Lista de Exercicios Resolucao de Integrais Indefinidas Calculo II

CENTRO PAULA SOUZA 08022023 MCA019 CÁLCULO II HENRIQUE FURIA SILVA Aula 01 Primitivas Nome I Integral Indefinida Definição 1 Seja 𝐼 ℝ um intervalo real e 𝑓 𝐼 ℝ uma função Uma função 𝐹 𝐼 ℝ é uma primitiva de 𝑓 se para cada 𝑥 𝐼 vale a igualdade 𝐹𝑥 𝐹𝑥 𝐷𝐹𝑥 𝐹 𝑥 𝑑𝐹 𝑑𝑥 𝑓𝑥 Teorema 2 Se 𝐹 𝐺 são duas primitivas de 𝑓 então 𝐹 𝐺 é constante Notação 3 Dada uma função 𝑓 definida em um intervalo real a integral indefinida de 𝑓 é o conjunto de todas as primitivas de 𝑓 e representado por 𝑓𝑥 𝑑𝑥 1 Primitivas Calcule as seguintes integrais indefinidas e verifique o resultado fazendo a derivada da função primitiva a 7𝑥11 5𝑥7 2𝑥5 11𝑥3 3𝑥2 𝑑𝑥 b 𝑥3 1 𝑥 𝑑𝑥 c cos 𝜃2 𝑑𝜃 d sin 𝜃2 𝑑𝜃 e 𝑥 3 𝑥 3 𝑥2 𝑑𝑥 f 1 𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 2 Mudança de Variável Calcule as seguintes integrais indefinidas e verifique o resultado fazendo a derivada da função primitiva a dx x x 2 1 b 𝑥2 1 𝑥3 𝑑𝑥 c x dx x cos sin 31 d 𝑥 1 𝑥4 𝑑𝑥 e tan 𝜃 𝑑𝜃 f ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 3 Integração por partes Calcule as seguintes integrais indefinidas e verifique o resultado fazendo a derivada da função primitiva a x sin x dx b ln xdx c ex sin x dx d dt e t t 2 e tan1 𝑥 𝑑𝑥 f 1 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 II Regras de derivação Lema 4 São apresentadas as derivadas de algumas funções elementares assim como regras para calcular derivadas de funções formadas a partir destas funções elementares Tipo Função Derivada Derivada do produto 𝒇𝒕 𝒇𝒕 𝑡 𝑓 𝑔 𝑓 𝑡 𝑔 𝑓 𝑔 𝑡 Constante 𝑐 0 Polinomial 𝑡𝑛 𝑛 𝑡𝑛1 Derivada de função composta Regra da Cadeia Exponencial 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑥 𝑓𝑢𝑥 𝑓 𝑢 𝑢𝑥 𝑢 𝑥 Exponencial 𝑎𝑡 𝑎𝑡 𝑙𝑛𝑎 Logarítmica ln 𝑡 1 𝑡 Regra do quociente Logarítmica log𝑎 𝑡 1 𝑡 𝑙𝑛𝑎 𝑡 𝑓 𝑔 𝑓 𝑡 𝑔 𝑓 𝑔 𝑡 𝑔2 Seno sin 𝑡 cos 𝑡 Cosseno cos 𝑡 sin 𝑡 Arcoseno sin1 𝑡 1 1 𝑡2 Arcotangente tan1 𝑡 1 1 𝑡2 III Técnicas de integração Corolário 5 São apresentadas as primitivas de algumas funções elementares assim como algumas regras para calcular primitivas de funções formadas a partir destas funções elementares Tipo Função Primitiva Integração por partes 𝒇𝒕 𝑭𝒕 𝑓 𝑔 𝑓 𝑡 𝑔 𝑓 𝑔 𝑡 Constante 0 𝑐 Polinomial 𝑡𝑛 𝑡𝑛1 𝑛 1 𝑐 Integração por substituição Exponencial 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑐 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑔𝑢 𝑔𝑢 𝑑𝑢 Exponencial 𝑎𝑡 𝑎𝑡 𝑙𝑛𝑎 𝑐 Racional 1 𝑡 ln𝑡 𝑐 Logarítmica ln 𝑡 𝑡 ln 𝑡 𝑡 Seno sin 𝑡 cos 𝑡 𝑐 Cosseno cos 𝑡 sin 𝑡 𝑐