Atividade de Cálculo 3

1 Expresse as decimais periódicas abaixo como uma série e ache a fração que representa cada uma a 0232323 b 124123123123 2 Verifique se a série n1 2nn2 é convergente Em caso positivo calcule para que valor ela converge 3 Nas questões abaixo faça uma conjectura sobre a convergência ou a divergência da série e confirmea usando o teste da comparação a n1 15n²n b n1 1n2 c n1 13n5 4 Mostre que a função f determinada pelo nésimo termo da série n1 2n3² verifica a hipótese do teste da integral e determine a convergência da série 5 Determine se a série é convergente ou divergente a n1 e2n b n1 1n4 c n1 nn³ d n1 3nn e n1 1 enn f n1 1 2nn 6 Determine se a série é absolutamente convergente condicionalmente convergente ou divergente a n1 1n 1n² b n1 15n c n1 1n 1n3 d n1 1n n² 2n3n d n1 1n nnn e n1 1n 2n33n2n lista 1 Expresse os decimais como uma série e ache a fração a 0232323 0232323 023 00023 0000023 000000023 Expressa em série S 023 023 102 023 104 023 106 023 1 102 104 106 série geométrica 1 r r² r³ tem soma 11r para r 1 a razão r nesse caso é 102 e 102 1 S 023 11102 023 1099 023099 2399 Portanto a fração que representa 0232323 é 2399 b 124123123123 124123123123 124 000123 000000123 000000000123 Podemos observar que só 124 não é periódico vamos só decompor a parte periódica S 000123 1 103 106 a soma geométrica é S 000123 11103 000123 10999 0001230999 S 123999000 41333000 124 124100 logo a fração que representa 124123123123 é 124100 41333000 124x3330100x3330 41333000 412920 41333000 412961333000 2 Verifique se a série n1 2nn2 é convergente vamos decompor essa fração 2nn2 An Bn2 multiplicando os dois lados por nn2 temos 2 Ann2n Bnn2n2 2 An2 Bn 2 An 2A Bn 2 ABn 2A Por identificação AB0 2A2 A1 B1 Portanto n1 2nn2 n1 1n 1n2 Essa série é uma série telescópica onde muitos termos intermediários se cancelam n1 1n 1n2 11 13 12 14 13 15 14 16 os termos 13 e 13 14 e 14 15 e 15 se cancelam Vamos separar em termos positivos e negativos essa série SN 11 12 13 1N 13 14 1N2 como os termos intermediários se cancelam a série SN é igual SN 11 12 1N1 1N2 se N 1N1 0 e 1N2 0 logo a série SN 1 12 32 Portanto a série n1 2nn2 é convergente e converge para 32 d faça conj tulos sobre convergência ou divergência da série e confirma usando teste de comparação a Σ n1 15n2n a series Σ n1 1n2 é convergente Para n muito grande a serie Σ n1 15n2n Σ n1 15 n2 A serie Σ n1 1n2 converge portanto a serie Σ n1 15n2 converge também logo a serie Σ n1 15n2n converge b Σ n1 1n2 a série Σ n1 1n é divergente para grandes valores de n o termo n2 e aproximado de n Portanto 1n2 1n como a serie Σ n1 1n é divergente em comparação podemos deduzir que a série Σ n1 1n2 é divergente c Σ n1 13n5 a série Σ n1 13n é uma série geométrica com r13 1 que converge Para grandes valores de n 13n5 13n Portanto como a serie Σ n1 13n é convergente logo podemos deduzir que a serie Σ n1 13n5 é convergente 4 mostre que a função f determinada pelo nésimo termo da série Σ n1 2n3 verifica a hipótese do teste da integral e determine a convergência da série fn 2n3 Verificação da hipótese x 1 i 2x3 é contínua x 1 i 2x3 é positiva fx 2n32 x 1 fx 0 Portanto fx é decrescente para x 1 Agora vamos aplicar o teste da integral 1 2x3 dx usando método de substituição vamos calcular o integral un3 dudx x x1 u4 x x u 1 2x3 dx 4 2u du 2 4 1u du 2 lnu4 2 lim u ln u ln 4 quando u ln u logo 1 2n3 dx diverge Portanto a série Σ n1 2n3 diverge pelo teste de integral 5 Determine se a série é convergente ou divergente a Σ n1 e2n e2n e2n logo temos a série Σ n1 e2 n Σ n1 e2n é uma série geométrica com razão r e2 r e2 1 portanto a série Σ n1 e2n é convergente b Σ n1 1n4 usando teste de série p Podemos observar que a série Σ n1 1n4 é uma série p Σ n1 1np onde p4 Para todos os séries p se p 1 a série p converge se p 1 a série p diverge p4 1 Portanto a série Σ n1 1n4 converge c Σ n1 nn3 usando teste de razão seja an nn3 an1 n1n13 an1an n1n13 n3n n1 n3n13 n3n12 lim n an1an lim n n3n12 lim n n3n22n1 