Atividade de Calculo 3

T z dV onde T é a região do primeiro octante limitada y² z² 2 y 2x e x 0 T x 1 dV onde T é o sólido delimitado pelos planos y z 8 y z 8 x 0 x 4 z 0 y 2 e y 2 T dV onde T é a região delimitada por y 0 x 0 z 0 z 4 x² e y z 8 T dV onde T é a região delimitada por y 0 x 0 z 0 y x 2 e z x² y² T xyz² dV onde T é o paralelepípedo retângulo 01 02 13 T x dV onde T é o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x y2 z 4 T xy dV onde T é o sólido no primeiro octante delimitado por z 4 x² z 0 y x e y 0 T dx dy dzxyz1² sendo T o sólido delimitado pelos planos coordenados e pelo plano x y z 2 dV onde T é a região do primeiro octante limitada por x 4 y² y z x 0 e z 0 T x1 dV onde T é sólido delimitado pelos planos yz8 z 8 y yz 8 z 8 y x0 e x4 limitam x z0 limite inferior de z y 2 e y 2 limites em y limites de integração 0 x 4 2 y 2 z 0 e z 8 y e z 8 y T x 1 dV ₀⁴ ₂² ₀⁸y x 1 dz dy dx ₀⁸y x1 dz x1 z ₀⁸y x18 y ₂² x1 8 y dy 2 ₀² x1 8 y dy pois 8 y é simétrico em relação a y 0 x18y 8x 8 y xy 2 ₀² x1 8 y dy 2 ₀² 8x 8 y xy dy 2 8xy 8y y²2 xy²2₀² 2₀² x18y dy 28x2 82 2²2 x2²2 216x 16 2 2x 214x 14 28x 28 ₀⁴ 28x 28 dx 28₀⁴ x1 dx 28 x²2 x₀⁴ 28 162 4 28 4 112 T x1 dv 112 T dv onde T é n região do primeiro octante limitado por x 4 y² y z x 0 e z 0 limites de integração x 4 y² e x 0 4 y² 0 y² 4 y 2 y z e z 0 ponto varia de 0 a 2 Para x de 0 até 4 y² Para y de 0 até 2 Para z de 0 até y T dv ₀² ₀ʸ ₀⁴ʸ² dx dz dy T dv ₀⁴ʸ² dx 4 y² ₀ʸ 4 y² dz y4 y² ₀² y4 y² dy ₀² 4y y³ dy 42 y² 14 y⁴₀² 2y² 14 y⁴₀² 22² 14 2⁴ 8 4 4 T dv 4 T z dv onde T é região do primeiro octante limitada y² z² 2 y 2x e x 0 Região T y² z² 2 y 2x x 0 no primeiro octante temos x 0 y 0 z 0 coordenadas cilíndricas x x y r cos θ z r sen θ dv r dr dθ dx y 2x e y² z² 2 2x² z² 2 4x² z² 2 a região é delimitado pelo primeiro octante onde x 0 y 0 e z 0 quando z 0 4x² 0² 2 4x² 2 x² 12 x 12 limites de integração Para x 0 até 12 Para r 0 até 2 Para θ 0 até π2 T z dv ₀¹2 ₀2 ₀π2 r senθ r dθ dr dx T dx dy dz x y z 12 sendo T o sólido delimitado pelos planos coordenadores e pelo plano x y z 2 T é delimitado pelos planos x 0 y 0 z 0 e pelo plano x y z 2 Portanto T é um tetraedro com vértices nos pontos 000 200 020 e 002 T xyz 0 x 0 y 0 z e x y z 2 T 1 x y z 12 dx dy dz 02 02x 02xy 1 x y z 12 dz dy dx 02xy 1 x y z 12 dz 1 z x y 1 02xy 1 2xy x y 1 1 0 x y 1 1 3 1 x y 1 T 1 x y z 12 dx dy dz 02 02x 1 x y 1 13 dy dx T z dV 02 02 0π2 r2 sin θ dθ dr dx 02 02 0π2 r2 sin θ dθ dr dx 0π2 sin θ dθ cos θ0π2 cosπ2 cos0 0 1 1 T z dV 02 02 r2 1 dr dx 02 r3302 dx 02 23 3 dx 02 22 3 dx 22 3 x02 22 3 2 23 T z dV 23 02x 1 x y 1 13 dy 13 y lnx y 102x 13 2x lnx 2x 1 13 0 lnx1 23 x3 ln 3 0 lnx1 lnx1 13 x2 ln 3 T 1xyz12 dx dy dz 02 lnx1 13 x2 ln 3 dx 02 lnx1 dx 02 13 x2 dx 02 ln 3 dx 02 ln 3 dx ln 3 02 dx 2 ln 3 02 13 x2 dx 13 02 x2 dx 13 x22 2x02 13 2 23 02 lnx1 dx x1 lnx1 x102 3 ln 3 3 1 ln 1 1 3 ln 3 3 1 3 ln 3 4 02 lnx1 13 x2 ln 3 dx 3 ln 3 4 23 2 ln 3 ln 3 103 T 1 x y z 12 dx dy dz 53 ln 3 T dv onde T é a região delimitada y0 x0 z0 z4x² e yz8 z4x² e yz8 z8y 4x²8y yx²4 z4x² e y4x² região é limitada por y4x² e z4x² limites de integração 0 z 4x² 0 y 4x² 44x² 0 x² 4 2 x 2 T dv 2² 04x² 04x² dz dy dx 04x² dz 4x² T dv 2² 04x² 4x² dy dx 04x² 4x² dy 4x² 04x² dy 4x²² 4x²² 16 8x² x⁴ T dv 2² 168x²x⁴ dx 2² 168x²x⁴ dx 16x 83 x³ 15 x⁵2² 162 83 2³ 15 2⁵ 162 83 2³ 15 2⁵ 32 643 325 32 643 325 64 1283 645 960 640 192 15 51215 T dv 51215 T dv onde T é a região delimitada por y0 x0 z0 yx2 e zx²y² T y0 x0 z0 yx2 zx²y² y0 z0 x0 yx2 y2x limites de integração z vai de 0 a x²y² y vai de 0 a 2x x vai de 0 a 2 T dv 0² 02x 0x²y² dz dy dx T dv 0² 02x x² y² dy dx 0² x²y y³302x dx 0² x²2x 13 2x³ dx 0² 2x² x³ 13 8 12x 6x² x³ dx 0² 6x² 3x² 8 12x 6x² x³ 3 dx 13 0² 12x² 4x³ 12x 8 dx 13 x⁴ 4x³ 6x² 8x0² 13 16 32 24 16 83 T dv 83 T n y z2 d v onde T é um paralelepípedo retângulo 01 02 13 T n y z2 d v 01 02 13 n y z2 d z d y d x 01 02 n y z3313 d y d n 01 02 n y 13 271 d y d n 01 02 263 n y d y d x 01 263 y2202 d x 01 263 2 x d x 523 01 n d x 523 x2201 523 12 263 T n y z2 d v 263 T n y d v onde T é o sólido no primeiro octante delimitado por z4x2 z0 yπ e y0 T n y d v 02 0π 04x2 n y d z d y d x 04x2 n y d z n y z04x2 n y 4x2 T n y d v 02 0π n y 4x2 d y d n 0π n y 4x2 d y x 4x2 y220π x 4x2 π22 T n y d v 02 x32 4x2 d x 12 02 4x3 x5 d x 12 x4 x6602 12 24 266 12 16 646 12 326 3212 83 T n y d v 83