac ao embora simples e ingˆenuo e a maneira mais eficaz de resolver um sistema de m equacoes lineares com n incognitas apresentado sob a forma matricial ax b onde a Mm n x Mn 1 e b Mm 1 Resulta das nocoes gerais ate aqui estudadas que o sistema ax b possui soluc ao se e somente se o vetor b Rm correspondente a matriz b pertence a imagem da transformac ao linear A Rn Rm cuja matriz nas bases canˆonicas de Rn e Rm e a Dito de outra maneira o sistema ax b possui soluc ao se e somente se o vetor b Rm correspondente a matriz b pertence ao subespaco gerado pelas colunas de a Isto equivale a dizer que a matriz aumentada a b Mm n 1 tem o mesmo posto que a matriz a do sistema Uma afirmac ao mais completa e a seguinte o sistema Ax b nao possui soluc ao quando b ImA possui uma unica soluc ao quando b ImA e A e injetiva e possui infinitas solucoes quando b ImA e A nao e injetiva Vide Teorema 64 Em termos matriciais o sistema ax b com a Mm n x Mn 1 e b Mm 1 admite as seguintes alternativas 1 Nao possui soluc ao quando o posto da matriz aumentada a b e maior do que o posto de a 2 Possui uma unica soluc ao quando a matriz a e a matriz aumen tada a b tˆem o mesmo posto igual ao numero n de incognitas 3 possui infinitas solucoes quando se tem posto a b posto a r n Neste caso o conjunto das solucoes e uma variedade afim de dimensao n r O que acabamos de dizer e mais ou menos um resumo do que ja vimos antes Tratase de uma discussao esclarecedora do ponto de vista teorico mas que nao ensina como reconhecer na pratica em qual dos casos se enquadra um sistema dado e muito menos como obter suas solucoes caso existam Isto se faz com o metodo de eliminac ao escalonando a matriz aumentada do sistema O processo de eliminac ao se baseia na observac ao de que ao efe tuar uma operac ao elementar sobre as linhas da matriz aumentada a b obtemse uma matriz a b que e a matriz aumentada de um sistema ax b equivalente ao sistema original ax b Dois sis Secao 9 Eliminacao 107 temas se dizem equivalentes quando possuem o mesmo conjunto de solucoes No final do processo obtemse um sistema ax b equivalente ao sistema proposto ax b no qual a matriz a b e escalonada Isto e o mesmo que dizer que a e escalonada O sistema ax b e facilmente resolvido de baixo para cima achase primeiro o valor da ultima incognita substituindoa por esse valor na equac ao anterior e assim por diante Vejamos alguns exemplos Exemplo 96 Consideremos o sistema y 2z 3t 1 2x y 3z 1 3x 4y 2z 1 4x 2y t 1 O escalonamento da matriz aumentada e feito abaixo 0 1 2 3 1 2 1 3 0 1 3 4 2 0 1 4 2 0 1 1 2 1 3 0 1 0 1 2 3 1 3 4 2 0 1 4 2 0 1 1 2 1 3 0 1 0 1 2 3 1 0 5 2 5 2 0 1 2 0 0 6 1 1 2 1 3 0 1 0 1 2 3 1 0 0 15 2 15 2 3 0 0 0 7 7 5 Obtemse assim a matriz aumentada do sistema 2x y 3z 1 y 2z 3t 1 15 2 z 15 2 t 3 7t 7 5 Resolvendo este sistema de baixo para cima vem t 1 5 z 1 5 y 0 x 1 5 Esta e a unica soluc ao do sistema dado Como a matriz do sistema tem posto 4 a soluc ao existiria e seria unica fosse qual fosse o segundo membro 108 Eliminacao Secao 9 Exemplo 97 Seja o sistema x 2y 3z 4 2x 3y 4z 5 4x 7y 2z 12 O escalonamento da sua matriz aumentada e o seguinte 1 2 3 4 2 3 4 5 4 7 2 12 1 2 3 4 0 1 10 3 0 1 10 4 1 2 3 4 0 1 10 3 0 0 0 1 Vemos portanto que o sistema dado e equivalente a x 2y 3z 4 y 10z 3 0x 0y 0z 1 o qual e obviamente impossıvel O sistema dado nao tem soluc ao Poderıamos ter chegado a mesma conclusao observando na forma do Exemplo 95 que a imagem do operador A R3 R3 cuja ma triz tem colunas v1 1 2 4 v2 2 3 7 e v3 3 4 2 e um subespaco de dimensao 2 em R3 do qual os vetores w1 1 2 4 e w2 0 1 1 formam uma base e que o vetor b 4 5 12 certa mente nao e combinac ao linear de w1 e w2 Exemplo 98 Seja o sistema x 2y 3z 4t 1 5x 6y 7z 8t 2 9x 10y 11z 12t 3 O escalonamento da sua matriz aumentada segue o esquema 1 2 3 4 1 5 6 7 8 2 9 10 11 12 3 1 2 3 4 1 0 4 8 12 3 0 8 16 24 6 1 2 3 4 1 0 4 8 12 3 0 0 0 0 0 Secao 9 Eliminacao 109 A ultima matriz obtida e a matriz aumentada do sistema x 2y 3z 4t 1 4y 8z 12t 3 ou x 2y 3z 4t 1 4y 8z 12t 3 Este sistema pode ser resolvido de baixo para cima esquecendo que z e t sao incognitas e nos da a soluc ao y 2z 3t 3 4 x z 2t 1 2 O sistema dado possui portanto uma infinidade de solucoes que po dem ser obtidas atribuindose valores arbitrarios a z e t e calcu lando x e y em func ao delas por meio destas duas ultimas igualda des Observe que as igualdades sao as equacoes da variedade afim de dimensao 2 no espaco R4 formada por todas as solucoes do sistema dado Escrevendo o sistema original sob a forma Av b onde A R4 R3 e a transformac ao linear cuja matriz tem as linhas 1234 5678 9101112 e b 1 2 3 esta variedade afim formada por todos os vetores v z 2t 1 2 2z 3t 3 4 z t R4 onde z t sao numeros reais arbitrarios e o conjunto de todos os vetores v R4 tais que Av b Observac ao O conjunto F z 2t 2z 3t z t R4 z t R e um subespaco vetorial de R4 nucleo da transformac ao linear A R4 R3 acima considerada Uma base de F e formada pelos ve tores w1 1 2 1 0 e w2 2 3 0 1 obtidos fazendo z 1 t 0 e depois z 0 t 1 na expressao dos vetores de F De um modo ge ral para obter uma base para o nucleo de um operador A Rn Rm o que se tem a fazer e resolver por escalonamento o sistema Ax 0 Exemplo 99 Achar uma base para o nucleo da transformac ao li near A R5 R3 cuja matriz nas bases canˆonicas e a 1 2 3 1 2 3 4 5 3 4 1 0 1 1 0 110 Eliminacao Secao 9 O nucleo de A e o conjunto das solucoes x x1 x2 x3 x4 x5 do sis tema linear homogˆeneo x1 2x2 3x3 x4 2x5 0 3x1 4x2 5x3 3x4 4x5 0 x1 x3 x4 0 Para sistemas homogˆeneos nao ha necessidade de considerar a ma triz aumentada O escalonamento da matriz a e feito segundo o esquema 1 2 3 1 2 3 4 5 3 4 1 0 1 1 0 1 2 3 1 2 0 2 4 0 2 0 2 4 0 2 1 2 3 1 2 0 2 4 0 2 0 0 0 0 0 Portanto o sistema homogˆeneo inicial e equivalente ao sistema esca lonado x1 2x2 3x3 x4 2x5 0 2x2 4x3 2x5 0 ou seja x1 2x2 3x3 x4 2x5 2x2 4x3 2x5 Resolvendo o ultimo considerando x3 x4 e x5 como conhecidos vem x2 2x3 x5 e x1 x3 x4 Concluımos entao que o nucleo da transformac ao linear A e formado por todos os vetores x x3 x4 2x3 x5 x3 x4 x5 onde os numeros x3 x4 e x5 sao escolhidos arbitrariamente Uma base do nucleo e obtida quando se faz suces sivamente x3 x4 x5 1 0 0 x3 x4 x5 0 1 0 e x3 x4 x5 0 0 1 Explicitamente essa base e formada pelos vetores w1 1 2 1 0 0 w2 1 0 0 1 0 e w3 0 1 0 0 1 Secao 9 Eliminacao 111 9D O metodo de GaussJordan A quarta aplicac ao que faremos do metodo de eliminac ao e o calculo da inversa de uma matriz invertıvel a Mnn Antes porem de vemos advertir que a determinac ao da inversa nao e necessaria para resolver o sistema ax b A expressao x a1 b para a soluc ao desse sistema e de grande elegˆancia e significado teorico porem na pratica a obtenc ao explıcita da inversa a1 requer a soluc ao de n sistemas lineares Convenhamos que isto seria um modo pouco efi caz de resolver um unico sistema Com efeito examinando coluna por coluna cada membro da igualdade aa1 In vemos que a jesima coluna de a1 e a soluc ao do sistema ax ej portanto o calculo da inversa a1 equivale a resolver os n sistemas lineares ax e1 ax en O metodo de eliminac ao que vimos utilizando e tambem chamado metodo de Gauss Existe ainda o metodo de GaussJordan Ele continua a eliminac ao iniciada pelo metodo de Gauss che gando no final a uma matriz escalonada com a propriedade adicio nal de que acima e abaixo do primeiro elemento naonulo de cada li nha todos os elementos sao iguais a zero Se a matriz for quadrada e invertıvel o primeiro elemento naonulo de cada linha da matriz escalonada esta sobre a diagonal Portanto neste caso o metodo de GaussJordan produz uma matriz cujos elementos naonulos consti tuem a diagonal Vejamos um exemplo da eliminac ao de GaussJordan Exemplo 910 No Exemplo 94 o metodo de eliminac ao de Gauss em resumo operou a seguinte transformac ao por meio de operacoes elementares sobre as linhas 0 1 2 3 2 1 3 0 3 4 2 0 4 2 0 1 2 1 3 0 0 1 2 3 0 0 15 2 15 2 0 0 0 7 O metodo de GaussJordan continua aplicando as operacoes ele mentares sobre as linhas de modo a anular tambem os elementos de cada coluna situados acima da diagonal Ele prossegue a partir 112 Eliminacao Secao 9 daı com as seguintes operacoes elementares 2 1 3 0 0 1 2 3 0 0 15 2 15 2 0 0 0 7 L1L2 2 0 1 3 0 1 2 3 0 0 15 2 15 2 0 0 0 7 L1 2 15 L3 L2 4 15 L3 L1 2 15 L3 L2 4 15 L3 2 0 0 4 0 1 0 1 0 0 15 2 15 2 0 0 0 7 L1 4 7 L4 L2 1 7 L4 L3 15 14 L4 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 15 2 0 0 0 0 7 Esta ultima matriz diagonal resulta portanto da matriz inicial pela aplicac ao sucessiva de operacoes elementares sobre suas linhas Existe ainda uma terceira operac ao elementar que nao tivemos ainda ocasiao de mencionar porque nao foi necessaria ate agora mas que tem tambem a propriedade de aplicada as linhas de uma ma triz nao alterar o seu espacolinha Ela e a seguinte 3 Multiplicar uma linha por um numero 0 Aplicando essa operac ao as linhas da matriz final do exemplo acima obtemos a matriz identidade Multiplique a primeira linha por 12 a terceira por 215 e a quarta por 17 O metodo de GaussJordan fornece imediatamente a soluc ao do sistema ax b sem necessidade de no final efetuar a resoluc ao de baixo para cima Com efeito depois de efetuada qualquer sequˆencia de operacoes elementares inclusive a terceira sobre as linhas da matriz aumentada obtemos sempre um sistema equivalente ax b Se a matriz a e invertıvel o processo de Gauss leva a uma matriz escalonada com elementos todos 0 na diagonal Prosseguindo a partir daı com GaussJordan chegaremos finalmente a um sistema ax b equivalente ao original com a In logo x b o que nos da a soluc ao x diretamente Assim a soluc ao do sistema ax b e a ultima coluna da ma triz a b que se obtem aplicando a eliminac ao de GaussJordan a matriz aumentada a b de modo a chegar com a In Em particular tomando b ej jesimo vetor da base canˆonica de Rn a soluc ao x da equac ao ax ej que e a jesima coluna de a1 se obtem efetuando operacoes elementares sobre as linhas da ma triz aumentada a ej ate reduzıla a In x Como essas operacoes Secao 9 Eliminacao 113 dependem apenas da matriz a mas nao de j isto sugere o topico seguinte 9E Metodo pratico para calcular a inversa a1 Acrescentase a matriz identidade In a direita de a de modo a ter uma matriz aumentada n 2n a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Em seguida aplicamse operacoes elementares as linhas dessa ma triz aumentada de modo a reduzir a matriz a a identidade In che gandose a 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x11 x12 x1n x21 x22 x2n xn1 xn2 xnn A matriz xij a direita e a inversa de a Exemplo 911 Damos abaixo um exemplo de como obter a inversa de uma matriz segundo este metodo 2 4 3 0 1 1 3 5 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 4 3 0 1 1 0 1 5 2 1 0 0 0 1 0 3 2 0 1 2 4 3 0 1 1 0 0 3 2 1 0 0 0 1 0 3 2 1 1 2 0 7 0 1 1 0 0 3 2 1 4 0 0 1 0 3 2 1 1 2 0 0 0 1 0 0 0 3 2 8 26 3 14 3 1 5 3 2 3 3 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 13 3 7 3 1 5 3 2 3 1 2 3 2 3 Portanto 2 4 3 0 1 1 3 5 7 1 4 13 3 7 3 1 5 3 2 3 1 2 3 2 3 114 Eliminacao Secao 9 Retornaremos ao asssunto de eliminac ao gaussiana no item final da sec ao 17 Exercıcios 91 Determine o posto da matriz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 92 Ache a matriz na base u1 u2 u3 u4 da projec ao P R4 R4 Px y z t x y 0 0 sabendo que u1 2 0 3 4 u2 1 1 4 2 u3 3 2 2 0 e u4 0 3 0 1 Sugestao use eliminac ao gaussi ana para exprimir e1 e2 e3 e e4 como combinacoes lineares de u1 u2 u3 e u4 93 Exprima cada um dos vetores da base canˆonica de R3 como combinac ao linear dos vetores v1 1 1 0 v2 1 0 2 v3 4 2 5 e a partir daı obtenha a inversa da matriz 1 1 4 1 0 2 0 2 5 94 Decida se as matrizes abaixo sao invertıveis ou nao No caso afirmativo determine as inversas Caso uma delas digamos a nao seja invertıvel ache uma matriz x M3 1 tal que ax 0 1 2 3 4 5 9 1 3 4 e 1 2 3 4 5 6 1 3 4 95 Calcule a dimensao do subespaco vetorial de R5 gerado pelos vetores v1 2 4 8 4 7 v2 4 2 1 3 1 v3 3 5 2 2 4 e v4 5 1 7 6 2 Decida se o vetor b 6 18 1 9 8 pertence ou nao a esse subespaco Secao 9 Eliminacao 115 96 A matriz a Mmn tem apenas uma linha e uma coluna nao nulas Dada b Mm 1 quais sao as dimensoes possıveis para a variedade afim formada pelas solucoes x Mn 1 do sistema ax b 97 Exprima cada vetor do conjunto u v w z E como combinac ao linear dos vetores w u 3z v 2u 3w 5z 98 Obtenha uma base para o subespaco vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e consequentemente determine a di mensao daquele subespaco a 1 2 3 4 3 4 7 10 2 1 3 5 b x3 2x2 3x4 5x3 4x2 3x2 4x3 2x2 x 7x3 2x2 3x8 c 1 3 5 1 3 1 1 21 1 d 1 2 3 1 4 9 1 8 27 99 Mostre que se 0 1 a b c sao numeros dois a dois diferentes entao os vetores 1 1 1 1 a a2 a3 a4 b b2 b3 b4 e c c2 c3 c4 sao linearmente independentes Generalize 910 Exiba uma base para a imagem de cada uma das transforma coes lineares abaixo e determine seu posto a A R4 R3 Ax y z t x 2y t 2x z 2t 2x y 3z b B R4 R5 Bx y z t x 2y 2z t 2x 4y 3z t 3x 2z 3t 3x z 6t 10x 2y 5z 5t c C R3 R3 Cx y z x 3y 2y 4z x y 4z d D Pn Pn Dpx px 911 Use escalonamento para resolver os seguintes sistemas linea res x 3y z 1 2x 6y 9z 7 2x 8y 8z 6 x y t 0 x 2y z t 1 3x 3y z 2t 1 y 3z t 3 x y z 2t 0 3y z 3t 0 2x y z t 0 912 Ache uma condição envolvendo a b c para que o sistema abaixo tenha solução e encontre as soluções no caso em que elas existam x y z t a 5y 2z 4t b 3x 2y z t c 913 Ache uma base para o núcleo de cada uma das transformações lineares a seguir a A R3 R3 Axyz 3y 4z 3x 5z 4x 5y b B R4 R5 Bxyzt 2x 2z 4t x 2z 3t 4y 2z t 6x 4y 4z 13t 2x 4y 2z 7t c C R4 R3 Cxyzt 2x y z 3t x 4y 2z t 2y 4z t d T P P T px px m m 0 914 Decida quais das matrizes abaixo possuem inversa e calcule a inversa quando existir 1 2 3 4 4 2 3 4 5 6 7 8 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 3 2 1 1 1 1 1 2 3 2 1 3 1 1 2 1 2 1 3 Secao 9 Eliminacao 117 915 Prove que o sistema x 2y 3z 3t a 2x 5y 3z 12t b 7x y 8z 5t c admite soluc ao se e somente se 37a13b 9c Ache a soluc ao geral do sistema quando a 2 e b 4 916 Prove que toda matriz antisimetrica 3 3 naonula tem posto igual a dois Dˆe exemplo de uma matriz antisimetrica invertıvel 4 4 917 Considere o sistema de n equacoes lineares a n incognitas xi xi1 ai i 1 n 1 x1 xn an a Se n e ımpar prove que ele possui soluc ao unica sejam quais forem os ai Explicite esta soluc ao b Supondo n par obtenha condicoes sobre os ai que sejam necessarias e suficientes para que o sistema possua soluc ao Caso existam solucoes determine a variedade afim por elas formada 10 Produto Interno O produto interno que ja foi mencionado brevemente antes na de finicao do produto de duas matrizes sera apresentado formalmente nesta secao e adotado sistematicamente a partir daqui Tratase de uma nocao que completa e enriquece a estrutura de um espaco ve torial permitindo a utilizacao de uma linguagem geometrica alta mente sugestiva e o destaque de tipos especiais de operadores os quais admitem uma analise mais profunda de suas propriedades como se vera a seguir Os axiomas de espaco vetorial nao sao suficientes para abordar certas nocoes geometricas como ˆangulo perpendicularismo compri mento distˆancia etc Isto se torna possıvel com a introduc ao de um produto interno Um produto interno num espaco vetorial E e um funcional bi linear simetrico e positivo em E Mais precisamente um produto interno e uma func ao E E R que associa a cada par de veto res u v E um numero real u v chamado o produto interno de u por v de modo que sejam validas as seguintes propriedades para quaisquer u u v v E e α R Bilinearidade u u v u v u v αu v α u v u v v u v u v u αv α u v Comutatividade simetria u v v u Positividade u u 0 se u 0 Como 0 v 0 0 v 0 v 0 v seguese que 0 v v 0 0 para todo v E Resulta da positividade que se u v 0 para todo v E então u 0 Com efeito se fosse u 0 teríamos u v 0 pelo menos quando v u Seguese desta observação que se u u E são vetores tais que u v u v para todo v E então u u Com efeito isto implica que u u v 0 para todo v E logo u u 0 e u u O número nãonegativo u u u chamase a norma ou o comprimento do vetor u Com esta notação temse u² u u e a igualdade u v u v u u u v v u v v lêse u v² u² v² 2 u v Quando u 1 dizse que u E é um vetor unitário Todo vetor u 0 se escreve como u u u onde u é um vetor unitário Basta pôr u u¹ u Exemplo 101 No espaço euclidiano ℝⁿ o produto interno canônico dos vetores u α₁ αₙ e v β₁ βₙ é definido por u v α₁β₁ αₙβₙ Este é o produto interno que consideraremos em ℝⁿ salvo aviso em contrário Exemplo 102 Consideremos ℝ² como o modelo aritmético do plano euclidiano no qual se introduziu um sistema de coordenadas cartesianas Dados u α₁ α₂ e v β₁ β₂ os números u α₁² α₂² e v β₁² β₂² medem realmente os comprimentos das flechas que representam esses vetores Suponhamos u 0 v 0 e chamemos de θ o ângulo formado por essas flechas Afirmamos que o produto interno u v α₁β₁ α₂β₂ acima definido é igual a u v cos θ Isto será provado em três passos 1º Se os vetores u e v são perpendiculares então u v 0 u v cos 90 Com efeito por um lado u v² u v u v u² v² 2 u v 120 Produto Interno Secao 10 e por outro lado pelo Teorema de Pitagoras u v2 u2 v2 Figura 101 Logo u v 0 2o Se u v 1 entao u v cos θ Com efeito tomando o vetor unitario u perpendicular a u temos pela definic ao de seno e cosseno v cos θ u sen θ u Fig 102 Figura 102 Tomando o produto interno de ambos os membros desta igualdade por u vem u v cos θ u u sen θ u u Como u u 1 e u u 0 pelo primeiro passo temos u v cos θ 3o Caso ge ral pomos u uu e v vv onde u 1uu e v 1vv sao vetores unitarios Entao u v u v u v u v cos θ Vemos em particular que os vetores u v formam um ˆangulo agudo quando u v 0 um ˆangulo obtuso quando u v 0 e um ˆangulo reto quando u v 0 Exemplo 103 Seja E Ca b o espaço vetorial cujos elementos são as funções contínuas g f a b ℝ Um produto interno em E pode ser definido pondo f g ᵇₐ fx gx dx Neste caso a norma da função f é f ᵇₐ fx² dx Este produto interno é utilizado no estudo das séries de Fourier Observação Seja E um espaço vetorial de dimensão finita arbitrário Dada uma base u₁ uₙ E podemos definir um produto interno em E pondo para u Σαᵢuᵢ e v Σβᵢuᵢ u v Σαᵢβᵢ por definição Isto mostra que todo espaço vetorial de dimensão finita pode ser munido de um produto interno Fato verdadeiro em geral pois qualquer espaço vetorial possui base mas não entraremos nesse terreno Assim quando nos referirmos a um espaço munido de um produto interno não estaremos com isso atribuindo uma propriedade especial a esse espaço mas apenas dizendo que entre os possíveis produtos internos que nele podem ser introduzidos um particular foi escolhido e fixado Seja E um espaço vetorial com produto interno Dois vetores u v E chamamse ortogonais ou perpendiculares quando u v 0 Escrevese então u v Em particular 0 é ortogonal a qualquer vetor de E Um conjunto X E dizse ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer em X são ortogonais Se além disso todos os vetores de X são unitários então X chamase um conjunto ortonormal Portanto o conjunto X E é ortonormal se e somente se dados u v X temse u v 0 se u v e u v 1 se v u Uma base ortonormal é uma base de E que é um conjunto ortonormal Teorema 101 Num espaço vetorial E com produto interno todo conjunto ortogonal X de vetores nãonulos é LI Demonstração Sejam v₁ vₙ X Temos vᵢ vⱼ 0 se i j Se α₁v₁ αₙvₙ 0 é uma combinação linear nula desses vetores então para cada i 1 2 n tomamos o produto interno de ambos os membros desta igualdade por vᵢ e temos α₁ v₁ vᵢ αₙ vₙ vᵢ 0 logo αᵢ vᵢ vᵢ αᵢvᵢ² 0 pois todos os produtos internos vⱼ vᵢ com j i são nulos em virtude da ortogonalidade de X Além disso como os vetores pertencentes ao conjunto X são todos nãonulos resulta de αᵢ vᵢ² 0 que αᵢ 0 Assim os coeficientes da combinação linear Σαᵢvᵢ 0 são todos iguais a zero e os vetores do conjunto X são portanto linearmente independentes Exemplo 104 A base canônica e₁ eₙ ℝⁿ é ortonormal temse eᵢ eⱼ δᵢⱼ onde δᵢⱼ 0 se i j e δᵢⱼ 1 se i j No plano ℝ² os vetores u 1 1 e v 1 1 são ortogonais Pondo u 22 22 e v 22 22 o conjunto u v ℝ² é uma base ortonormal Quando u e v são ortogonais a igualdade u v² u² v² 2 u v se torna u v² u² v² Esta é a versão do Teorema de Pitágoras para um espaço vetorial com produto interno Num espaço vetorial E com produto interno seja u um vetor unitário Dado qualquer v E o vetor u v u chamase a projeção ortogonal de v sobre o eixo que contém u A justificativa para esta denominação está no fato de que escrevendo w v u v u temse v u v u w onde w é perpendicular a u Com efeito tomando o produto interno de u por ambos os membros da igualdade w v u v u temse u w u v u vu u u v u v 0 pois u u 1 Fig 103 Secao 10 Produto Interno 123 Figura 103 Quando se tem apenas u 0 o eixo que contem u e o mesmo que contem o vetor unitario u uu u1 u A projec ao or togonal de v sobre este eixo e portanto igual a u v u ou seja u v u u u Usaremos a notac ao pruv u v u u u para indicar a projec ao ortogonal do vetor v sobre o eixo que contem o vetor naonulo u Se z pruv temse v z w com w z Pelo Teorema de Pitagoras v2 z2 w2 Em particular vemos que z v isto e o comprimento da projec ao pruv e menor do que ou igual ao comprimento de v Ora a norma do vetor pruv e igual a u v u Seguese entao que para quaisquer u v E temse u v u v ou seja u v u v desigualdade de Schwarz A rigor o argumento acima prova a desigualdade de Schwarz apenas no caso em que u 0 Mas ela e obvia no caso em que u 0 Logo vale em geral Um importante complemento da desigualdade de Schwarz e que vale a igualdade u v u v se e somente se um dos vetores u v e multiplo do outro Isto resulta do raciocınio acima pois no Teorema de Pitagoras v2 z2 w2 dizer v z significa que w 0 isto e que v e multiplo de u Resulta da desigualdade de Schwarz que num espaco vetorial com produto interno a norma satisfaz a desigualdade triangular u v u v 124 Produto Interno Secao 10 Como se trata de numeros naonegativos para provar esta desigual dade basta mostrar que u v2 u v2 Ora u v2 u v u v u2 v2 2 u v u2 v2 2uv u v2 pois u v u v pela desigualdade de Schwarz Vale a igualdade uv uv somente quando um dos vetores u v e um multiplo naonegativo do outro Com efeito pelo argu mento acima u v u v ocorre quando u v u v o que e obvio quando u 0 e implica v αu quando u 0 Neste caso u v u v α u u αu2 logo α 0 Alem da desigualdade triangular a norma goza ainda das se guintes propriedades de imediata verificac ao u 0 se u 0 e α u α u Em particular u u Observac ao Em todo este livro α significa o valor absoluto do numero α e u representa tambem a norma do vetor u Num espaco vetorial E munido de produto interno a distˆancia entre os vetores u v e por definic ao du v u v Temse du u 0 du v 0 se u v du v dv u e du w du v dv w Mostraremos agora que existem bases ortonormais em todo es paco vetorial de dimensao finita provido de um produto interno Mais precisamente exporemos o processo de ortonormalizacao de GramSchmidt um algoritmo que ensina a passar de uma base qualquer v1 vn E para uma base ortonormal u1 un E com a importante propriedade de que para m 1 n os vetores u1 um pertencem ao subespaco Fm gerado por v1 vm Dada a base v1 vn E obteremos primeiro uma base or togonal w1 wn E e depois poremos u1 w1w1 un wnwn para chegar a base ortonormalizada u1 un E Comecamos o processo tomando w1 v1 e prosseguimos por induc ao Suponhamos ja obtidos os vetores naonulos w1 wm Seção 10 Produto Interno 125 dois a dois ortogonais gerando o subespaço Fm o mesmo que é gerado por v1vm Definimos wm1 pondo wm1 vm1 i1m wi vm1 wi wi wi Figura 104 w3 v3 z3 z3 w1 v3 w1 w1 w1 w2 v3 w2 w2 w2 Um cálculo simples mostra que wm1 é ortogonal a w1wm Além disso wm1 0 porque vm1 não pertence ao subespaço Fm gerado por v1vm ou por v1vm E finalmente wm1 pertence ao subespaço gerado por w1wm vm1 o qual é igual a Fm1 Isto completa o processo Observamos que se os primeiros m vetores da base v1vn E já formarem uma base ortonormal do subespaço por eles gerado então o processo de GramSchmidt transforma essa base numa base ortonormal u1un E na qual u1 v1 um vm Seguese daí que dado um subespaço vetorial F E toda base ortonormal de F estendese a uma base ortonormal de E basta estendêla a uma base qualquer de E e depois ortonormalizar esta última por GramSchmidt O significado geométrico do processo de GramSchmidt é bastante simples e fica ilustrado na figura se w1wm F é uma base ortogonal então para todo v E o vetor z i1m wi v wi wi wi F 126 Produto Interno Seção 10 soma das projeções ortogonais de v sobre os eixos dos wi tem a propriedade de que w v z é perpendicular