Cálculos Matrizes

Introdução ao estudo das matrizes Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir matriz e seus elementos classificação e relacionála com tabelas utilizadas no dia a dia Realizar as operações de adição subtração produto por escalar transposição e multiplicação de matrizes Resolver problemas aplicados envolvendo operações com matrizes Introdução As matrizes são ferramentas matemáticas muito úteis para organizar e processar informações Por isso elas estão frequentemente presentes em várias áreas da ciência Neste capítulo você aprenderá a construir e classificar uma matriz bem como manipulála algebricamente por meio das operações de soma subtração e multiplicação entre um escalar e uma matriz e entre matrizes A partir disso você aplicará esse conhecimento na resolução de problemas cotidianos por meio de matrizes Definição e classificação de matrizes Para que você desenvolva uma intuição inicial sobre matrizes considere o seguinte exemplo hipotético você e uma amiga são agentes autônomos e atuam em um escritório ofertando produtos financeiros a clientes que queiram investir na formação de poupança Os produtos financeiros são fundos de renda fixa RF fundos multimercado M e planos de previdência P Para o mês de janeiro você e sua amiga elaboraram um quadro com o quantitativo Quadro 1 que cada um ofertou desses produtos Faça b11 b22 1 e b12 b21 0 nos resultados acima de AB e BA A segunda condição particular é aquela em que as duas matrizes são diagonais ou seja A a11 0 0 a22 e B b11 0 0 b22 Nesse caso o produto entre as duas matrizes é comutativo pois AB BA a11 b11 0 0 a22 b22 Faça a12 a21 0 e b12 b21 0 nos resultados acima de AB e BA Equação matricial Uma equação matricial é uma relação de igualdade entre duas ou mais matrizes assim como ocorre com os escalares por exemplo 2x 4 0 Algumas equações matriciais típicas são A B C A 2B 3C AX B A2 X e assim por diante Exemplo 1 Dadas as matrizes A 3 2 1 5 B x y z t e C 0 1 1 2 é possível encontrar os valores dos elementos da matriz B que satisfaçam a equação matricial 2A B C Veja 2A B C 2 3 2 1 5 x y z t 0 1 1 2 6 4 x y 0 1 2 10 z t 1 2 6 x 4 y 0 1 2 z 10 t 1 2 Agora como os elementos da matriz do lado esquerdo devem ser iguais aos da matriz do lado direito você tem simplesmente quatro equações escalares para as variáveis x y z e t 6 x 0 então x 6 4 y 1 então y 5 2 z 1 então z 3 e 10 t 2 então t 8 Matriz identidade É um caso particular da matriz escalar pois todos seus elementos da diagonal principal são iguais à unidade isto é aii 1 para i j Uma notação convencional para a matriz identidade é rotulála por I A matriz identidade do tipo 3 x 3 é I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e a matriz identidade do tipo 2 2 é I 1 0 0 1 Matriz transposta Dada uma matriz A A a11 a12 a13 a21 a22 a23 do tipo 2 3 a matriz transposta de A denotada por AT é obtida pela transposição entre a primeira linha e a primeira coluna e entre a segunda linha e a segunda coluna resultando em uma matriz do tipo 3 2 AT a11 a21 a12 a22 a13 a23 Exemplo A matriz transposta de A 1 0 6 4 é AT 1 6 0 4 A matriz transposta de B 2 2 1 3 0 7 3 4 5 é BT 2 3 3 2 0 4 1 7 5 Introdução ao estudo das matrizes 2 Dadas as matrizes A a11 a12 a21 a22 X x y e B b1 b2 a equação matricial AX B resulta em um sistema de duas equações lineares para as variáveis x e y Veja AX B a11 a12 a21 a22x y b1 b2 a11x a12y a21x a22y b1 b2 Ou seja a11x a12y b1 a21x a22y b2 Um exemplo típico desse tipo de sistema é o seguinte 3x y 2 x 4y 1 onde nesse caso você pode identificar a matriz A como sendo 3 1 1 4 e a matriz B como sendo 2 1 Aplicações com matrizes Reconsidere o exemplo discutido no início deste capítulo em que você e sua amiga são agentes autônomos A matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é A 14 