Atividade de Cálculo Integral

1 Calcule o comprimento do arco de parábola y x2 da origem até o ponto 12 14 25 pontos Solução Sabemos que o comprimento do arco de uma função y de a até b é dado por L intab sqrt1 y2 dx Assim em nosso caso queremos calcular o comprimento do arco da função y x2 de x0 até x 12 Portanto teremos L int012 sqrt1 x22 dx Como y 2x então L int012 sqrt1 2x2 dx int012 sqrt1 4x2 dx fazendo x tantheta2 então dx sec2theta2 d theta Logo int sqrt14x2 dx int sqrt14 tantheta22 sec2theta2 d theta 12 int sqrt1 4 tan2theta4 sec2theta d theta 12 int sqrt1 tan2theta sec2theta d theta Como sec2theta 1 tan2theta 12 int sqrtsec2theta sec2theta d theta 12 int sec3theta d theta Vamos integrar por partes Fazendo u sectheta e dv sec2theta d theta então du sectheta tantheta d theta e v tantheta Dessa forma 12 int sec3theta d theta 12 sectheta tantheta int tantheta sectheta tantheta d theta 12 sectheta tantheta int tan2theta sectheta d theta Como tan2theta sec2theta 1 então 12 sectheta tantheta int sec2theta 1 sectheta d theta 12 sectheta tantheta int sec3theta d theta int sectheta d theta 12 int sec3theta d theta sectheta tantheta2 int sec3theta2 d theta int sectheta2 d theta 12 int sec3theta d theta int sec3theta2 d theta sectheta tantheta2 int sectheta2 d theta int sec3theta d theta sectheta tantheta2 int sectheta2 d theta Agora calculando int sectheta d theta int sectheta d theta int sectheta sectheta tanthetasectheta tantheta d theta Universidade Federal do Maranhão Código Disciplina Cálculo Integral Professora Me Adriano Ribeiro Matrícula 2023091637 Semestre 20251 Discente Curso Bacharelado interdisciplinar em Ciência e Tecnologia Avaliação 2 Leia as Instruções A avaliação é individual e não é pesquisada Preencha o cabeçalho da folha pergunta com seus dados Todas as folhas respostas devem conter o nome e a matrícula do aluno O preenchimento das respostas deve ser feito todo utilizando caneta preta ou azul As resoluções devem ser organizadas legíveis e evitar rasuras faz parte da composição da nota 1 Calcule o comprimento do arco de parábola y x2 da origem até o ponto 12 14 25 pontos 2 Calcule passo a passo a área A da superfície gerada pela rotação do gráfico de fx sinx 0 x pi em torno do eixo x 25 pontos 3 Calcule detalhadamente o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de todos os pares xy tais que x2 y2 r2 y 0 r 0 25 pontos 4 Explique se é possível aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais à função fx 1x no intervalo 11 Se for possível a aplicação calcule o valor médio no intervalo indicando 25 pontos sec²θ sec θ tan θsec θ tan θ dθ Fazendo w sec θ tan θ dw sec θ tan θ sec²θ dθ Logo sec²θ sec θ tan θsec θ tan θ dθ dww lnw C Voltando para θ sec³θ dθ lnsec θ tan θ C Portanto sec³θ dθ sec θ tan θ2 sec θ dθ2 sec θ tan θ2 lnsec θ tan θ2 sec θ tan θ lnsec θ tan θ2 C Como tan θ 2x e sec θ 1 4x² L 12 2x1 4x² ln1 4x² 2x2 evaluated from 0 to 12 L 14 2x1 4x² ln1 4x² 2x evaluated from 0 to 12 14 2121 412² ln1 412² 212 201 40² ln1 40² 20 14 2 ln2 1 ln1 14 2 ln2 1 Então sec³θ dθ sec θ tan θ lnsec θ tan θ2 C Como tan θ u e sec θ 1 u² Voltando para u 1 u² du u1 u² lnu 1 u²2 C Voltando para x u cos x senx 1 cos²x dx cos x1 cos²x lncos x 1 cos²x2 Portanto 0π senx 1 cos²x dx cos x1 cos²x lncos x 1 cos²x2π0 12 cos π1 cos²π lncos π 1 cos²π cos 01 cos²0 lncos 0 1 cos²0 12 11 1² ln1 1 1² 11 1 ln1 1 1 12 2 ln2 1 2 ln2 1 12 2 2 ln2 1 ln2 1 12 22 ln2 12 1 2 12 ln2 12 1 Com isso A 2π 0π senx 1 cos²x dx 2π 2 12 ln2 12 1 2 Calcule passo a passo a área A da superfície gerada pela rotação do gráfico de fx sinx 0 x π em torno do eixo x 25 pontos Solução Sabemos que a área da superfície gerada pela rotação da função fx no intervalo a x b em torno de x é dada por A 2π ab fx 1 fx² dx Em nosso caso temos fx senx 0 x π Como fx cosx então A 2π 0π senx 1 cos²x dx Fazendo u cosx du senxdx senxdx du Assim senx 1 cos²x dx 1 u² du Fazendo u tanθ du sec²θ dθ Assim 1 u² du 1 tan²θ sec²θ dθ Como sec²θ 1 tan²θ 1 tan²θ sec²θ dθ sec²θ sec²θ dθ secθ sec²θ dθ sec³θ dθ Na questão anterior vimos que sec³θ dθ secθ tanθ lnseθ tanθ2 C 3 Calcule detalhadamente o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de todos os pares x y tais que x² y² r² y 0 r 0 25 pontos Solução veja que x² y² r² y² r² x² y r² x² Assim o volume do sólido de revolução obtido girando y r² x² em torno do eixo x é dado por Considerando y 0 V π ₀ʳ r² x²² dx π ₀ʳ r² x² dx π x r² x³3₀ʳ π r r² r³3 0 r² 03³ π r³ r³3 π 3r³3 r³3 π 2r³3 2πr³3 4 Explique se é possível aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais à função fx 1x no intervalo 1 1 Se for possível a aplicação calcule o valor médio no intervalo indicado pontos Solução O TVM para integrais diz que se fx é contínua em um intervalo fechado ab então existe c ab tal que fc 1ba ₐᵇ fx dx Isto é é necessário que a função seja contínua em todo o intervalo Como 0 1 1 e fx 1x é descontínua em x 0 não é possível aplicar o TVM nessa função