aos vetores w1wm Daí resulta imediatamente que w é perpendicular a todos os vetores de F pois esses vetores são combinações lineares dos wi O vetor z chamase a projeção ortogonal de v sobre o subespaço F Escrevese z prFv Fig 105 Para a fórmula de prFv quando a base w1wm F não é ortogonal veja os Corolários 1 e 2 do Teorema 161 ou o Exercício 167 Figura 105 Se z é qualquer outro vetor em F temos v z v z z z Como z z F seguese que v z z z Do Teorema de Pitágoras resulta então que v z2 v z2 z z2 Em particular v z v z Isto mostra que a distância de v à sua projeção z prFv sobre o subespaço F é menor do que ou igual à distância de v a qualquer outro vetor z F Noutras palavras a projeção z prFv é o vetor mais próximo de v no subespaço F Se u1um F é uma base ortonormal então a projeção ortogonal de um vetor v E sobre o subespaço F se exprime de forma mais simples como prFv i1m ui v ui Isto está de acordo com a seguinte observação geral Seção 10 Produto Interno 127 Seja u1un E uma base ortonormal Para todo vetor v E temse v i1n ui v ui Com efeito v se exprime como combinação linear v α1u1 αnun em termos da base dada Tomando o produto interno de ambos os membros desta igualdade por ui temos ui v αi i 1n pois ui uj δij 1 se i j e 0 se i j Assim as coordenadas de um vetor relativamente a uma base ortonormal são os produtos internos desse vetor pelos elementos daquela base Se u Σαiui e v Σβjuj são as expressões dos vetores u v E em termos de uma base ortonormal u1un E as relações ui uj δij implicam imediatamente que u v i1n αiui j1n βjuj ij1n αiβj ui uj i1n αiβi Portanto quando se referem os vetores de E a uma base ortonormal fixada o produto interno assume a forma u v Σαiβi análoga à do produto interno canônico de ℝn Tomando mais geralmente uma base arbitrária v1vn E e pondo vi vj gij o produto interno dos vetores u i1n αivi e v j1n βjvj se exprime como u v ij1n gij αiβj A matriz g gij Mn n é simétrica isto é gij gji pois vi vj vj vi Mais ainda a matriz g é positiva Isto significa que além de g ser simétrica para qualquer lista x1 xn de n números reais não todos nulos temse ij1n gij xixj 0 Reciprocamente fixada uma base v₁vₙ num espaço vetorial E que pode ser por exemplo a base canônica em ℝⁿ e dada uma matriz simétrica positiva g gᵢⱼ Mn n a igualdade acima define um produto interno em E Exercícios 101 Seja E um espaço vetorial com produto interno Para quaisquer vetores uv E prove que uv vu e uv vu são ortogonais 102 Seja u₁uₙ E uma base ortonormal Prove que para vw E arbitrários temse vw ⁿᵢ₁ vuᵢwuᵢ 103 Dado o vetor u 236 seja P ℝ³ ℝ³ o operador linear definido por Pv prᵤv Descreva I 2P geometricamente escreva a matriz da reflexão H I 2P e determine o vetor que se obtém de w 111 por reflexão em torno do plano perpendicular a u 104 Considere a base V v₁v₂v₃ ℝ³ formada pelos vetores v₁ 111 v₂ 111 e v₃ 111 Determine a matriz de passagem p de V para a base ortonormal U u₁u₂u₃ obtida de V pelo método de GramSchmidt Observe que os elementos da diagonal de p são números positivos e abaixo da diagonal todos são nulos Generalize 105 Seja V v₁vₙ ℝⁿ uma base com vⱼ α₁ⱼα₂ⱼαₙⱼ j 1n Seja U a base ortonormal de ℝⁿ obtida de V pelo processo de GramSchmidt Prove que U é a base canônica de ℝⁿ se e somente se αᵢⱼ 0 para todo i j e αᵢᵢ 0 para todo i 1n 106 Sem fazer cálculo algum diga quais são as bases obtidas de V v₁v₂v₃ pelo processo de GramSchmidt nos seguintes casos a v₁ 300 v₂ 130 v₃ 251 b v₁ 110 v₂ 500 v₃ 223 107 Dado o vetor unitário u α₁αₙ ℝⁿ forme a matriz a αᵢ αⱼ Mn n Seja H ℝⁿ ℝⁿ o operador cuja matriz na base canônica é Iₙ 2a Mostre que para todo v ℝⁿ temse Hv v 2vuu e conclua que Hv v 108 Num espaço vetorial com produto interno o ângulo entre dois vetores nãonulos u v é por definição o ângulo θ uv tal que 0 θ 180 e cos θ uvuv Dito isto e dados os vetores u 34 v 11 e w 11 ponha em ordem crescente os ângulos uv uw e vw 109 Sejam uv ℝ² vetores LI Prove que o vetor uv vu está contido na bissetriz do ângulo formado por u e v 1010 Seja u abc ℝ³ um vetor unitário com abc 0 Determine t de modo que pondo v bt at 0 e w act bct 1t os vetores u v w sejam unitários e dois a dois ortogonais 1011 Para cada par de vetores u xy v xy em ℝ² ponha uv 2xx xy xy 2yy Prove que isto define um produto interno no espaço vetorial ℝ² 1012 Dado o produto interno uv no espaço vetorial E prove que se tem u v² u v² 2u² v² para quaisquer uv E Interprete esta igualdade geometricamente 1013 Seja X um conjunto de geradores do espaço vetorial E onde está definido um produto interno Se os vetores uv E são tais que uw vw para qualquer w X prove que u v 1014 Seja v₁vₙ uma base no espaço vetorial E munido de produto interno Dados n números reais arbitrários α₁αₙ prove que existe um e somente um vetor w E tal que wv₁ α₁wvₙ αₙ 1015 Para toda base V v₁vₙ no espaço vetorial E dotado de produto interno prove que existe uma única base W w₁wₙ E tal que wᵢvⱼ δᵢⱼ ij 12n Se vᵢvⱼ aᵢⱼ e wᵢwⱼ bᵢⱼ prove que as matrizes a aᵢⱼ e b bᵢⱼ são inversas uma da outra 1016 Suponha que uv ⁿⁱⱼ₁ aᵢⱼxᵢyⱼ 130 Produto Interno Secao 10 defina para u x1 xn e v y1 yn um produto interno em Rn Prove que a11 0 ann 0 1017 Calcule trˆes produtos internos entre os vetores u 1 0 1 v 4 1 4 w 3 24 3 e conclua que eles sao linearmente independentes 1018 Em cada um dos casos abaixo determine se o conjunto u v w R3 e ortonormal apenas ortogonal ou nenhum dos dois a u 1 2 1 v 1 1 1 w 1 1 2 b u a b c v b a 0 w ac bc a2 b2 c u 1 72 6 3 v 1 73 2 6 w 1 76 3 2 1019 Seja um produto interno no espaco vetorial F Dado um isomorfismo A E F ponha u v Au Av para quaisquer u v E Prove que e um produto interno em E 1020 Dados os vetores u 2 1 2 v 1 2 1 e w 2 3 3 determine o vetor de R3 que e a projec ao ortogonal de w sobre o plano gerado por u e v 1021 Qual e a base ortonormal de R3 obtida pelo processo de Gram Schmidt a partir da base u v w onde u 2 6 3 v 5 6 24 e w 9 1 4 1022 Mesma pergunta do exercıcio anterior para u 3 4 12 v 7 8 15 e w 15 6 44 1023 Para todo numero natural n prove que a norma do vetor v n n 1 nn 1 R3 e um numero natural 1024 Aplicando o processo de GramSchmidt a um conjunto de vetores v1 vm cuja independˆencia linear nao e conhecida prove que se obtem o primeiro vetor wr1 0 quando v1 vr sao LI mas vr1 e combinac ao linear de v1 vr 1025 Fixado o vetor unitario u a1 an Rn seja P Rn Rn o operador linear definido por Pv pruv projec ao ortogonal de v sobre o eixo de u Mostre que P2 P determine o nucleo de P as matrizes de P de I P e da reflexao ortogonal H I 2P em Secao 10 Produto Interno 131 torno do nucleo de P A matriz de H e conhecida como uma matriz de Householder 1026 Seja a um vetor naonulo no espaco vetorial E de dimensao n munido de produto interno Para todo b R prove que o conjunto V v E v a b e uma variedade afim de dimensao n1 Dado vo V mostre que v V se e somente se v vo e ortogonal a a 1027 Sejam u x1 x2 x3 e v y1 y2 y3 vetores em R3 O produto vetorial de u por v e definido como o vetor u v x2y3 x3y2 x3y1 x1y3 x1y2 x2y1 Prove que valem as seguintes propriedades a u v v u b u v v u v u v c u αv αu v d u v 0 se e somente se u e v sao LD e u v e ortogonal a u e a v f e1 e2 e3 e2 e3 e1 e3 e1 e2 Mais detalhes sobre o produto vetorial no livro Coordenadas no Espaco do autor publicado pela Soc Bras de Mat 1028 Seja r 1 tu tv t R a reta que liga u a v em E com u v Dado w E prove que tomando t w u v u v u2 obtemse o ponto x 1 tu tv de r mais proximo possıvel de w ou seja temse x w y w para qualquer outro ponto y r 1029 Seja U u1 un E uma base no espaco vetorial E munido de produto interno Suponha que para todo v x1u1 xnun E se tenha v2 x2 1 x2 n Prove que a base U e ortonormal 1030 Complete os detalhes do seguinte argumento que prova a existˆencia de uma base ortonormal em qualquer espaco vetorial E de dimensao n com produto interno Seja U u1 ur E um conjunto ortonormal com o maior número possível de elementos Para todo vetor v E o vetor w v ʳᵢ₁ vuᵢuᵢ é ortogonal a u₁uᵣ Pela maximalidade de U temse w 0 logo U gera E e é uma base ortonormal 1031 Seja E um espaço vetorial com produto interno Prove que para quaisquer uv E temse u v u v 1032 Prove que um operador A E E num espaço vetorial de dimensão finita com produto interno tem posto 1 se e somente se existem vetores nãonulos ab E tais que Av vab para todo v E Compare com o Exercício 827 1033 Num espaço vetorial E com produto interno o cosseno do ângulo entre dois vetores nãonulos u v é definido como cosuv uvuv Prove que se u e v são ortogonais e nãonulos então cos²uuv cos²vuv 1 A soma dos quadrados dos cossenos dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é igual a 1 1034 Sejam E um espaço vetorial com produto interno C E um conjunto convexo e a E um ponto fora de C Suponha que existam x₀x₁ C com a seguinte propriedade para todo x C temse a x₀ a x e a x₁ a x Prove que x₀ x₁ 11 A Adjunta Mostraremos nesta secao como o produto interno nos permite asso ciar a cada transformacao linear A E F uma nova transformacao A F E chamada a adjunta de A Em espacos sem produto in terno tambem existe uma nocao de adjunta mas aı se trata de uma transformacao linear F E do dual de F no dual de E O produto interno nos da condicao de permanecer com E e F Isto e particu larmente interessante no caso de um operador linear A E E A adjunta nos da por assim dizer uma visao da transformacao A sob um novo ˆangulo Essa mudanca de ponto de vista e reveladora espe cialmente quando ocorre a existˆencia de relacoes entre A e A Sejam dim E n e dim F m Vimos na Sec ao 8 que a escolha de bases em E e F determina um isomorfismo ϕ LE F Mm n portanto o espaco vetorial LE F das transformacoes lineares de E em F tem dimensao mn Em particular o espaco E LE R cujos elementos sao os funcionais lineares f E R chamado espaco dual de E tem dimensao n Isto implica que E e isomorfo a E Na realidade dada uma base V v1 vn E existe uma base V v 1 v n E chamada base dual de V onde por definic ao para cada vetor v Σαivi E temse v i v αi A verificac ao de que V E e uma base pode ser feita diretamente ou entao mediante a observac ao de que ϕv i ei iesimo elemento da base canˆonica de Rn onde ϕ E M1 n Rn e o isomorfismo 134 A Adjunta Secao 11 acima mencionado Obtemse um isomorfismo A E E impondo que Avi v i i 1 n Uma desvantagem dos isomorfismos entre E e E obtidos medi ante o emprego de uma base e que eles nao sao intrınsecos dado um vetor v E o funcional v E que a ele corresponde depende nao apenas de v mas tambem da base de E que se tomou Esta dificul dade entretanto desaparece quando E esta munido de um produto interno como veremos agora Seja E um espaco vetorial de dimensao finita dotado de um pro duto interno Definimos uma transformac ao linear ξ E E fa zendo corresponder a cada vetor v E o funcional linear ξ v v tal que vw w v para todo w E A verificac ao da linearidade de ξ e imediata se u v E como u vw w u v w u w v uw vw u vw para todo w E temos u v u v Analogamente αv α v Alem disso ξ e injetiva Com efeito dado v E se v 0 entao para todo w E temse w v vw 0w 0 Em particular v v 0 logo v 0 Finalmente ξ E E e sobrejetiva pois e injetiva e os espacos E E tˆem como vimos a mesma dimensao Assim podemos enunciar o Teorema 111 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno A correspondˆencia ξ E E que associa a cada v E o funcional linear ξv v tal que vw w v para todo w E e um isomorfismo O teorema acima sera usado principalmente na medida em que assegura a existˆencia de ξ1 Mais explicitamente a todo funcional linear f E R corresponde um unico vetor v vf E tal que w v fw para todo w E Um tanto informalmente para se conhecer um vetor v E basta que se conheca o produto interno de Seção 11 todos os vetores w E por v desde que esses produtos dependam linearmente de w O Teorema 111 é responsável pelo pouco ou nenhum uso que se faz de funcionais lineares em espaços como Rn onde há um produto interno funcionais são substituídos por vetores e a ação de um funcional sobre um vetor é substituída por um produto interno De posse do Teorema 111 definiremos a adjunta de uma transformação linear A E F onde E F são espaços vetoriais de dimensão finita ambos munidos de produto interno A adjunta de A deve ser uma transformação linear A F E tal que para v E e w F quaisquer se tenha Av w v Aw Assim a imagem Aw E de um vetor arbitrário w F é por definição aquele vetor de E tal que o produto interno de qualquer vetor v E por ele é igual a Av w Como para cada w F o número fv Av w depende linearmente de v ou seja f é um funcional linear o Teorema 111 assegura que o vetor Aw E existe e é único de modo que valha para quaisquer v E w F A correspondência w Aw assim definida é uma transformação linear de F em E Com efeito dados w w F temse para todo v E v Aw w Av w w Av w Av w v Aw v Aw v Aw Aw Assim Aw w e Aw Aw são vetores em E cujos produtos internos por qualquer vetor v E são iguais Portanto Aw w Aw Aw De modo análogo se verifica que Aαw α Aw Assim A LFE A transposta de uma matriz a aij Mm n é a matriz aT aji Mn m que tem como linhas as colunas de a e como colunas as linhas de a na mesma ordem Teorema 112 Sejam U u1 un E e V v1 vm F bases ortonormais Se a aij Mm n é a matriz da transformação linear A E F nas bases U V então a matriz da adjunta A F E nas bases V U é a transposta aT aji Mn m de a Demonstracão Por definição de matriz de uma transformação linear temos Auj i1m aij vi j 1 n e Avi r1n bri ur onde b bri Mn m é a matriz de A nas bases V U a ser determinada Como ambas as bases são ortonormais temos para cada i 1 m e cada j 1 n bji uj Avi Auj vi aij portanto b aT transposta de a Corolário Uma transformação linear A e sua adjunta A têm o mesmo posto Vide Teorema 82 É apresentada a seguir uma lista de propriedades operacionais da adjunta de uma transformação linear as quais se traduzem em propriedades da transposta de uma matriz via Teorema 112 A validade dessas propriedades decorre da observação de que duas transformações lineares A B E F são iguais quando se tem Au v Bu v para quaisquer u E v F I I InT In A B A B a bT aT bT αA αA αaT αaT BA AB baT aT bT A A aTT a Se A E F é uma transformação linear injetiva então existe B F E tal que BA IE vide Teorema 65 Tomando a adjunta de ambos os membros desta igualdade temos AB IE Assim A F E possui uma inversa à direita B logo é sobrejetiva Teorema 61 Do mesmo modo se vê que A sobrejetiva implica A injetiva Portanto a adjunta de um isomorfismo A E F é um isomorfismo A F E Além disso de A1A IE resulta AA1 IE logo A1 A1 Analogamente uma matriz quadrada a é invertível se e somente se sua transposta aT é invertível e no caso afirmativo aT1 a1T As noções de retas e planos perpendiculares da Geometria Elementar se estendem em Álgebra Linear ao conceito de complemento ortogonal o qual ajuda a entender as relações entre uma transformação linear e sua adjunta Seja E um espaço vetorial com produto interno O complemento ortogonal de um conjunto nãovazio X E é o conjunto X formado pelos vetores v E que são ortogonais a todos os vetores x X Portanto v X v x 0 para todo x X Dado X E temos 0 x 0 para todo x X logo 0 X Se v X e α R então αv x αv x 0 para todo x X portanto αv X Se u X e v X então para todo x X temse u v x u x v x 0 logo u v X Seguese das três observações acima que o complemento ortogonal de qualquer conjunto nãovazio X E é um subespaço vetorial de E Evidentemente X Y Y X e v X X v 0 Além disso se v é ortogonal aos vetores x1 xm então v é ortogonal a qualquer combinação linear Σ αi xi pois v Σ αi xi Σ αi v xi 0 Daí resulta que o complemento ortogonal X do conjunto X coincide com o complemento ortogonal SX do subespaço vetorial SX gerado por X Exemplo 111 Temse 0 E e E 0 Se F Rn é o subespaço vetorial gerado pelo vetor não nulo v a1 an reta que passa pela origem o complemento ortogonal F é o hiperplano definido pela equação a1 x1 an xn 0 Teorema 113 Seja E um espaço vetorial de dimensão finita munido de produto interno Para todo subespaço vetorial F E temse a decomposição em soma direta E F F Seção 11 A Adjunta 139 Teorema 114 Dada a transformação linear A EF entre espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno temse N A Im A Im A N A N A Im A e Im A N A Demonstração Basta provar a primeira dessas igualdades as demais se seguem dela usando A A e F F Ora v N A Av 0 u Av 0 qqs u E Au v 0 qqs u E v Im A Corolário 1 A fim de que o sistema de m equações lineares com n incógnitas j1n aij xj bi i1m possua solução é necessário e suficiente que o vetor b b1bm ℝm seja perpendicular a toda solução y y₁ym do sistema homogêneo transposto j1m aji yj 0 i1n Com efeito pela última das igualdades do Teorema 114 o sistema Ax b tem solução se e somente se b é ortogonal ao núcleo de A isto é a todas as soluções y ℝm do sistema homogêneo Ay 0 O ponto do Corolário 1 é que ele permite concluir a existência de soluções sem que seja necessário exibir uma delas Corolário 2 O posto de A é igual ao posto de A Demonstracão Seja u₁uₙ E uma base ortonormal cujos primeiros m elementos u₁uₘ formam uma base ortonormal de F Começase com uma base qualquer de F estendesea a uma base de E e depois aplicase GramSchmidt Para todo vetor v E temse v α₁u₁ αₙuₙ z w onde z α₁u₁ αₘuₘ F e w αₘ₁uₘ₁ αₙuₙ F Portanto E F F Como F F 0 seguese que E F F Corolário 1 dim F dim F dim E Corolário 2 Para todo subespaço vetorial FE temse F F Com efeito seja qual for o conjunto nãovazio X E vale a inclusão X X Em particular o subespaço F está contido em F Do Corolário 1 resulta que dimF dim E dim F dim E dim E dim F dim F Logo F F Vimos na Seção 10 que a projeção ortogonal de um vetor v E sobre um subespaço F E é por definição o vetor z prFv i1m wivwiwiwi onde w1wm F é uma base ortogonal Vimos ainda que pondo w v z temos v z w com z F e w perpendicular a todos os wi i 1m logo w F Ficou no ar a questão de saber até que ponto o vetor z prFv depende da escolha da base ortogonal w1wm F A resposta é dada pelo Teorema 113 Como E F F é única a maneira de escrever um vetor v E como soma v z w de um vetor z F com um vetor w F Isto mostra que z prFv não depende da escolha dos wi Veja também o Exercício 115 De agora em diante indicaremos com a notação PF E E ou simplesmente P E E quando não houver perigo de confusão a projeção associada à decomposição E F F a qual chamaremos a projeção ortogonal sobre F 140 A Adjunta Secao 11 Com efeito se dim E n entao dim NA dim ImA n logo dim ImA n dim NA n n dim ImA dim ImA Esta prova do Corolario 2 e uma alternativa para o corolario do Teorema 112 sem o uso de matrizes Na Fig 111 os pares de retas perpendiculares representam pa res de subespacos cada um dos quais e o complemento ortogonal do outro Figura 111 Exercıcios 111 Seja A E F uma transformac ao linear entre espacos veto riais de dimensao finita munidos de produto interno Prove a Se A e sobrejetiva entao AA F F e invertıvel e AAA1 F E e uma inversa a direita de A b Se A e injetiva entao AA E E e invertıvel e AA1 A e uma inversa a esquerda de A 112 Use o exercício anterior a fim de achar uma inversa à direita para a transformação linear A ℝ³ ℝ² dada por Axyz x 2y 3z 2x y z e uma inversa à esquerda para a transformação linear B ℝ² ℝ⁴ onde Axy x 2y 2x y x 3y 4x y 113 Dada a matriz a 1 1 1 1 1 2 calcule aaᵀ e a partir daí encontre uma matriz b M32 tal que ab I₂ 114 Seja P E E uma projeção num espaço vetorial de dimensão finita munido de produto interno Prove que P também é uma projeção Dê um exemplo em que P P 115 Seja 𝒰 u₁uᵣ uma base ortonormal do subespaço F contido no espaço vetorial E dotado de produto interno Usando 𝒰 defina a aplicação P E E pondo para todo v E Pv pruv i1r vuiui Prove que P é um operador linear com ImP F NP F e P² P Obtenha assim outra demonstração de que E F F Vide Teorema 72 116 Considere no espaço vetorial Mn n o produto interno definido por ab ij aij bij se a aij e b bij Vide Exercício 1117 Mostre que o subespaço A das matrizes antisimétricas é o complemento ortogonal do subespaço S das matrizes simétricas em Mn n 117 No espaço vetorial E das funções contínuas f 11 ℝ sejam FG E os subespaços vetoriais formados pelas funções pares e pelas funções ímpares respectivamente Relativamente ao produto interno fg 11 fxgx dx em E mostre que G é o complemento ortogonal de F 118 Se os operadores lineares AB E E comutam isto é AB BA prove que A e B também comutam 119 Sejam u₁uₙ E e v₁vₘ F conjuntos de geradores nesses espaços vetoriais com produto interno Sejam ainda A E F e B F E transformações lineares tais que Aujvi ujBvi para i 1m e j 1n Prove que B A 142 A Adjunta Seção 11 1110 Dada a matriz a Mm n prove que ou o sistema ax b tem solução qualquer que seja b Mm 1 ou o sistema homogêneo transposto aᵀy 0 admite uma solução nãotrivial 1111 No espaço Mn n munido do produto interno a b traᵀb veja Exercício 1117 considere uma matriz fixa a e defina o operador linear Tₐ Mn n Mn n pondo Tₐ x ax Mostre que a adjunta de Tₐ é Tb onde b aᵀ Prove um resultado análogo para o operador Sₐ Mn n Mn n onde Sₐ x xa Obs trab trba 1112 Seja S ℝ³ ℝ³ a reflexão em torno do plano z 0 paralelamente à reta x y z Determine a adjunta S Mesma questão para a projeção P ℝ³ ℝ³ sobre o mesmo plano paralelamente à mesma reta 1113 Sejam A B E E operadores lineares num espaço vetorial de dimensão finita munido de produto interno Prove que se BA 0 então para todo v E os vetores Av e Bv são perpendiculares Em particular se AA 0 então A 0 1114 Para todo conjunto nãovazio X num espaço vetorial munido de produto interno prove que X SX subespaço vetorial gerado por X 1115 Sejam F₁ F₂ subespaços do espaço E munido de produto interno Prove que F₁ F₂ F₁ F₂ F₁ F₂ F₁ F₂ 1116 Dê mais uma demonstração de que A e A têm o mesmo posto nas seguintes linhas a afirmação é verdadeira quando A E F é injetiva ou sobrejetiva pois nestes casos A é sobrejetiva ou injetiva respectivamente Para a conclusão no caso geral use o fato de que toda transformação linear se escreve como um produto BA onde B é injetiva e A é sobretiva Exercício 629 1117 Sejam E F espaços vetoriais de dimensão finita munidos de produto interno Dadas as transformações lineares A B E F ponha A B trAB e prove que isto define um produto interno em LE F Vide Exercício 837 Se a aᵢⱼ e b bᵢⱼ são as matrizes de A e B em relação a bases ortonormais de E e F respectivamente prove que A B ᵢⱼ aᵢⱼ bᵢⱼ Secao 11 A Adjunta 143 1118 Prove que uma projec ao P E E num espaco com produto interno e ortogonal isto e NP ImP se e somente se para todo v E temse Pv v Pv 0 1119 Use o exercıcio anterior para provar que se uma projec ao P E E cumpre Pv v para todo v E entao P e ortogonal Sugestao suponha que para algum v E Pv nao fosse ortogonal a v Pv Tome w pe da perpendicular baixada de 0 sobre a reta que contem v e Pv Entao w Pv Mas todos os pontos desta reta tˆem a mesma imagem por P Logo Pv Pw e daı w Pw uma contradic ao 1120 Ache uma base para o complemento ortogonal do subespaco plano de R3 gerado pelos vetores u 3 1 2 e v 1 2 3 1121 Dado o operador A R3 R3 definido por Ax y z xyz 3x2yz 2x3y2z obtenha bases para os seguintes subespacos de R3 ImA NA ImA e NA 1122 Considere a base u v w R3 onde u 1 1 1 v 1 2 3 w 1 2 1 Determine as matrizes na base canˆonica dos funcio nais lineares u v w R3 R que formam a base dual de u v w 1123 Com a notac ao do exercıcio anterior a base u v w R3 determina um isomorfismo ψ R3 R3 que a cada funcional f R3 faz corresponder sua matriz do tipo 13 na base dada Prove que ψf a b c f au bv cw 1124 Demonstre que AB BA e A A 1125 Estabeleca uma conexao entre os Exercıcios 420 e 1015 por intermedio do Teorema 111 1126 Seja A E F uma transformac ao linear entre espacos de dimensao finita com produto interno Se dim E dim F prove que o operador AA F F nao e invertıvel mas se NA 0 entao AA E E e invertıvel Dˆe um exemplo desta situac ao com E R2 e F R3 Que se pode afirmar quando dim E dim F 1127 Num espaco vetorial E munido de produto interno sejam V v1 vn e W w1 wn bases tais que vi wj δij Cfr Exercıcio 1015 Prove que a matriz do operador linear A na base W e a transposta da matriz do operador A na base V 144 A Adjunta Seção 11 1128 Seja a uma matriz quadrada Se o traço soma dos elementos da diagonal de aᵀa é zero prove que a 0 1129 Uma matriz quadrada a chamase diagonalizável quando é semelhante a uma matriz d dᵢⱼ do tipo diagonal dᵢⱼ 0 se i j ou seja quando existe p invertível tal que p¹ a p d Prove que se a é diagonalizável então aᵀ também o é Se a matriz do operador A E E relativamente a uma base de E é diagonalizável prove que a matriz de A em relação a qualquer outra base é diagonalizável 1130 Prove que a adjunta de A E E onde Av v a b é Av v b a 1131 Seja f ℝ E a adjunta do