Resolucao de EDOs - Metodos de Separacao de Variaveis e Laplace

FX Σn0 an Xn a0 a1 X a2 X2 a3 X3 a4 X4 a5 X5 a6 X6 FX Σn0 nan Xn1 a1 2a2 X 3a3 X2 4a4 X3 5a5 X4 6a6 X5 FX Σn0 nn1an Xn2 2a2 6a3 X 12a4 X2 20a5 X3 30a6 X4 Questão 1 Temos a seguinte EDO 𝑦 6𝑥 4 Nesta equação as variáveis já estão separadas y à esquerda e x à direita Integrando em relação a 𝑥 de ambos lados obtemos 𝑦 3𝑥2 4𝑥 𝐶 Mas temos 𝑦2 4 logo 4 3 22 4 2 𝐶 4 12 8 𝐶 𝐶 16 Logo temos 𝑦 3𝑥2 4𝑥 16 Integrando novamente ficamos com 𝑦 𝑥3 2𝑥2 16𝑥 𝐶 Mas temos 𝑦0 3 logo 3 0 𝐶 𝐶 3 Assim a solução final é dada por 𝒚 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟐 𝟏𝟔𝒙 𝟑 Questão 2 Temos a seguinte EDO 𝑦 3𝑦 𝑒2𝑥 Aplicando Laplace de ambos lados temos 𝐿𝑦 3𝑦 𝐿𝑒2𝑥 𝐿𝑦 3𝐿𝑦 𝐿𝑒2𝑥 𝑠𝐿𝑦 𝑦0 3𝐿𝑦 1 𝑠 2 𝑠𝐿𝑦 1 3𝐿𝑦 1 𝑠 2 𝑠 3𝐿𝑦 1 𝑠 2 1 𝐿𝑦 1 𝑠 2𝑠 3 1 𝑠 3 𝐿𝑦 1 𝑠 3 1 𝑠 2 1 𝑠 3 𝐿𝑦 2 𝑠 3 1 𝑠 2 Aplicando a transformada inversa obtemos a solução 𝑦 2𝐿1 1 𝑠 3 𝐿1 1 𝑠 2 𝒚 𝟐𝒆𝟑𝒕 𝒆𝟐𝒕 yn Σn0 ann Xn a0n a1n X a2n X2 a3n X3 y Σn0 an Xn a0 a1 X a2 X2 a3 X3 y Σn0 an Xn a0 a1 X a2 X2 a3 X3 y Σn0 n2n1 an2 Xn 2a2 6a3 X 12a4 X2 20a5 X3 y 3y e2x para f0 1 Questão 1 Temos a seguinte EDO y 6 x4 Nesta equação as variáveis já estão separadas y à esquerda e x à direita Integrando em relação a x de ambos lados obtemos y 3 x 24 xC Mas temos y 2 4 logo 432 242C 4128C C16 Logo temos y 3 x 24 x16 Integrando novamente ficamos com yx 32 x 216 xC Mas temos y 03 logo 30C C3 Assim a solução final é dada por yx 32 x 216 x3 Questão 2 Temos a seguinte EDO y 3 ye 2 x Aplicando Laplace de ambos lados temos L y 3 yL e 2x L y 3 L y Le 2 x s L y y 03 L y 1 s2 s L y 13 L y 1 s2 s3L y 1 s21 L y 1 s2 s3 1 s3 L y 1 s3 1 s2 1 s3 L y 2 s3 1 s2 Aplicando a transformada inversa obtemos a solução y2L 1 1 s3L 1 1 s2 y2e 3te 2t Resolva a EDO por separação de variáveis a y 6x 4 para y2 4 e y0 3 Resolva a EDO pelo método da transformada de Laplace ou método das séries de potência y 3y e2x para f0 1