Atividade de Cálculo 3

Avaliacao de Calculo 3 Nome Matrıcula Data Questao 1 Calcule o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido anti horario uma vez em torno da circunferˆencia x2 y2 a2 se o movimento for causado pelo campo de forcas Fx y senxyiey x2j Suponha que o arco seja medido em metros e a forca seja medida em newtons 1 Questao 2 Seja Q a regiao delimitada pelo cilindro circular x2 y2 4 e pelos planos z 0 e z 3 Denotemos por S a superfıcie de Q Se Fx y z x3i y3j z3k use o teorema da divergˆencia para calcular o fluxo de F sobre S 2 Questao 3 Seja Q a regiao delimitada pelo cilindro z 4 x2 pelo plano y z 5 e pelos planos xy e xz Seja S a superfıcie de Q Se Fx y z x3 senzi x2y coszj expx2 y2k calcule o fluxo de F sobre S 3 Questao 4 Seja S a parte do paraboloide z 9 x2 y2 com z 0 e seja C o traco de S no plano xy Calcule a integral de superfıcie do componente normal do rotacional de F sobre S para o campo vetorial Fx y z 3zi 4xj 2yk 4 Questao 5 Resolva a equacao diferencial abaixo 1 xdy ydx 0 5 Questão 1 Calcule o trabalho total realizado ao mover um objeto no sentido antihorário uma vez em torno da circunferência x2 y2 a2 se o movimento for causado pelo campo de forças Fxy senx yi ey x2j Suponha que o arco seja medido em metros e a força medida em newtons Solução Seja Fxyz Pxyi Qxyj um campo de vetores com Pxy senx y e Qxy ey x2 Entãodado por Qx Py 2x 1 1 2x Seja C a circunferência x2 y2 a2 parametrizada por rt acost asent 0 t 2π Então o trabalho W ao mover um objeto ao longo de C uma vez é dado por W C F dr Como C é uma curva plana fechada simples contínua e orientada positivamente podemos utilizar o Teorema de Green para calcular essa integral de linha W C F dr D Qx Py dA D 1 2x dA onde D é o disco de centro na origem e raio a cuja fronteira é C Para calcular essa última integral dupla usamos coordenadas polares Sejam x rcosθ e y rsenθ Então 0 r a 0 θ 2π e assim D 1 2x dA 02π 0a 1 2rcosθ r dr dθ 02π 0a r 2r2 cosθ dr dθ 02π r22 2r33 cosθ0a dθ 02π a22 2a33 cosθ dθ a22 θ 2a33 senθ02π π a2 2 a33 0 π a2 Logo o trabalho realizado é W π a2 Questão 2 Seja Q uma região sólida delimitada pelo cilindro circular x2 y2 4 e pelos planos z 0 e z 3 Denotemos por S a superfície de Q Se Fxyz x3 i y3 j z3 k use o teorema da divergência para calcular o fluxo de F sobre S Solução Seja Fxyz Pxyzi Qxyzj Rxyzk um campo de vetores com Pxyz x3 Qxyz y3 e Rxyz z3 Então temos que o divergente de F é divF Px Qy Rz 3x2 3y2 3z2 A região sólida Q é dada por Q xyz 4y2 x 4y2 2 y 2 0 z 3 Então aplicando o Teorema da Divergência temos que o fluxo de F sobre S é dado por S F dS Q divF dV Q 3x2 3y2 3z2 dV Para resolver a última integral vamos utilizar coordenadas cilíndricas Sejam x rcosθ y rsenθ e z z Então temos que 0 r 2 0 θ 2π e 0 z 3 e S F dS Q 3x2 3y2 3z2 dV 03 02π 02 3r2 3z2 r dr dθ dz 03 02π 02 3r3 3z2 r dr dθ dz 03 02π 3r44 3z2 r2202 dθ dz 03 02π 12 6z2 dθ dz 03 θ12 6z202π dz 12π 03 2 z2 dz 12π 2z z3303 180π Então aplicando o Teorema da Divergência temos que o fluxo de F sobre S é dado por S F dS Q divF dV Q 4x2 dV 22 04x2 05z 4x2 dy dz dx 22 04x2 4x2 y05z dz dx 22 04x2 4x2 5z dz dx 22 20x2 z 4x2 z204x2 dx 22 20x2 4 x2 2x2 4 x22 dx 22 80 x2 20 x4 2 x2 16 8 x2 x4 dx 22 80 x2 20 x4 32 x2 16 x4 2 x6 dx 22 48 x2 4 x4 2 x6 dx 16 x3 4x55 2x7722 128 1285 2567 128 1285 2567 256 2565 2567 460835 Questão 4 Seja S a parte do paraboloide z 9 x2 y2 com z 0 e seja C o traço de S no plano xy Calcule a integral de superfície do componente normal do rotacional de F sobre S para o campo vetorial Fxyz 3zi 4xj 2yk Solução Seja Fxyz Pxyzi Qxyzj Rxyzk um campo de vetores com Pxyz 3z Qxyz 4x e Rxyz 2y Então o rotacional de F rotF é dado por rotF Ry Pz i Pz Rx j Qx Py k 2i 3j 4k Como devemos calcular a integral de superfície da componente normal do rotacional de F sobre S ou seja S rotF dS vamos utilizar o Teorema de Stokes S rotF dS C F dr onde C é o círculo de centro na origem e raio 3 no plano xy orientado positivamente cuja parametrização é rt 3cost 3sent 0 t 2π e rt 3sent 3cost Assim S rotF dS C F dr 02π Frt rt dt 02π 0 12cost 6sent 3sent 3cost 0 dt 02π 36cos²t dt 36 cos²t dt 36 12 t sentcost02π 182π 0 1 180 0 1 36π Questão 5 Resolva a equação diferencial abaixo 1 xdy ydx 0 Solução Note que a equação diferencial é do tipo Mxydx Nxydy 0 com Mxy 1 x e Nxy y Assim temos uma equação separável e 1 xdy ydx dyy dx1 x Integrando em ambos os lados a igualdade acima obtemos dyy dx1 x lny ln1 x C y eln1xC Logo yx C1 x C constante