funcional linear f E ℝ Prove que v f1 é o vetor de E que corresponde a f pelo isomorfismo do Teorema 111 Prove ainda que ff1 v² e ffw w v v w E 1132 Para toda transformação linear A E F entre espaços de dimensão finita munidos de produto interno prove que a restrição de A à imagem de A define um isomorfismo A ImA ImA Analogamente A transforma o subespaço ImA isomorficamente sobre ImA São estes isomorfismos um o inverso do outro 1133 Seja u₁ uₙ E uma base ortonormal Para todo operador linear A E E prove que ᵢ₁ⁿ A uᵢ² ᵢ₁ⁿ A uᵢ² 1134 Seja J F E a inclusão do subespaço F E isto é Jv v para todo v F Prove que JJ F F é o operador identidade de F e que o operador JJ E E é a projeção de núcleo F e imagem F Noutras palavras a adjunta J E F é esta mesma projeção porém considerada com contradomínio F 12 Subespacos Invariantes Quanto menor e a dimensao do espaco E mais facil e estudar os ope radores lineares A E E Isto e especialmente verdadeiro quando dim E 1 ou dim E 2 Por isso quando se tem um operador A E E e natural que se tente de alguma maneira decompˆolo em operadores definidos em subespacos de dimensoes menores O passo inicial nessa busca e a nocao de subespaco invariante por um operador que estudaremos nesta secao E o caso de maior ˆexito e o dos operadores autoadjuntos como veremos na secao seguinte todo operador daquele tipo se decompoe em operadores unidimensionais Outros exemplos de sucesso serao vistos nas Secoes 14 e 15 As bases serao lancadas agora Provaremos nesta sec ao Teorema 121 que dado um operador linear A E E num espaco vetorial de dimensao finita ou bem existe um vetor naonulo u E tal que Au λu ou entao existem u v E linearmente independentes tais que Au e Av sao ambos combinacoes lineares de u e v Au αu βv Av γu δv Este fato sera fundamental para o estudo de certos tipos particularmente importantes de operadores como os autoadjuntos e os ortogonais que abordaremos nas secoes seguintes Para demonstrar o Teorema 121 faremos uso do chamado Teo rema Fundamental da Algebra do qual resulta que todo polinˆomio mˆonico real se decompoe como produto de polinˆomios mˆonicos irre 146 Subespacos Invariantes Secao 12 dutıveis do primeiro e do segundo graus Lembramos que se chama mˆonico um polinˆomio no qual o coeficiente do termo de mais alto grau e igual a 1 e que um polinˆomio irredutıvel do segundo grau nao admite raiz real O teorema a ser demonstrado significa que existe em E um sub espaco vetorial de dimensao 1 ou 2 invariante por A de acordo com a seguinte definic ao Dizse que um subespaco vetorial F E e invariante pelo opera dor linear A E E quando AF F isto e quando a imagem Av de qualquer vetor v F e ainda um vetor em F Se F e um subespaco invariante do operador A E E a restric ao de A aos vetores de F define um operador que salvo quando houver perigo de confusao indicaremos com a mesma notac ao A F F Assim a existˆencia de um subespaco invariante permite o estudo de um operador mais simples por estar definido num domınio menor Exemplo 121 Os subespacos 0 e E sao invariantes por qualquer operador A E E O nucleo NA e a imagem ImA sao tambem exemplos obvios de subespacos invariantes Um subespaco F de di mensao 1 reta passando pela origem e invariante por A se e so mente se existe um numero λ tal que Av λv para todo v F Com efeito fixando um vetor u 0 em F todos os demais elementos de F sao da forma αu α R Como Au F temse Au λu Para qualquer outro v F vale v αu logo Av αAu αλu λαu logo Av λv com o mesmo λ Se u v E sao linearmente independen tes o subespaco F gerado por u e v plano contendo a origem e inva riante por A se e somente se Au F e Av F isto e Au αu βv e Av γu δv Um vetor v 0 em E chamase um autovetor do operador A E E quando existe λ R tal que Av λv O numero λ R por sua vez chamase um autovalor do operador A quando existe um vetor naonulo v E tal que Av λv Dizse entao que o autovalor λ corresponde ou pertence ao autovetor v e viceversa que o autovetor v tambem corresponde ou pertence ao autovalor λ Entao para todo w αv temse Aw λw Secao 12 Subespacos Invariantes 147 Achar um autovetor ou o que e equivalente um autovalor do operador A e portanto o mesmo que achar um subespaco de di mensao 1 invariante por A Analogamente dizse que o numero real λ e um autovalor da matriz a Mn n quando λ e um autovalor do operador A Rn Rn cuja matriz na base canˆonica e a Isto significa que existe um vetor x 0 em Rn tal que Ax λx ou o que e o mesmo uma matriz naonula x Mn 1 tal que ax λx Exemplo 122 Uma rotac ao R R2 R2 em torno da origem de ˆangulo diferente de 0 e 180 nao admite outros subespacos invari antes alem de 0 e R2 Por outro lado para todo α R a rotac ao A R3 R3 de ˆangulo α em torno do eixo z definida por Ax y z x cos α y sen α x sen α y cos α z tem o eixo z e o plano z 0 como subespacos invariantes Para todo z 0 o vetor v 0 0 z e um autovetor de A cujo autovalor cor respondente e 1 pois Av v Ja no caso de uma reflexao S E E em torno do subespaco F1 paralelamente a F2 vide Teorema 73 todo vetor naonulo em F1 e um autovetor de S com autovalor 1 enquanto que os vetores naonulos em F2 sao autovetores correspondentes ao autovalor 1 Finalmente se o operador A tem nucleo naotrivial entao todo vetor naonulo v NA e um autovetor pois Av 0 v Exemplo 123 O operador A R2 R2 definido por Ax y x αy y chamase cisalhamento Se α 0 os unicos subespacos invariantes por A sao 0 R2 e o eixo das abcissas Com efeito qual quer outro subespaco de R2 e uma reta F formada pelos multiplos tv ta tb de um vetor v a b com b 0 Se t 0 temse tv F mas Atv ta αtb tb tv αtb 0 F logo F nao e invariante por A Dados o polinˆomio px a0 a1x anxn e o operador A E E a notac ao pA indica o operador pA a0I a1A anAn Lema Para todo operador linear A E E num espaco vetorial de dimensao finita existem um polinˆomio mˆonico irredutıvel p de grau 1 ou 2 e um vetor naonulo v E tais que pA v 0 148 Subespacos Invariantes Secao 12 Demonstrac ao Seja n dim E Como dim LE n2 os n2 1 operadores I A An2 sao linearmente dependentes Por tanto existem numeros reais αo αn2 nao todos nulos tais que αoIα1A αn2An2 0 Seja αm o coeficiente naonulo de maior ındice nesta expressao Dividindoa por αm obtemos um polinˆomio mˆonico px βo β1x βm1xm1 xm tal que pA 0 Sabemos que existe uma fatorac ao px p1x p2x pkx onde cada pi e um polinˆomio mˆonico irredutıvel de grau 1 ou 2 Temos p1A p2A pkA 0 Logo pelo menos um dos operadores piA nao e invertıvel Assim existe um vetor naonulo v E tal que piA v 0 Teorema 121 Todo operador linear num espaco vetorial de di mensao finita possui um subespaco invariante de dimensao 1 ou 2 Demonstrac ao Dado A E E sejam p o polinˆomio e v E o vetor naonulo dados pelo lema com pA v 0 Se px x λ entao Av λv 0 donde Av λv logo a reta que passa pela origem e contem v e um subespaco invariante por A de dimensao 1 Se p tem grau 2 px x2 ax b entao A2v aAv bv pA v 0 logo AAv aAv bv Isto mostra que o subespaco gerado por v e Av e invariante por A Alem disso v e Av sao LI pois se tivessemos Av λv entao 0 A2v aAv bv λ2v aλv bv λ2 aλ bv donde λ2 aλ b 0 uma contradic ao pois px x2 ax b nao tem raiz real Logo o subespaco invariante gerado por v e Av tem dimensao 2 Um operador linear num espaco vetorial de dimensao n admite no maximo n autovalores distintos Isto e consequˆencia do Teorema 122 A autovalores diferentes do mesmo operador corres pondem autovetores linearmente independentes Demonstrac ao Dado o operador linear A E E sejam v1 vm vetores naonulos em E tais que Av1 λ1v1 Avm λmvm onde os numeros reais λ1 λm sao dois a dois diferentes Provaremos por induc ao que esses vetores sao LI A afirmac ao e obvia quando m 1 Supondoa verdadeira para m 1 vetores inferiremos daı Secao 12 Subespacos Invariantes 149 sua validez para m Dada a combinac ao linear nula α1v1 αmvm 0 aplicamos o operador A a ambos os membros desta igualdade le vando em conta que Avi λivi Resulta entao que λ1α1v1 λmαmvm 0 Multiplicando a igualdade por λm e subtraindo de vem λ1 λmα1v1 λm1 λmαm1vm1 0 Pela hipotese de induc ao os vetores v1 vm1 sao LI Logo λ1 λmα1 λm1 λmαm1 0 Como os autovalores sao todos diferentes as m 1 diferencas nos parˆenteses acima sao 0 logo α1 αm1 0 Isto reduz a igualdade a αmvm 0 Como vm 0 seguese que αm 0 Assim a igualdade so pode ocorrer quando todos os coeficientes αi sao nulos o que prova o teorema Corolario Seja dim E n Se um operador linear A E E possui n autovalores diferentes entao existe uma base v1 vn E em relacao a qual a matriz de A e diagonal isto e tem a forma aij com aij 0 se i j Com efeito se Av1 λ1v1 Avn λnvn com os vi naonulos e os λi dois a dois distintos entao v1 vn e em virtude do Teorema 122 uma base de E A matriz de A nesta base e λ1 λ2 λn na qual os termos que nao aparecem sao iguais a zero A igualdade Av λv equivale a A λIv 0 logo v e um autovetor do operador A E E se e somente se e um elemento naonulo do nucleo NA λI Noutras palavras a fim de que λ 150 Subespaços Invariantes Seção 12 seja um autovalor de A é necessário e suficiente que o operador A λI E E não possua inverso Exemplo 124 Um caso particular importante ocorre quando dim E 2 Vimos no Exemplo 26 que se u v E é uma base então os vetores αu βv e γu δv são linearmente dependentes se e somente se αδ βγ 0 Dados o operador A E E e a base u v E sejam Au au cv e Av bu dv Noutras palavras a matriz do operador A na base u v é a b c d Então A λIu a λu cv e A λIv bu d λv A fim de que A λI não seja invertível é necessário e suficiente que os vetores A λIu e A λIv sejam LD ou seja que a λd λ bc 0 ou ainda que λ seja raiz do polinômio pλ λ² a dλ ad bc chamado o polinômio característico do operador A Portanto o número real λ é um autovalor do operador A E E onde dim E 2 se e somente se é uma raiz do polinômio característico do operador A o qual por definição é pλ λ² a dλ ad bc Os coeficientes de pλ são tirados da matriz de A em relação a uma base qualquer de E Observação A matriz do operador A muda quando se passa de uma base para outra Mas o polinômio pλ isto é as expressões a d e ad bc que são seus coeficientes permanece isto é permanecem sem alteração Isto será provado na Seção 20 No presente caso dim E 2 é claro que a d traço de A logo independe da base escolhida Quanto ao coeficiente ad bc o determinante da matriz a a b c d vide o Exercício 127 Exemplo 125 No caso da rotação R ℝ² ℝ² Rx y x cos θ y sen θ x sen θ y cos θ temos a cos θ b sen θ c sen θ d cos θ logo o polinômio característico de R é pλ λ² 2 cos θλ 1 152 Subespacos Invariantes Secao 12 com a Mr r b Mr n r 0 Mn r r e c Mn r n r 122 Enuncie e prove um resultado analogo ao do exercıcio anterior supondo que E F G onde F e G sao invariantes pelo operador A 123 Dˆe exemplo de um operador linear A R3 R3 que admite um subespaco invariante F R3 com a seguinte propriedade nenhum subespaco G R3 tal que R3 F G e invariante por A 124 Dado o vetor naonulo a R3 determine os subespacos de R3 invariantes pelo operador A R3 R3 definido por Av a v produto vetorial veja Exercıcio 1027 125 Sejam A B E E operadores lineares Se AB BA prove que NB e ImB sao subespacos invariantes por A 126 Dado o operador linear A E E e o polinˆomio px prove que os subespacos vetoriais NpA e ImpA sao invariantes por A 127 Um operador A E E chamase normal quando AA AA Prove que se A e normal entao para todo v E temse Av Av e conclua daı que todo autovetor de A e tambem autovetor de A com o mesmo autovalor Sugestao se A e normal AλI tambem e 128 Se o operador A e normal prove que NA ImA 129 Seja P R3 R3 uma projec ao de posto 2 Prove que os unicos subespacos de R3 invariantes por P estao contidos na imagem ou contˆem o nucleo de P E se o posto de P for igual a 1 1210 Mostre que os subespacos vetoriais de CR R gerados por cada um dos conjuntos abaixo sao invariantes pelo operador de de rivac ao D CR R CR R a cos x sen x b ex xex x2ex 1211 Se F R3 e um subespaco de dimensao 2 invariante pelo operador linear A R3 R3 e A nao possui autovetores em F prove que nenhum subespaco de dimensao 2 alem de F e invariante por A 1212 Dado o operador linear A E E num espaco vetorial de dimensao 3 prove que existe uma base de E relativamente a qual a 154 Subespacos Invariantes Secao 12 1220 Dado o operador linear A E E suponha que E F1 F2 onde Av1 λ1v1 se v1 F1 e Av2 λ2v2 se v2 F2 com λ1 λ2 Prove que λ1 e λ2 sao os unicos autovalores de A e que os autovetores de A estao em F1 ou em F2 1221 Seja A Rn Rn o operador linear cuja matriz na base canˆonica tem todos os elementos iguais a 1 Prove que o posto de A e igual a 1 e que Rn NA ImA Conclua que os autovalores de A sao 0 e n e que seus autovetores pertencem a NA ou a ImA Exiba uma base de Rn na qual a matriz de A tem n2 1 zeros 1222 Se todo vetor naonulo de E for um autovetor do operador linear A E E prove que A λI 1223 Para todo autovalor λ do operador linear A E E seja Eλ v E Av λv Prove que Eλ e um subespaco vetorial de E invariante por A Eλ chamase autosubespaco correspondente ao autovalor λ 1224 Prove que um subespaco que contem o nucleo de uma proje c ao e invariante por essa projec ao 1225 Se AB BA prove que a imagem por B de um subespaco invariante por A e ainda invariante por A 1226 Seja A E E um operador linear tal que A2 possui algum autovalor 0 Prove que A possui autovetor Dˆe um exemplo em que A2 possui autovetor mas A nao possui 1227 Se os autovetores do operador linear A E E geram o espaco E e alem disso os subespacos invariantes por A sao tambem invari antes por B prove que AB BA 1228 Seja dim E n Se o operador linear A E E possui n autovalores distintos prove que existem no espaco E exatamente 2n subespacos invariantes por A 1229 Seja A E E um operador no espaco vetorial E de dimensao finita onde E F1 Fk e cada Fi e invariante por A Tome uma base V E que seja uma uniao de bases dos Fi Determine a forma da matriz de A na base V 13 Operadores AutoAdjuntos O Teorema Espectral para operadores autoadjuntos a ser provado nesta secao e um dos resultados mais relevantes da Algebra Linear Serao tambem demonstradas algumas de suas consequˆencias entre as quais se destaca o Teorema dos Valores Singulares Um operador linear A E E num espaco vetorial munido de produto interno chamase autoadjunto quando A A ou seja quando Au v u Av para quaisquer u v E Se A B E E sao operadores autoadjuntos e α R entao A B A B A B e αA αA αA logo A B e αA sao autoadjuntos O produto AB dos operadores autoadjuntos A B e autoadjunto se e somente se A e B comutam isto e AB BA Com efeito sendo A e B autoadjuntos temos AB BA BA Logo AB e autoadjunto se e somente se BA AB Exemplo 131 Sejam A B R2 R2 os operadores lineares defi nidos por Ax y x 2y e Bx y y x Para todo v x y temse e1 Av Ae1 v e1 v x e2 Av Ae2 v 2e2 v 2y Secao 13 Operadores AutoAdjuntos 159 Teorema 134 Se λ1 λm sao autovalores dois a dois diferentes do operador autoadjunto A E E os autovetores correspondentes v1 vm sao dois a dois ortogonais Demonstrac ao Para i j quaisquer λi λj vi vj λivi vj vi λjvj Avi vj vi Avj Avi vj Avi vj 0 pois A e autoadjunto Como λi λj 0 de λi λj vi vj 0 resulta vi vj 0 Observac ao Se Av λv entao para todo multiplo w αv tem se ainda Aw λw Logo na situac ao do Teorema 134 os vetores v1 vm podem ser tomados unitarios caso haja conveniˆencia Um problema importante sobre operadores num espaco vetorial de dimensao finita e o de encontrar uma base em relac ao a qual a matriz desse operador seja a mais simples possıvel Mostrare mos nesta sec ao que se A E E e um operador autoadjunto num espaco vetorial de dimensao finita com produto interno existe uma base ortonormal em E relativamente a qual a matriz de A e uma matriz diagonal a aij isto e aij 0 se i j Este e o conteudo do Teorema Espectral Existe um tipo de operador autoadjunto para o qual o Teorema Espectral e imediato se P E E e a projec ao ortogonal sobre o subespaco F tomando uma base ortonormal u1 un E cujos primeiros vetores u1 um formem uma base de F portanto os n m ultimos formam uma base de F a matriz de P nesta base tem a forma diagonal vista no Exemplo 133 Quando se diz que a matriz do operador A E E na base u1 un E e uma matriz diagonal isto significa que para todo j 1 n temse Auj λjuj ou seja que os vetores da base dada sao todos eles autovetores de A No caso da projec ao ortogonal sobre o subespaco F temse Puj uj para j 1 m e Puj 0 se j m 1 n Assim a base ortonormal acima fixada e de fato formada por autovetores de P Os autovalores sao 1 e 0 Comecamos com o caso particular do Teorema Espectral em que espaco tem dimensao 2 160 Operadores AutoAdjuntos Secao 13 Teorema 135 Seja A E E um operador autoadjunto num espaco vetorial de dimensao 2 munido de produto interno Existe uma base ortonormal u1 u2 E formada por autovetores de A Demonstrac ao Seja v w E uma base ortonormal arbitraria Em virtude do Teorema 131 temos Av av bw Aw bv cw Como vimos antes no Exemplo 124 os autovalores de A sao as raızes reais do polinˆomio caracterıstico pλ λ2 a cλ ac b2 O discriminante deste trinˆomio e a c2 4ac b2 a c2 4b2 0 Se 0 entao b 0 a c e A aI logo todo vetor naonulo em E e um autovetor Se 0 entao o trinˆomio pλ possui 2 raızes reais distintas λ1 λ2 Isto como sabemos quer dizer que os operadores A λ1I e A λ2I sao ambos nao invertıveis logo existem vetores naonulos que podemos supor unitarios u1 u2 E tais que A λ1Iu1 0 e A λ2Iu2 0 ou seja Au1 λ1u1 e Au2 λ2u2 Pelo Teorema 134 u1 u2 E e uma base ortonormal de autovetores de A Corolario Todo operador autoadjunto A E E num espaco veto rial de dimensao finita com produto interno possui um autovetor Com efeito pelo Teorema 121 existe um subespaco F E de dimensao 1 ou 2 invariante por A Se dim F 1 todo vetor naonulo v F e um autovetor de A Se dim F 2 entao aplicando o Teorema 135 a restric ao A F F de A ao subespaco invariante F obtemos um autovetor v F Teorema 136 Teorema Espectral Para todo operador auto adjunto A E E num espaco vetorial de dimensao finita munido de produto interno existe uma base ortonormal u1 un E for mada por autovetores de A Demonstrac ao Usaremos induc ao na dimensao de E O teorema e evidente se dim E 1 Supondoo verdadeiro em dimensao n 1 seja dim E n Pelo Corolario do Teorema 135 existe um au tovetor unitario un portanto um subespaco F E de dimensao 1 invariante por A Pelo Teorema 132 o complemento ortogonal F tambem e invariante por A Como dim F n 1 a hi potese de induc ao assegura a existˆencia de uma base ortonormal u1 un1 F formada por autovetores da restric ao A F F Seguese que u1 un1 un E e uma base ortonormal for mada por autovetores de A Secao 13 Operadores AutoAdjuntos 161 Observac ao Vale a recıproca do Teorema Espectral se existe uma base ortonormal u1 un E formada por autovetores do opera dor A E E entao este operador e autoadjunto Com efeito para quaisquer i j 1 n temse Aui uj λiui uj λiδij λjδij ui λjuj ui Auj e daı resulta que Au v u Av para quaisquer u v E Diremos que o operador linear A E E e naonegativo e escre veremos A 0 quando A for autoadjunto e alem disso Av v 0 para todo v E No caso particular em que Av v 0 para todo v 0 diremos que A e um operador positivo e escreveremos A 0 Teorema 137 Um operador autoadjunto A E E e naonegativo se e somente se seus autovalores sao todos 0 A e positivo se e somente se todos os seus autovalores sao numeros positivos Demonstrac ao Se A 0 e Av λv com v 0 entao λ v v λv v Av v 0 portanto λ 0 Reciprocamente se os autovalores de A sao 0 seja u1 un E uma base ortonormal formada por autovetores a qual existe pelo Teorema Espectral com Aui λiui Para todo vetor v E temse v α1u1 αnun logo Av v ΣαiAui Σαjuj Σαiλiui Σαjuj Σλiα2 i Como λi 0 para i 1 n seguese que Av v 0 portanto A 0 A afirmac ao sobre operadores positivos se prova da mesma maneira Corolario 1 Seja A 0 Se para um certo v E vale Av v 0 entao Av 0 Com efeito sejam λ1 λk os autovalores naonulos de A Entao pondo v α1u1 αnun resulta que Av λ1α1u1 λkαkuk donde 0 Av v λ1α2 1 λkα2 k Como λ1 0 λk 0 seguese que α1 αk 0 portanto Av 0 Secao 13 Operadores AutoAdjuntos 165 Observac ao 2 Somente operadores naonegativos possuem raiz quadrada autoadjunta pois resulta imediatamente da definic ao de A que o quadrado de um operador autoadjunto e naonegativo Entretanto o quadrado de um operador de outro tipo pode ser um operador autoadjunto negativo Por exemplo a rotac ao de 90 no plano tem quadrado igual a rotac ao de 180 que e igual a I Alem disso um operador positivo pode ter uma raiz quadrada que nao e autoadjunta Por exemplo o operador A R2 R2 definido por Ax y 2xy 3x2y e uma raiz quadrada da identade IR2 como se pode ver sem dificuldade Exemplos gerais de operadores naonegativos sao dados pelo te orema seguinte Teorema 139 Seja A E F uma transformacao linear entre espacos vetoriais de dimensao finita munidos de produto interno Os operadores AA E E e AA F F sao naonegativos e tˆem am bos o mesmo posto de A e de A Em particular sao positivos se e somente se A e invertıvel Demonstrac ao Como AA AA AA vemos que AA e autoadjunto e semelhantemente AA tambem Alem disso para todo v E temse AAv v Av Av Av2 0 logo AA 0 Da mesma forma se vˆe que AA 0 Para determinar o posto de AA mostraremos inicialmente que NAA NA A inclusao NA NAA e obvia pois NA NBA seja qual for B F E Por outro lado v NAA AAv 0 Av NA ImA Av ImA ImA logo v NAA Av 0 ou seja NAA NA que e a inclusao restante Em seguida observemos que pelo Teorema do Nucleo e da Imagem posto de AA dim E dim NAA dim E dim NA posto de A A afirmac ao analoga sobre AA se prova do mesmo modo Secao 13 Operadores AutoAdjuntos 167 Assim os vetores Au1 Aur sao dois a dois ortogonais e nao nulos pois Aui2 σ2 iui2 logo Aui σi Na realidade a prova do Teorema 139 mostra que NA NAA portanto Auj 0 se r 1 j n Podemos entao escrever para i 1 r Aui σivi onde v1 vr F e um conjunto ortonormal de fato uma base ortonormal de ImA a qual pode ser completada a uma base ortonormal v1 vm F onde vr1 vm e uma base ortonormal de NA Temse Avi 0 se i r e para i 1 r Avi 1 σi AAui 1 σi σ2 iui σiui Os numeros positivos σ1 σr chamamse os valores singulares da transformac ao linear A E F de posto r No teorema acima podemos observar que v1 vm F e uma base ortonormal de autovetores para o operador AA F F pois AAvi Aσiui σiAui σ2 ivi Analogamente u1 un E e uma base ortonormal de autoveto res do operador AA E E Vemos ainda que u1 ur e uma base ortonormal de ImA enquanto o conjunto ortonormal v1 vr e uma base para ImA Ao mesmo tempo ur1 un NA e vr1 vm NA sao bases desde que nao sejam vazios Exercıcios Em todos os exercıcios desta sec ao E e um espaco vetorial de di mensao finita munido de produto interno 131 Prove que duas projecoes P Q E E sao iguais se e somente se tˆem os mesmos autovetores com os mesmos autovalores Con clua que uma projec ao P E E e autoadjunta portanto ImP NP se e somente se e normal Veja Exerc 127 132 Sejam A B E E operadores autoadjuntos tais que Av v Bv v para todo v E Prove que A B 168 Operadores AutoAdjuntos Secao 13 133 Se B e invertıvel e BAB e autoadjunto prove que A e auto adjunto 134 Sejam P uma projec ao ortogonal e α 0 Exprima a raiz quadrada positiva de I αP em termos de P 135 Seja A autoadjunto Prove que Akv 0 implica Av 0 136 Assinale se cada um dos seguintes subconjuntos do espaco vetorial LE e um subespaco vetorial S um cone C um cone con vexo CC operadores normais Veja Exerc 127 operadores autoadjuntos operadores naonegativos homotetias 137 Sejam S T LE involucoes autoadjuntas Prove que ST e uma involuc ao autoadjunta se e somente se ST TS 138 Dados os vetores v 2 1 2 e w 3 6 6 determine o operador autoadjunto A R3 R3 tal que Av 1 1 13 e Aw 3 21 33 sabendo que o traco de A e 5 139 Dados os vetores u 4 4 2 v 4 2 4 e w 1 2 2 seja A R3 R3 o operador linear tal que Au 10 2 2 Av 2 10 2 e Aw 1 1 5 Prove que A e autoadjunto 1310 Dado o subespaco F E considere as transformacoes lineares P E F e J F E onde P e a projec ao ortogonal de nucleo F e Jv v para todo v F J chamase a inclusao de F em E Determine as adjuntas P F E e J E F 1311 Seja A E E o operador de posto 1 definido por Av v a b E e um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e a b E sao vetores naonulos Prove que A e autoadjunto se e somente se b e multiplo de a Alem disso A e naonegativo se e somente se podese tomar b a Dada uma base ortonormal em E determine a matriz de A em func ao das coordenadas de a e b nessa base Veja Exercıcio 1032 Secao 13 Operadores AutoAdjuntos 169 1312 Se AA A prove que os autovalores de A pertencem ao conjunto 0 1 Dˆe exemplo de uma matriz a M2 2 tal que a11 1 3 e aTa a Quantas dessas matrizes existem 1313 Seja A E E autoadjunto Para todo k N ımpar mostre que existe um unico operador autoadjunto X E E tal que Xk A Se k