Atividades

1 Determine a derivada a y sen 4x b y cos 5x c fx e3x d fx cos 8x e y sen t3 f gt ln 2t 1 g x esen t h fx cos ex i y sen x cos x3 j y sqrt3x 1 l fx 3 sqrtx 1x 1 m y e5x n x ln t2 3t 9 o fx etg x p y sen cos x q gt t2 34 r fx cos x2 3 s y sqrtx ex t y tg 3x u y sec 3x 1 Título da aplicação 2 Contexto ou área em que ocorre 3 Descrição objetiva de como a derivada é utilizada 4 Exemplo ilustrativo com os devidos cálculos Sugestões de temas opcionsis Cálculo de velocidade e aceleração Análise de crescimento e decrescimento de funções Problemas de otimização máximos e mínimos Custo marginal receita marginal ou lucro máximo Economia Taxas de variação em fenômenos naturais Modelagem de crescimento populacional Velocidade de reações químicas Estudo de curvas em computação gráfica Estrutura para entrega Aplicação 1 Título Contexto Uso da derivada Exemplo ilustrativo Aplicação 2 Título Contexto Uso da derivada Exemplo ilustrativo Aplicação 3 Título Contexto Uso da derivada Exemplo ilustrativo Exercícios a y sen 4x Para encontrar a derivada de y em relação a x utilizamos a regra da cadeia A regra da cadeia diz que se y fgx então dydx fgx gx Aqui fica fu sen u e gx 4x Então fu cos u e gx 4 Aplicando a Regra da Cadeia dydx cos 4x 4 4 cos 4x b y cos 5x Aqui fica fu cos u e gx 5x Então fu sen u e gx 5 Aplicando a Regra dydx sen 5x 5 5 sen 5x c fx e3x Aqui fica fu eu e gx 3x Então fu eu e gx 3 Aplicando a Regra fx e3x 3 3e3x d fx cos 8x Aplicando a Regra Aplicando a Regra fx 2 3 x123 x143 x123 2 3 x12 x123 x123 m y e5x Aplicação fu eu e gx 5x Então fu eu e gx 5 Aplicando a regra dydx e5x 5 5 e5x n x ln t2 3t 9 fu ln u e gt t2 3t 9 Então fu 1u e gt 2t 3 Aplicando a regra dxdt 2t 3 t2 3t 9 x 2t 3 t2 3t 9 o fx etg x fu eu e gx tg x Então fu eu e gx sec2 x Aplicando a regra fx etg x sec2 x p y sen cos x A derivada de y sen cos x em relação a x é y cos cos x sen x b fu t2 32 fu u4 e gt t2 3 Então fu 4u3 e gt 2t Aplicando a regra gt t2 33 2t gt t2 33 r fx cos x2 3 fu cos u e gx x2 3 Então fu sen u e gx 2x Aplicando a regra fx sen x2 3 2x 2x sen x2 3 s y x ex Podemos reescrever como y x ex12 fu u12 e gx x ex Então fu 12 u12 e gx 1 ex Aplicando a regra dydx 12 x ex12 1 ex dydx 1 ex 2 x ex a y tg 3x y 3 sec2 3x u y sec 3x y 3 sec 3x tg 3x Cálculo de Velocidade e Aceleração Contexto Velocidade e Aceleração são conceitos que todos nós conhecemos O velocímetro marca a cada instante a velocidade Se pisarmos no acelerador ou no freio percebemos que a velocidade muda sentindo a aceleração Uso da Derivada Velocidade Suponhamos que um corpo em linha reta e que s st represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t Então no intervalo de tempo entre t e t Δt o corpo sofre um deslocamento Δs st Δt st Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente Vm St Δt St Δt assim a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrerlo De forma geral a velocidade média nada mais diz sobre a velocidade do corpo no instante t Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t calculamos sua velocidade média em intervalos de tempo Δt cada vez menores A velocidade instantânea ou velocidade no instante t é o limite das velocidades médias quando Δt se aproxima de zero isto é Vt lim ΔSΔt lim st Δt stΔt Δt0 Δt0 Esse limite é a derivada da função s st em relação a t Portanto Vt st dsdt Aceleração O conceito é introduzido de maneira análoga ao de velocidade A aceleração média no intervalo de tempo de t até t Δt é dada por am Vt Δt Vt Δt Observamos que ela mede a variação de velocidade do corpo por unidade de tempo no intervalo de tempo Δt Para obtermos a aceleração do corpo no instante t tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo Δt cada vez menores A aceleração instantânea é o limite at lim Δt0 Vt Δt Vt Δt Vt Logo a derivada de velocidade nos dá a aceleração Como Vt st temos at Vt st Exemplo 1 Qual o deslocamento de um móvel que se desloca em linha reta com posição dada por st 3 2t 3t2 st 0 2 6t v st 6 a st 0 j 2 Qual a aceleração em t0 1 de um móvel que se desloca em linha reta com posição dada por st 6t3 t2 v st 18t2 1 a st 36t a1 361 36