Calculo 2 Integrais Duplas

Universidade do Estado de Mato Grosso Carlos Alberto Reyes Maldonado Lista N 5 Cálculo Diferencial e Integral 2 Instruções Escolha um item de cada questão 1 Calcule as seguintes integrais iteradas sobre o retângulo R dado a ysenxydA R 12 0π b senxcosydA R 0π2 0π2 c 6x² 2xdA R 14 02 d 4x³ 9x²y²dA R 01 12 e xsenydA R 02 0π2 f cosydA R 15 π6π2 g y y²cosxdA R 0π2 33 h xex y dA R 01 12 i xy yxdA R 14 12 j ex3ydA R 03 01 k yxy²⁴ dA R 01 01 l xyx² y²dA R 01 01 m x ydA R 01 01 n senxydA R 0π2 0π2 o y xy2dA R 02 12 p xy² x² 1dA R 01 33 q 1x² 1 y²dA R 01 01 r xsenxydA R 0π6 0π3 s x 1 xydA R 01 01 t yexydA R 02 03 u 1 1xydA R 13 12 i S está limitado pelo paraboloide z 2 x² y 2² e pelos planos z 1 x 1 y 0 e y 4 2a a Volume do sólido ficando S está abaixo do Plano x 2y z 4 e acima do retângulo n 01 x 01 Equação do plano z 4 x 2y V altura no ponto xy dA 4 x 2y dA 0 x 1 0 y 1 01 4 x 2y dx 4x x²2 2yx 01 41 12 2y 72 2y Vamos integrar em y 01 72 2y dy 72 y y² 01 72 1 52 FORONI 1c n 6x² 2x dA n 14 x 02 integral dupla sobre o retângulo 14 x 02 Vamos usar o teorema de Fubini a função não depende de y n 6x² 2x dA x14 y02 6x² 2x dy dx como 6x² 2x independendo de y retiramos do integrando 02 6x² 2x dy 6x² 2x 02 dy 6x² 2x y02 6x² 2x 2 12x² 4x integrando em x 14 12x² 4x dx 12 x³3 4 x²214 44³ 24² 41³ 21² 256 32 4 2 224 2 222 3ª e ₀¹ ₀ᵛ 1v² du dv Pelo teorema de Fubini ₀¹ ₀ᵛ 1v² du dv como estamos integrando em relação a u o termo dentro da raiz fica considerado constante ₀¹ 1v² ₀ᵛ du dv 1v² u ₀ᵛ du v1v² 01v² dv v1v² ₀¹ v1v² dv u 1 v² du 2v dv v dv ½ du ₀¹ u ½ du ½ u12 du ½ u32 32 ₀¹ ½ 23 132 032 13 4ª k y² dA D 01 12 41 reta que liga os pontos A 01 B 12 D y 1 2110 x 0 y x 1 já a reta que liga os pontos B 12 C 41 y 2 1241 x 1 y 13 x 73 a reta que liga B 12 e C 41 é E a reta que liga A 01 e C 41 é y 1 a região tipo II é limitada à esquerda por uma curva e a direita por outra y1 x 7 3y são os limites superior e inferior 1 y 2 ₁² y173y y² dx dy resolvendo em relação a x ₁² y² y173y dx dy ₁² y² x y173y dy ₁² y² 73y y 1 dy 7 3y y 1 8 4y ₁² y² 8 4y dy ₁² 8y² 4y³ dy 8y³3 4y⁴4 ₁² 8y³3 y⁴ ₁² 83 8 16 83 1 643 16 83 1 113 5 e V D dx dy dz x 0 y 0 z 0 abaixo do plano z 6 3x 2y ₀² ₀63x2 ₀63x2y dz dy dx Integrando em z ₀63x2y dz z₀63x2y 6 3x 2y V ₀² ₀63x2 6 3x 2y dy dx Integrando em y 6 3x 2y dy 6 3xy y² 6 3xy y²063x2 6 3x 6 3x2 6 3x2² 6 3x²2 6 3x²4 6 3x²4 V 14 ₀² 6 3x² dx Vamos integrar em x u 6 3x du 3 dx dx 13 du ₀⁶ u²13 du 13 ₀⁶ u² du u³3₀⁶ 6³3 2163 72 Logo ₀² 63x² dx 13 72 24 V 14 24 6