e par existe X autoadjunto com Xk A se e somente se A 0 Neste caso X pode ser escolhido 0 e entao e unico 1314 Assinale Verdadeiro ou Falso Se todos os elementos de uma matriz simetrica sao numeros positivos entao essa matriz e naonegativa O produto de operadores naonegativos e um operador naone gativo Um operador naonegativo e positivo ou e zero Uma matriz do tipo ai bj e naonegativa se e somente se ai bi para todo i O posto de uma matriz naonegativa n n pode ser qualquer numero de 1 a n O inverso de um operador autoadjunto invertıvel tambem e autoadjunto Se existirem u v R3 naonulos com Au 2u Av 3v entao existe uma base de autovetores para o operador linear A R3 R3 Sejam e produtos internos definidos em R2 Se um operador A e autoadjunto relativamente a entao A tam bem e autoadjunto em relac ao a 1315 Se o espaco vetorial E possui uma base formada por autove tores do operador A E E prove que e possıvel definir em E um produto interno em relac ao ao qual A e autoadjunto 1316 Num espaco vetorial E de dimensao finita seja A um opera dor diagonalizavel ou seja E possui uma base formada por autove tores de A Se F E e um subespaco invariante por A prove que 170 Operadores AutoAdjuntos Secao 13 a restric ao de A ao subespaco F e um operador diagonalizavel em F Sugestao use o exercıcio anterior 1317 Seja A E E um operador diagonalizavel Se o subespaco F1 E e invariante por A prove que existe um subespaco F2 E tambem invariante por A tal que E F1 F2 1318 Se os operadores A B E E sao autoadjuntos prove que AB BA e autoadjunto Que se pode dizer sobre AB BA 1319 Se A E E e autoadjunto prove que para todo B LE o operador BAB tambem e autoadjunto Se A 0 prove que BAB 0 Se A 0 e B e invertıvel prove que BAB 0 1320 Se dois operadores autoadjuntos A B E E comutam prove que o espaco E possui uma base ortonormal formada por auto vetores comuns a A e B Prove tambem a recıproca 1321 Assinale Verdadeiro ou Falso O conjunto dos operadores positivos e um cone convexo no es paco vetorial LE O conjunto dos operadores naonegativos e um subespaco veto rial de LE Os elementos da diagonal de uma matriz positiva sao numeros positivos Se A e autoadjunto e B e invertıvel entao B1AB e autoadjunto Existe uma matriz positiva 2 2 com dois elementos negativos e dois positivos Se A Rn Rn e um operador invertıvel qualquer alguma base ortogonal de Rn e transformada por A numa base ortogo nal Se o operador A e autoadjunto entao o traco de A e igual a soma dos seus autovalores 1322 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno Um subconjunto Σ E chamase um elipsoide quando Secao 13 Operadores AutoAdjuntos 171 existem uma base ortonormal u1 un E e numeros positivos a1 an tais que Σ e o conjunto dos vetores v x1u1 xnun cujas coordenadas xi satisfazem a equac ao a1x2 1 anx2 n 1 Seja A E E um operador invertıvel Prove que todo elipsoide Σ e transformado por A num elipsoide Σ Sugestao use o Teorema 1310 1323 Seja Σ um subconjunto de um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno Prove que Σ e um elipsoide se e somente se existe um operador positivo A E E tal que Σ v E Av v 1 1324 Num espaco vetorial E de dimensao finita com produto in terno u v seja B um operador positivo Prove que u v Bu v define um novo produto interno em E Se A E E e autoadjunto no sentido do produto interno original prove que A e tambem auto adjunto no sentido do novo produto interno se e somente se AB BA 1325 Sejam A E E autoadjunto e B E E positivo Prove a Se X e a raiz quadrada positiva de B entao XAX e autoadjunto b v e autovetor de XAX se e somente se Xv e autovetor de BA c E possui uma base nao necessariamente ortogonal de autove tores de BA Ou seja BA e diagonalizavel 1326 Se A E E e autoadjunto e B E E e positivo prove que E possui uma base V tal que para todo v V existe λ R com Av λBv Problema de autovalores generalizados 1327 Sejam A B operadores autoadjuntos no mesmo espaco veto rial Se BA e diagonalizavel prove que AB tambem e diagonalizavel Veja Exercıcio 1235 1328 Dada a transformac ao linear A E F entre espacos veto riais de dimensao finita munidos de produto interno seja σ2 o maior autovalor do operador AA E E σ 0 Prove que σ e o maior dos numeros Au onde u e qualquer vetor unitario em E Escreve se A σ maxAu u E u 1 e dizse que A e a norma 14 Operadores Ortogonais Sob o ponto de vista da organizacao geral da Matematica os opera dores ortogonais sao os automorfismos da estrutura de espaco veto rial com produto interno ou seja sao as simetrias dessa estrutura Do ponto de vista mais pedestre em que nos colocamos os operadores ortogonais sao aqueles para os quais se podem obter as matrizes mais simples depois dos autoadjuntos Eles possuem as propriedades geometricas mais marcantes muitas das quais lhes sao exclusivas Vide Teorema 141 Nesta secao consideramos mais geralmente as transformacoes lineares ortogonais de um espaco noutro e as matri zes ortogonais naoquadradas Obtemos a forma mais simples que pode assumir a matriz de um operador ortogonal e concluımos de monstrando que todo operador e o produto de um nao negativo por um ortogonal forma polar Nesta sec ao estenderemos para espacos vetoriais com produto interno a noc ao de congruˆencia entre figuras da Geometria Elemen tar Lembramos que uma congruˆencia entre duas figuras X Y e uma bijec ao f X Y que preserva distˆancias isto e tal que dfx fx dx x para quaisquer x x X Notese que embora nao garanta a sobrejetividade a propriedade de preservar distˆancias ja assegura que f e injetiva pois fx fx dx x dfx fx 0 x x Secao 14 Operadores Ortogonais 179 logo Au u e 8 1 Observac ao O Teorema 141 confirma o dito enunciado longo demonstrac ao facil Dito valido com a mesma precisao e generali dade com que costumam valer os proverbios Uma transformac ao linear A E F chamase ortogonal quando cumpre uma das oito condicoes do Teorema 141 e portanto todas elas Em particular um operador linear A E E chamase orto gonal quando A A1 Para que o operador linear A E E seja ortogonal e suficiente que AA IE ou entao que AA IE De Av v resulta que os unicos autovalores possıveis para um operador ortogonal A E E sao 1 e 1 Com efeito Av λv com v 0 implica v Av λv λ v logo λ 1 Se u e v sao autovetores do operador ortogonal A com Au u e Av v entao u v 0 Com efeito u v Au Av AAu v u v u v Teorema 142 Se o operador ortogonal A E E deixa invariante o subespaco F E entao A deixa invariante o complemento ortogo nal F Demonstrac ao Dado arbitrariamente w F queremos provar que Aw F isto e que Aw v 0 para todo v F Ora a restric ao de A ao subespaco invariante F e um operador injetivo A F F logo sobrejetivo Assim dado v F existe u F tal que v Au Logo Aw v Aw Au w u 0 pois w F e u F Observac ao Parte do argumento acima mostra que se o operador A E E e invertıvel e F E e invariante por A entao F e invariante por A1 Exemplo 144 Uma operador linear S E E que e ao mesmo tempo ortogonal e autoadjunto cumpre SS I e S S logo SS I Portanto ortogonal autoadjunto involuc ao Pelo Te orema 73 temse E F1 F2 onde F1 v E Sv v e F2 v E Sv v Assim os elementos naonulos de F1 e F2 sao os autoveto res de S correspondentes aos autovalores 1 e 1 respectivamente Da observac ao que precede o Teorema 142 resulta que F2 F1 Juntandose uma base ortonormal de F1 com uma base ortonormal 182 Operadores Ortogonais Secao 14 base ortonormal de E relativamente a qual a matriz de A tem a forma 1 1 1 1 cos α1 sen α1 sen α1 cos α1 cos αk sen αk sen αk cos αk onde os termos nao aludidos sao iguais a zero Demonstrac ao Os conjuntos F1 v E Av v e F2 v E Av v sao subespacos vetoriais invariantes por A com F1 F2 0 Logo F F1 F2 tambem e um subespaco invariante por A o mesmo acontecendo com o complemento ortogonal F Seja u1 ur F uma base ortonormal cujos primeiros vetores for mam uma base de F1 e os restantes uma base de F2 Nenhum su bespaco de dimensao 1 em F e invariante por A logo existe um subespaco invariante G F de dimensao 2 Seja v1 w1 G uma base ortonormal Como vimos acima temse Av1 cos α1 v1 sen α1 w1 Aw1 sen α1 v1 cos α1 w1 Novamente o com plemento ortogonal de G em F e um subespaco invariante por A que nao possui autovetores logo contem um subespaco invariante de dimensao 2 Prosseguindo analogamente chegaremos a uma base ortonormal v1 w1 vk wk F tal que Avi cos αivi sen αivi e Awi sen αivi cos αiwi para i 1 k Entao u1 ur v1 w1 vk wk E e uma base ortonormal relativa mente a qual a matriz de A tem a forma desejada Observac ao A matriz a que se refere o Teorema 143 pode nao possuir elementos iguais a 1 ou a 1 como pode tambem nao conter nenhum dos blocos 22 caracterısticos de rotacoes Alem disso caso seja conveniente cada bloco igual a I2 ou a I2 pode ser substituıdo 184 Operadores Ortogonais Secao 14 complexo Os fatores P e U sao univocamente determinados a partir de A no caso em que A e invertıvel Provemos isto E claro que A invertıvel obriga P a ser tambem invertıvel donde positivo De A PU tiramos A UP e multiplicando membro a membro estas igualdades vem AA PUUP P2 portanto P e a raiz quadrada positiva do operador positivo AA Vide Teorema 138 Multipli cando a igualdade A PU por P1 a esquerda vem U P1A Isto mostra que no caso em que A e invertıvel P AA e U P1A sao univocamente determinados a partir da igualdade A PU Exercıcios 141 Prove que as linhas de uma matriz a sao duas a duas orto gonais se e somente se aaT d onde d e uma matriz diagonal Enuncie e prove um resultado analogo sobre a ortogonalidade das colunas de a 142 Se as linhas de uma matriz quadrada forem duas a duas orto gonais e tiverem a mesma norma prove que as colunas dessa matriz tambem sao duas a duas ortogonais 143 Dˆe os seguintes exemplos a Uma matriz invertıvel cujas linhas sao duas a duas ortogonais mas as colunas nao sao b Uma matriz naoquadrada cujas linhas sao ortogonais e tˆem a mesma norma mas as colunas nao sao ortogonais c Uma matriz cujas linhas e colunas sao duas a duas ortogonais mas as normas das linhas sao diferentes 144 Seja f Rn Rn uma func ao tal que f0 0 e fu fv u v para quaisquer u v Rn Ou seja f deixa 0 fixo e preserva distˆancias Prove a Para todo v Rn temse fv v b Para quaisquer u v Rn temse fu fv u v Use a igualdade u v 1 2u2 v2 u v2 Secao 14 Operadores Ortogonais 185 c Os vetores u1 fe1 un fen formam uma base orto normal em Rn d Para todo v x1e1 xnen Rn temse fv ui xi logo fv x1u1 xnun e f Rn Rn e um operador linear logo e ortogonal Uma func ao g Rn Rn chamase uma isometria quando gu gv u v para quaisquer u v Rn Conclua que toda isometria tem a forma gv Avb onde A Rn Rn e um operador linear ortogonal e b Rn e um vetor constante independente de v 145 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno Se Ao F E e uma transformac ao linear ortogonal defi nida num subespaco vetorial F E prove que existe um operador ortogonal A E E tal que A v Ao v para todo v F 146 Sejam A F G e B F H transformacoes lineares in vertıveis G e H sao espacos de dimensao finita munidos de produto interno Prove que existe uma transformac ao ortogonal invertıvel C G H com B CA se e somente se Av Bv para todo v F 147 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno Dados dois operadores A B E E tais que Av Bv para todo v E prove que existe C E E ortogonal com B CA Sugestao observe que NA NB Considere F NA e sejam Ao F ImA Bo F ImB os isomorfismos obtidos por restric ao de A e B respectivamente Use o exercıcio anterior para achar Co ImA ImB com Bo CoAo e obtenha C pelo Exercıcio 145 148 Dada uma base ortonormal u1 u2 u3 R3 sejam n p N tais que p n2 n 1 Defina um operador A R3 R3 pondo Au1 v1 Au2 v2 Au3 v3 onde v1 1 pnu1 n 1u2 nn 1u3 v2 1 pnn 1u1 nu2 n 1u3 v3 1 pn 1u1 nn 1u2 nu3 186 Operadores Ortogonais Secao 14 Prove que o operador A e ortogonal 149 Para quaisquer duas bases ortonormais U u1 un E e V v1 vn E prove que existe um operador ortogonal A E E tal que Au1 v1 Aun vn Se as bases dadas sao formadas pelos vetores u1 1 31 2 2 u2 1 32 1 2 u3 1 32 2 1 e v1 1 72 3 6 v2 1 76 2 3 v3 1 73 6 2 em R3 determine a matriz de A na base canˆonica de R3 1410 Dado o vetor unitario u Rn prove que o operador Hu Rn Rn definido por Hu v v2 v u u e ortogonal Reflexao em torno de u Dados os vetores v w em Rn com v w mostre que tomando u v wv w temse Huv w Determine a matriz de Hu em func ao das coordenadas de u matriz de Householder 1411 Prove que todo operador A E E num espaco vetorial de dimensao finita munido de produto interno se escreve como A UP onde U e ortogonal e P e naonegativo Faca a decomposic ao polar de A 1412 Com a notac ao do Exercıcio 1117 considere um operador ortogonal A LE e defina MA LE LE pondo MA X AX Prove que MA e um operador ortogonal 1413 Se uma matriz ortogonal e triangular prove que ela e diago nal e seu quadrado e igual a matriz identidade 1414 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno Uma func ao S E E chamase uma semelhanca quando existe um numero r 0 chamado a razao de semelhanca tal que SuSv ruv para quaisquer u v E Se S e uma semelhanca de razao r prove que existem um operador ortogonal A E E e um vetor b E tais que Sv rAv b para todo v E 1415 Seja A E E um operador linear que transforma vetores unitarios em vetores unitarios Prove que A e ortogonal Deduza daı que se S E E e um operador linear invertıvel que transforma dois quaisquer vetores de mesmo comprimento em vetores de mesmo comprimento entao S e uma semelhanca Secao 14 Operadores Ortogonais 187 1416 Seja S E E um operador linear invertıvel que preserva ˆangulos isto e Su Sv Su Sv u v u v quando u 0 e v 0 Prove que S transforma vetores ortogonais de mesmo comprimento em vetores ortogonais de igual comprimento Conclua que S e uma semelhanca 1417 Com o produto interno introduzido no Exercıcio 1117 prove que os operadores ortogonais tˆem norma igual a n onde n dim E 1418 Se a decomposic ao polar de um operador e unica prove que esse operador e invertıvel 1419 Seja A R3 R3 dado por Ax y z 2x 3y 6z 6x 2y 3z 3x 6y 2z Mostre que A e uma semelhanca de razao 7 Sabese que ou existe v R3 com Av 7v ou existe w R3 com Aw 7w Ache um autovetor de A completeo de modo a obter uma base ortonormal de R3 e determine a matriz do operador A nesta base 1420 Seja a a1 a2 an M1 n tal que a2 1 a2 n 1 Prove que aTa Mn n e a matriz de uma projec ao ortogonal Determine a imagem e o nucleo dessa projec ao 1420 Pode uma matriz ortogonal ser antisimetrica 1421 Seja a uma matriz ortogonal n n a Prove que A Mn n Mn n definida por Ax axT xaT e uma transformac ao linear cuja imagem e o conjunto das matrizes simetricas b Prove que dada uma matriz simetrica s Mnn o conjunto das matrizes x tais que axT xaT s e uma variedade afim de dimensao nn 12 no espaco vetorial Mn n 1422 Ache uma matriz ortogonal 4 4 cujos elementos sao todos da forma 1 2 Secao 15 Operadores Normais Caso Real 193 154 Sejam u1 un as linhas e v1 vn as colunas de uma ma triz a Prove que ui uj vi vj para quaisquer i j a e normal 155 Prove que uma projec ao P E E e um operador normal se e somente se P P Resultado analogo para uma involuc ao 156 Seja A E E um operador normal Prove que NA NA e conclua que NA ImA ImA 157 Entre as matrizes abaixo determine quais sao normais a 9 3 6 3 9 6 6 6 9 b 1 2 3 3 2 2 2 3 5 c 1 0 0 0 1 2 0 2 1 158 Sejam A B E E operadores normais Supondo AB 0 prove a A imagem de B esta contida no nucleo de A b A imagem de B esta contida no nucleo de A c A imagem de A esta contida no nucleo de B Conclua entao que BA 0 159 Se A B E E sao normais e AB BA prove que AB e normal 1510 Dˆe exemplos de operadores normais A B tais que A B nao e normal e AB nao e normal Dˆe tambem um exemplo em que AB e normal mas AB BA 1511 Seja A E E um operador linear no espaco E de dimensao finita com produto interno Supondo I A e IA invertıveis defina S I AI A1 Prove que S e ortogonal se e somente se A e antisimetrico 1512 Seja o operador A R3 R3 dado por Ax y z y2z x 3z 2x 3y Escreva sua matriz na base canˆonica e veja que A e antisimetrico Por escalonamento ache um vetor u R3 que e uma base de NA Obtenha ainda uma base v w NA e escreva a matriz de A na base u v w R3 16 Pseudoinversa A nocao de pseudoinversa e o estudo de suas propriedades consti tuem uma maneira simples e atraente de aplicar alguns dos resul tados obtidos nas secoes anteriores Do ponto de vista pratico esta nocao responde uma pergunta bastante natural que ocorre de fato em diferentes aplicacoes da Algebra Linear dada A LE F e dado b F se e impossıvel achar x E tal que Ax b qual e ou melhor quais sao os vetores x E tais que o erro Ax b e o menor possıvel e qual entre esses vetores x e a solucao otima ou seja tem a menor norma Sabemos que um sistema de m equacoes lineares com n incogni tas pode ser interpretado como o problema de achar um vetor x Rn tal que Ax b onde A Rn Rm e a transformac ao linear cuja matriz nas bases canˆonicas de Rn e Rm e dada pelos coeficientes do sistema e b Rm e o vetor cujas coordenadas sao os numeros que figuram nos segundos membros das equacoes do sistema Se b nao pertence a imagem de A o sistema Ax b evidente mente nao possui soluc ao Faz sentido entretanto procurar em Rn um vetor x tal que Ax esteja o mais proximo possıvel de b e dentre esses vetores x aquele de menor norma Isto nos leva a noc ao de pseudoinversa de uma transformac ao linear Seja A E F uma transformac ao linear entre espacos vetoriais de dimensao finita munidos de produto interno A pseudoinversa 196 Pseudoinversa Secao 16 de A e a correspondˆencia A F E que associa a cada y F o vetor Ay x E de menor norma entre todos os vetores x E que tornam mınima a distˆancia y Ax Fig 161 Figura 161 Descrevamos como opera a pseudoinversa A F E Dado y F o vetor de ImA mais proximo de y e a projec ao ortogonal yo de y sobre ImA caracterizada pelo fato de que yo ImA e y yo e perpendicular a todos os vetores de ImA ou seja y yo NA Como yo ImA existem vetores x E tais que Ax yo Se x e um deles os demais sao da forma x z onde z NA pelo Teorema 64 Dentre estes vetores x z o de me nor norma e x xo onde xo e a projec ao ortogonal de x sobre NA pois sendo x xo perpendicular a NA Pitagoras nos da para todo z NA x z2 x xo z xo2 x xo2 z xo2 x xo2 pois z xo NA logo e perpendicular a x xo Portanto Ay x xo Note que sendo ortogonal a NA Ay pertence a ImA Na realidade Ay e o unico vetor da imagem de A tal que AAy yo Com efeito A restrita a ImA e injetiva visto que ImA NA 0 Esta definic ao da pseudoinversa de uma transformac ao linear A E F apresentaa como uma func ao bem definida A F E com as propriedades geometricas procuradas porem nao deixa claro se A e uma transformac ao linear Usando o Teorema 1310 apre sentaremos em seguida uma transformac ao A F E que certa mente e linear mas que usa certas bases escolhidas em E e F de Secao 16 Pseudoinversa 197 modo que nao parece estar bem definida Em seguida provaremos que A A logo A e linear e A nao depende das escolhas de bases Seja r o posto da transformac ao linear A E F Pelo Teorema 1310 existem bases ortonormais u1 un E v1 vm F e numeros positivos σ1 σr tais que Aui σivi Avi σiui para 1 i r e Aui 0 Avi 0 para i r Pelo Teorema 41 existe uma unica transformac ao linear A F E tal que Avi 1 σi ui para 1 i r e Avi 0 quando i r Teorema 161 A A pseudoinversa de A Demonstrac ao Devemos mostrar que para todo y F o vetor Ay e igual a Ay isto e tem as seguintes propriedades 1 AAy yo e o vetor de ImA mais proximo de y 2 Ay e o vetor de menor norma em E cuja imagem por A e yo Estas afirmacoes sao equiva lentes a 1 y AAy ImA ou seja y AAy NA ou ainda Ay AAAy 2 Ay ImA Evidentemente basta ve rificar a validez de 1 e 2 quando y e qualquer um dos vetores basicos v1 vm Nestes casos porem 1 e 2 resultam imedia tamente da definic ao de A Corolario 1 AA F F e a projecao ortogonal sobre ImA e AA E E e a projecao ortogonal sobre ImA Com efeito temos AAvi vi se 1 i r Avi 0 se i r A A e v1 vr ImA e uma base Analogamente para AA O Corolario 1 tambem resulta diretamente da definic ao de A Corolario 2 Se A E F e injetiva entao A AA1 A Com efeito se A e injetiva o operador AA E E e invertıvel Corolario do Teorema 139 A igualdade alegada significa que AAA A o que foi estabelecido na prova do Teorema 161 Forma final da condic ao 1 Corolario 3 Se A E F e sobrejetiva entao A AAA1 Com efeito ainda pelo Corolario do Teorema 139 A sobrejetiva implica que o operador AA F F e invertıvel e a igualdade alegada 198 Pseudoinversa Secao 16 equivale a AAA A Isto e evidente se substituirmos A por A vide prova do Teorema 161 e testarmos a igualdade em cada um dos vetores da base v1 vm F Corolario 4 Se A E F e invertıvel entao A A1 Evidente Seguese dos Corolarios 2 e 3 que se A e injetiva entao A e uma inversa a esquerda de A e se A e sobrejetiva entao A e uma inversa a direita de A Corolario 5 Para toda transformacao linear A E F temse A A E F Com efeito as bases ortonormais fornecidas pelo Teorema 1310 e usadas na definic ao de A tanto servem para A como para A Se as utilizarmos com A em vez de A obteremos A ui 1σivi se 1 i r e A ui 0 se i r 1 Mas e claro que A opera do mesmo modo sobre os vetores basicos ui Logo A A e daı segue o corolario Exemplo 161 Se A E F e ortogonal entao e injetiva logo A AA1 A Mas a ortogonalidade de A significa AA IE logo A A Exemplo 162 Seja A R2 R3 dada por Ax y x y 0 Como A e ortogonal temos A A A matriz de A tem colunas 1 0 0 e 0 1 0 logo estas sao as linhas da matriz de A portanto Ax y z x y Portanto a pseudoinversa de A e A R3 R2 dada por Ax y z x y Exemplo 163 Definamos A R2 R3 pondo Ax y x y x y Como A e injetiva sua pseudoinversa e A AA1 A As colunas da matriz de A linhas da matriz de A sao 1 0 1 e 0 1 1 logo Ax y z x z y z e daı AAx y 2x y x 2y Para determinar AA1 x y s t resolvemos o sistema AAs t x y ou seja 2st x s2t y no qual as incognitas Secao 16 Pseudoinversa 199 sao s t Encontramos s 2x y 3 e t 2y x 3 Portanto AA1 x y 1 32x y 2y x Assim para qualquer x y z R3 temos Ax y z AA1 Ax y z AA1 x z y z 1 32x y z 2y x z Exemplo 164 Seja B R3 R2 dada por Bx y z 1 32x y z x 2y z Temos as matrizes de posto 2 b 1 3 2 1 1 1 2 1 e bT 1 3 2 1 1 2 1 1 Logo B e sobrejetiva e B BBB1 Como a matriz de B e bT temos Bx y 1 32x y x 2y x y para qualquer x y R2 Seguese que BB R2 R2 e dado por BBx y 1 3B2x y x 2y x y 1 96x 3y 3x 6y 1 32x y x 2y Para determinar BB1 x y s t resolvemos o sistema BBs t x y isto e 2s t 3x s 2t 3y nas incognitas s t e encontramos s 2x y t x 2y portanto BB1x y 2x y x 2y 200 Pseudoinversa Secao 16 Isto nos da finalmente Bx y BBB1x y B2x y x 2y 1 33x 3y 3x 3y ou seja Bx y x y x y Retomando a transformac ao A do Exemplo 163 vemos que B A e constatamos que A B A A relac ao A A verificada no caso particular acima e verda deira em geral Isto pode ser visto facilmente examinando a defini c ao da transformac ao A e notando que A A Como A A o resultado segue daı Exercıcios 161 Determine a pseudoinversa de cada uma das seguintes trans formacoes lineares a A transformac ao nula 0 E F b A projec ao ortogonal P E E sobre o subespaco F c A mesma projec ao acima considerada como transformac ao li near de E sobre F d A projec ao naoortogonal P R2 R2 sobre a reta F parale lamente a reta G Descreva P geometricamente 162 Para toda transformac ao linear A E F e todo α 0 prove que α A 1 α A 163 Identifique o nucleo e a imagem da pseudoinversa de uma transformac ao linear A E F 164 Dada a transformac ao linear A E F prove que para todo w F temse AAAw Aw Secao 16 Pseudoinversa 201 165 Sejam A E F e B F G transformacoes lineares Se ImA ImB prove que BA AB 166 Dado o operador A E E prove a Se A e autoadjunto A tambem e b Se A e normal A tambem e c Se A e naonegativo A tambem e 167 Dados os vetores linearmente independentes v1 vr Rn seja a Mn r a matriz que os tem como colunas Prove que a projec ao ortogonal de um vetor qualquer x Rn sobre o subespaco gerado por v1 vr e Px aaTa1 aTx onde identificamos o vetor x Rn com a matriz x Mn 1 cuja unica coluna e x 168 Use a formula acima para determinar a projec ao ortogonal do vetor 1 2 3 sobre o plano gerado pelos vetores 1 1 1 e 1 1 1 169 Seja A Rn Rm uma transformac ao linear Prove que dado qualquer b Rm a equac ao AAx Ab sempre possui soluc ao Uma infinidade delas se AA nao e invertıvel 1610 Prove as seguintes propriedades da pseudoinversa de uma transformac ao linear A E F a AAA A b AAA A c AA AA d AA AA 1611 Seja A R2 R3 dada por Ax y x y 2x 3y Determine a pseudoinversa A R3 R2 1612 Ache a pseudoinversa da transformac ao linear A R3 R2 sabendo que Ax y z x y y z 202 Pseudoinversa Secao 16 1613 Determine a pseudoinversa de uma matriz diagonal d dij Mn n Isto significa naturalmente a matriz de D onde D Rn Rn e o operador linear cuja matriz na base canˆonica