Teorema da Divergencia - Calculo de Integral em Esfera

Questão 1 Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral S x4 y4 zx2 y2 z3 dS em que S é a parte da esfera x2 y2 z2 1 que está acima do plano z 0 Res Queremos calcular I S x4 y4 zx2 y2 z3 dS Sabemos que n x y z é o vetor normal unitário e exterior à S Escolhendo o campo vetorial F x3 y3 x2 y2 z3 vemos que I S F n dS Seja S1 o disco x2 y2 1 no plano z 0 com n 0 0 1 Note que S1 é o gráfico da função z 0 com domínio D x2 y2 1 Seja E o sólido limitado por S S1 Pelo Teorema da Divergência I S1 F 0 0 1 dS E div F dx isto é I S1 x2 y2 z3 dS E 3x2 3y2 3z2 dx Logo I S1 x2 y2 z3 dS 3 E x2 y2 z2 dx D x2 y2 dA 3 02π dθ 0π2 sinφ dφ 01 ρ4 dρ 02π dθ 01 r3 dr 3 2π cosφ0π2 ρ5501 2π r4401 6π5 π2 6π5 17π10