10 12 20 8 16 Para o mês de fevereiro o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga é B 10 14 15 10 16 12 Introdução ao estudo das matrizes Portanto a quantidade de diferentes produtos financeiros que vocês ofertaram nesses dois meses é A B 14 10 12 20 8 16 10 14 15 10 16 12 24 24 27 30 22 28 Logo você ofertou 24 fundos de renda fixa e fundos multimercado enquanto sua amiga ofertou 30 fundos de renda fixa e 22 fundos multimercados Agora considere que vocês recebem uma comissão para cada produto financeiro ofertado Para fundos de renda fixa a comissão é de R 10000 por produto ofertado Já para os fundos multimercados e os planos de previdência as comissões são respectivamente de R 12000 e R 15000 por produto ofertado Para saber o valor total que cada um de vocês receberá de comissão ao final desses dois meses basta primeiro criar uma matriz do tipo 3 x 1 em que cada elemento será o valor da comissão para cada produto Assim C 100 120 150 Depois você pode multiplicar o resultado da soma das matrizes A e B ou seja A B com a matriz C A B C 24 24 27 30 22 28100 120 150 24 100 24 120 27 150 30 100 22 120 28 150 9330 9840 Portanto nesses dois meses você receberá um total de R 933000 de comissão e sua amiga receberá um total R 984000 Introdução ao estudo das matrizes Exemplo Como exemplo adicional de multiplicação de matrizes considere uma matriz A do tipo 2 x 2 dada por A a11 a12 a21 a22 e a matriz identidade I também do tipo 2 x 2 I 1 0 0 1 Então o resultado do produto AI será AI a11 a12 a21 a221 0 0 1 a11 a12 a21 a22 Ou seja AI A Esse resultado é válido para qualquer tipo de matriz quadrada A do tipo m x m desde que a matriz identidade também tenha o mesmo tamanho Verifique também que IA A Referências ANTON H BUSBY R C Álgebra linear contemporânea Porto Alegre Bookman 2006 ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2003 CRISPINO M L 320 questões resolvidas de álgebra linear Rio de Janeiro Ciência Moderna 2012 os elementos da matriz são identificados como a11 1 a12 4 a13 0 a21 1 a22 2 e a23 3 a11 a12 a13 1 4 0 a21 a22 a23 1 2 3 Matriz diagonal Os elementos da diagonal principal de uma matriz são aqueles em que i j ou seja a11 a22 a33 etc Uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal principal são todos nulos isto é aij 0 para i j é dita ser diagonal No exemplo a seguir a matriz B é diagonal pois os elementos b21 e b12 são nulos B 1 0 0 3 Matriz triangular Há dois tipos de matriz triangular a superior em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos ou seja A a11 a12 a13 0 a22 a23 0 0 a33 e a inferior em que os elementos acima da diagonal principal são nulos ou seja B b11 0 0 b21 b22 0 b31 b32 b33 Matriz escalar É uma matriz diagonal em que todos os elementos são iguais 3 0 0 3 Matriz linha É outro caso particular de matriz retangular pois é composta por uma única linha e por isso do tipo 1 n O exemplo a seguir mostra uma matriz linha do tipo 1 2 3 5 Fique atento Uma matriz linha também pode representar as componentes de um vetor e por isso é conhecida por vetor linha Outra classificação importante de matrizes envolve os elementos da matriz Considere a matriz A dada por A 1 0 6 4 O elemento que aparece na interseção da primeira linha i 1 com a segunda coluna j 2 é o número 0 Assim ele pode ser representado de forma mais geral como a12 0 Dessa maneira cada elemento da matriz é representado por uma coordenada de localização na matriz dada por aij em que o índice i indica a linha e o índice j indica a coluna em que se pode localizar um determinado elemento da matriz Neste exemplo os elementos da matriz são identificados como a11 1 a12 0 a21 6 e a22 4 Ou seja A a11 a12 a21 a22 1 0 6 4 Para a matriz do tipo 2 3 dada por B 1 4 0 1 2 3 14 Introdução ao estudo das matrizes Quadro 1 Quantidade de cada produto