Noções a Álgebra Linear- Base Mudança de Base Autovalores e Autovetores

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT 138 NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR LISTA 3 DE BASE MUDANÇA DE BASE AUTOVALORES E AUTOVETORES DATA DE ENTREGA 25012025 Nome Matrícula Turma 1 1 pt Mostre que v1 1 1 1 v2 0 1 1 v3 0 1 1 forma uma base do R³ 2 1 pt Mostre que v1 1 1 1 v2 0 1 1 v3 0 1 1 v4 3 1 1 gera o R³ mas por quê não forma uma base do R³ 3 1 pt Considere o subespaço W de R³ dado por W x 3y z x 2y 2t y z 2t x y z t R a Mostre que os vetores v₁ 1 1 0 e v₂ 0 1 1 pertencem ao subespaço W b Determine um conjunto de vetores que geram W 4 1 pt Considere o subespaço W de R³ dado por W x 3y z x 2y 2t y z 2t x y z t R a Verifique se o conjunto S v₁ 1 1 0 v₂ 0 1 1 forma uma base de W justificando sua resposta b Qual a dim W 5 1 pt Determine uma base e a dimensão de W justificando detalhadamente em que W é subespaço de R⁴ dado por W a 2b 0 a b c 24a 3b 17c a b c R 6 1 pt Determine a matriz das coordenadas do vetor v1 1 2 5 em relação à base B 1 1 1 1 2 0 3 1 0 de R³ 7 1 pt Considere o subconjunto de vetores B 1 1 0 0 1 1 1 0 1 a Determine as matrizes das coordenadas dos vetores canônicos e1 e2 e e3 em relação à base B b Encontre a matriz de mudança de base ICB em que C e1 e2 e3 é a base canônica de R³ 2 8 1 pt Considere as bases B v1v2v3 e C w1 w2 w3 de R3 relacionadas da seguinte forma w1 v1 v2 v3 w2 2v2 3v3 w3 3v1 v3 Pedese a Determine as matrizes de mudanca de base IC B e IB C b Sabendo que vB 1 2 3 escreva o vetor v como combinacao linear dos vetores da base C 9 1 pt Considere a seguinte matriz de mudanca de base de B para C IB C 1 1 0 0 1 1 1 0 1 Encontre a vB onde vC 1 2 3 b vC onde vB 1 2 3 10 1 pt Considere a matriz A 1 4 0 1 1 4 0 2 1 a Determine os autovalores de A b Determine para cada autovalor λ o autoespaco V λ c A matriz A e diagonalizavel Justifique d Determine se possıvel uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que P 1AP D UEV Álgebra Linem as10s12025 1 Matr que 1 1 10 1 1 1051 forma uma base do IR3 Da mantisse Dado qualque x y gle R vamos mostra que existem Q Q2eQzERRISOS tais que x y z 0 5 28 QzUs as 1 1 420 1 1 ag0 5 1 a x x2 kz Qj x Qz Donde L EIXA S 3 x 42 Q y y 2x 242 X Substituindo 2 em y X 2 03 temos y X X kz Então para qualque Xy 1g ER temos x y y X X Uma vy que 2008 qua R e tem 3 elementos então ene conjunto fama ume e RED Morte que 0 15 5 5 V 10 1 5 1 0 105 1 Va 3 5 11 gena o I mas por que não forma uma base do I3 Demataçã De fato ga pois matismos 8 E 533 é uma base de 123 porém So Un não é L I pois 4 3 5 2 32 3 E5 35 38 V 11 1 pt Considere A 1 2 3 2 a Mostre que a matriz A é diagonalizável b Encontre A²⁰²⁵ 12 1 pt Seja A 3 1 0 1 2 1 0 1 3 a Encontre uma base B de R³ constituída de autovetores de A b Encontre a matriz mudança da base IBC em que B é a base encontrada no item a e C a base canônica de R³ c Mostre que A é diagonalizável e P IBC é uma matriz tal que P¹AP D 13 1 pt Seja A 3 2 0 6 5 0 4 4 1 a Mostre que λ₁ 3 e λ₂ 1 são os únicos autovalores da matriz A b Determine os autoespaços Vλ₁ e Vλ₂ de A e suas dimensões c Determine se possível uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que P¹AP D 14 1 pt Seja M 3 0 0 0 0 3 0 6 3 a matriz de mudança de base C 1 1 1 0 1 1 0 0 1 para B v₁ v₂ v₃ a Encontre a matriz mudança de base B para C b Determine a base