Atividade Avaliativa

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTAN DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS ÁREA DE MATEMÁTICA PROF CRISTIANO MASCARENHAS PROVA 3 EM 1872024 DISCIPLINA EXA 703 ÁLGEBRA LINEAR PAG 1 quartafeira 17 de julho de 2024 2049 Página 1 de PROVA3ALGLINEAR Solução 80 Matheus Duarte a T12 2p1t 0p2t 0p3t Tt12t 1p1t 2p2t 0p3t Tt22t2t2 0p1t 2p2t 2p3t Logo T 2 1 0 0 2 2 0 0 2 b seja pt KerT Tptpt2pt0 ptabtct2 b2ct 2abtct20 b2a2c2bt 2ct20 b2a0 b2a 2c2b0 bc 2c0 c0 logo KerT00t0t2 então T é injetiva Como dimP2 dimP2 então T é bijetiva T2 operador Por outro lado T1 T1 12 14 14 0 12 12 0 0 12 logo seja qtabtct2 qtb2ct qt 2c T1qt 12 14 14 0 12 12 0 0 12 a b cT a2 b4 c4 b2 c2 t c2 t2 Tambem 12 qt 14 qt 18 qt 12 a bt ct2 14 b 2ct 18 2c a2 b4 c4 b2 c4 t c2 t2 T1qt 12 qt 14 qt 18 qt c pt 2pt 1 t t2 Tpt 1 t t2 pt T11 t t2 qt 1 t t2 qt 1 2t qt 2 logo pt 12 1 t t2 14 1 2t 18 2 pt 12 t2 t 1 Solução 2 a Verdadeiro é a definição de TL b Falso falta Tα x α Tx c Verdadeiro já que Tx Ty Tα 4 0 x y KerT KerT 0 d Verdadeiro T0V 0Tv T0 0 e Verdadeiro é um Teorema f Falso satisfaz se T é Injetiva Solução 95 Como T é um operador em R3 basta mostrar que T é injetiva Seja xyz KerT Txyz 000 x 2y 0 x 2y z 0 x y 0 y x x 2y 21x 3x 0 x0 y0 logo KerT 000 Portanto T é um isomorfismo Sej2 T1xyzabc Tabcxyz a2bx ax2b cy abz abz x2bbz x3bz b13zx ax23zx a13x2z logo T1xyz13x2z 13zx y Solução 5 i projvuwuwvvvv uvwvvvv uvvvv wvvvv projv u projv w ii projv λu λuvvvv λuvvvv λprojv u logo projv é uma transformação linear vx0y0 projv e1 e1vvvv x0x02y02x1y0 x02x02y02 x0 y0x02y02 projv e2 e2vvvv y0x02y02x0y0 x0 y0x02y02 y02x02y02 a matriz associada T X02X02 Y02 X0 Y0X02 Y02 X0 Y0X02 Y02 Y02X02 Y02 Solução 6 a Como dim V dim NuT dim Im T T for sobre dim Im T dim W dim V dim Nu T dim W dim Nu T dim V dim W 0 dim Nu T 0 impossível T não pode ser sobre b Se T for injetora dim Nu T 0 dim V dim Im T dim W dim V dim W o que contradiz dim V dim W c do Teorema dim V dim Nu T dim Im T Logo V é isomorfo a W Im T W pois T é sobre T é injetora dim Nu T 0 dim V dim W