financeiro ofertado RF M P Você 14 10 12 Amiga 20 8 16 Os números apresentados nesse quadro podem ser representados como 14 10 12 20 8 16 O arranjo acima corresponde a uma matriz e cada número desse arranjo é denominado de elemento da matriz Cada linha representa o quanto de cada produto financeiro você e sua amiga ofertaram por exemplo na segunda linha é visto que sua amiga ofertou 20 fundos de renda fixa 8 fundos multimercado e 16 planos de previdência Já cada coluna representa o quanto você e sua amiga ofertaram de cada tipo de produto financeiro por exemplo a primeira coluna mostra que você ofertou 14 fundos de renda fixa e sua amiga ofertou 20 fundos desse mesmo tipo Dessa forma uma matriz é simplesmente um agrupamento retangular de números dispostos regularmente em linhas e colunas O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que ela contém Assim uma matriz é dita ser do tipo m n leiase m por n quando ela tem m linhas e n colunas No exemplo anterior a matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é do tipo 2 3 m 2 e n 3 Consequentemente podese desenvolver uma classificação de diferentes tipos de matrizes baseada no tamanho delas Matriz retangular É aquela na qual o número de linhas e colunas é diferente isto é m n A matriz a seguir é retangular pois é do tipo 2 3 14 10 12 20 8 16 Outro exemplo desse tipo de matriz seria o seguinte que é uma matriz do tipo 3 2 3 2 7 1 0 2 Matriz quadrada É aquela que contém o mesmo número de linhas e colunas isto é m n Esse é o caso de uma matriz do tipo 2 2 1 0 6 4 Matriz coluna É um caso particular de matriz retangular composta por uma única coluna Por isso é do tipo m 1 O exemplo a seguir mostra uma matriz coluna do tipo 3 1 1 2 3 Fique atento Uma matriz coluna pode representar as componentes de um vetor e por isso também é conhecida por vetor coluna Exemplo 1 A multiplicação de uma matriz quadrada A pela matriz identidade I de mesmo tamanho é igual à própria matriz A Se A 3 2 1 5 então o produto AI fica sendo AI 3 2 1 0 3 2 1 5 1 5 0 1 2 Considere duas matrizes quadradas do tipo 3 3 A 2 1 3 1 0 1 4 2 3 e B 1 3 0 0 5 1 2 2 2 Então o resultado produto entre elas AB é AB 2 1 1 0 3 2 2 3 1 5 3 2 2 0 1 1 3 2 1 1 0 0 1 2 1 3 0 5 1 2 1 0 0 1 1 2 4 1 2 0 3 2 4 3 2 5 3 2 4 0 2 1 3 2 AB 8 17 7 3 5 2 10 28 8 3 Se uma matriz A 3 2 1 5 multiplica uma matriz B 2 0 1 0 que contém uma coluna ou uma linha inteira com elementos nulos então o resultado será igual a uma matriz que também contém uma coluna ou uma linha inteira com elementos nulos AB 3 2 2 0 8 0 1 5 1 0 3 0 A operação de multiplicação entre matrizes apresenta algumas propriedades importantes Considere três matrizes A B e C cujos tamanhos permitem realizar as operações de soma e multiplicação para cada situação de interesse Propriedade associativa O resultado da multiplicação da matriz A pelo produto das matrizes B e C é igual ao produto das matrizes A e B multiplicado pela matriz C ABC ABC Propriedade distributiva À direita o resultado da multiplicação da soma das matrizes A e B pela matriz C é igual à soma dos produtos das matrizes A com C e B com C A BC AC BC À esquerda o resultado da multiplicação da matriz A pela soma das matrizes B e C é igual à soma dos produtos das matrizes A com B e A com C AB C AB AC Contudo vale a pena observar que em geral o produto entre duas matrizes não é comutativo isto é AB BA note que o produto entre dois escalares é sempre comutativo ou seja 2 3 3 2 6 Para que você entenda isso considere duas matrizes quadradas do tipo 2 2 A a11 a12 a21 a22 e B b11 b12 b21 b22 O produto AB é dado por AB a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b21 a11 b12 a12 b22 a21 a22 b21 b22 a21 b11 a22 b21 a21 b12 a22 b22 O produto BA é dado por BA b11 b12 a11 a12 a11 b11 a21 b12 a12 b11 a22 b12 b21 b22 a21 