Lista de Exercícios - Cálculo de Derivadas Parciais e Aplicações

1 20 pontos Para as seguintes funções f calcule fx fy fxx fxy fyx e fyy a fxy xxy 1 b fxy x cosyx 2 20 pontos Encontre as retas tangentes e o plano tangente ao ponto 21z0 da superfície fxy 3x 4yx2 y 3 20 pontos Calcule as seguintes derivadas a dsdt sendo que z fxy x2 2xy3 com xt sen2t e yt e2t b fxy x cosxy na direção v 11 no ponto 32 π2 4 20 pontos Caso seja possível encontre os valores máximos mínimos e pontos sela da superfície fxy 2x4 y2 x2 2y 5 20 pontos Uma pequena seguradora oferece dois produtos Seguro A e Seguro B para seus clientes Após estudos realizados sobre os dados de tal seguradora verificouse que a função prêmio tem o comportamento de Pxy x100 2x y125 3y e a função sinistro é dada por Sxy 12x 11y 4xy onde x e y são as quantidades de seguros A e B firmados respectivamente em um mês Sabendo que a função lucro é definida por Lxy Pxy Sxy qual a quantidade de cada tipo de seguro que deve ser vendido para que a seguradora tenha lucro máximo E qual é o lucro máximo desta seguradora 01 a fxy xxy 1 fx 1xy1 xy xy 12 1xy12 fy 0xy1 xx xy12 x2xy12 fxx 0 12yxy1 xy14 2yxy13 fxy 0 12xxy1 xy14 2xxy13 fyx 2xxy12 x22yxy1 xy14 fyx 2xxy1 2x2 y xy13 2x xy13 fyy 0 x22xxy1 xy14 2x3 xy13 b fxy xcosyx fx 1cosyx x sen yxy 2x fx cosyx xy 2x senyx cosyx x2 y senyx fxx y sen yx 2x y2 12x senyx x2 yy2x cosyx fxx y senyx 2x 12 y sen yx 2x y2 4 cosyx fxx 3 y senyx 2x y2 4 cosyx fxy x sen yx x2 senyx x y x cosyx fxy 32 x senyx xy2 cosyx fy 0 x x sen yx 2x sen yx fyy 0 xx x cos yx x2 cos yx fyx 32 x sen yx xxy2x cosyx fyx 32 x sen yx yx2 cos yx 02 fxy 3x 4 y x2 y fx 3x2 y 3x 4y 2x x2 y2 3x2 3y 6x2 8xy x2 y2 fx 3x2 3y 8xy x2 y2 f21 32 41 22 1 25 fx 21 3 22 31 821 22 12 fx 21 7 25 z zo fxxoyoxxo y yo z 25 725 x2 y 1 Equação da reta no eixo x fxy x sen yx x2 senyx x y x cosyx fxy 32 x sen yx xy2 cosyx fy 0 xx senyx 2x senyx fyy 0 xx x cosyx x2 cosyx fyx 32 x senyx xx y2x cosyx fyx 32 x senyx yx2 cosyx 02 fxy 3x4yx2 y fx 3x2 y 3x4y2xx2 y2 3x2 3y 6x2 8xyx2 y2 fx 3x2 3y 8xyx2 y2 f21 32 4122 1 25 fx21 322 31 82122 12 fx21 725 z zo fxxo yox xo y yo z 25 725x2 y 1 Equação da reta no eixo x fy4x2y3x4y1x2y2 4x2 3xx2y2 fy21 422 322212 2225 z 25 2225 y1 x 2 Equação da reta na direção do eixo dos y Calculando o plano tangente n fxP fyP 1 n 725 2225 1 fxPxx0 fyPyy0 zz0 0 725 x 2 2225 y1 z25 0 7x 1425 22y 2225 25z 1025 0 7x 14 22y 22 25z 10 0 7x 22y 25z 18 0 Equação do plano tangente 03 a z fxy x2 2xy3 z sen2t 2sen2te6t dzdt 22sen2t 22cos2te6t sen2t6e6t dzdt 4sen2t 4e6tcos2t 12e6tsen2t b fx cosxy xy senxy cosxy xy senxy fx3π2 π2 cos3π4 3π4 sen3π4 22 3π4 22 243π8 fy xxsenxy x2 senxy fy3π2 π2 94 sen3π4 94 22 928 v 11 ut i j2 22 i 22 j Du f3π2 π2 28 43π 22 928 21 Duf 3π2 π2 43π8 98 5 3π8 04 fxy 2x4 y2 x2 2y fx 8x3 2x fy 2y 2 f xy 8x3 2x 2y 2 fxab 0 8a3 2a 0 8a2 2 a 0 12 fyab 0 2b 2 0 b 1 fxx 24x2 2 fxy 0 fyy 2 Considerando P1 12 1 e P2 12 1 det Hab fxxab fxyab fyxab fyyab 4 0 0 2 8 0 Portanto 12 1 são pontos de mínimos de fxy e 12 1 Considerando P301 det H01 2 0 0 2 4 0 Portanto 01 é ponto de sela de fxy 05 Pxy x100 2x y125 3y Sxy 12x 14y 4xy x A y B Lxy Pxy Sxy Lxy 100x 2x2 125y 3y2 12x 14y 4xy Lxy 88x 2x2 114y 3y2 4xy Lxxy 88 4x 4y Lyxy 114 6y 4x Lxx xy 4 Lxy xy 4 Lyy xy 6 Lxy 00 88 4x 4y 0 I 114 6y 4x 0 II I 4x 88 4y Substituindo em II 114 6y 88 4y 0 2y 26 y 13 4x 88 413 x 9 Resposta L913 889 292 11413 3132 4913 L913 1137 Para que a seguradora tenha lucro máximo deve ser vendido 9 seguros do tipo A e 13 seguros do tipo B gerando um lucro máximo de 1137 reais