e d Considere explicitamente o caso em que a diagonal de d e 1 0 2 0 13 1614 Dada a transformac ao linear nao necessariamente injetiva A E F sejam P E E e Q F F as projecoes ortogonais sobre ImA e ImA respectivamente Interprete e demonstre a igual dade A PA1Q 1615 Defina o operador A R2 R2 pondo Ax y x y x y Determine a matriz de A R2 R2 na base canˆonica Ache o vetor v R2 de menor norma tal que Av esta o mais proximo possıvel de w 3 5 1616 Dado o vetor naonulo a E defina a transformac ao linear A R E pondo A 1 a Mostre que A E R e definida por A w a w e usando a expressao A AA1 A conclua que A E R e dada por A w a w a2 1617 Fixado o vetor naonulo b E defina B E R pondo B w b w Mostre que B BBB1 para concluir que B R E cumpre B 1 bb2 1618 Sejam A R E e B E R definidas por A 1 a B w b w onde a b E sao vetores fixados de tal modo que a b 0 Prove que as transformacoes lineares BA R R e AB R R sao dadas por BA 1 1 a b e AB 1 a b a2 b2 Conclua que em geral se tem BA AB Dˆe um exemplo con creto desta desigualdade com A R R2 e B R2 R 1619 Com a notac ao dos dois exercıcios anteriores prove que AB BA 17 Topicos Matriciais Salvo o item C e a observacao final do item G os assuntos tratados nesta secao nao serao necessarios para entender as seguintes Alguns deles sao traducoes para a linguagem das matrizes de teoremas e metodos apresentados nas secoes precedentes outros sao topicos ma triciais interessantes em si mesmos ou temas classicos do calculo ma tricial que se tˆem revelado uteis especialmente sob o ponto de vista computacional 17A Matrizes de Gram Seja E um espaco vetorial de dimensao finita munido de produto interno A matriz de Gram dos vetores v1 vk E e a matriz g gij Mkk onde gij vi vj Quando precisarmos ser mais explıcitos escreveremos g gv1 vk Dada uma base U u1 un E seja a aij Mn k a matriz das coordenadas dos vetores vj em relac ao a base U isto e vj a1ju1 anjun para j 1 k Seja ainda h hij Mn n a matriz de Gram da base U isto e hij ui uj Entao para i j 1 k temos escrevendo mij para 210 Topicos Matriciais Secao 17 para quaisquer i j 1 n Logo q ap A matriz r p1 e como vimos acima 17B triangular superior com elementos positivos na diagonal De ap q resulta imediatamente a qr Observac ao Dada a matriz invertıvel a Mn n sao unicas as matrizes q r tais que a qr q e ortogonal r e triangular superior e os elementos de sua diagonal sao positivos Com efeito a qr escrevese tambem como ap q onde p r1 Isto quer dizer que p e a matriz de passagem da base V v1 vn Rn formada pelas colunas de a para a base ortonormal U u1 un Rn dada pelas colunas de q Ora as quatro condicoes seguintes implicam que cada uj e determinado univocamente a partir de v1 vj 1 uj p1jv1 p2jv2 pjjvj 2 uj e ortogonal a v1 vj1 3 uj 1 4 pjj 0 Com efeito 1 diz que uj pertence ao subespaco F Rn gerado por v1 vj 2 diz que uj pertence a reta R complemento ortogonal de v1 vj1 no subespaco F Ja 3 restringe uj a ser um dos 2 vetores unitarios da reta R E finalmente 4 diz que uj e o vetor unitario de R tal que uj vj e positivo A condic ao 1 diz que a matriz p e triangular superior 2 e 3 di zem que a matriz q e ortogonal enquanto 4 afirma que os elementos da diagonal de p sao positivos Juntas elas garantem a unicidade de q e portanto a unicidade de p a1q A observac ao acima estabelece tambem a unicidade do processo de GramSchmidt sob a condic ao de que cada uj pertenca ao sub espaco gerado por v1 vj e cumpra uj vj 0 alem natural mente de serem u1 uj ortonormais Em resumo a igualdade a qr significa que as colunas de q formam a base ortonormal de Rn obtida das colunas de a por Gram Schmidt e r e a matriz de passagem das colunas de q para as colunas de a Secao 17 Topicos Matriciais 211 17E Diagonalizac ao Decomposic ao Polar e Valores Singulares O Corolario do Teorema 122 e o Teorema Espectral 136 quando for mulados em termos de matrizes apresentam as seguintes versoes 1 Se a matriz quadrada a Mn n possui n autovalores di ferentes entao existe uma matriz invertıvel p Mn n tal que p1ap d e uma matriz diagonal Os elementos da diagonal de d sao os autovalores de a 2 Se a matriz a Mn n e simetrica entao existe uma matriz ortogonal q Mnn tal que qTaq d e uma matriz diagonal Os elementos da diagonal de d sao os autovalores de a Ja o Teorema 144 assume a seguinte forma 3 Toda matriz quadrada a Mnn se exprime como produto a pu onde p Mn n e uma matriz naonegativa e u e ortogonal Finalmente o Teorema 1310 tem a versao matricial abaixo 4 Para toda matriz a Mm n existem matrizes ortogonais p Mmm q Mnn tais que paq d onde d Mmn e uma matriz diagonal d dij isto e dij 0 se i j Para i 1 r posto de a temse dii σi 0 σ2 i e um autovalor de aTa e de aaT e para i r dii 0 Equivalentemente podemos escrever a pTdqT ou mudando de notac ao a pdq Esta se chama a decomposicao de a a valores singulares singular value decomposition pois os elementos nao nulos σi da diagonal de d sao os valores singulares de a ou seja σi 0 para todo i 1 n e alem disso σ2 1 σ2 r sao autovalores de aTa Se a M4 5 e tem posto 3 entao a matriz d tem a seguinte forma com λ1 0 λ2 0 e λ3 0 d λ1 0 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 0 λ3 0 0 0 0 0 0 0 Secao 17 Topicos Matriciais 213 operac ao Li αLj com j i tem a forma abaixo 1 1 α 1 1 Os elementos nao indicados fora da diagonal sao nulos O numero α esta na linha i e na coluna j A fim de tornar igual a zero o elemento aij da matriz a aij mediante essa premultiplicac ao devese tomar α aijajj O elemento ajj que se supoe 0 chama se o pivˆo Para eliminar tornar iguais a zero todos os elementos abaixo da diagonal na coluna j da matriz a devese premultiplicala pelo produto das mj matrizes da forma acima que se obtˆem fazendo sucessivamente i j 1 m Isto equivale a premultiplicar pela matriz mj 1 1 αj1j αmj 1 com os αs na jesima coluna onde αrj arjajj Por exemplo se m 4 e j 1 vemos facilmente que 1 0 0 0 α2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 α3 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 α4 0 0 1 1 0 0 0 α2 1 0 0 α3 0 1 0 α4 0 0 1 214 Topicos Matriciais Secao 17 Suponhamos que durante o processo de escalonamento de uma dada matriz nunca haja necessidade de se efetuar transposic ao de linhas Entao podemos assegurar que existem matrizes m1 mm do tipo acima tais que mm m2m1a u onde u e uma matriz escalonada Se a for uma matriz quadrada u e triangular superior Daı a notac ao u provem de upper trian gular em inglˆes Se u uij Mm n alem de nao requerer transposicoes de linha em seu escalonamento tem posto maximo m ou n entao o primeiro elemento naonulo de sua iesima linha e uii Portanto neste caso os elementos uii da diagonal de u sao os pivˆos logo sao diferentes de zero Evidentemente toda matriz elementar e invertıvel logo toda matriz mj do tipo acima possui uma inversa e e claro que m1 j 1 1 αj1j αmj 1 Seguese entao que toda matriz a cujo escalonamento nao requer transposicoes de linhas se escreve como a m1 1 m1 2 m1 m u lu onde as mj tˆem a forma e u e escalonada Agora ocorre um fato notavel Embora o produto mm m2m1 nao tenha nenhuma expressao especial vale a igualdade l m1 1 m1 2 m1 m 1 α21 1 α31 α32 1 αm1 αm2 αmm1 1 Secao 17 Topicos Matriciais 215 onde αij aj ij aj jj Nesta notac ao indicamos com aj mj m1 a matriz que se obtem depois da eliminac ao dos elementos abaixo da diagonal na jesima coluna Portanto j 0 1 m 1 e a0 a Estamos admitindo que nao houve necessidade de efetuar trans posic ao de linhas ou seja que em todas as etapas se tem o pivˆo ajjj 0 Concluımos entao que mediante essa hipotese a matriz a se es creve como um produto a lu onde l Mm m e uma matriz triangular inferior lower triangu lar com elementos diagonais todos iguais a 1 e u e uma matriz esca lonada Se a for uma matriz quadrada m m entao u Mm m sera uma matriz triangular superior Esta e a chamada decom posicao lu da matriz a E importante observar os seguintes fatos a respeito da decompo sic ao a lu 1o O metodo gaussiano de eliminac ao fornece diretamente os ele mentos das matrizes l e u 2o Quando se dispoe da decomposic ao a lu a soluc ao do sistema ax b com b Mm 1 se reduz a resolver o sistema ly b e depois de obtida y o sistema ux y O primeiro se resolve de cima para baixo e o segundo de baixo para cima pois l e triangular inferior e u e escalonada 3o A maior vantagem computacional da decomposic ao alu ocorre quando se tem de resolver um grande numero de equacoes ax b com a mesma matriz a e muitos vetores b Dispondo da decom posic ao a lu nao e preciso repetir muitas vezes o processo de eliminac ao gaussiana 4o A priori nao se sabe quais sao nem mesmo se vao ser ne cessarias as transposicoes de linhas durante o processo de escalona mento de uma matriz a Entretanto depois de efetuado o processo dispomos da relac ao de todas as transposicoes feitas Efetuando na mesma ordem em que foram feitas todas essas transposicoes nas li nhas da matriz identidade obtemos uma matriz p Mm m que se chama uma matriz de permutacao O produto pa corresponde a efetuar sobre a matriz a antecipadamente todas as transposicoes de linhas que seriam necessarias durante o escalonamento Por Secao 17 Topicos Matriciais 217 Aplicando a operac ao L2 b32b22L2 a matriz a1 chegamos a ma triz escalonada a2 u a11 a12 a13 a14 0 b22 b23 b24 0 0 c33 c34 O mesmo raciocınio se aplica em geral Exemplo 171 Considerando o escalonamento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 12 L25L1 L39L1 1 2 3 4 0 4 8 12 0 8 15 24 L32L2 L32L2 1 2 3 4 0 4 8 12 0 0 1 0 obtemos a decomposic ao 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 12 1 0 0 5 1 0 9 2 1 1 2 3 4 0 4 8 12 0 0 1 0 que exprime a matriz do primeiro membro como um produto do tipo lu de uma matriz triangular inferior com diagonal 1 1 1 por uma matriz escalonada com pivˆos 1 4 1 Todos 0 pois a matriz dada tem posto maximo Exemplo 172 Examinando no Exemplo 94 as operacoes ele mentares efetuadas a partir da segunda quando nao ocorrem mais transposicoes de linhas obtemos a seguinte decomposic ao do tipo a lu 2 1 3 0 0 1 2 3 3 4 2 0 4 2 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 5 2 1 0 2 0 4 5 1 1 1 3 0 0 1 2 3 0 0 15 2 15 2 0 0 0 7 Secao 17 Topicos Matriciais 219 sim como obter a decomposic ao a lu a partir da decomposic ao de Cholesky a tTt A expressao u dt mostra em particular que se a matriz a e positiva entao em sua decomposic ao a lu os elementos uii da diagonal de u isto e os pivˆos da eliminac ao gaussiana sao todos positivos A unicidade da decomposic ao lu implica que esses pivˆos sao univocamente determinados a partir da matriz a Mostremos agora como se pode obter a decomposic ao de Cholesky de uma matriz positiva a partir de sua decomposic ao a lu Como uii 0 para i 1 m podemos formar uma matriz diagonal d dij pondo dij 0 se i j e dii uii Entao escreve mos t d1u Evidentemente a ldd1u Portanto teremos a decomposic ao de Cholesky a tTt desde que provemos que tT ld ou seja que uTd1 ld Ora se tomarmos a transposta de ambos os membros da igual dade a lu obteremos a aT uTlT logo podemos escrever a uTd2d2lT Mas uTd2 e triangular inferior com 1s na diago nal Na realidade d foi definida com esse proposito E d2lT e tri angular superior Pela unicidade da decomposic ao a boldlu vem uTd2 l e d2lT u Daı resulta uTd1 ld como querıamos provar Em suma se a lu e a decomposic ao de uma matriz posi tiva sua decomposic ao de Cholesky e a ldd1u onde d e a matriz diagonal formada pelas raızes quadradas dos elementos ne cesssariamente positivos da diagonal de u Isto nos da um metodo pratico para obter a decomposic ao de Cholesky como veremos no Exemplo 173 Observac ao O argumento acima prova na realidade que se a e uma matriz simetrica cujos pivˆos sao todos positivos entao existe uma decomposic ao a tTt logo a e uma matriz positiva Observe que os pivˆos sendo positivos a matriz a e invertıvel Exemplo 173 Como exemplo de matriz positiva tomemos a matriz de Gram dos vetores u 1 2 1 v 2 1 2 w 1 1 2 Escalo nandose obtemos 6 6 5 6 9 7 5 7 6 L2L1 L3 5 6 L1 6 6 5 0 3 2 0 2 116 L3 2 3 L2 6 6 5 0 3 2 0 0 12 220 Topicos Matriciais Secao 17 Isto nos fornece a decomposic ao lu 6 6 5 6 9 7 5 7 6 1 0 0 1 1 0 5 6 2 3 1 6 6 5 0 3 2 0 0 12 Para obter a decomposic ao de Cholesky tomamos a matriz diagonal d 6 0 0 0 3 0 0 0 22 e calculamos tT ld 1 0 0 1 1 0 5 6 2 3 1 6 0 0 0 3 0 0 0 2 2 6 0 0 6 3 0 5 6 2 3 2 2 Entao a decomposic ao de Cholesky da matriz dada e 6 6 5 6 9 7 5 7 6 6 0 0 6 3 0 5 6 2 3 22 6 6 5 6 0 3 2 3 0 0 22 Exercıcios 171 Prove que os vetores v1 vk E geram um subespaco veto rial de dimensao r se e somente se a matriz de Gram gv1 vk tem posto r 172 Se dim E dim F prove que existe uma transformac ao linear ortogonal A E F tal que Av1 w1 Avk wk se e somente se as matrizes de Gram gv1 vk e gw1 wk sao iguais 173 Sejam a Mn n uma matriz positiva e b Mn m uma matriz de posto n Ache vetores v1 vm Rn tais que gv1 vm bTab 174 Prove que aTa e a matriz de Gram dos vetorescoluna de a 18 Formas Quadraticas Uma forma quadratica num espaco vetorial E e uma funcao que em termos das coordenadas de um vetor relativamente a uma base de E se exprime como um polinˆomio homogˆeneo do segundo grau As for mas quadraticas ocorrem com grande destaque em problemas de oti mizacao maximos e mınimos no estudo das superfıcies quadricas na Geometria Diferencial na Mecˆanica etc Em todas essas situa coes e relevante o conhecimento do sinal positivo ou negativo que a forma pode assumir ou mais precisamente dos seus autovalores Nesta secao e feito um estudo conciso porem abrangente dos princi pais pontos basicos referentes a essas funcoes e de suas relacoes com os operadores lineares finalizando com o metodo de Lagrange para diagonalizacao e a classificacao das superfıcies quadricas Sejam E F espacos vetoriais Uma forma bilinear b E F R e uma func ao bu v linear em cada uma das duas variaveis u E v F Mais precisamente para quaisquer u u E v v F e α R devem valer bu u v bu v bu v bαu v αbu v bu v v bu v bu v bu αv αbu v As operacoes evidentes de soma e produto por um numero fazem do conjunto BE F das formas bilineares b E F R um espaco vetorial Secao 18 Formas Quadraticas 239 agora nossas mudancas de coordenadas eram feitas por meio de transformacoes lineares logo preservavam a origem Introduzindo as novas coordenadas zi yi b i 2λi i 1 r zr1 yr1 zn yn a equac ao acima se torna λ1z2 1 λrz2 r b r1zr1 b nzn c na qual conseguimos eliminar os r primeiros termos lineares Pode ocorrer que os coeficientes b j sejam todos iguais a zero Neste caso a forma simplificada que buscamos para a equac ao da quadrica Σ e λ1z2 1 λrz2 r c Se r n Σ e simplesmente a figura que resulta de uma quadrica central depois de uma translac ao Se r n entao as ultimas n r coordenadas zr1 zn podem ser tomadas arbitrariamente en quanto as r primeiras definem uma quadrica em Rr logo Σ e um cilindro generalizado produto cartesiano Σ Σ Rnr onde Σ e uma quadrica em Rr Se algum dos numeros b j r 1 j n for 0 introduziremos novas coordenadas t1 tn de tal modo que t1 z1 tr zr e b r1zr1 b nzn c dtr1 Primeiro fazemos uma translac ao de modo a eliminar c Para isso escolhemos um ponto zo r1 zo n tal que b r1zo r1 b nzo n c e escrevemos s1 z1 sr zr sr1 zr1 zo r1 sn zn zo n Secao 18 Formas Quadraticas 241 onde r e o posto da matriz aij e λ1 λr sao os seus autovalores naonulos No primeiro caso supondo r n 1 a quadrica Σ pode ser definida por tn α1t2 1 αn1t2 n1 com αi λid e chamase um paraboloide Exercıcios 181 Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo relativamente a base especificada a b R4 R4 R bu v u v base v1 v2 v3 v4 R4 onde v12 0 3 1 v21 2 1 1 v30 1 2 1 v41 2 3 1 b b Rn Rn R bu v Au v A LRn base canˆonica de Rn c b RnRn R bu v Au Bv A B LRn base canˆonica de Rn d b Rn Rn R bu v u av b a b Rn base canˆonica de Rn 182 Seja ϕ R3 R a forma quadratica dada por ϕx y z x2 y2 z2 2xy 3xz yz Qual e a matriz de ϕ na base u v w R3 onde u 3 0 1 v 1 1 2 w 2 1 2 183 Prove que o conjunto das formas quadraticas no espaco veto rial E e um subespaco vetorial QE FE R Se dim E n prove que dim QE nn 12 184 Assinale Verdadeiro ou Falso O conjunto das formas quadraticas de ındice i no espaco veto rial E e um cone convexo em FE R A matriz do operador B E E na base U e igual a matriz da forma bilinear bu v u Bv na mesma base 242 Formas Quadraticas Secao 18 As formas bilineares b e b que correspondem aos operado res B e B segundo o Teorema 182 definem a mesma forma quadratica ϕv bv v bv v O operador autoadjunto B E E e a forma bilinear simetrica b E E R que lhe corresponde conforme o Teorema 182 tˆem a mesma matriz relativamente a qualquer base de E 185 A matriz de uma forma bilinear b EE na base Uu1 un E e dada por bij bui uj Supondo conhecida a forma quadra tica ϕ E R como se pode obter a matriz de ϕ na base U a partir dos seus valores ϕv v E 186 Sejam f g E R funcionais lineares Prove que a forma bilinear antisimetrica f g E E definida por f gu v fugv fvgu e identicamente nula se e somente se um dos funcionais dados e multiplo do outro 187 Seja b EE R uma forma bilinear antisimetrica no espaco vetorial E de dimensao finita Prove que as seguintes afirmacoes sobre b sao equivalentes 1 Temse b f g onde f g E 2 Existe uma base V v1 vn E tal que bvi vj 0 se i j 1 2 Conclua que toda forma bilinear em R3 e do tipo b f g E em R4 188 Seja b R5 R5 R uma forma bilinear antisimetrica Prove que existem numeros α β e uma base v1 v2 v3 v4 v5 R5 tais que bv1 v2 bv2 v1 α bv3 v4 bv4 v3 β e bvi vj 0 nos demais casos Conclua que existem funcionais lineares f1 f2 f3 f4 R5 R tais que b f1 f2 f3 f4 189 Sejam E F espacos vetoriais de dimensao finita com produto interno Estabeleca um isomorfismo natural entre BE F e LE F Determine a relac ao entre as matrizes de uma forma bilinear e da transformac ao linear que lhe corresponde 19 Determinantes O determinante surgiu inicialmente nas formulas que exprimem a solucao de um sistema determinado de n equacoes lineares a n in cognitas Posteriormente ele foi identificado como a area de um pa ralelogramo ou o volume de um paralelepıpedo e depois de forma definitiva como a funcao multilinear alternada da qual todas as ou tras se deduzem Tradicionalmente se tem o determinante de uma matriz quadra da ou de uma lista de vetores que sao as colunas ou linhas dessa matriz Em Algebra Linear e mais apropriado falar do determinante de um operador linear Seu interesse aqui decorre principalmente do fato de que um operador e invertıvel se e somente se seu determi nante e diferente de zero A partir daı o determinante fornece um polinˆomio de grau n cujas raızes reais sao os autovalores de um ope rador num espaco vetorial ndimensional polinˆomio caracterıstico polinˆomio esse que estudaremos na secao seguinte Faremos aqui uma breve apresentacao do conceito de determi nante e de suas principais propriedades Nosso ponto de partida sao as funcoes multilineares mais especificamente as alternadas Em toda esta sec ao E representa um espaco vetorial de dimensao n no qual todas as bases que tomaremos serao ordenadas 248 Determinantes Secao 19 Corolario Seja f E E R rlinear alternada Para toda per mutacao σ dos inteiros 1 2 r e toda lista de vetores v1 vr E temse fvσ1 vσr εσ fv1 vr isto e fvσ1 vσr fv1 vr onde o sinal e se σ e uma permutacao par e se σ e uma per mutacao ımpar Vide Apˆendice Com efeito passase da sequˆencia v1 vr para vσ1 vσr mediante k transposicoes sucessivas que correspondem a k mudan cas de sinal no valor de f Como εσ 1k o corolario seguese A notac ao ArE indica o espaco vetorial das formas rlineares alternadas f E E R Exemplo 191 Dados os funcionais lineares f1 fr E R a func ao f E E R definida por fv1 vr f1v1 f2v2 frvr e uma forma rlinear chamada o produto tensorial dos funcionais lineares f1 fr Exemplo 192 Todo funcional linear f E R e uma forma 1linear alternada ja que nao e possıvel violar a condic ao de antisimetria Portanto A1E E Exemplo 193 Qualquer aplicac ao rlinear f R R R e do tipo ft1 tr a t1 t2 tr onde a f1 1 Vide Teorema 191 Quando r 1 f so pode ser alternada quando a 0 Logo ArR 0 se r 1 Exemplo 194 A forma f R2 R2 R definida por fu v x1y2 x2y1 quando u x1 x2 e v y1 y2 e bilinear alternada Se g R2 R2 R e qualquer outra forma bilinear alternada em R2 entao pondo c ge1 e2 vem gu v gx1e1 x2e2 y1e1 y2e2 x1y1ge1 e1 x1y2ge1 e2 x2y1ge2 e1 x2y2ge2 e2 x1y2 x2y1ge1 e2 c x1y2 x2y1 c fu v Secao 19 Determinantes 251 Acima os asteriscos estao em lugar de n 2 vetores que perma necem fixos durante a argumentac ao A igualdade 1 usa o fato de que fui uj e uma func ao n2linear desses vetores que satis faz a condic ao fui uj fuj ui quando esses n 2 vetores pertencem a base U logo pelo Teorema 191 esta igualdade vale em geral Seguese que fui ui 0 Na igualdade 2 foram trocados os nomes dos ındices mudos i j Finalmente a igualdade 3 usa apenas que xixj xjxi Corolario 1 Se dim E n entao dim AnE 1 Com efeito fixada a base U u1 un E existe f AnE tal que fu1 un1 Entao para toda gAnE se gu1 un a temse tambem afu1 un a logo g af Portanto f e uma base de AnE Corolario 2 Se u1 un E e uma base e 0 f AnE entao fu1 un 0 Com efeito pelo Teorema 194 existe fo AnE tal que fou1 un 1 Pelo Corolario 1 f afo com a 0 Logo fu1 un afou1 un a 0 Toda transformac ao linear A E F induz uma transformac ao linear A AnF AnE a qual faz corresponder a cada forma n linear alternada f F F R a nova forma Af E E R definida por Afv1 vn fAv1 Avn onde v1 vn E E facil verificar que realmente Af AnE que BA AB e I I Se A for um isomorfismo A tambem sera com A1 A1 Seja agora A E E um operador linear Como dim AnE 1 o operador linear A AnE AnE con siste na multiplicac ao por um numero real que chamaremos o deter minante do operador A E E e indicaremos com a notac ao det A Assim por definic ao Af det A f isto e fAv1 Avn det A fv1 vn para toda f E E R nlinear alternada e quaisquer v1 vn E 252 Determinantes Secao 19 Isto define o determinante de um operador de modo intrınseco sem recurso a bases ou matrizes A seguir mostraremos como obter a partir desta definic ao as formas classicas de apresentar o determi nante De imediato veremos como e facil provar duas propriedades cruciais do determinante Teorema 195 Se A B E E sao operadores lineares entao detBA det B det A Demonstrac ao Sejam v1 vn E uma base e 0 f AnE logo fv1 vn 0 Entao detBAfv1 vn fBAv1 BAvn det BfAv1 Avn det B det Afv1 vn portanto detBA det B det A Corolario Se A EE e um operador naonegativo entao det A0 Com efeito existe B EE tal que AB2 logo det Adet B20 O teorema abaixo mostra que det A 0 quando A e positivo Teorema 196 O operador linear A E E e invertıvel se e somente se det A 0 No caso afirmativo temse detA1 det A1 Demonstrac ao Se existe A1 entao de AA1 I resulta det A detA1 detAA1 det I 1 logo det A 0 e detA1 det A1 Reciprocamente se det A 0 entao tomando uma base v1 vn E e uma forma nlinear alternada naonula f E E R temos fAv1 Avn det Afv1 vn 0 logo pelo Corolario 1 do Teorema 193 os vetores Av1 Avn cons tituem uma base de E Assim A e invertıvel Corolario O sistema de equacoes lineares Ax b com A LRn possui uma unica solucao se e somente se det A 0 254 Determinantes Secao 19 A afirmac ao acima significa que detv1 vi w vn detv1 vi vn o que e claro pois a segunda parcela do segundo membro abaixo e zero pelo Teorema 193 det vi w det vi det w Como aplicac ao de 5 temos o Exemplo 195 O determinante de uma matriz triangular e igual ao produto dos elementos de sua diagonal Com efeito seja t tij Mn n triangular superior Escrevendo t v1 vn temos v1 t11e1 v2 t12e1 t22e2 v3 t13e1 t23e2 t33e3 etc Portanto det t dett11e1 v2 vn t11 dete1 t12e1 t22e2 v3 t11t22 dete1 e2 t13e1 t23e2 t33e3 v4 t11t22t33 dete1 e2 e3 v4 Prosseguindo analogamente chegamos a det t t11t22 tnn Dos Teoremas 195 e 196 resulta que detba det b det a e que det a 0 se e somente se existe a1 No caso afirmativo deta1 det a1 Exemplo 196 Regra de Cramer Seja a Mnn uma matriz invertıvel Dado b Rn indiquemos com o sımbolo ai b a matriz obtida de a quando se substitui sua iesima coluna por b A soluc ao do sistema linear ax b de n equacoes a n incognitas e o vetor x x1 xn cujas coordenadas sao xi det ai b det a i 1 n Secao 19 Determinantes 261 Seguese daı que se a matriz a e invertıvel isto e se det a 0 entao sua inversa se exprime como a1 1 det a adj a Esta formula para a1 tambem pode ser obtida com auxılio da Regra de Cramer Com efeito o problema de obter uma matriz a1 w1 wn tal que aa1 In pode ser considerado como n sistemas de equacoes lineares a wj ej j 1 n Pela Regra de Cramer a soluc ao wj x1j xnj de cada um desses sistemas e dada por xij det ai ej det a 1ij det Mji pois ai ej v1 vi1 ej vi1 vn se a v1 vn Uma submatriz da matriz a Mm