B v₁ v₂ v₃ c Se v 2v₁ v₂ 3v₃ determine a matriz das coordenadas de v em relação à base C 15 1 pt Seja M 3 0 0 0 0 3 0 6 3 a Determine os autovalores de M b Determine os autoespaços associados aos autovalores encontrado no item a e suas dimensões 137 Considere o subespaço W de IP dado por W x3y z x 2y 2t y z 2t X y z tti a Montre que os vetores J 1 1 0 e 10 1 1 pertencem ao subespaço W 16 Determine um conjunto de vetores que genm W Demonstração Note que x3y z x 2y 2t y z 2t X 5 0 y 3 2 1 g 5 0 3 t Do 2 2 Anim JeW buta tomm X s y geto e GeW data tomm to e x y z 0 Além dimo 3 2 1 2 5 5 01 15 0 1 Então x3y z x 2y 2t y z 2t X s 0 y 3 2 1 g 5 0 3 t Do 2 2 X 2 2 a y2s s d 5 0 s zs 0 5 0 2 2 N 2y 1 2 0 z y1 0 1 0 2 2 Agora note que 1 01 15 5 01102 2 Donde x3y y X 2y 2t y z 2t N 2y 1 2 z y1 0 1 0 2 2 x 2y1 2 d y ys 5 a 10 22 0 2 2 x by y1 2 0 t 1 0 2 2 Patento 91s 2 0 10 2 217 geram Wa 147 Considere o subespaço W de IP dado por W x3y z x 2y 2t y z 2t X y z tti 2 Unifique se o conjunto S 2 5 105 11 forma uma base de N justifique wa resporta 16 And a dimWI Demonstração Na questão 11 provamos que x3y y x 2y 2t y z 2t x by y1 d 0 t 2 0 2 2 x 3y y5 5 0 t E E0 5 2 x 3y z s a 0 G 0 5 2 Portanto 15 5 0 e 105 11 gazm W e é um conjunto I Anim dim W 2 15 Determine uma base e a dimemão de W justificando detalhadamente em que N é subepago de IR dado por w a 26 0 a b c 24a 36 57ca 6 ce1R Demonstração Note que 2 26 0 a b c24a 36 17c 2 5 0 1 24 62 0 9 3 c0 0 1 57 Afirmamos que 15 0 1s 24 2 0 5 3 100 1 1715 é uma base de W a eq acima monta que o conjunto gea W vamos ver que o conjunto é L I a 1 0 1 24 42 2 0 5 3 430 0 1 57 10 0 0 0 Donde I Q 2k2 0 a y k2 kz 02 24k 3x2 43 03 1 Q 202 subritituindo em 2 D 202 02 kz 0 Qz 302 Substituindo Q 242 e Qz 302 em 3 temos 24 2x2 342 0x2 0 4842 342 3xz 0 3 Portanto 615 05 24 12 0 5 3 10 0 2 5715 é uma bue de we dimW 3 6 Determine a matriz da coordenadas do vetor 15 2 5 em relação à base B 5 1 2 12 2 0 3 1 03 de IR3 Demonstraç Para ino precisamos encontra Q2 QzEIR fais que 15 2 5 4 5 5 5 201 2 8 433 1 0 Donde S y 42 3xz 1y 2k2 az 22 y 0 0 53 3Es mbintituindo em 11 e 21 temos k 3kz 1 5 qX 2 242 6kz 8 E2x2 az 2 5 7 ED E 242 Qz 7 Somando 6Kz 3 8 7 ED543E SubstituindoQ 5 e kz em 21 temos 5 242 1 2 2x2 2 1 5 7 q Portanto FY 17 Comidee B 15 1 0 10 1 1 12 0 113 a Determine as matrizes da coordenadas dos vetores canônicos em relação à bare B Demonstração e e 5 0 0 4 5 5 01 0210 5 5 43 2 0 1 Donde c a Qy1 S 0 a 2 Az 2 3 Daj kz 02 0 2 kz az 42 Substituindo Xz 2 em 1 temos 3 x2 x2 02 2 Dkj kz 2 Portanto 27 0 2 0 a 1 5 01 42 0 5 5 43 2 0 1 Donde 0 k Qy Q 4z S 1 4 xa1 J Da 0z Q 3 0 k kz az 4 Substituindo X 4 em 1 temos 3 Uz Az G kj 4z Portanto 2 SI 112 512i 38 3 10 01 4 5 5 01 420 5 5 43 2 0 1 Donde S 0 Q Qy Qj Os 2 kz As 0 Q xa Daz 4 1 42 kz1 Substituindo a x x em 1 temos G 2 0 E k kz 2 3 Portanto es Esta 11212 Encontre a matriz de mudança de base I onde G Es 2 es3 é a base canônica Demonstração Pelo Item a já sabemos 9 en tesp logo E 3p eab es 187 Comidare a bases B 3 e E de R relacionadas da seguinte forma S 1 U 151 Os Wa 0 Uj 2 E 3 Us Wi 3 E 0 E 1 Pedese 2 Determine as matrizes de mudança de base I e I 1 Sabendo que OSp 1 eneva o vetor o como combinação linen do vetores de be e Remantras E w p wab wsp I 3 invena de I Sabendo am 5I an obs ITr 19 Considere aseguinte matriz de mudança de base de B para 6 T Encontre