Lista de Exercícios - Cálculo de Integrais Múltiplas em Sólidos e Setores Esféricos

aluno 1 50 Seja o sólido determinado pelos planos π₁ x 2y 2z 2 0 π₂ 2x y 2z 2 0 no primeiro octante de ℝ³ ou seja para x y z 0 Usando integrais múltiplas determine a 10 A área da base do sólido no plano Oxy localizada abaixo de ambas as retas b 10 O centro de gravidade da base do sólido em Oxy c 10 O momento de inércia da base em Oxy em relação à origem do sistema de coordenadas Tome a densidade superficial de massa como constante e unitária d 10 A área das faces geradas por π₁ e π₂ e 10 O volume do sólido 2 30 Sejam uma esfera e um cilindro respectivamente dados por x² y² z² R² e x² y² 2Ry 0 Utilizando a mudança de coordenada adequada calcule a 15 A área do setor esférico delimitado pelo cilindro b 15 O volume do setor esférico Observação deixar o resultado em função de uma integral quando esta não puder ser calculada 3 20 Calcular a integral I ₀ cosax cosbx x dx Adote limt cost 0 Questão 1 a temos 𝑥 2𝑦 2𝑧 2 0 2𝑥 𝑦 2𝑧 2 0 No plano xy temos 𝑧 0 de modo que 𝑥 2𝑦 2 2𝑥 𝑦 2 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 2 2𝑥 Esquema Assim temos duas regiões de integração e a área da base é delimitada por 𝐴 𝑑𝑦 1𝑥 2 0 𝑑𝑥 2 3 0 𝑑𝑦 22𝑥 0 𝑑𝑥 1 2 3 𝐴 1 𝑥 2 𝑑𝑥 2 3 0 2 2𝑥𝑑𝑥 1 2 3 𝐴 𝑥 𝑥2 4 0 2 3 2𝑥 𝑥22 3 1 𝐴 2 3 2 3 2 4 2 1 2 2 3 2 3 2 𝐴 2 3 4 9 4 1 4 3 4 9 𝐴 2 3 1 9 1 12 9 4 9 𝐴 6 9 1 9 1 8 9 𝐴 3 9 1 𝐴 1 3 1 𝑨 𝟐 𝟑 b o centro de gravidade é dado pelas seguintes integrais 𝑥𝑐𝑔𝐴 𝑥𝑑𝑦 1𝑥 2 0 𝑑𝑥 2 3 0 𝑥𝑑𝑦 22𝑥 0 𝑑𝑥 1 2 3 𝑦𝑐𝑔𝐴 𝑦𝑑𝑦 1𝑥 2 0 𝑑𝑥 2 3 0 𝑦𝑑𝑦 22𝑥 0 𝑑𝑥 1 2 3 Mas notamos que pela simetria da região teremos 𝑦𝑐𝑔 𝑥𝑐𝑔 logo calculamos apenas o x 𝑥𝑐𝑔𝐴 𝑥 𝑑𝑦 1𝑥 2 0 𝑑𝑥 2 3 0 𝑥 𝑑𝑦 22𝑥 0 𝑑𝑥 1 2 3 𝑥𝑐𝑔 2 3 𝑥 1 𝑥 2 𝑑𝑥 2 3 0 𝑥2 2𝑥𝑑𝑥 1 2 3 𝑥𝑐𝑔 2 3 𝑥 𝑥2 2 𝑑𝑥 2 3 0 2𝑥 2𝑥2𝑑𝑥 1 2 3 2 3 𝑥𝑐𝑔 𝑥2 2 𝑥3 6 0 2 3 𝑥2 2 3 𝑥32 3 1 2 3 𝑥𝑐𝑔 2 3 2 2 2 3 3 6 1 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 𝑥𝑐𝑔 2 3 2 1 2 2 3 6 1 3 2 3 2 1 2 3 2 3 𝑥𝑐𝑔 2 3 1 2 1 9 1 2 2 3 1 4 9 𝑥𝑐𝑔 2 3 9 2 18 1 2 2 3 5 9 𝑥𝑐𝑔 1 3 7 9 1 2 10 27 𝑥𝑐𝑔 7 27 1 2 10 27 𝑥𝑐𝑔 3 27 1 2 𝑥𝑐𝑔 6 27 54 𝑥𝑐𝑔 21 54 𝒙𝒄𝒈 𝟕 𝟏𝟖 c o momento de inércia é dado por 𝐼 𝑟2𝑑𝑚 𝑟2𝜌𝑑𝐴 𝑥2 𝑦2𝜌𝑑𝑦𝑑𝑥 Como 𝜌 1 temos 𝐼 𝑥2 𝑦2𝑑𝑦 1𝑥 2 0 𝑑𝑥 2 3 0 𝑥2 𝑦2𝑑𝑦 22𝑥 0 𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 𝑥2𝑦 𝑦3 3 0 1𝑥 2 𝑑𝑥 2 3 0 𝑥2𝑦 𝑦3 3 0 22𝑥 𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 1 3 1 𝑥 2 3𝑥2 1 𝑥 2 2 𝑑𝑥 2 3 0 1 3 2 2𝑥3𝑥2 2 2𝑥2𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 1 3 1 𝑥 2 12 4 𝑥2 1 𝑥 𝑥2 4 𝑑𝑥 2 3 0 1 3 2 2𝑥3𝑥2 4 8𝑥 4𝑥2𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 1 6 2 𝑥 13 4 𝑥2 1 𝑥 𝑑𝑥 2 3 0 1 3 2 2𝑥7𝑥2 4 8𝑥𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 1 6 2 𝑥 13 4 𝑥2 1 𝑥 𝑑𝑥 2 3 0 2 3 1 𝑥7𝑥2 4 8𝑥𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 1 6 13 2 𝑥2 2 2𝑥 13 4 𝑥3 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 2 3 0 2 3 7𝑥2 4 8𝑥 7𝑥3 4𝑥 8𝑥2𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 1 6 13 4 𝑥3 15 2 𝑥2 2 3𝑥 𝑑𝑥 2 3 0 2 3 7𝑥3 15𝑥2 4 12𝑥𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 1 6 13 16 𝑥4 5 2 𝑥3 2𝑥 3 2 𝑥2 0 2 3 2 3 7 4 𝑥4 5𝑥3 4𝑥 6𝑥2 23 1 𝐼 1 6 13 16 16 81 5 2 8 27 2 2 3 3 2 4 9 2 3 7 4 5 4 6 7 4 16 81 5 8 27 4 2 3 6 4 9 𝐼 1 6 13 81 20 27 4 3 2 3 2 3 7 4 3 28 81 40 27 8 3 8 3 𝐼 1 6 13 81 60 81 2 3 2 3 7 4 12 4 28 81 120 81 𝐼 1 6 47 81 54 81 2 3 5 4 92 81 𝐼 1 6 101 81 2 3 37 324 𝐼 101 486 37 486 𝐼 138 486 𝐼 69 243 𝑰 𝟐𝟑 𝟖𝟏 d temos 𝑥 2𝑦 2𝑧 2 0 2𝑥 𝑦 2𝑧 2 0 Subtraindo equações obtemos 2𝑥 𝑥 𝑦 2𝑦 0 𝑥 𝑦 0 𝑦 𝑥 Assim os planos se interceptam conforme a seguinte figura Devido à simetria a área gerada por ambos planos é a mesma e cada uma delas é dada como segue Note que podemos parametrizar a superfície do plano vermelho que se encontra abaixo do plano azul na área 2 da figura 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 2 Logo temos a parametrização 𝑟 𝑥 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 Logo temos 𝑟 𝑥 10 1 𝑟 𝑦 01 1 2 A área da superfície é dada pela seguinte integral 𝐴𝑠 𝑟 𝑥 𝑋 𝑟 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Calculando obtemos 𝐴𝑠 𝑖 𝑗 𝑘 1 0 1 0 1 1 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝐴𝑠 1𝑖 1 2 𝑗 1𝑘 𝑑𝑦𝑑𝑥 1 2 2 12 12𝑑𝑦𝑑𝑥 9 4 𝑑𝑦𝑑𝑥 3 2 𝑑𝑦𝑑𝑥 3 2 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 2 3 0 𝑑𝑦 22𝑥 0 𝑑𝑥 1 2 3 3 2 𝑥𝑑𝑥 2 3 0 2 2𝑥𝑑𝑥 1 2 3 3 2 𝑥2 2 0 2 3 𝑥2 2𝑥2 3 1 3 2 4 9 2 1 2 4 9 2 2 3 3 2 2 9 1 4 9 4 3 1 3 3 2 2 3 2 1 3 3 2 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 𝟏 𝟐 e o volume é dado pela integral calculando o volume embaixo do plano azul e multiplicando por 2 devido à simetria 𝑉 