n e uma matriz obtida a partir de a pela omissao de algumas de suas linhas eou colunas Mais precisamente dois subconjuntos R i1 ir 1 2 m e S j1 js 1 2 n determinam a submatriz aRS aiαjβ Mrs da matriz a obtida pela omissao das linhas de a cujos ındices nao pertencem a R e das colunas cujos ındices nao estao em S Teorema 199 O posto de uma matriz a Mm n e o maior numero r tal que a possui uma submatriz aRS Mr r com det aRS 0 Demonstrac ao Seja r o posto de a v1 vn Existe S j1 jr 1 2 n tal que vj1 vjr e LI portanto a matriz vj1 vjr Mm r tem posto r Como o posto segundo linhas e igual ao posto segundo colunas Teorema 82 existe um subconjunto R i1 ir 1 2 m tal que as linhas de vj1 vjr cujos ındices pertencem a R sao LI Isto significa que a matriz quadrada aRS Mr r e invertıvel logo det aRS 0 Mas e claro que o posto de uma submatriz de a e menor do que ou igual ao posto de a Portanto nenhuma submatriz k k de a com k r pode ter determinante 0 262 Determinantes Secao 19 Na Sec ao 17 vide Observac ao no final de 17G foi provado que uma matriz simetrica e positiva se e somente se seus pivˆos sao todos positivos Usaremos agora determinantes para provar outro criterio de positividade de uma matriz o qual e tradicional e ele gante porem em dimensoes mais altas e muito menos pratico do que o teste dos pivˆos Para cada k 1 n o menor principal de ordem k da matriz a aij Mn n e o determinante da submatriz principal ak aij 1 i j k Teorema 1910 A fim de que uma matriz simetrica a aij Mn n seja positiva e necessario e suficiente que seus menores principais sejam todos positivos Demonstrac ao No inıcio de 17G viuse que se a e positiva entao suas submatrizes principais ak sao positivas logo det ak 0 para k 1 n Suponha reciprocamente que todos os menores prin cipais sejam positivos Tomando a decomposic ao a lu veja item 5oem 17F resulta que ak lkuk para k 1 n lk e uk indicam as submatrizes principais k k de l e u respectivamente Seguese do Exemplo 195 que det lk 1 pois todos os elementos da diagonal de lk sao iguais a 1 Logo det ak detlkuk det uk u11u22 ukk produto dos elementos da diagonal de uk Portanto u11 det a1 0 e ukk det ak det ak1 0 para k 2 n Assim todos os pivˆos ukk da decomposic ao a lu sao positivos logo a matriz simetrica a e positiva Apˆendice Uma permutacao dos inteiros 1 2 n e uma bijec ao σ Jn Jn onde Jn 1 2 n Um exemplo particular de permutac ao quan do n 1 e dado pelas transposicoes Uma transposicao τ Jn Jn e definida fixandose dois elementos i j em Jn pondo τi j τj i e τk k se k i j Se σ σ Jn Jn sao permutacoes entao a func ao composta σ σ Jn Jn tambem e uma permutac ao chamada o produto das permutacoes σ e σ e indicada pela notac ao σσ A inversa σ1 Jn Jn de uma permutac ao e ainda uma permutac ao caracterizada pelo fato de que σσ1 σ1σ ιn permutac ao identidade Jn Jn Se Secao 19 Determinantes 265 197 Seja a a matriz quadrada invertıvel cujas colunas sao os veto res v1 vn Rn Prove que γv1 vn det a2 e conclua que o paralelepıpedo gerado pelos vetores v1 vn tem volume igual a det a 198 Seja A Rn Rn um operador linear invertıvel Para todo paralelepıpedo ndimensional X Rn prove que a imagem AX e um paralelepıpedo tal que vol AX det A vol X 199 Calcule o determinante da matriz 0 0 0 a14 0 0 a23 a24 0 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 e generalize o resultado para uma matriz aij Mn n na qual aij 0 quando i j n 1910 Se a matriz triangular b resulta de a pelo processo gaussi ano de eliminac ao prove que det b 1t det a onde t e o numero de transposicoes de linhas feitas durante o escalonamento Esca lonamento e o modo mais eficaz de calcular o determinante de uma matriz n n quando n 4 1911 Escalonando a matriz de Vandermonde v 1 1 1 1 x1 x2 x3 xn x2 1 x2 2 x2 3 x2 n xn1 1 xn1 2 xn1 3 xn1 n mostre que seu determinante e igual a Π ij xi xj logo v e invertıvel se e somente se os numeros x1 x2 xn sao dois a dois distintos Como aplicac ao mostre que dados n 1 pares de numeros xo yo xn yn onde xox1 xn existe um e so mente um polinˆomio p de grau n tal que pxoyo pxnyn 20 O Polinˆomio Caracterıstico Boa parte da importˆancia dos determinantes em Algebra Linear se deve ao polinˆomio caracterıstico o qual ja tivemos ocasiao de utilizar em dimensao 2 Nesta secao ja de posse da nocao geral de determi nante vamos considerar esse polinˆomio em dimensoes arbitrarias Seja A E E um operador linear num espaco vetorial E de dimensao finita A fim de que um numero real λ seja autovalor de A e necessario e suficiente que exista v 0 em E tal que A λIv 0 ou seja que o operador A λI E E tenha nucleo naotrivial e portanto nao seja invertıvel Segundo o Teorema 196 isto acontece se e somente se detA λI 0 Conforme resulta da definic ao classica de determinante detAλI e um polinˆomio de grau n em λ cujo termo lıder e 1n λn Ele e chamado o polinˆomio caracterıstico do operador A e e represen tado por pAλ Assim pAλ detA λI As raızes reais ou complexas da equac ao algebrica pAλ 0 sao chamadas as raızes caracterısticas do operador A Do que foi dito acima seguese que os autovalores do operador linear A sao suas raızes caracterısticas reais Secao 20 O Polinˆomio Caracterıstico 269 Se E possui produto interno o polinˆomio caracterıstico do opera dor adjunto A E E coincide com o do operador A pois pAλ detA λI detA λI detA λI pAλ O polinˆomio caracterıstico de uma matriz quadrada a Mnn e por definic ao paλ deta λIn ou seja e o polinˆomio carac terıstico pAλ do operador A Rn Rn cuja matriz na base canˆonica e igual a a Mais geralmente paλ pAλ para qualquer operador linear A E E cuja matriz relativamente a uma base arbitraria de E seja a Vide Teorema 197 Se duas matrizes a e b p1ap sao semelhantes entao seus polinˆomios caracterısticos sao iguais Com efeito neste caso a e b sao matrizes do mesmo operador A Rn Rn relativamente a bases diferentes logo paλ pAλ pbλ Analogamente se A e B P1AP sao operadores semelhantes no espaco vetorial E existem duas bases de E relativamente as quais A e B tˆem a mesma matriz a logo pAλ paλ pBλ Exemplo 201 Se um dos operadores A B E E digamos B e invertıvel entao pABλ pBAλ Com efeito neste caso BA BABB1 logo BA e AB sao operadores semelhantes A igualdade entre os polinˆomios caracterısticos de AB e BA prevalece mesmo quando ambos os operadores A e B sao naoinvertıveis Isto se prova usando um argumento de continuidade assim como o opera dor B tem no maximo um numero finito de autovalores positivos existe um numero real c 0 tal que 0 ε c B εI in vertıvel Portanto para todo ε positivo menor do que c os opera dores B εIA e AB εI tˆem o mesmo polinˆomio caracterıstico Como os coeficientes do polinˆomio caracterıstico do operador B εI sao evidentemente funcoes contınuas de ε fazendo ε 0 concluımos que pAB lim ε0 pABεI lim ε0 pBεIA pBA Exemplo 202 Um operador A EE dizse triangularizavel quan do existe uma base U de E em relac ao a qual a matriz de A e trian gular Se a matriz de A na base U u1 un e triangular inferior entao na base U un u1 a matriz de A e triangular superior Isto significa que existem subespacos Fo F1 Fn E in variantes por A tais que dim Fi i Se A e triangularizavel e na 272 O Polinˆomio Caracterıstico Secao 20 Demonstrac ao Sejam a a matriz de A numa base U F e a a matriz de A numa base U U Entao a a b 0 c e a λIn a λIr b 0 c λInr onde r dim F e n dim E Pelo Teorema 198 temos pAλ deta λIn deta λIr detc λInr pAλ qλ onde qλ detc λInr Portanto pAλ e um multiplo de pAλ Teorema 201 Se as raızes do polinˆomio caracterıstico pA sao todas reais entao o operador A E E e triangularizavel Demonstrac ao O teorema e obvio se dim E 1 Para provalo por induc ao suponhamolo valido em dimensao n 1 e seja dim E n Introduzamos caso nao exista ainda um produto interno em E Como A e A tˆem o mesmo polinˆomio caracterıstico o operador A E E tem autovalor logo existe um subespaco F E de di mensao 1 invariante por A O complemento ortogonal F Fn1 e um subespaco vetorial de dimensao n 1 em E invariante por A pois A A Vide Teorema 133 Pelo Lema se A Fn1 Fn1 e a restric ao de A ao subespaco Fn1 as raızes do polinˆomio carac terıstico pA sao tambem raızes de pA logo sao todas reais Pela hipotese de induc ao existem subespacos Fo F1 Fn1 com dim Fi i invariantes por A logo invariantes por A o que prova o teorema Exemplo 203 Um operador num espaco vetorial de dimensao 2 e triangularizavel se e somente se possui ao menos um auto valor real Por exemplo uma rotac ao de ˆangulo θ com θ 0 e θ 180 nao e triangularizavel pois suas raızes caracterısticas sao cos θi sen θ ambas complexas Vide Exemplo 142 Ja o operador A R2 R2 Ax y 7x12y 3x5y tem polinˆomio caracterıstico 274 O Polinˆomio Caracterıstico Secao 20 obtido de pλ substituindose λi por Ai tendo o cuidado de lembrar que Ao I logo λo 1 deve ser substituıdo por I Um resultado importante em Algebra Linear e o Teorema de CayleyHamilton segundo o qual se p pA e o polinˆomio carac terıstico do operador A entao pA 0 Verifiquemos a veracidade desta afirmac ao num caso particular Exemplo 205 Seja A R2 R2 dado por Ax y ax by cx dy O polinˆomio caracterıstico de A e pAλ λ2 a dλ ad bc Vamos mostrar que o operador B pAA A2 a dA ad bcI e igual a zero Para isto basta verificar que Be1 Be2 0 Ora temos Ae1 a c A2e1 a2 bc ac cd e1 1 0 logo Be1 A2e1 a dAe1 ad bce1 a2 bc ac cd a2 ad ac cd ad bc 0 0 0 De maneira analoga se vˆe que Be2 0 Portanto B 0 Isto mostra que o Teorema de CayleyHamilton vale em dimensao 2 Provaremos a seguir o Teorema de CayleyHamilton para ope radores triangularizaveis Na proxima sec ao mostraremos que num espaco vetorial complexo todo operador e triangularizavel Daı de duziremos a validez do teorema para qualquer operador num espaco real Teorema 202 Se o polinˆomio caracterıstico pA do operador A EE e o produto de fatores reais do primeiro grau entao pAA0 Demonstrac ao Pelo Teorema 201 existe uma base u1 un E relativamente a qual a matriz a aij de A e triangular superior Se escrevermos Fo 0 e Fi subespaco vetorial de E gerado por u1 ui teremos Fo F1 Fn E e cada Fi e invariante Secao 20 O Polinˆomio Caracterıstico 275 por A ou seja AFi Fi Por hipotese temos pAλ 1nλ λ1 λ λn Escrevendo B pAA resulta B 1nA a11IA a22I A annI pois as raızes caracterısticas de A sao os elementos aii da diagonal da matriz a Para cada i 1 n temos Aui z aiiui onde z Fi1 portanto A aiiIui z Fi1 Isto mostra que para todo i 1 n o operador Bi A aiiI transforma Fi em Fi1 Ora temos pAA B B1B2 Bn logo pAA transforma E em 0 isto e pAA 0 Seja λo um autovalor do operador A E E A multiplicidade geometrica de λo e a dimensao do subespaco vetorial Fλo v E Av λov A multiplicidade algebrica de λo e sua multiplicidade como raiz do polinˆomio caracterıstico de A isto e e o maior inteiro m tal que pAλ λo λm qλ onde qλ e ainda um polinˆomio Obviamente Fλo e um subespaco invariante por A Restrito a esse subespaco A coincide com λoI ou seja e simplesmente a mul tiplicac ao por λo Portanto o polinˆomio caracterıstico do operador A Fλo Fλo restric ao de A e igual a λo λr onde r e a dimensao de Fλo ou seja a multiplicidade geometrica do autovalor λo Pelo Lema que antecede o Teorema 201 o polinˆomio caracterıstico de A e um multiplo de λoλr ou seja pAλ λoλr qλ Isto prova o Teorema 203 A multiplicidade geometrica de um autovalor e me nor do que ou igual a sua multiplicidade algebrica Exemplo 206 No operador A do Exemplo 203 a multiplicidade algebrica do autovalor 1 e igual a 2 mas a sua multiplicidade geome trica e 1 Teorema 204 Se o operador A E E e autoadjunto ou ortogo nal as multiplicidades geometrica e algebrica de qualquer autovalor coincidem 276 O Polinˆomio Caracterıstico Secao 20 Demonstrac ao Seja F Fλo v E Av λo v Entao F e F sao ambos subespacos invariantes por A Como vimos no Lema que antecede o Teorema 201 se indicarmos respectivamente por A F F e A F F as restricoes de A a esses subespacos invariantes teremos pA pA pA ou seja pAλ λo λr pAλ onde r dim F Mas pela definic ao de F nao pode existir em F nem em lugar algum fora de F um autovetor correspondente ao autovalor λo Logo λo nao e raiz de pA Assim r e o maior inteiro tal que λo λr divide pA ou seja e a multiplicidade algebrica de λo Exercıcios 201 Assinale Verdadeiro ou Falso Os operadores A e A tˆem os mesmos autovetores Sejam a a matriz do operador A Rn Rn na base canˆonica e p uma matriz cujas colunas sao autovetores LI de A Entao p1 ap e diagonal Se λ e autovalor do operador invertıvel A entao λ1 e autovalor de A1 O polinˆomio caracterıstico do operador A B e a soma dos po linˆomios caracterısticos de A e B Se v e um autovetor comum aos operadores A e B entao v e autovetor de A B e de BA Duas matrizes triangulares semelhantes sao iguais 202 Determine os polinˆomios caracterısticos dos seguintes opera dores a Um multiplo αI da identidade b Uma projec ao P c Uma involuc ao d O operador de derivac ao D Pn Pn 278 O Polinˆomio Caracterıstico Secao 20 209 Assinale Verdadeiro ou Falso Se um operador e diagonalizavel todas as suas matrizes trian gulares sao diagonais Seja a uma matriz triangular naodiagonal Se todos os ele mentos da diagonal de a forem iguais a nao e diagonalizavel Uma matriz 33 que tem dois autovalores distintos e triangu larizavel 2010 Sejam A B E E operadores cujas raızes caracterısticas sao todas reais Se AB BA prove que existe uma base na qual as matrizes de A e B sao ambas triangulares 2011 Ache uma base de R3 na qual o operador Ax y z x2y 3z 4y 6z y z tem uma matriz triangular Exiba essa matriz 2012 Determine o polinˆomio caracterıtico da matriz 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 an1 an2 an3 ao 2013 Obtenha o polinˆomio caracterıstico e os autovalores com as respectivas multiplicidades algebricas e geometricas do operador A Rn Rn cuja matriz na base canˆonica tem todos os elementos iguais a 1 Sugestao use o Exercıcio 203 2014 Prove que o modulo do determinante de um operador in vertıvel e igual ao produto dos seus valores singulares 2015 Sejam A B E E operadores lineares naonegativos e X a raiz quadrada naonegativa de A Prove a AB e XBX tˆem o mesmo polinˆomio caracterıstico logo detI AB detI XBX 21 Espacos Vetoriais Complexos Embora a nocao de espaco vetorial tenha sentido e interesse sobre um corpo qualquer neste livro os vetores pelo menos ate agora vˆem sendo multiplicados apenas por numeros reais Esta opcao foi feita por uma serie de razoes das quais destacaremos duas Em primeiro lugar ao nos limitarmos aos numeros reais nao temos que nos preo cupar com as peculiaridades dos varios corpos possıveis o que num livro introdutorio traria o risco de focalizar a atencao no acidental Assim ficou mais facil nos concentrarmos em questoes realmente es senciais sem maior perda de tempo Em segundo lugar porque o caso real e sem duvida o mais importante Entretanto o corpo dos numeros reais nao e algebricamente completo nem todo polinˆomio com coeficientes reais possui raiz real O corpo dos numeros comple xos nao sofre dessa deficiˆencia Isto torna necessario que alguns teo remas referentes a espacos vetoriais reais utilizem numeros comple xos em sua demonstracao como foi feito um tanto disfarcadamente no Teorema 121 Na presente secao e introduzido o conceito de espaco vetorial complexo e e mostrado explicitamente como ele pode ser util para demonstrar teoremas sobre espacos vetoriais reais Nesta sec ao os espacos vetoriais que viemos estudando ate agora serao chamados espacos vetoriais reais e as transformacoes lineares Secao 21 Espacos Vetoriais Complexos 281 neles definidas serao chamadas Rlineares Analogamente as ma trizes ate agora consideradas chamarseao matrizes reais A razao para essa qualificac ao e que introduziremos aqui os espacos vetori ais complexos Um espaco vetorial complexo e um conjunto E cujos elementos sao chamados vetores no qual estao definidas duas operacoes a adicao que faz corresponder a cada par de vetores u v E um vetor u v chamado a soma de u e v e a multiplicacao por um numero complexo que a cada numero complexo ζ e a cada vetor v E faz cor responder um vetor ζ v ζv chamado o produto de ζ por v Essas operacoes devem cumprir as mesmas condicoes impostas na Sec ao 1 para os espacos vetoriais reais Em particular se v E e ζ α iβ entao ζv αv iβv αv βiv Exemplo 211 O conjunto Cn de todas as listas u ξ1 ξn v ζ1 ζn de n numeros complexos com as definicoes u v ξ1 ζ1 ξn ζn ζ u ζ ξ1 ζ ξn e um espaco vetorial complexo Tambem o conjunto FX C de todas as funcoes f X C definidas num conjunto arbitrario X com valores complexos e um espaco vetorial complexo quando munido das definicoes obvias para f g e ζ f O conjunto Mm n C das matrizes complexas m n tambem e um espaco vetorial complexo As definicoes de dependˆencia linear geradores subespaco base dimensao etc se fazem para os espacos vetoriais complexos da mesma maneira como foram feitas para os reais Na realidade tudo o que foi dito e demonstrado nas Secoes 1 a 9 vale para espacos ve toriais complexos e as transformacoes lineares entre eles as quais chamaremos Clineares As vezes uma base do espaco vetorial complexo E sera chamada uma Cbase Um espaco vetorial complexo E pode de modo natural ser consi derado como um espaco vetorial real basta que se considere apenas a multiplicac ao dos vetores de E por numeros reais Analogamente toda transformac ao Clinear A E F entre espacos vetoriais com plexos e a fortiori Rlinear Quando for conveniente usaremos a notac ao Ar E F para indicar essa transformac ao Rlinear que se chama a descomplexificada de A Exemplo 212 O conjunto C dos numeros complexos e um espaco vetorial complexo de dimensao 1 logo todo numero complexo 284 Espacos Vetoriais Complexos Secao 21 Todo espaco vetorial real E de dimensao par 2n pode de infi nitas maneiras ser considerado como espaco vetorial complexo de dimensao n de tal forma que a nova multiplicac ao de um numero complexo por um vetor coincida com a multiplicac ao anterior quando esse numero complexo e real Para isso basta considerar um opera dor Rlinear J E E tal que J2 I e definir para cada numero complexo ζ α iβ e cada vetor v E o produto ζ v como ζ v αv βJv A adic ao de vetores continua a mesma A verificac ao de que esta definic ao atende as exigˆencias sobre as regras operacionais e imediata Resta apenas mostrar como se acha um tal operador J Para isso fixamos uma base de E a qual nu meramos da forma u1 un v1 vn Existe um unico operador Rlinear J E E tal que Ju1 v1 Jun vn Jv1 u1 Jvn un Nesta concepc ao de E como espaco vetorial complexo o ope rador J e simplesmente a multiplicac ao pelo numero i logo v1 iu1 vn iun e u1 un E e uma Cbase A noc ao de espaco vetorial complexo foi introduzida aqui a fim de servir como instrumento para obter resultados referentes a espacos vetoriais reais A esse proposito a principal vantagem dos espacos vetoriais com plexos sobre os reais e a seguinte todo operador linear A EE num espaco vetorial complexo de dimensao finita possui pelo me nos um autovalor complexo Antes porem de estabelecermos e explorarmos este fato vamos retomar uma afirmac ao anterior se gundo a qual tudo o que foi feito ate a Sec ao 9 sobre espacos vetori ais reais vale igualmente para complexos Por que nao foi incluıda a Sec ao 10 E que se faz necessario modificar o conceito de produto interno quando se trata de um espaco vetorial complexo E Se o produto interno for bilinear entao iv iv i2v v v v logo nao pode ser positivo O impasse e resolvido mediante a noc ao de produto interno her mitiano Este e por definic ao uma func ao E E C que associa a cada par ordenado de vetores u v no espaco vetorial complexo E um numero complexo representado pela notac ao u v de tal modo que sejam cumpridas as condicoes seguintes para quaisquer u v u E ζ C onde uma barra sobre um numero complexo ζ α iβ signi fica seu conjugado ζ α iβ Secao 21 Espacos Vetoriais Complexos 287 ultima entendendose como antes que A e invertıvel se e somente se A e A unica diferenca diz respeito a adjunta de ζA Temse ζA ζA quando ζ e um numero complexo Outra mudanca ocorre no Teorema 112 que passa a ter o enun ciado abaixo E e F sao espacos vetoriais complexos com produto interno hermitiano Teorema 212 Se a matriz da transformacao Clinear A EF relativamente a bases ortonormais U u1 un E e V v1 vm F e a akj Mm n entao a matriz da trans formacao adjunta A F E relativamente as bases V U e a matriz a aT transposta da conjugada de a A matriz conjugada de a akj Mm n C e a matriz a akj Mm n C onde cada elemento akj e o numero complexo conjugado do elemento correspondente akj da matriz a Um operador Clinear A E E chamase hermitiano quando A A ou seja quando Au v u Av para quaisquer u v E Em particular quando u v temos Av v v Av Portanto quando A e hermitiano a forma quadratica ϕv v Av so assume valores reais Uma matriz a akj Mnn C chamase hermitiana quando a a isto e quando ajk akj para k j 1 n Em particular ajj ajj para todo j 1 n portanto a diagonal de uma matriz hermitiana so possui numeros reais Para matrizes reais hermiti ana e o mesmo que simetrica Um operador Clinear A E E e hermitiano se e somente se sua matriz relativamente a uma e portanto a qualquer base orto normal de E e uma matriz hermitiana Um operador Clinear U E E chamase unitario quando U U1 Isto equivale a dizer que Uv Uw v w para quais quer v w E Se U E E e um operador unitario entao para todo v E temse Uv v Vale tambem a recıproca Para provala usase a identi dade de polarizacao u v 1 4u v2 u v2 iu iv2 iu iv2 cuja verificac ao e imediata Sua forma e mais complicada do que a analoga real devido ao fato de que o produto interno hermitiano nao Secao 21 Espacos Vetoriais Complexos 289 Teorema 213 Todo operador Clinear A E E e triangularizavel A demonstrac ao e a mesma do Teorema 201 So que agora nao e necessario fazer hipotese adicional sobre A porque todo operador linear complexo tem autovetor Como anteriormente vale a importante observac ao de que se E possui produto interno hermitiano o enunciado acima pode ser tor nado mais preciso existe uma base ortonormal U E na qual a matriz de A e triangular superior ou inferior se assim o quisermos A versao matricial desse teorema e para toda matriz complexa a existe uma matriz unitaria u tal que uau u1au t e uma matriz triangular Vejamos a seguir algumas consequˆencias do Teorema 213 Na primeira delas temos um operador linear A E E num espaco vetorial complexo E Teorema de CayleyHamilton Se pA e o polinˆomio caracterıstico do operador Clinear A E E entao pAA 0 Demonstrac ao segue exatamente a linha da demonstrac ao do Te orema 202 pois em virtude do Teorema 213 todo operador Clinear e triangularizavel Evidentemente vale uma versao matricial de CayleyHamilton Para toda matriz a Mn n C o polinˆomio caracterıstico paλ e exatamente o polinˆomio pAλ onde A Cn Cn e o operador C linear que tem matriz a na base canˆonica Temse tambem pa pA para qualquer operador Clinear A E E cuja matriz relativa mente a uma base arbitraria em E seja igual a a Qualquer que seja o polinˆomio qλ vemos que qa Mn n C e a matriz do opera dor qA na mesma base relativamente a qual a e a matriz de A Por tanto se pa e o polinˆomio caracterıstico da matriz a Mn n C temse paa 0 Se acontecer de a matriz a ser real seu polinˆomio caracterıstico pa e um polinˆomio real e ainda assim se tem paa 0 pois todo numero real e complexo Seguese daı o Teorema de CayleyHamilton para operadores reais Seja A E E um operador linear num espaco vetorial real E Se pA e seu polinˆomio caracterıstico temse pAA 0 Secao 21 Espacos Vetoriais Complexos 293 uaau uaau Multiplicando esta igualdade a esquerda por u e a direita por u obtemos aa aa logo a e normal Corolario Se A E E e um operador hermitiano existe uma base ortonormal de E formada por autovetores de A A matriz de A nesta base e diagonal e sendo hermitiana os ele mentos da diagonal sao numeros reais Seguese que os autovalores de um operador hermitiano sao todos reais Outro caso particular de operador normal e um operador unitario o qual tambem admite uma base ortonormal formada por autoveto res Os autovalores de um operador unitario sao numeros complexos de modulo 1 Exercıcios 211 Seja E um espaco vetorial real O complexificado de E e o conjunto Ec cujos elementos sao as expressoes formais u iv com u v E e i 1 Em Ec a igualdade u iv u iv significa por definic ao que u u e v v A soma e definida por u iv u iv u u iv v e o produto por um numero complexo e ainda por definic ao α iβu iv αu βv iβu αv Para todo u E escrevese u i0 u e com isso temse E Ec O complexificado de um operador linear A E E e Ac Ec Ec definido por Acu iv Au iAv Prove a Ec e um espaco vetorial complexo e Ac Ec Ec e um operador Clinear O complexificado