lim n n lim n an1an portanto a série diverge Determine se a serie é absolutamente convergente condicionalmente convergente ou divergente a Σ n1 1n n2 essa serie é uma serie alternada onde seja an 1n2 então Σ n1 1n an vamos verificar se an1 an para todo n lim n an 0 an1 1n12 1n12 1n2 portanto an1 an lim n an lim n 1n2 0 Portanto a série converge Agora vamos verificar se é absolutamente convergente Σ n1 1n n2 Σ n1 1n2 a série Σ n1 1n2 é uma psérie com p2 21 portanto p1 e logo a serie Σ n1 1n2 converge absolutamente De tato isso concluímos que a série Σ n1 1n 1n2 converge absolutamente b Σ n1 15n série geométrica com razão r 15 r 15 1 portanto a série converge Vamos verificar se essa série converge absolutamente Σ n1 15n Σ n1 15n Σ n1 15n é uma série geométrica com razão r 15 1 Portanto a série Σ n1 15n converge absolutamente c Σ n1 1n 1n3 serie alternada Seja an 1n3 Aplicando o teorema de série alternada an1 an lim n an 0 an1 1n4 1n4 1n3 portanto an1 an lim n an lim n 1n3 0 Portanto a série Σ n1 1n 1n3 converge Vamos verificar se ela é absolutamente convergente Σ n1 1n 1n3 Σ n1 1n3 a Σ n1 1n3 diverge Portanto a série Σ n1 1n 1n3 é condicionalmente convergente d Σ n1 1n n2 2n 3n seja an n2 2n 3n usando teste de razão an1an n12 2n1 3n1 n2 2n 3n n12 2n1 3n1 3n n2 2n n12 2 3n 3n1 n2 2 n12 3 n2 23 43n 23n2 Quando n 43n e 23n2 0 logo lim n an1an 23 23 1 Pelo teste de razão a série Σ n1 1n n2 2n 3n converge Consequentemente a série Σ n1 1n n2 2n 3n converge tambem Agora vamos verificar se converge absolutamente Σ n1 1n n2 2n 3n Σ n1 n2 2n 3n Portanto a série Σ n1 1n n2 2n 3n converge absolutamente a Determine se a serie é absolutamente convergente condicionalmente convergente ou divergente a Σ n1 1n n2 essa serie é uma serie alternada onde seja an 1n2 então Σ n1 1n an vamos verificar se an1 an para todo n lim n an 0 an1 1n12 1n12 1n2 portanto an1 an lim n an lim n 1n2 0 Portanto a série converge Agora vamos verificar se é absolutamente convergente Σ n1 1n n2 Σ n1 1n2 a série Σ n1 1n2 é uma psérie com p2 21 portanto p1 e logo a série Σ n1 1n2 converge absolutamente De tato isso concluímos que a série Σ n1 1n 1n2 converge absolutamente b Σ n1 15n série geométrica com razão r 15 r 15 1 portanto a série converge Vamos verificar se essa série converge absolutamente Σ n1 15n Σ n1 15n Σ n1 15n é uma série geométrica com razão r 15 1 Portanto a série Σ n1 15n converge absolutamente c Σ n1 1n 1n3 série alternada Seja an 1n3 Aplicando o teorema de série alternada an1 an lim n an 0 an1 1n4 1n4 1n3 portanto an1 an lim n an lim n 1n3 0 Portanto a série Σ n1 1n 1n3 converge Vamos verificar se ela é absolutamente convergente Σ n1 1n 1n3 Σ n1 1n3 a Σ n1 1n3 diverge Portanto a série Σ n1 1n 1n3 é condicionalmente convergente Portanto a série Σ n1 1n 1n3 converge Vamos verificar se ela é absolutamente convergente Σ n1 1n 1n3 Σ n1 1n3 a Σ n1 1n3 diverge Portanto a série Σ n1 1n 1n3 é condicionalmente convergente d Σ n1 1n n2 2n 3n Seja an n2 2n 3n usando teste de razão an1 an n12 2n1 3n1 n2 2n 3n n12 2n1 3n1 3n n2 2n n12 2 3n 3n1 n2 2 n12 3 n2 23 43n 23n2 Quando n 43n e 23n2 0 logo lim n an1an 23 23 1 Pelo teste de razão a série Σ n1 1n n2 2n 3n converge Consequentemente a série Σ n1 1n n2 2n 3n converge também Agora vamos verificar se converge absolutamente Σ n1 1n n2 2n 3n Σ n1 n2 2n 3n Portanto a série Σ n1 1n n2 2n 3n converge absolutamente e from n1 to 1n nn n teste de razão an nn n an1 n1n1 n1 an1 an n1n1 n1 nn n n1n1n n1n n nn n1n nn n1 nn 1 1nn lim n an1 an lim n 1 1n n e 2718 lim n an1 an 1 logo pelo teste de razão a serie n1 to nn n diverge Portanto a serie n1 to 1n nn n diverge f n1 to 1n 2n33n2 n teste de razão an 2n33n2 n an1 2n53n5 n1 an1 an 2n53n5 n1 2n33n2 n 2n53n5 2n33n2 n 2n53n5 Desenvolvimento muito grande Mas usando Wolfram matemática an1 an 1 Aplicando outro metodo essa serie an é convergente Portanto n1 to 1n 2n33n2n é convergente Verificando 1n 2n3 3n2n 2n3 3n2n Portanto a serie 1n 2n3 3n2n é convergente absolutamente