Atividade de Cálculo 3

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Cálculo III Trabalho Aplicado a Engenharia 10 pontos Aluno Curso Instituição Encontre uma aplicação de Cálculo III no seu curso de engenharia seguindo o seguindo os passos abaixo Descrição Nesta atividade propomos uma aplicação prática do Cálculo III em um contexto relevante para o curso de engenharia Utilizando os conhecimentos adquiridos nessa disciplina solicitamos que você explore qualquer um dos temas fundamentando suas análises em conceitos do Cálculo III Objetivo Esperase que o aluno desenvolva uma análise aprofundada com um mínimo de 5 linhas aplicando os conceitos de Cálculo III de forma coerente e precisa Desenvolvimento O desenvolvimento da tarefa deve ser embasado nos princípios do Cálculo III explorando os métodos e técnicas estudados na disciplina Aborde a aplicação prática dos conceitos no contexto do livro e ou uma experiência pessoal se já trabalha na área oferecendo uma visão aprofundada e crítica No curso de Engenharia de computação pode ser feito um programa para resolver integrais não vale pegar programas prontos neste caso grave um vídeo de 5 minutos explicando todo o procedimento que foi feito Se optar por fazer apenas a parte escrita o mínimo requerido para esta seção é de 1 página Conclusão Na conclusão destaque os principais resultados obtidos ressaltando a importância e relevância da abordagem escolhida Além disso discuta possíveis extensões ou aplicações futuras dos conceitos estudados Encerre com uma reflexão sobre a contribuição do Cálculo III para a compreensão e resolução de problemas no campo da engenharia Referências Certifiquese de incluir todas as fontes bibliográficas e materiais consultados durante a realização da atividade Observação Mesmo se fizer um programa deve entregar uma parte escrita com descrição objetivo desenvolvimento link do vídeo conclusão e referências Modelagem Dinâmica de um Amortecedor Automotivo Trabalho da Disciplina de Cálculo 3 19 de junho de 2024 1 Motivação A indústria automobilística está em crescente evolução É um setor muito di nâmico e inovador Um exemplo são as versões híbridas dos automóveis recen temente lançadas Entretanto na parte da mecânica automobilística um fator ainda bastante característico para o Brasil diz respeito ainda à sua mecãnica Uma vez que a conservação da nossa maçha viária ainda é bastante precária O conforto para o usuário requer uma série de cuidados durante o projeto de novas versões de automóveis É sobre os componentes mecãnicos da sus pensão de um automóvel que se trata a modelagem de um sistema aqui anali sado e de como parte das aplicaçoes de conceitos na interface da Mecânica do Cálculo e da Simulação Numérica completam a interface dessas três grandes áreas da ciência Carros tem parte do seu conforto ainda assossiados à sua mecânica Em especial ao seu componente de suspensão O modelo abaixo é uma descrição técnica de como três componentes mecâ nicos quando bem caracterizados podem podem ajudar a descrever uma sen sação de conforto 2 Introdução Teórica Na figura 1 abaixo temos uma representação da estrutura mecânica simplifi cada do amortecedor de um carro a Uma mola capaz absorver impulsos b Um bloco massiço que pode representar 14 da massa do automóvel c Um pistão com um fluido capaz de dissipar energia Essa descrição física desses três componentes mecânicos podem também ter suas características associadas à três parâmetros ou grandezas físicas sua rigidez sua massa e um coeficiente de viscosidade k c m F Figura 1 Representação do sistema mecânico massamolaamortecedor 3 Modelagem Matemática Para entendermos essa estrutura mecânica vamos assossiar à cada um deles essas variáveis fisicas E aplicar os conceitos da mecânica newtoniana sobre o sistema como ilustrado na figura 1 acima 31 Parâmetros do Sistema Físico i Massa do Sistema m ii Rigidez da mola k iii Coeficiente de atrito viscoso c iv Caso 1 m xt c xt kx 0 1 v Caso 2 m xt c xt kx