a22 a11 b21 a21 b22 a12 b21 a22 b22 Logo quando você compara elemento por elemento em cada uma das matrizes resultantes de AB e BA por exemplo AB11 a11 b11 a12 b21 a11 b11 a21 b12 BA11 você percebe que eles são todos diferentes No entanto a partir desse tratamento geral para o produto de duas matrizes é possível extrair algumas condições particulares que possibilitam gerar AB BA Uma primeira condição surge quando uma das matrizes é a matriz identidade Por exemplo se B I então o produto entre A e I será comutativo AI IA a11 0 0 a22 AB 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 3 3 1 7 13 Agora considere uma nova matriz A do tipo 1 x 2 dada por 1 3 e uma nova matriz B do tipo 2 x 2 dada por 2 3 2 1 Nesse caso o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B será uma matriz do tipo 1 x 2 Agora para você calcular o produto AB deve multiplicar a linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B 1 2 3 2 8 cujo resultado fornece o primeiro elemento da matriz linha resultante do produto entre A e B O segundo elemento dessa matriz é obtido pela multiplicação da linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B 1 3 3 1 6 Veja AB 1 3 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3 3 1 8 6 O último tipo de multiplicação de matrizes relevante é a multiplicação entre duas matrizes quadradas Considere duas matrizes do tipo 2 x 2 dadas por A 1 1 2 3 e B 0 2 3 1 A matriz resultante do produto AB também será uma matriz quadrada do tipo 2 x 2 e é operacionalmente obtida como AB primeira linha A x primeira coluna B primeira linha A x segunda coluna B segunda linha A x primeira coluna B segunda linha A x segunda coluna B Logo AB 1 1 2 3 0 2 3 1 1 0 1 3 1 2 1 1 2 0 3 3 2 2 3 1 3 3 9 7 Multiplicação entre matrizes A multiplicação entre matrizes exigirá de você um pouco mais de atenção A única condição necessária para que se possa multiplicar duas matrizes A e B é que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B Assim se a matriz A é do tipo m x n e a matriz B é do tipo p x q então o produto AB entre as matrizes somente ocorre se n p Além disso o resultado final dessa multiplicação entre as matrizes A e B será uma nova matriz do tipo m x q ou seja com o mesmo número de linhas da matriz A mas com o mesmo número de colunas da matriz B Em particular para o caso de duas matrizes quadradas de mesmo tamanho a matriz resultante do produto entre elas será do mesmo tamanho que elas A existência dessa relação entre o número de colunas de uma matriz com o número de linhas da outra decorre da necessidade de se envolver um mesmo número de elementos para multiplicação entre as matrizes Considere o seguinte exemplo uma matriz A do tipo 2 x 3 dada por A 1 1 2 2 3 3 e uma matriz B do tipo 3 x 1 dada por B 2 3 1 Como o número de colunas de A que é 3 é igual ao número de linhas de B que também é 3 essa multiplicação é possível Observe também que a multiplicação de uma matriz do tipo 2 x 3 A por uma matriz do tipo 3 x 1 B resulta em uma matriz do tipo 2 x 1 AB Operacionalmente a multiplicação ocorre da seguinte maneira multiplicase a primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B elemento por elemento na ordem que estão dispostos primeiro elemento da primeira linha de A 1 com o primeiro elemento da coluna de B 2 segundo elemento da primeira linha de A 1 com o segundo elemento da coluna de B 3 e assim por diante somandose os produtos individuais desses elementos 1 2 1 3 2 1 7 cujo resultado será o primeiro elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B Repetese o mesmo procedimento para a segunda linha da matriz A multiplicandoa com a primeira coluna da matriz B cujo resultado 2 2 3 3 3 1 13 corresponderá ao segundo elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B Veja Saiba mais A matriz resultante