de Rn e Cn E Ec mas E nao e um subespaco vetorial complexo de Ec b Toda Rbase u1 un E e uma Cbase de Ec Em particu lar dimC Ec dimR E A matriz de Ac Ec Ec relativamente a base u1 un E coincide com a matriz de A na mesma base Os polinˆomios caracterısticos de Ac e de A sao iguais c Se λαiβ com β0 e autovalor de Ac correspondente ao au tovetor uivEc entao u v e a base de um subespaco vetorial Secao 21 Espacos Vetoriais Complexos 295 e O operador de derivac ao D Pn Pn f O operador A R2 R2 Ax y x 2y 2x y g Qualquer operador A R2 R2 Em todos estes casos compare com o polinˆomio caracterıstico 214 Prove que um operador e invertıvel se e somente se o termo constante do seu polinˆomio mınimo e 0 215 Seja pλ um polinˆomio tal que pA 0 Prove que todo autovalor λ1 do operador A e raiz do polinˆomio pλ Conclua daı que toda raiz do polinˆomio caracterıstico pAλ e tambem raiz do polinˆomio mınimo mA A recıproca e evidente porque mA divide pA 216 Determine o polinˆomio mınimo do operador dado por Av v a b 217 Seja A E E um operador num espaco vetorial de dimensao n Prove se Ak 0 para algum k n entao An 0 Sugestao Teorema 213 218 Prove que um operador e nilpotente isto e Ak 0 para algum k N se e somente se todos os seus autovalores sao iguais a zero 219 Se o operador A e diagonalizavel e λ1 λk sao seus auto valores distintos dois a dois prove que o polinˆomio mınimo de A e mA λ λ1λ λ2 λ λk 2110 Se o operador A E E num espaco vetorial complexo e diagonalizavel prove que existe um produto interno hermitiano em E que torna A normal 2111 Seja E um espaco vetorial complexo munido de um produto interno hermitiano Prove que todo operador linear A E E se escreve de modo unico como A H iK onde H K E E sao operadores hermitianos e que A e normal se e somente se H e K comutam 298 Espacos Vetoriais Complexos Secao 21 2121 Sejam F1 F2 subespacos invariantes do operador A E E Se dim F2 dim F1 2 prove que existe um subespaco F diferente de F1 e F2 invariante por A tal que F1 F F2 2122 Seja A E E um operador nilpotente no espaco vetorial E real ou complexo de dimensao n Tome k o menor numero natural tal que Ak 0 Prove sucessivamente a 0 NA NA2 NAk E b Se NAi NAi1 entao NAi1 NAi2 c Nenhuma das inclusoes em a se reduz a uma igualdade d k n 22 Equacoes a Diferencas Finitas Em muitas aplicacoes da Matematica o tempo e discreto Isto sig nifica que ao contrario da Cinematica na qual o tempo flui con tinuamente nestas situacoes que temos em mente Economia por exemplo as grandezas sao medidas em instantes isolados formando uma sequˆencia Nestes casos as equacoes diferenciais nao sao o ins trumento adequado para exprimir a evolucao dos fenˆomenos sendo substituıdas pelas equacoes a diferencas finitas Nesta secao estu daremos os tipos mais simples dessas equacoes como aplicacao de alguns dos resultados obtidos nas secoes anteriores Numa equac ao a diferencas finitas a incognita e uma sequˆencia x0 x1 xk cujos termos devem satisfazer uma relac ao dada Se a relac ao e do tipo xk1 fxk onde f e uma func ao determi nada temse uma equac ao de primeira ordem Se e do tipo xk2 fxk xk1 temse uma equac ao de segunda ordem e assim por di ante Fixado arbitrariamente um numero x0 toda equac ao de primeira ordem xk1 fxk admite uma unica soluc ao x0 x1 xk com valor inicial x0 Basta tomar sucessivamente x1 fx0 x2 fx1 etc De modo analogo fixados arbitrariamente x0 e x1 toda equac ao de segunda ordem xk2 fxk xk1 admite uma unica soluc ao x0 x1 x2 xk cujos dois valores iniciais sao os nume 300 Equacoes a Diferencas Finitas Secao 22 ros dados Basta tomar sucessivamente x2 fx0 x1 x3 fx1 x2 etc E assim por diante toda equac ao de ordem n possui uma unica soluc ao cujos n valores iniciais sao fixados arbitrariamente Observac ao Nesta sec ao o primeiro termo de toda sequˆencia tem ındice 0 em vez de 1 Exemplo 221 A soluc ao da equac ao de primeira ordem xk1 xk b com valor inicial xo e a sequˆencia xo xo b xo 2b de termo geral xk xo kb progressao aritmetica de razao b Exemplo 222 A equac ao xk1 axk linear homogˆenea de pri meira ordem com coeficiente constante tem para soluc ao com valor inicial xo a sequˆencia xo axo a2xo akxo cujo termo geral e xk akxo progressao geometrica de razao a Exemplo 223 Combinando os exemplos anteriores seja xk1 axkb a equac ao linear naohomogˆenea de primeira ordem com co eficientes constantes Se xo x1 xk e a soluc ao desta equac ao com valor inicial xo entao temos sucessivamente x1 axo b x2 ax1 b a2xo 1 ab x3 ax2 b a3xo 1 a a2b xk axk1 b akxo 1 a ak1b Portanto a soluc ao geral da equac ao xk1 axk b e xk akxo 1 ak 1 a b se a 1 xk xo k b se a 1 Exemplo 224 A equac ao xk1 axk b pode ser olhada sob o ponto de vista de um operador linear A R R no espaco R cujos elementos sao as sequˆencias x xo x1 xk O opera dor A associa a cada sequˆencia x a nova sequˆencia y Ax onde yk xk1 axk A equac ao dada equivale ao problema de achar os elementos x R tais que Ax b onde b b b e uma sequˆencia constante de termos todos iguais a b Como vimos no Secao 22 Equacoes a Diferencas Finitas 301 Teorema 64 a soluc ao geral da equac ao Ax b e a soma de um elemento qualquer do nucleo de A soluc ao geral da equac ao ho mogˆenea Ax0 com uma soluc ao particular da equac ao Axb dada Para obter uma dessas solucoes particulares tentamos a soluc ao constante c c c O numero c deve cumprir c ac b isto e 1 ac b Como no caso a 1 ja foi visto no Exemplo 221 supo mos aqui a 1 e obtemos c 1 a1b Por sua vez a soluc ao ge ral de Ax 0 equac ao equivalente a xk1 axk e uma progressao geometrica p ap a2p cujo primeiro termo p e arbitrario As sim a soluc ao geral da equac ao xk1 axk b para a 1 e dada por xk akp 1 a1b Note que xo p 1 a1b donde p xo 1 a1b e por substituic ao vem xk akxo ak1 a1b 1 a1b akxo 1 ak 1 a b reobtendo o resultado do Exemplo 223 22A Sistemas Lineares Generalizando o Exemplo 222 podemos considerar num espaco ve torial E um operador linear A E E e procurar uma sequˆencia de vetores vk E tais que vk1 Avk k 0 1 2 Isto se chama um sistema linear homogˆeneo de primeira ordem de equacoes a diferencas finitas com coeficientes constantes Evidentemente dado arbitrariamente um vetor inicial vo E existe uma unica sequˆencia vo v1 vk de vetores em E co mecando com vo e cumprindo a condic ao vk1 Avk para todo k 0 Basta tomar vk Akvo O problema pratico de resolver o sistema vk1 Avk reduzse portanto ao calculo das potˆencias sucessivas Ak do operador A Em geral isto nao e uma tarefa simples Ha entretanto casos par ticulares em que ela e factıvel Por exemplo se existir uma base U E formada por autovetores de A o que se da quando dim E n e o polinˆomio caracterıstico de A tem n raızes reais distintas ou entao quando A e autoadjunto o vetor inicial vo exprimese como combinac ao linear vo x1u1 xnun Secao 22 Equacoes a Diferencas Finitas 309 22B Uma Aplicac ao do Teorema de CayleyHamilton Uma forma alternativa de calcular as potˆencias sucessivas Ak do operador linear A E E com dim E n consiste em observar que em consequˆencia do Teorema de CayleyHamilton basta que se considerem os expoentes k n 1 Com efeito se pAλ 1n λn an1λn1 a1λ ao e o polinˆomio caracterıstico do operador linear A seguese de pAA 0 que An an1An1 a1A aoI Usaremos este fato para calcular as potˆencias Ak de um operador linear A E E onde dim E 2 Neste caso o grau do polinˆomio ca racterıstico pAλ sendo igual a 2 seguese que o resto da divisao de λk por pAλ para todo k 2 tem a forma αλβ Por simplicidade escrevemos α β em vez de αk βk Podemos portanto escrever λk pAλ qλ αλ β donde Ak pAA qA αA βI Como pAA 0 seguese que Ak αA βI Para encontrar α e β suponhamos inicialmente que as raızes caracterısticas λ1 e λ2 sejam distintas Por definic ao temos pAλ1 pAλ2 0 logo da identidade λk pAλ qλ αλ β resultam as igualdades αλ1 β λk 1 αλ2 β λk 2 Como estamos supondo λ1 λ2 temos acima um sistema determi nado que nos permite obter valores unicos para α e β Observe que este argumento vale inclusive quando as raızes caracterısticas λ1 e λ2 sao numeros complexos Neste caso usase a forma trigo nometrica para calcular as potˆencias λk 1 e λk 2 e vˆese que as solucoes α β do sistema acima sao numeros reais Consideremos agora o caso em que o polinˆomio caracterıstico pAλ do operador linear A possui uma raiz real dupla λ1 Entao 310 Equacoes a Diferencas Finitas Secao 22 sabemos que λ1 alem de raiz do polinˆomio pAλ e tambem raiz de sua derivada p Aλ Portanto a identidade λk pAλ qλ αλ β fornece a equac ao αλ1 β λk 1 enquanto que sua derivada kλk1 p Aλ qλ pAλ qλ α fornece em virtude das relacoes p Aλ1 0 e pAλ1 0 a igualdade α k λk1 1 logo β λk 11 k 22C Equac oes Lineares de Segunda Ordem Estudaremos apenas as que tˆem coeficientes constantes Primeiro as homogˆeneas xk2 axk1 bxk 0 Podemos reduzir o estudo da equac ao acima ao sistema linear de primeira ordem xk1 yk yk1 bxk ayk onde foi introduzida a incognita auxiliar yk xk1 Em particular yo x1 Usando os metodos do item 22A obtemos as sequˆencias xk e yk com valores iniciais xo yo dados Isto significa que a equac ao quando sao fixados os valores iniciais xo x1 tem por soluc ao a sequˆencia xk que responde ao sistema Com efeito temos xk2 yk1 bxk ayk bxk axk1 Portanto xk2 axk1 bxk 0 Observe que o polinˆomio caracterıstico do sistema e pλ λ2 aλ b Isto sugere que a fim de estudar a equac ao nao e necessario ter feito anteriormente o estudo dos sistemas lineares A seguir mostraremos como resolver a equac ao independen temente de sistemas lineares A primeira observac ao a fazer e que o subconjunto S R for mado pelas sequˆencias x xo x1 xk que sao solucoes da equac ao xk2 axk1 bxk 0 e um subespaco vetorial de dimen sao 2 Secao 22 Equacoes a Diferencas Finitas 311 O fato de que S e um subespaco vetorial e de verificac ao imedi ata S e o nucleo do operador linear A R R definido por Ax y onde yk xk2 axk1 bxk Alem disso o comentario feito no inıcio desta sec ao sobre a existˆencia e unicidade da soluc ao de uma equac ao de segunda ordem xk2 fxk xk1 com valores inici ais xo x1 prefixados significa precisamente que a correspondˆencia S R2 que associa a cada soluc ao x xk da equac ao seus dois primeiros termos xo x1 nesta ordem e um isomorfismo entre S e R2 Portanto o espaco vetorial S tem dimensao 2 Este argumento mostra ainda que se x xk e x x k sao duas solucoes da equac ao xk2 axk1 bxk 0 tais que os vetores xo x1 e x o x 1 sao linearmente independentes entao toda soluc ao desta equac ao se exprime de modo unico como combinac ao linear αx βx A segunda observac ao e que se r e uma raiz do polinˆomio carac terıstico λ2 aλ b 0 entao a sequˆencia r 1 r r2 rk e uma soluc ao da equac ao xk2 axk1 bxk 0 Com efeito de r2 ar b 0 seguese que rk2 ark1 brk rkr2 ar b rk 0 0 Resulta dessas duas observacoes que para determinar todas as solucoes da equac ao xk2 axk1 bxk 0 devemos usar as raızes do seu polinˆomio caracterıstico a fim de obter duas solucoes linear mente independentes Todas as demais solucoes serao combinacoes lineares destas Ha 3 casos a considerar Primeiro caso O polinˆomio caracterıstico λ2 aλ b tem duas raızes reais distintas r s Entao as sequˆencias r 1 r r2 rk e s 1 s s2 sk sao solucoes e como r s os vetores inicias 1 r e 1 s sao LI em R2 logo r e s sao linearmente independentes em R A soluc ao geral da equac ao xk2 axk1 bxk 0 e portanto xk αrk βsk onde as constantes α e β podem ser determinadas de modo que xo e x1 tenham valores prefixados 312 Equacoes a Diferencas Finitas Secao 22 Exemplo 228 A equac ao xk2 3xk1 2xk 0 tem o polinˆomio caracterıstico λ2 3λ 2 cujas raızes sao r 1 s 2 A soluc ao geral desta equac ao tem a forma xk α 2kβ Se quisermos por exemplo a soluc ao com xo 1 e x1 0 temos que achar α β tais que αβ 1 e α2β 0 o que nos da α 2 β 1 logo a soluc ao procurada tem a forma xk 2 2k Segundo caso O polinˆomio caracterıstico λ2 aλ b tem uma raiz real dupla r 0 Temse r a2 logo 2ra 0 Ja sabemos que uma soluc ao da equac ao xk2axk1bxk 0 e r 1 r rk Afirmamos que r 0 r 2r2 krk e outra soluc ao Com efeito se xk krk entao xk2 axk1 bxk k 2rk2 ak 1rk1 bkrk rkkr2 ar b r2r a 0 Alem disso como os vetores 1 r e 0 r sao LI em R2 seguese que r e r sao solucoes linearmente independentes logo a soluc ao geral da equac ao dada tem a forma xk αrk βkrk rkα βk onde as constantes α e β podem ser determinadas de maneira a fazer com que xo e x1 assumam os valores iniciais preestabelecidos Exemplo 229 Seja a equac ao xk2 6xk1 9xk 0 Seu polinˆomio caracterıstico tem a raiz dupla r 3 A soluc ao geral desta equac ao e xk 3kα βk Se impusermos os valores iniciais xo 1 x1 1 obteremos α 1 β 43 logo a soluc ao que tem esses valores iniciais e xk 3k1 4k3 Exemplo 2210 Uma progressao aritmetica pode tambem ser con siderada como soluc ao de uma equac ao a diferencas finitas de se gunda ordem a saber a equac ao xk2xk1 xk1xk Escrevendoa sob a forma xk2 2xk1 xk 0 vemos que seu polinˆomio carac terıstico possui a raiz dupla r 1 logo sua soluc ao geral e xk α βk ou seja e a progressao aritmetica de primeiro termo α e razao β Terceiro caso As raızes do polinˆomio caracterıstico λ2 aλ b sao os numeros complexos α iβ com β 0 i 1 314 Equacoes a Diferencas Finitas Secao 22 Como se sabe a soluc ao geral desta equac ao e a soma de uma soluc ao particular que obtenhamos por qualquer processo com a so luc ao geral da equac ao homogˆenea xk2 axk1 bxk 0 Como ja aprendemos a determinar esta ultima bastanos explicar como se pode conseguir uma soluc ao particular Comecamos tentando uma soluc ao constante xk d Devemos ter dadbd c ou seja 1abd c Portanto se 1ab 0 a unica soluc ao constante possıvel para a equac ao dada e xk d 1 a b1c Se 1 a b 0 a equac ao dada com c 0 nao pode ter soluc ao constante Tentamos uma soluc ao do tipo xk kd Substituindo na equac ao dada xk por kd vem k 2d ak 1d bkd c ou 1 a bkd a 2d c Como 1ab 0 obtemos a2d c Portanto quando 1ab 0 e a 2 a sequˆencia xk kca 21 e uma soluc ao particular Finalmente se 1ab 0 e a 2 entao b 1 e a equac ao dada se torna xk2 2xk1 xk c a qual nao possui soluc ao constante nem do tipo xk kd Tentemos uma soluc ao da forma xk k2d Substituindo xk por este valor na equac ao obtemos k2 4k 4d 2k2 2k 1d k2d c ou seja 2d c donde d c2 Uma verificac ao imediata mostra que realmente xk k2 c2 e uma soluc ao particular da equac ao xk2 2xk1 xk c Observac ao No inıcio desta sec ao vimos que a equac ao de se gunda ordem xk2 axk1 bxk 0 pode ser resolvida considerando se o sistema xk1 yk yk1 bxk ayk Mostraremos agora que reciprocamente se quisermos resolver o sistema xk1 axk byk yk1 cxk dyk Secao 22 Equacoes a Diferencas Finitas 315 com vetor inicial v0 x0 y0 podemos reduzilo a uma equac ao de segunda ordem resolver essa equac ao pelo metodo que acabamos de expor e a partir daı obter a soluc ao do sistema Evidentemente um dos numeros a b c d e diferente de zero Para fixar ideias suporemos que b 0 Se xk e yk sao as solucoes do sistema entao xk2 axk1 byk1 axk1 bcxk bdyk axk1 bcxk dxk1 adxk logo xk2 a dxk1 ad bcxk 0 Para resolver o sistema com vetor inicial v0 x0 y0 toma mos a soluc ao xk da equac ao com os valores iniciais x0 dado e x1 ax0 by0 com y0 tambem dado Em seguida definimos a sequˆencia yk pondo yk xk1 axkb Isto da imediatamente xk1 axk byk Alem disso o valor y0 obtido nesta formula coin cide com o valor inicial y0 anteriormente estipulado Temse ainda yk1 1 bxk2 axk1 1 ba dxk1 bc adxk axk1 1 ba daxk byk bc adxk axk1 Simplificando vem yk1 cxk dyk logo as sequˆencias xk e yk formam a soluc ao procurada do sistema Exercıcios 221 Para cada uma das equacoes abaixo determine a soluc ao que tem o valor inicial indicado a xk1 xk 7 xo 0 b xk1 6xk xo 1 316 Equacoes a Diferencas Finitas Secao 22 c xk1 2xk 5 xo 3 d xk1 xk k xo 2 e xk1 k1 k2 xk xo xo 222 Prove que o conjunto das solucoes de uma equac ao do tipo xk1 akxk bk linear de primeira ordem homogˆenea ou nao com coeficientes variaveis e uma variedade afim de dimensao 1 em R Em que condicoes e um subespaco vetorial 223 Uma soluc ao do sistema xk1 akxk bkyk pk yk1 ckxk dkyk qk pode ser considerada como um par s t de sequˆencias s xo xk t yo yk portanto um elemento de R R Prove que o conjunto S des sas solucoes e uma variedade afim de dimensao 2 no espaco vetorial R R Em que condicoes S e um subespaco vetorial 224 Para cada um dos sistemas abaixo determine a soluc ao vo vk vk xk yk que tem o valor inicial vo xo yo indicado xk1 2xk 9yk xk1 3xk 16yk xk1 xk 3yk yk1 xk 2yk yk1 4xk 13yk yk1 2xk yk xo yo 3 2 xo yo 3 2 xo yo 2 3 225 Seja vk xk yk uma soluc ao do sistema xk1 2xk yk yk1 4xk 2yk Prove que seja qual for o vetor inicial vo xo yo temse xk yk 0 para todo k 2 Secao 22 Equacoes a Diferencas Finitas 317 226 Sejam λ e µ as raızes caracterısticas reais ou complexas do operador A R2 R2 Suponha que λ 1 e µ 1 Seja qual for o valor inicial vo xo yo prove que a soluc ao vk xk yk do sistema vk1 Avk cumpre lim xk 0 lim yk 0 227 Sejam r xo xk e s yo yk solucoes da equac ao zk2 azk1 bzk 0 Assinale Verdadeiro ou Falso Se r e s sao LI entao para quaisquer ındices k ℓ os vetores u xk xℓ e v yk yℓ sao LI Se existirem k ℓ tais que os vetores u xk xℓ e v yk yℓ sao LI entao as solucoes r e s sao LI Se para todo k 0 os vetores u xk xk1 e v yk yk1 forem LD entao r e s sao LD Se r e s sao LD entao u xk xℓ e v yk yℓ sao LD sejam quais forem k e ℓ 228 Sejam rxo xk syo yk tzo zk solucoes da equac ao wk3 awk2 bwk1 ckwk 0 Prove a Se existirem k ℓ m tais que os vetores v xk xℓ xm v yk yℓ ym e v zk zℓ zm sao LI entao as sequˆencias r s e t sao LI b Se r s e t sao LI entao existe k 0 tal que os vetores vxk xk1 xk2 vyk yk1 yk2 e vzk zk1 zk2 sao LI 229 Prove que as sequˆencias r 1 2 3 4 0 0 s 1 2 3 1 0 0 e t 1 0 0 3 0 0 nao podem ser solucoes da mesma equac ao xk3axk2bxk1cxk 0 Sugestao item b do exercıcio anterior 2210 Seja E R R o operador linear definido por Exo x1 xk x1 x2 xk1 318 Equacoes a Diferencas Finitas Secao 22 Prove que um subespaco vetorial S R e o conjunto das solucoes de uma equac ao linear homogˆenea de ordem n com coeficientes cons tantes xkn a1xkn1 anxk 0 se e somente se cumpre as condicoes seguintes 1 S e invariante por E 2 S tem dimensao finita igual a n 2211 O metodo apresentado em 22B para calcular as potˆencias Ak mediante o uso do Teorema de CayleyHamilton da formulas explıcitas para essas potˆencias como combinacoes lineares de I A An1 mas faz uso das raızes caracterısticas do operador A que sao facilmente calculaveis em dimensao 2 porem difıceis de ob ter em dimensoes superiores Caso se deseje nao a formula geral para Ak mas apenas o calculo explıcito de uma dessas potˆencias como A10 por exemplo a alternativa seguinte utiliza apenas o calcu lo do polinˆomio caracterıstico pAλ o que e bem mais factıvel Usa se o algoritmo da divisao para escrever λk pAλ qλ rλ onde o grau do resto rλ e menor do que a dimensao do espaco E Temse entao Ak rA Usando este metodo mostre que dado o operador A R3 R3 onde Ax y z x2y3z 3xy2z xyz temse A5 40A2 19A 143 I e A10 14281 A2 2246 A 49071 I 2212 Para cada uma das equacoes abaixo determine a soluc ao que tem os valores iniciais indicados a xk2 xk1 20xk xo 3 x1 2 b 1 5xk2 2xk1 5xk xo 2 x1 1 c xk2 6xk1 25xk 0 xo 1 x2 3 2213 A sequˆencia de Fibonacci xo x1 xk e definida pelas condicoes xo 0 x1 1 e xk2 xk1 xk Obtenha a formula geral para xk em func ao de k prove que xk2 1 x1 xk e que lim k xk1 xk 1 5 2 o numero de ouro Secao 22 Equacoes a Diferencas Finitas 319 2214 Qual a formula que exprime xk em func ao de xo x1 e k sabendose que xk2 1 2xk1 xk para todo k 0 2215 Resolva a equac ao xk3 6xk2 11xk1 6xk 0 2216 Ache a soluc ao vk xk yk do sistema xk1 xk αxk yk yk1 yk βxk yk com vetor inicial vo xo yo com yo xo 0 α 1 e 0 β 1 Mostre que lim xk lim yk βxo αyoα β logo este limite esta mais proximo de xo do que de yo se e somente se α β Mostre que se tem xk yk para todo k se e somente se α β 1 em cujo caso a sequˆencia xk e decrescente e yk e crescente Observac ao este sistema e um modelo para uma situac ao sim ples de barganha Cada xk e o preco do vendedor e yk e a proposta do comprador Em cada etapa o vendedor oferece um desconto pro porcional a diferenca de precos na etapa anterior e o comprador por sua vez aumenta sua proposta de modo analogo Se a soma α β da constante do vendedor com a do comprador for maior do que 1 ja na primeira etapa temse x1 y1 o que daria o chamado negocio de pai para filho 2217 Seja xk2 axk1 bxk 0 uma equac ao cujas raızes carac terısticas sao os complexos conjugados r e r Escreva r ρcos θ i sen θ como xk αρk cosβ kθ onde as constantes α e β podem ser determinadas de modo a fazer com que xo e x1 assumam os va lores iniciais preestabelecidos Sugestao a equac ao dada admite a soluc ao geral complexa xk ζrk ηrk onde ζ η C sao arbitrarios Tomando η ζ obtemse a soluc ao real xk 2 Re ζrk Escreva ζ α 2 cos β i sen β e use a formula cosx y cos x cos y sen x sen y 320 Equacoes a Diferencas Finitas Secao 22 2218 Dada a equac ao xk2 axk1 bxk ck onde c nao e raiz caracterıstica prove que existe M R tal que xk M ck e uma soluc ao particular Se c e uma raiz caracterıstica diferente de a2 prove que existe N tal que xk Nkck e uma soluc ao particular E se c a2 e raiz caracterıstica prove que existe P tal que xk Pk2ck e uma soluc ao particular 2219 Se vk1 αvk wk onde α 1 e lim k wk 0 prove que lim k vk 0 2220 Seja A E E um operador linear cujos autovalores cum prem λ1 1 λn 1 Prove que para todo v E temse lim k Akv 0 Sugestao Tome uma base u1 un E na qual a matriz de A seja diagonal superior Observe que Aui w λiui onde w Su1 ui1 se i 1 e Au1 λ1u1 Logo Ak1 ui Akw λi Akui Ponha vk Akui wk Akw α λi e tenha vk1 αvk wk Use induc ao em i e o exercıcio anterior para concluir que lim k Akui 0 i 1 n e daı lim k Akv 0 para todo v E Apˆendice A Forma Canˆonica de Jordan O objetivo deste apˆendice e provar que dado um operador linear A E E num espaco vetorial complexo de dimensao finita existe uma base de E na qual a matriz a de A e formada por uma serie de blocos de Jordan ao longo da diagonal Um bloco de Jordan e uma matriz triangular inferior cujos elementos diagonais sao todos iguais a um mesmo autovalor de A e os elementos imediatamente abaixo da diagonal sao iguais a 1 Dizse entao que a matriz a esta na forma canˆonica de Jordan Quando E possui uma base formada por autovetores de A os blocos de Jordan sao todos 11 e neste caso a forma canˆonica de Jordan para A e uma matriz diagonal A forma canˆonica de Jordan exibe a matriz mais simples que se pode obter para o operador A Ela se mostra util no estudo de questoes que envolvem potˆencias sucessivas do operador A como as equacoes diferenciais lineares e as equacoes a diferencas finitas line ares A1 Operadores Nilpotentes Nesta sec ao estudaremos mais um tipo de operadores que podem ser representados por matrizes especialmente simples a saber os 322 A Forma Canˆonica de Jordan Apˆendice operadores nilpotentes Os espacos vetoriais aqui considerados po dem ser reais ou complexos nao faz diferenca Tampouco se ne cessita de um produto interno Veremos que mesmo no caso real os operadores nilpotentes possuem matrizes triangulares O estudo aqui feito serve de preparac ao para a sec ao seguinte Um operador linear A E E dizse nilpotente quando se tem Ak 0 para algum k N O ındice de um operador nilpotente e o menor numero k N tal que Ak 0 Isto significa que Ak1 0 e Ak 0 Analogamente uma matriz quadrada a chamase nilpotente quando se tem ak 0 para algum k N Se ak1 0 e ak 0 dizse que a matriz nilpotente a tem ındice k Exemplo A11 O operador de derivac ao D Pn Pn e nilpotente com ındice n 1 Exemplo A12 Um exemplo simples de matriz nilpotente e dado pela matriz k k cuja kesima coluna e o vetor nulo e para 1 j k 1 sua jesima coluna e ej1 Rk Para k 4 essa matriz tem a forma abaixo a 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A matriz deste exemplo provem do operador A Rk Rk definido por Ae1 e2 Aek1 ek Aek 0 Evidentemente temse Ak 0 e Ak1 0 Logo o ındice do operador A e da matriz a e igual a k Teorema A11 Dado o operador A E E seja u E um vetor tal que Ak1 u 0 e Ak u 0 Entao os vetores u Au Ak1 u sao linearmente independentes Demonstrac ao Seja α1u α2Au αkAk1 u 0 Aplicando o operador Ak1 a ambos os membros desta igualdade obtemos α1Ak1 u 0 Como Ak1 u 0 concluımos que α1 0 Logo a combinac ao linear inicial se reduz a α2Au αkAk1 u 0 Apˆendice A Forma Canˆonica de Jordan 323 Aplicando o operador Ak2 obtemos agora α2Ak1 u 0 logo α2 0 Prosseguindo analogamente temse α1 α2 αk 0 Corolario 1 Num espaco vetorial de dimensao n o ındice de um operador nilpotente e n Corolario 2 Seja A E E um operador nilpotente de ındice n num espaco vetorial E de dimensao n Existe uma base de E na qual a matriz de A