f t 2 Assim a descrição da mecânica de movimento dessa engrenagem nos for nece em ambos os casos equações diferenciais ordinárias de segunda ordem O objetivo é resolver essas EDO e a partir da sua função de movimento extrair característica e propriedades funcionais Usaremos o método da Trans formada de Laplace para modelar ambos os sistemas No caso 1 sem forças externas e no caso 2 com uma força externa com dependência temporal 32 Parâmetros do Modelo É comum na literatura uma mudança de variáveis que serão mais visíveis a partir da interpretação das soluções das equações de movimento As três novas variàveis dadas abaixo tem suas definições i Fator de decaimento ζ 2 ii Velocidade angular natural do sistema ω₀ iii Velocidade angular com amortecimento ωd Onde ω₀ km cc 2mω₀ c cc é o caso oscilante que queremos estudar ζ ccc c2mω₀ c2kmi ωd ω₀1 ζ² 33 Resposta do Sistema Físico Homogênio Caso 1 mẍ cẋ kx 0 3 Ou reescrevendo em termo das constantes ζ ω₀ temos ẍ cmẋ kmx 0 42ζω₀²ω₀² E trabalharemos no formato ẍ 2ζω₀ẋ ω₀²x 0 5 Lembrando queremos x xt a função horária do movimento A transformada de Laplace 𝓛xt Xs fornece Xs ω₀² s² 2ζω₀s ω₀² 6 Cuja inversa da Transformada de Laplace 𝓛¹Xs e para 0 ζ 1 fornece xt eζω₀t ẋ₀ ζω₀x₀ωd sinωdt x₀ cosωd 7 Figura 2 Resposta do Sistema para um valor do fator ζ 01 4 Tomada de Dados Na tabela 1 abaixo medidas temporais foram feitas do coeficiente de viscosidade do líquido usado nos amortecedores de um automóvel O que se observou foi que suas propriedades com o tempo perdem as características e isso afeta o desempenho do amortecimento como vimos nos gráficos anteriores Em outras palavras o amortecedor precisa de uma calibração Ano c Nsm 0 18600 1 15745 2 13327 3 11281 4 9550 5 8084 6 6843 Tabela 1 Decréscimo anual do coeficiente de atrito viscoso c 5 Análise de Dados Na abordagem de modelagem aqui adotada se faz necessário uma caracterização da curva como dos dados dos valores tabelados acima Dois modelos de parametrização da variação temporal do coeficiente de viscosidade do líquido 51 Modelagem 1 O ajuste via regressão de dados fornece ct 1859036e⁰¹⁶⁷t 0992 Onde no ajuste t está em anos Figura 3 Modelo 1 para o ajuste anual de decréscimo de c 52 Modelagem 2 O ajuste via regressão de dados fornece ct 1859974 0846t Onde no ajuste t está em anos Figura 4 Modelo 2 para o ajuste anual de decréscimo de c Figura 5 Resposta do Sistema para diferentes valores do fator ζ Para ζ 1 o sistema é não oscilante Tabela 2 fator de amortecimento ζ para estudo do overshoot Figura 6 Definições para um máximo overshoot Com isso determinamos a constante elástica da mola k 9610 Nm para uma massa por exemplo m 300 kg 91 Tempo de Troca do Amortecedor Overshoot de 30 O Overshoot como função de zeta é dado por yovershootmax e ζπ 1ζ2 11 Invertendo a relação ζ 0 358 12 A relação entre ζ e a coeficiente de amortecimento c depende do modelo adotado E a dependência temporal do coeficiente de amortecimento é dada de acordo com um dos modelos estudados Por exemplo para o modelo 1 ct 1859036e0167t 0992 13 Assim 1859036e0167t 0992 2mωoζ 14 Para um coeficiente de atrito via modelo 1 Isolando o tempo temos ttroca 2 548 anos 15 10 Conclusões Motivado por conforto mecânico de automóveis e as condições das estradas e rodovias nacionais foi feito um estudo de modelagem de um amortecedor a partir da descrição física de um sistema mecânico A abordagem teórica foi descrita a partir de uma equação diferencial ordinária e cuja solução viável foi a partir da aplicação das Transformadas de Laplace Obtida as equações re presentações gráficas e ferramentas numéricas como regressão de dados foram realizadas de forma a facilitar a análise das variáveis do sistema discutido Em uma discussão da teoria e sua concordância com dados experimentais chegou se a um modelo de critério para a troca do componente de amortecimento ba seado na vida útil do líquido viscoso Referências 1 Vibrações Mecânicas 4a Edição Daniel Inman Elsevier Brasil 2018 9