Volume por Integral Dupla

Calcule o volume de algum item comum que tenha em casa usando integral dupla não usar copo Cálculo do Volume de um Prato Usando Integral Dupla Neste documento calcularemos o volume de um prato côncavo com base em uma forma parabólica O cálculo será realizado usando integrais duplas e no final utilizaremos valores específicos para um prato padrão como exemplo Dedução da Fórmula Considere um prato com formato parabólico descrito por hr onde hr é a altura do prato em função da distância radial r a partir do centro A equação geral da parábola é dada por hr h₀ kr² onde h₀ é a altura máxima do prato no centro r 0 k 0 é uma constante que determina a curvatura do prato r é a distância radial com 0 r R R é o raio do prato O volume V do prato pode ser obtido como uma integral dupla sobre a região circular de raio R descrita no plano xy O volume é dado por V Região hr dA onde dA é o elemento de área no plano xy Convertendo para coordenadas polares temos dA r dr dθ e o volume tornase V ₀²π ₀R hr r dr dθ Substituímos hr h₀ kr² na integral V ₀²π ₀R h₀ kr² r dr dθ Expandimos os termos V ₀²π ₀R h₀r kr³ dr dθ Separando as integrais V ₀²π dθ ₀R h₀r dr ₀²π dθ ₀R kr³ dr Calculando cada termo separadamente 1 Para o primeiro termo ₀R h₀r dr h₀ ₀R r dr h₀ r²2₀R h₀ R²2 2 Para o segundo termo ₀R kr³ dr k ₀R r³ dr k r⁴4₀R k R⁴4 Substituímos esses resultados na expressão do volume V ₀²π dθ h₀ R²2 k R⁴4 A integral em θ é ₀²π dθ 2π Portanto V 2π h₀ R²2 k R⁴4 Simplificamos V π h₀ R² k R⁴2 Aplicação Numérica Agora aplicamos valores específicos para um prato padrão R 10 cm raio do prato h₀ 2 cm altura máxima do prato k 002 cm² constante parabólica Substituímos esses valores na fórmula do volume V π h₀ R² k R⁴2 Primeiro calculamos os termos individualmente h₀ R² 2 10² 200 cm³ k R⁴2 002 10⁴ 2 2000 2 1000 cm³ Subtraímos os resultados h₀ R² k R⁴2 200 1000 800 Portanto o volume e V π 800 Como o prato e cˆoncavo consideramos o modulo do volume V 800π cm3 Aproximando numericamente com π 31416 V 800 31416 251327 cm3 Conclusao O volume do prato com as dimensoes especificadas e V 800π cm3 ou aproximadamente V 251327 cm3 3