a 0p onde obce 161 0 ond V Demontessão Sabemos que 0e v Além dimo O 0 IJETUe CTIB Toby invena de LIS 10 Conside a matrig A Soluçã px defaXP I I det X3 8s x 4 x x13 45 x s xs 2x x4 a 4x 1 2x x X 2x X 4 4x X 3x X 3 ② Autovalores de A no os gar pro 0 3x2 X 3 ED 0 X 3x 3 1 tate a azizes accionais Se IS e note que X Enzing Logo 0 xq com qx X 24 3 D 3eX 1 Donde 1 1 Xz 3 e Xz 1 ⑥ Os autrespaços VIXI para cada X d 0 A 5x y z O E 2 x yy ey 0 o 2y Logo xy j VII é da forma 04z 0 y z 14 0 1 par ger VIl 4 0 11 3 0 A 31xy zE Substituindo y ez em 11 temos 0 X 2y 42 X 2 1 4 X X 2x 0 Ou veja X é live Logo xy j V13 é da forma IX X12 X12 Xo d di par XeR D VI d 0 A 1 xy z E 2x Hy 0 ED y xy 4 1 2y 22 0 z y 1 Substituindo y ez em 11 temos 0 X2y 42 X 2 1 4 X X 2x 0 Ou veja X é live Logo xy j V11 é da forma XX12 X2 XodE par XeR D Vi kid A é diagonalizável porque como vimos temos a autoradores distintos A matriz diagonal é formada pelos autovalores Noem O achamo a de anocinda a cada autora 1la e 5 2 1 O Anim P 0 0 05 422 15 Comidae A Morte que A é diagonalizável Encontre2 Demonstração px defAx det5 2 sx 2 x2x x 6 im X 2 ex ② Tema dois autordor distintos logo A é diagonalizável ⑥ Temos A PDP onde D 20 Anim A PDPPDPP PD PORIDP PDIDP PDEP Repetindo obtemos A2025p2023 Nomes encontra D D202p 2 0 A 21 x y Y2y x2y Oy 3 10 A 1 X y 02Y 4 3X y 0 y 3X DE 1S P Note que D2010 0 Logo 12 112 2D A ② Enconte uma base B de R constituida deeutovetores de A E Encontre a matriz de mudança de Jan EIJB em que B é a da encontrada no item 8 e o é a base canônica de 13 ② Montre que A é diagonalizável e P I é uma matriz tal que PAP D Temantas px def A x d 3 XI 3dede 3 x2 x3 x 1 3 x 3 X2 2N 3 x b x s 6x x2 x g 2x 18 12x 2x 9x 6x X3 9 2x X3 8x2 59X9 DX3 8x 19x 9 0 1 Tenta raig racional ES E3 19 Note que X 1 xz 3 e Xz 4 15 raízes de px 12 o A5Xiyi I Donde 0 2x y y 2x e o y 2y Dz 7 X Portantos xyigle Vs é da forma X 2X XI logo 1 2 1 é autoreto 3 0 DAbx y g 0 i y Então O X y D z X Portanto Kyigle V2 re X 0 X logo 15 0 1 é autorator 0 A17Xy j o xy y o y y Dy y X Portanto X X XE VII logo 15 5 5 é autorator ② Portanto B s 2 1 15 0 1 5 15 5 51 é uma bue de autoratores ⑥ Como no itam encontramos B seque diretamente que I 558 1 de ③ Se P IIJB P P 1 Sb Ase O PAP t o I O O 3 O 163 Seja A39Marque enaentodo ② Determine re pronível Pe D D PAP Soluç ② px det Ax det32dt0x I 4 I 3 x 3 xs x 2 6s x 3 X5 xs x 121 x s X 12 3 x5 x s xx2 5 3x 5x X4 s xx2 2x 3 Xs 1 é autoraos 2x 3 0 Portanto os autoradores nãoj s e Xc 3 ⑧ 1 0 A1 X y z a 2 I 4 6 6 4x 1y 10 0 1 e 171 5 0 não autoradores dese dimVII 2 1 3 0 A biX y z 62 oY f extay Oy I 4 2 Do 4X ny 4z aX 12x 4z D4z 8X Dy 2X Portanto 15 3 2 é autorator de X 3 Logo Jim VE31 1 Anim P 3 D0 50 2 D Seja M 300 a making I onde Ess 10e B 5 E US ② Encontre B para G ⑭ Determine a Jo B ② Se v 28 02 35 detamine 0e Soluçãe E Sabemos que IT I15 ⑧ Tone 7 5 E E Portanto V 5 3 s 1 13 13 13 2 10 5 5 20 0 5 10 36 5 0 36 10 16 sa 5 10 5 1 10 516 316 Enfim B G513 113 513 10 316 512 10 516 so ② Se v 28 02 35 rB 2 Patento VTg IJB TLOJO 15 Seja M 30 Determine os autovalores de as ⑯Determine os autoespaços anociados e mas dimensões Demontanse px defM x detfX det Xx 6 3 xI px 3 x3x x2 18 X 3 x 3x 18 0 X Portanto X 3 Xz 3 Xz 6 1 31 0 31X y y 1000 a o yzy Logo V13 5 0 0 e dimV31 S V 0 M 31X y z 60 g X o O Logo V3 10 51 JimV3 1 M6y z X 0ezz Logo VI 6 10 1 21 dim V6 1