de operações de adição ou subtração terá sempre o mesmo tamanho das matrizes que foram usadas nessas operações Multiplicação de uma matriz por um escalar Um escalar é simplesmente um número puro que também pode ser visto como uma matriz 1 x 1 Então a multiplicação de uma matriz A por um escalar c qualquer implica que cada elemento da matriz será multiplicado pelo escalar c isto é caij Por exemplo se c 2 então cA 2 1 3 2 0 2 1 2 3 2 2 2 0 2 6 4 0 Observe que nesse processo de multiplicação a matriz resultante tem o mesmo tamanho da matriz original A A operação de multiplicação de uma matriz por um escalar apresenta algumas propriedades que são descritas a seguir Dadas duas matrizes A e B e um escalar c o resultado da multiplicação do escalar pela soma das matrizes cA B é igual à soma das matrizes já multiplicadas individualmente pelo escalar cA cB cA B cA cB Dada uma matriz A e dois escalares c e d o resultado da soma dos escalares multiplicado pela matriz c dA é igual à soma da matriz multiplicada individualmente por cada um dos escalares cA dA c dA cA dA Dada uma matriz A e dois escalares c e d o resultado da multiplicação de um escalar pela matriz já multiplicada pelo outro escalar cdA é igual ao produto dos escalares multiplicado pela matriz cdA cdA cdA A operação de adição tem duas propriedades importantes descritas a seguir Propriedade comutativa Dadas duas matrizes A e B o resultado das somas A B e B A é igual A B B A Propriedade associativa Dadas três matrizes A B e C o resultado da soma A B com C é igual ao da soma de A com B C A B C A B C Subtração A operação de subtração entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada por meio da subtração direta dos elementos de cada matriz que estão localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna ou seja aᵢⱼ bᵢⱼ Exemplo Dadas duas matrizes quadradas do tipo 2 x 2 A 4 8 3 5 e B 2 5 3 3 então o resultado da subtração de A por B A B é A B 4 8 3 5 2 5 3 3 2 3 0 2 Observe que a₁₁ b₁₁ 4 2 2 a₁₂ b₁₂ 8 5 3 a₂₁ b₂₁ 3 3 0 a₂₂ b₂₂ 5 3 2 Introdução ao estudo das matrizes Exemplo Se a matriz quadrada B do tipo 2 x 2 dada por B b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ for igual à matriz A 1 0 6 4 então é verdadeiro que b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂1 0 6 4 implicando que b₁₁ 1 b₁₂ 0 b₂₁ 6 e b₂₂ 4 Se a matriz A 1 2 0 1 for igual à matriz C x y 0 1 então 1 2 0 1 x y 0 1 implicando que x 1 e y 2 Adição A operação de adição entre duas matrizes A e B de mesmo tamanho é realizada por meio da soma direta dos elementos de cada matriz que estão localizados em uma mesma linha e uma mesma coluna ou seja aᵢⱼ bᵢⱼ Exemplo Dadas duas matrizes quadradas do tipo 2 x 2 A 1 2 3 4 e B 2 5 3 3 então o resultado da soma dessas duas matrizes A B é A B 1 2 3 4 2 5 3 3 3 7 6 7 Observe que a₁₁ b₁₁ 1 2 3 a₁₂ b₁₂ 2 5 7 a₂₁ b₂₁ 3 3 6 a₂₂ b₂₂ 4 3 7 Matriz simétrica Uma matriz quadrada é simétrica quando Aᵀ A o que implica na seguinte relação entre os elementos da matriz fora da diagonal principal aᵢⱼ aⱼᵢ Por exemplo a matriz a seguir é simétrica uma vez que a₁₂ a₂₁ 3 1 3 3 2 Em contrapartida uma matriz quadrada é antissimétrica se Aᵀ A Por exemplo A 0 1 1 0 é antissimétrica pois Aᵀ 0 1 1 0 0 1 1 0 A Matriz nula É aquela matriz em que todos os elementos são nulos isto é aᵢⱼ 0 para qualquer valor de i e j 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 Operações com matrizes Depois de conhecidos os diferentes tipos de matrizes você aprenderá como efetuar algumas operações importantes com matrizes tais como adição subtração multiplicação por um escalar e finalmente multiplicação entre matrizes Igualdade Duas matrizes são iguais quando elas têm o mesmo tamanho e seus elementos são todos iguais Se as matrizes quadradas A e B do tipo 2 x 2 são iguais então aᵢⱼ bᵢⱼ