tem a forma abaixo 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Vale evidentemente a recıproca do Corolario 2 acima se alguma matriz do operador A E E onde dim E n tem a forma acima entao A e um operador nilpotente de ındice n Se o ındice do operador nilpotente A E E for menor do que a dimensao do espaco E mostraremos a seguir que existe uma base de E na qual a matriz de A e formada por blocos do tipo acima dispostos ao longo da diagonal A ideia da demonstrac ao e extremamente simples mas a notac ao pode tornarse longa A fim de evitar complicacoes tipograficas tra taremos os casos de ındices mais baixos deixando claro o processo indutivo que leva ao caso geral O argumento se baseia no seguinte fato que foi estabelecido na demonstrac ao do Teorema do Nucleo e da Imagem e que destacare mos aqui como um lema Lema Se Au1 Aup e uma base da imagem do operador A E E e v1 vq e uma base do nucleo de A entao u1 up v1 vq e uma base de E Seja inicialmente o operador nilpotente A E E de ındice 2 A 0 e A2 0 Tomemos uma base Au1 Aup da imagem de A A condic ao A2 0 significa que ImA NA logo existem vetores v1 vq tais que U Au1 Aup v1 vq 326 A Forma Canˆonica de Jordan Apˆendice subespaco cıclico de dimensao 2 e cada wℓℓ 1 r gera um subespaco cıclico de dimensao 1 o que significa Aw1 Awℓ0 O resultado fundamental sobre operadores nilpotentes e o Teorema A12 Seja A E E um operador nilpotente de ındice k num espaco vetorial de dimensao n Existem inteiros k1 k k2 kr 0 tais que E F1 Fr onde cada Fi e um subespaco cıclico de dimensao ki Evidentemente k1 kr n Tomando em cada Fi i 1 r uma base Vi ui Aui Aki1 ui obtemos uma base V V1 Vr em relac ao a qual a matriz de A e formada por r blocos ai Mki ki ao longo da diagonal Cada bloco ai tem a forma vista no Exemplo 2 para j ki sua jesima coluna e ej1 Rki enquanto sua kiesima coluna e zero A2 Existˆencia da Forma Canˆonica de Jordan Dado um operador linear A E E num espaco vetorial complexo de dimensao finita provaremos que existe uma base em E na qual a matriz de A tem a forma canˆonica de Jordan e triangular inferior os autovalores que formam sua diagonal sao repetidos consecutiva mente de acordo com suas multiplicidades algebricas e alem disso os elementos imediatamente abaixo da diagonal sao iguais a 0 ou 1 todos os demais elementos sao nulos Teorema A21 Seja A E E um operador linear num espaco veto rial real ou complexo de dimensao finita Existe uma decomposicao E F G como soma direta de subespacos invariantes F G tais que A e nilpotente em F e invertıvel em G Demonstrac ao Como a dimensao de E e finita a sequˆencia de su bespacos invariantes E ImA ImA2 nao pode ser estritamente decrescente para sempre Seja entao k o menor numero natural tal que ImAk ImAk1 Afirmamos que entao ImAk1 ImAk2 Com efeito ImAk2 AImAk1 AImAk ImAk1 Apˆendice A Forma Canˆonica de Jordan 327 Seguese que ImAk2 ImAk3 etc Notese que vale NA NA2 NAk NAk1 NAk2 Com efeito pelo Teorema do Nucleo e da Imagem temos dim NAk1 dim E dim ImAk1 dim E dim ImAk dim NAk Sejam F NAk e G ImAk Evidentemente F e G sao invarian tes por A e a restric ao A F F e nilpotente Alem disso a restric ao A G G e um operador sobrejetivo pois AG AImAk ImAk1 ImAk G Logo A G G e invertıvel Mostremos agora que E F G Dado v E como ImAk ImA2k existe x E tal que Akv A2kx Entao se escrevermos v v Akx Akx veremos que Akv Akx Akv A2kx 0 logo v Akx F e obviamente Akx G Assim todo elemento v E e soma de um vetor de F com um vetor de G ou seja E F G Para concluir que E F G resta apenas mostrar que F G 0 Ora sabemos que dim F dim G dimF G dimF G dim E dimF G Por outro lado o Teorema do Nucleo e da Imagem aplicado ao ope rador Ak E E nos da dim E dim F dim G Seguese entao que dimF G 0 isto e F G 0 Teorema A22 Seja E F G como no Teorema A21 Se n0 e a multiplicidade algebrica do autovalor 0 do operador A E E entao a dimensao do subespaco F e igual a n0 Alem disso F e o nucleo e G e a imagem de An0 E E Seguese daı que a decomposicao E FG com as propriedades enunciadas naquele teorema e unica Demonstrac ao Sejam A F F e A G G as restricoes do operador A aos subespacos invariantes F e G Como A e nilpotente e A e invertıvel o polinˆomio caracterıstico de A e pAλ λn 330 A Forma Canˆonica de Jordan Apˆendice onde os elementos da diagonal sao todos iguais os elementos ime diatamente abaixo da diagonal sao todos iguais a 1 e os demais ele mentos sao zeros Dizse que uma matriz esta na forma canˆonica de Jordan quando ela e triangular inferior com blocos de Jordan ao longo da diagonal e os demais elementos iguais a zero Os blocos de Jordan devem estar agrupados consecutivamente em listas do tipo Bλi k1 Bλi k2 Bλi ksi onde k1 k2 ksi ni multiplicidade algebrica do autovalor λi da matriz dada Por exemplo dispondo os blocos Bλ1 3 Bλ1 1 e Bλ2 2 ao longo da diagonal obtemos uma matriz 6 6 na forma canˆonica de Jordan λ1 0 0 0 0 0 1 λ1 0 0 0 0 0 1 λ1 0 0 0 0 0 0 λ1 0 0 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 0 1 λ2 Teorema A25 Para todo operador A E E num espaco vetorial complexo de dimensao finita existe uma base na qual a matriz de A tem a forma canˆonica de Jordan Demonstrac ao Seja E E1 Er a decomposic ao assegurada pelo Teorema A23 O Teorema A12 prova a existˆencia da forma canˆonica de Jordan para operadores nilpotentes Ora para cada i 1 r a restric ao A λi I Ei Ei e nilpotente Logo existe uma base Vi Ei na qual a matriz de A λi I Ei Ei tem a forma canˆonica de Jordan com zeros na diagonal Logo a matriz da restric ao A A λiI λiI Ei Ei tem a forma canˆonica de Jordan com os elementos da diagonal todos iguais a λi Seguese que V V1 Vr e uma base de E na qual a matriz de A tem a forma canˆonica de Jordan Do ponto de vista matricial o resultado que acabamos de provar significa que para toda matriz quadrada complexa a existe uma matriz complexa invertıvel p tal que p1ap esta na forma canˆonica de Jordan Apˆendice A Forma Canˆonica de Jordan 331 Exemplo A21 Vamos usar a forma canˆonica de Jordan para pro var que toda matriz invertıvel possui uma raiz quadrada complexa Preliminarmente observamos que se x e uma raiz quadrada de p1ap entao pxp1 e uma raiz quadrada de a pois pxp12 pxp1pxp1 px2p1 pp1app1 a Portanto ao provar a existˆencia da raiz quadrada de uma matriz invertıvel nao ha perda de generalidade em supor que essa ma triz esta na forma canˆonica de Jordan que e uma forma triangular particular Em virtude da invertibilidade os elementos da diagonal autovalores sao todos diferentes de zero Trataremos explicitamente do caso 4 4 deixando para o leitor o caso 3 3 mais simples e o caso geral mais complicado porem suscetıvel da mesma abordagem Temos entao uma matriz da forma a a 0 0 0 b c 0 0 0 d e 0 0 0 f g com a c e g diferentes de zero e procuramos uma matriz x x 0 0 0 y z 0 0 m n p 0 q r s t tal que x2 a Ora um calculo simples nos da x2 x2 0 0 0 yx z z2 0 0 mx p ny nz p p2 0 qx t ry ms rz t ns sp t t2 Portanto as incognitas x y z m n p q r s e t devem satisfazer as condicoes 1 x2 a z2 c p2 e t2 g 2 yx z b nz p d sp t f 334 A Forma Canˆonica de Jordan Apˆendice Teorema A31 Seja E um espaco vetorial complexo de dimensao finita Para todo operador linear A E E existe uma unica decom posicao A ND com N E E nilpotente D E E diagonalizavel e ND DN Demonstrac ao Evidentemente N e D comutam com A Pelo Teorema A24 cada subespaco Ei NAλiIni e invariante por N e por D Para i 1 r sejam Ai Ni Di Ei Ei as restricoes de A N e D ao subespaco Ei A igualdade Ai Ni Di pode ser escrita como Ai λiI λiI Ni Di ou ainda como Ai λiI Ni Di λiI Pelo Lema 2 o operador AiλiINi e nilpotente e pelo Lema 1 Di e diagonalizavel logo Di λiI e diagonalizavel pois qualquer vetor naonulo e autovetor de λiI Pela igualdade esses operadores sao ao mesmo tempo nilpotentes e diagonalizaveis logo iguais a zero Portanto vale Ni Ai λiI e Di λiI para i 1 r Segue se que N e D sao os operadores anteriormente obtidos a partir do Teorema A23 Indicacoes Bibliograficas Na sequˆencia usual das disciplinas matematicas que se estudam na universidade a Algebra Linear e prerequisito para a Analise das funcoes de varias variaveis e para as Equacoes Diferenciais Ordina rias Seguemse duas referˆencias E de se esperar que vetores matrizes transformacoes lineares etc constituam a linguagem natural para tratar o Calculo Diferencial pois afinal de contas este se baseia na ideia de aproximar na vizinhanca de cada ponto do seu domınio uma func ao arbitraria por uma func ao linear chamada sua derivada e a partir das propriedades desta presumivelmente mais faceis de constatar obter informacoes sobre aquela E L Lima 1 E L Lima Curso de Analise vol 2 3a edic ao Colec ao Projeto Euclides IMPA 1989 A Algebra Linear esta presente em toda parte do estudo das funcoes reais de varias variaveis na teoria das funcoes implıcitas nas integrais curvilıneas na discussao dos pontos crıticos na qual as formas quadraticas desempenham o papel principal e nas inte grais de superfıcie onde e reforcada por seu prolongamento natural a Algebra Multilinear 2 M Hirsch e S Smale Differential Equations Dynamical Systems and Linear Algebra Academic Press 1974 Nestes ultimos 20 anos o texto de HirschSmale firmouse como uma das principais referˆencias para uma introduc ao moderna ao es tudo das equacoes diferenciais ordinarias e uma preparac ao para a importante area dos sistemas dinˆamicos Ele pressupoe conheci mento de Analise a nıvel dos capıtulos iniciais da referˆencia 1 acima 336 Indicacoes Bibliograficas e de Algebra Linear a nıvel do presente livro Mais de um terco do texto e dedicado as equacoes diferenciais lineares o que leva os autores a desenvolver de forma convincente todo material de Algebra Linear nao tratado neste nosso livro Na realidade os au tores afirmam que o estudo dos sistemas de equacoes diferenciais lineares com coeficientes constantes praticamente se identifica com um capıtulo da Algebra Linear Vejamos agora algumas referˆencias de livros sobre Algebra Li near Ha poucas decadas eram raros muito raros mesmo os livros de Algebra Linear destinados a estudantes de graduac ao Hoje em dia ha centenas deles refletindo a enorme expansao do ensino desta disciplina aos mais variados cursos universitarios Ver a respeito a citac ao de I Kaplansky abaixo Aqueles que mencionarei representam uma amostra extrema mente restrita de trˆes tipos os livros onde aprendi a materia os que podem servir de leitura colateral e os que oferecem alternativas para estudos posteriores A priori aceito a acusac ao de parcialidade nas escolhas Afinal de gustibus et coloribus It is desirable to have at hand not merely the formal operations with matrices but also the often neglected interpretation of the matrices by linear transforma tions G Birkhoff e S MacLane 3 Garrett Birkhoff e Saunders MacLane A Survey of Modern Alge bra Macmillan 1941 Revised edition 1953 BirkhoffMacLane e uma das mais bem sucedidas introducoes a Algebra Moderna ja escritas Trinta e oito por cento do livro e de dicado a Algebra Linear Embora a exposic ao seja feita a partir dos conceitos de espaco vetorial e transformac ao linear a ˆenfase domi nante e posta nas matrizes e suas formas canˆonicas especialmente matrizes de formas quadraticas O estilo e ameno e ligeiro bastante agradavel O leitor logo se acostumara com a notac ao vA em vez de Av usada pelos autores Indicacoes Bibliograficas 337 That Hilbert space theory and elementary matrix theory are intimately asso ciated came as a surprise to me and to many colleagues of my generation only after studying the two subjects separately This is deplorable I present this little book in an attempt to remedy the situation Paul R Halmos 4 Paul R Halmos Finite Dimensional Vector Spaces Princeton Univ Press 1942 Revised edition Van Nostrand 1958 Traduc ao brasileira Editora Campus 1978 O livro de Halmos e outro bestseller Nele o autor conversa com o leitor e procura motivar com analogias os conceitos e as proposicoes tudo isso feito com clareza e coerˆencia logica Ha uma grande preocupac ao em dar definicoes e demonstracoes sem utilizar coordenadas Isto e feito com o proposito admitido de preparar a ca minho para os espacos de dimensao infinita estudados em Analise Funcional So que muitas vezes esse purismo se torna artificial Alem disso com vistas a diversas aplicacoes a familiaridade do es tudante com bases e coordenadas seria de grande utilidade Os livros acima na ordem citada me serviram de cartilhas de Algebra Linear como a tantos estudantes de varias geracoes por todo o mundo Eles contˆem visoes complementares sobre o assunto e sobre a maneira de ensinalo Dealing with vector spaces in the abstract also saves effort The general the ory of vector spaces includes not only the vectors and matrices discussed in Chap ters 1 and 2 but also sets of real and complexvalued functions of a real variable and other more exotic mathematical objects A fact which has been proved once and for all in the general theory applies to a wide range of particular cases That is why it is worth investing some intellectual effort in understanding abstract linear algebra D H Griffel 5 D H Griffel Linear Algebra A First Course and Applications 2 vols Ellis Horwood Limited 1989 O livro de Griffel e escrito para estudantes naomatematicos que deverao usar Algebra Linear em suas carreiras Ele emprega predo 338 Indicacoes Bibliograficas minantemente matrizes e Rn em vez de transformacoes lineares e espacos vetoriais porem conforme a advertˆencia acima citada oca sionalmente se rende a conveniˆencia de adotar uma atitude mais adequada Tratase de um livro de grande simplicidade muito claro e bem organizado com um sabor nitidamente aplicado Contem alguns erros matematicos engracados como por exemplo provar que toda matriz antisimetrica tem determinante zero ou afirmar que pelo Teorema de CayleyHamilton a exponencial de qualquer matriz reduzse a um polinˆomio nessa matriz Tais erros sao pou cos nao interferem no merito geral e deverao ser corrigidos em pro ximas edicoes Sao ate instrutivos inclusive para mostrar ao leitor o que pode esperar no futuro ao ler alguns livros de Matematica Apli cada The solution to each problem immediately follows the statement of the pro blem However you may wish to try to solve the problem yourself before reading the given solution In fact even after reading the solution you should try to re solve the problem without consulting the text Used thus 3000 Solved Problems in Linear Algebra can serve as a supplement to any course in linear algebra or even as an independent refresher course S Lipschutz 6 Seymour Lipschutz Schaums solved problems series 3000 sol ved problems in Linear Algebra McGrawHill Book Company 1989 A bemsucedida serie Schaum de livros de problemas se baseia numa ideia tipo ovodeColombo em vez de disputar sua adoc ao con tra tantos e tao fortes competidores esses livrostexto se disfarcam em colecoes de problemas e assim convivem pacificamente com seus rivais sendo adquiridos pelos estudantes mesmo quando nao reco mendados pelos professores como fontes suplementares de exercı cios De um modo geral e isto se aplica ao livro de Lipschutz eles contˆem uma boa lista de problemas rotineiros que nao exigem gran des rasgos de imaginac ao Mas principalmente porque sao acompa nhados de soluc ao esses exercıcios sao uma ajuda valiosa para os alunos que necessitam um esforco adicional a fim de acompanhar o curso Existe um livro analogo tambem de Lipschutz chamado Li near Algebra que foi traduzido para o portuguˆes e publicado pela McGrawHill do Brasil em 1972 Indicacoes Bibliograficas 339 Os livros 5 e 6 acima se enquadram na categoria de leitura colateral Seguemse trˆes referˆencias a livros que constituem opcoes para a continuac ao deste texto Matrix theory can be studied with no mention of linear spaces and most of the results in this book are of such a nature However the introduction of linear spaces and the role of matrices in defining or representing linear transformations on such spaces add considerably to our insight Most important perhaps the notions of linear spaces and linear transformations give a geometrical basis to matrix theory which aids both in understanding as well as in suggesting proofs and new results J Ortega 7 James Ortega Matrix Theory A Second Course Plenum Press 1987 A economia de pensamento e notac ao bem como a riqueza ima ginativa que provem do uso da linguagem geometrica resultam do emprego judicioso das nocoes de espaco vetorial e transformac ao li near Ortega tira grande proveito desse ponto de vista intrınseco e consegue escrever um livro que em meras 250 paginas faz uma revisao dos princıpios basicos da Algebra Linear e desenvolve com notavel eficiˆencia uma exposic ao sobre topicos avancados da algebra das matrizes que pode ser util tanto para o matematico puro como para aqueles que se interessam de modo inteligente pelo calculo nu merico matricial Linear Algebra like motherhood has become a sacred cow It is taught eve rywhere it is reaching down into the high schools it is jostling calculus for the right to be taught first I Kaplansky 8 Irving Kaplansky Linear Algebra and Geometry Chelsea 1969 Kaplansky e um consagrado expositor Na Universidade de Chi cago onde era colega de MacLane e Halmos suas aulas eram fa mosas pela elegˆancia das demonstracoes e pelo notavel poder de sıntese Estas qualidades estao presentes neste livro Nele o autor oferece uma alternativa para um segundo curso de Algebra Linear como fundamento basico da Geometria esta ultima vista em toda a sua generalidade 340 Indicacoes Bibliograficas As a very simple example the reader should think of the principal axis theo rem spectral theorem for Rn which says that given a selfadjoint transformation one can choose an orthonormal basis in Rn so that the matrix of that transforma tion in that basis is diagonal That is if one chooses the right isomorphic copy of Rn change of basis then the operator becomes especially simple As the reader will see this example is the first note of a rather long simphony M Reed e B Simon 9 M ReedB Simon Methods of Mathematical Physics vol I Functional Analysis Revised Edition Academic Press 1980 Ao mencionar o bem conhecido texto de ReedSimon minha in tenc ao e apresentar um livro de Analise Funcional uma area da Ma tematica onde tudo se passa dentro de espacos vetoriais Ha muitos bons livros sobre este assunto Um exemplo a mao e o excelente Operadores AutoAdjuntos e Equacoes Diferenciais Parciais de Javier Thayer publicado no Projeto Euclides do IMPA A escolha de ReedSimon se deve nao apenas as suas boas qualidades intrınsecas como tambem ao fato de que exibe a Analise Funcional portanto os espacos vetoriais como porta de entrada para a Fısica Matematica Uma palavra sobre prerequisitos o livro de Ortega esta ao al cance imediato de quem leu o presente texto Kaplansky requer um conhecimento elementar de corpos a nıvel de um curso introdutorio de Algebra ReedSimon ou qualquer outro livro de Analise Fun cional pressupoe nocoes basicas de Analise Teoria da Integral e Equacoes Diferenciais 10 Ralph Costa Teixeira Algebra Linear exercıcios e solucoes Colec ao Matematica Universitaria IMPA 2009 O livro de Ralph Costa Teixeira contem as solucoes dos 594 exer cıcios propostos no presente texto Na verdade o total e bem maior do que seiscentos pois varios desses exercıcios sao multiplos Alem das solucoes todas completas e elegantemente apresentadas cada capıtulo tem inıcio com a revisao dos conceitos a serem tratados a discussao de simples exemplos adicionais e o destaque de algumas proposicoes referentes ao tema estudado Lista de Sımbolos Rn R 3 Mm n 3 FX R FX E 3 CkR 9 C0R CR 10 P Pn 10 SX 11 F1 F2 13 F1 F2 13 R 27 LE F LE 39 E 39 IE 39 ImA 58 NA 61 In 88 δij 88 u v 118 uv 121 pruv 123 prFv 126 A 133 aT 135 X 137 LrE R 247 ArE 248 det A 251 LE1 Er R 263 pA 268 Cn 285 a 287 Indice Remissivo Adjunta classica de uma transformac ao li near 135 Antiisomorfismo 286 Autosubespaco 154 163 Autovalor 146 147 generalizado 171 Autovetor 146 Base canˆonica 26 complexa 281 de um espaco vetorial 26 dual 49 133 ortonormal 121 Bidual 72 Combinac ao convexa 7 Complemento ortogonal 137 Completamento do quadrado 232 Complexificac ao de um espaco vetorial 293 305 Comprimento de um vetor 119 Cone 8 Cˆonica 237 Conjunto convexo linearmente dependente 26 linearmente independente 24 Conjunto ortogonal 121 ortonormal 121 Coordenadas de um vetor 26 Cosseno do ˆangulo entre dois vetores 132 Decomposic ao a valores singu lares 211 ldu 223 lu 212 218 qr 209 de Cholesky 208 218 polar 183 211 Descomplexificada 281 283 Desenvolvimento de um deter minante 260 Desigualdade de Schwarz tri angular 123 Determinante de ordem 2 153 caracterizac ao axiomatica 253 de um operador 251 de uma matriz 253 do operador descomplexifi cado 291 Diagonalizac ao 211 Dimensao de um espaco vetorial 27 de uma variedade afim 32 finita 29 infinita 30 344 Indice Remissivo 345 Distˆancia entre vetores 124 Eixos principais 237 Elıpse 237 Eliminac ao de GaussJordan 111 gaussiana 103 212 Elipsoide 170 238 Envoltoria convexa 8 Equacoes a diferencas finitas lineares 299 Escalonamento 103 Espaco dual 39 286 complexo 280 euclidiano 2 vetorial 1 Espacocoluna e espacolinha 91 Forma alternada 247 Forma antisimetrica 247 Forma bilinear 224 antisimetrica 227 indefinida 230 naonegativa 230 naopositiva 230 negativa 230 positiva 230 quadratica 228 rlinear 245 simetrica 226 Forma sesquilinear 285 Func ao ımpar 21 limitada 21 par 21 Funcional linear 39 Geradores 11 Grafico de uma transformac ao linear 81 Gramiano 264 Hiperbole 237 Hiperboloide 238 Hiperplano 10 Homotetia 85 Identidade de Lagrange 267 Imagem de um vetor 38 de uma transformac ao li near 58 Indice mudo 226 de uma forma quadratica 231 Inversa 64 a direita 59 a esquerda 88 Inverso aditivo de um vetor 1 Involuc ao 78 Isometria 185 Isomorfismo 64 LD 26 LI 24 Lei da inercia 232 Matriz 3 antisimetrica 20 190 aumentada 106 conjugada 287 de forma bilinear 224 quadratica 229 de Gram 204 de Householder 131 186 de passagem 89 de permutac ao 215 de posto maximo 166 de Vandermonde 265 diagonal 159 diagonalizavel 144 162 346 Indice Remissivo elementar 212 escalonada 102 hermitiana 287 identidade 88 invertıvel 88 naonegativa 162 normal 189 292 orgotonal 175 por blocos 291 positiva 128 162 232 quadrada 3 simetrica 20 162 transformac ao linear 35 70 triangular 34 206 unitaria 288 Matrizes semelhantes 90 Menor determinante 259 principal 262 Metodo de Lagrange 232 Multiplicidade de um autovetor 275 de uma raiz 288 Negocio de pai para filho 319 Norma de um vetor 119 aspectral 171 Nucleo 60 Numero de ouro 318 Operac ao elementar 103 111 212 Operador antisimetrico 190 autoadjunto 156 hermitiano 287 293 idempotente 77 identidade 39 linear 39 naonegativo 161 nilpotente 53 290 319 normal 189 292 positivo 161 triangularizavel 221 269 unitario 287 Orientac ao 181 Paraboloide 241 Paralelepıpedo 264 Permutac ao 262 263 Pivˆo 213 219 Plano 21 Polarizac ao 228 Polinˆomio caracterıstico 150 268 mˆonico 145 mınimo 294 Posto de uma forma quadratica 231 matriz 91 92 transformac ao linear 91 Processo de GramSchmidt 124 Produto cartesiano 75 de Hadamard 172 de matrizes 86 de numero por transforma c ao 38 de numero por vetor 1 de permutacoes 262 de transformacoes lineares 51 exterior de funcionais line ares 264 hermitiano 284 interno 118 tensorial de funcionais li neares 214 218 227 242 248 vetorial 131 192 266 Indice Remissivo 347 Progressao aritmetica e geome trica 300 Projec ao 76 ortogonal 43 122 138 172 Pseudoinversa 195 Quadrado magico 98 Quadrica 238 central 236 Raiz caracterıstica 268 quadrada de um operador 163 Reflexao no plano 45 Regra de Cramer 254 Reta 9 14 Rotac ao 42 181 Segmento da reta 7 Semelhanca 186 Sequˆencia de Fibonacci 318 Sımbolo de Kronecker 88 Sistema de equacoes a diferen cas finitas linear homo gˆeneo 27 Sistemas lineares equivalentes 106 Soluc ao trivial 27 Soma de transformacoes line ares 38 de vetores 1 direta 13 21 75 Subconjunto simetrico 20 Subespaco vetorial 9 gerado por um conjunto 10 invariante 146 paralelo 15 Submatriz principal 216 Teorema de CayleyHamilton 274 289 309 de Pitagoras 122 do nucleo e da imagem 65 espectral 160 para operador complexo 292 fundamental da Algebra 145 Traco 36 99 Transformac ao afim 50 Clinear 281 injetiva 60 invertıvel 64 linear 38 ortogonal 179 sobrejetiva 58 Translac ao 239 Transposic ao 262 Transposta de uma matriz 135 Valor singular 166 Variedade afim 14 Vetorcoluna e vetorlinha 3 unitario 119 Vetores linearmente dependente 26 264 linearmente independentes 24 ortogonais 121 Volume 264