Teorema da Divergencia e Stokes - Lista de Exercicios Resolvidos

Questão 1 Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial F 1x² y² z² x 2y z 4y y² 8x 9z através da esfera S x² y² z² 1 com normal exterior Res Desejamos calcular I s F dS Como F coincide com G x 2y z 4y y² 8x 9z sobre S temos I s G dS Como S é uma superfície fechada temos pelo Teorema da Divergência I e div G dV e 1 4 9dV Assim I 4 e dV 4VE 44π3 16π3 Questão 2 Sejam F ez z y z² ey xey cos3z² 1 e C a interseção do cone z x² y² com o cilindro x² y² 4 orientada no sentido antihorário quando projetada no plano xy Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha c F dr Res A curva C é a circunferência x² y² 4 no plano z 2 Portanto C é fronteira da superfície S formada pelo disco x² y² 4 no plano z 2 Escolhendo n 0 0 1 para S temos pelo Teorema de Stokes c F dr s rot F 0 0 1 dS s x z² ey y ez z y dS s 0 1 dS s dS AS 4π