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 𝐼 2 1 𝑥 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 2 3 0 1 𝑥 𝑦 2 𝑑𝑦 22𝑥 0 𝑑𝑥 1 2 3 Calculando temos 𝐼 2 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2 4 0 𝑥 𝑑𝑥 2 3 0 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2 4 0 22𝑥 𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 2 𝑥 𝑥2 𝑥2 4 𝑑𝑥 2 3 0 2 2𝑥 𝑥2 2𝑥 2 2𝑥2 4 𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 2 𝑥 5 4 𝑥2 𝑑𝑥 2 3 0 2 4𝑥 2𝑥2 4 8𝑥 4𝑥2 4 𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 2 𝑥 5 4 𝑥2 𝑑𝑥 2 3 0 1 2𝑥 𝑥2𝑑𝑥 1 2 3 𝐼 2 𝑥2 2 5 12 𝑥3 0 2 3 𝑥 𝑥2 𝑥3 3 2 3 1 𝐼 2 1 2 4 9 5 12 8 27 1 1 1 3 2 3 4 9 1 3 8 27 𝐼 2 18 81 10 81 27 81 54 81 36 81 8 81 𝐼 2 8 81 27 81 26 81 𝐼 2 9 81 𝑰 𝟐 𝟗 Questão 2 Mote que temos 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑅2 𝑥2 𝑦2 2𝑅𝑦 0 Da segunda equação temos 𝑥2 𝑦2 2𝑅𝑦 𝑅2 𝑅2 𝑥2 𝑦 𝑅2 𝑅2 Assim vemos que as superfícies são como representado Note que podemos parametrizar a superfície da esfera por 𝑥 𝑅 sin 𝜓 cos 𝜃 𝑦 𝑅 sin 𝜓 sin 𝜃 𝑧 𝑅 cos 𝜓 Logo temos a parametrização 𝑟 𝑅 sin 𝜓 cos 𝜃 𝑅 sin 𝜓 sin 𝜃 𝑅 cos 𝜓 Logo temos 𝑟 𝜓 𝑅 cos 𝜓 cos 𝜃 𝑅 cos 𝜓 sin 𝜃 𝑅 sin 𝜓 𝑟 𝜃 𝑅 sin 𝜓 sin 𝜃 𝑅 sin 𝜓 cos 𝜃 0 A área da superfície é dada pela seguinte integral 𝐴𝑠 𝑟 𝜓 𝑋 𝑟 𝜃 𝑑𝜓𝑑𝜃 Calculando obtemos 𝐴𝑠 𝑖 𝑗 𝑘 𝑅 cos 𝜓 cos 𝜃 𝑅 cos 𝜓 sin 𝜃 𝑅 sin 𝜓 𝑅 sin 𝜓 sin 𝜃 𝑅 sin 𝜓 cos 𝜃 0 𝑑𝜓𝑑𝜃 𝐴𝑠 𝑅 sin 𝜓 𝑅 sin𝜓 cos 𝜃𝑖 𝑅 sin𝜓 𝑅 sin 𝜓 sin 𝜃𝑗 𝑅 cos 𝜓 sin𝜓 cos2 𝜃 𝑅 cos 𝜓 sin𝜓 sin2 𝜃𝑘 𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑅 sin𝜓 𝑅 sin 𝜓 cos 𝜃𝑖 𝑅 sin 𝜓 𝑅 sin𝜓 sin𝜃𝑗 𝑅2 cos 𝜓 sin 𝜓 cos2 𝜃 𝑅2 cos 𝜓 sin𝜓 sin2 𝜃𝑘 𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑅2 sin2 𝜓 cos 𝜃𝑖 sin2 𝜓 sin𝜃𝑗 cos 𝜓 sin𝜓𝑘 𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑅2 sin2 𝜓 cos 𝜃2 sin2 𝜓 sin 𝜃2 cos 𝜓 sin 𝜓2𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑅2 sin4 𝜓 cos2 𝜃 sin4 𝜓 sin2 𝜃 cos2 𝜓 sin2 𝜓 𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑅2 sin4 𝜓 cos2 𝜓 sin2 𝜓 𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑅2 sin𝜓 sin2 𝜓 cos2 𝜓 𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑅2 sin 𝜓 𝑑𝜓𝑑𝜃 Os limites de integração são descobertos por 𝑥2 𝑦2 2𝑅𝑦 0 𝑅2 sin2 𝜓 cos2 𝜃 𝑅2 sin2 𝜓 sin2 𝜃 2𝑅 𝑅 sin𝜓 sin 𝜃 0 sin2 𝜓 cos2 𝜃 sin2 𝜓 sin2 𝜃 2 sin 𝜓 sin𝜃 0 sin2 𝜓 2 sin 𝜓 sin 𝜃 0 sin 𝜓 2 sin 𝜃 0 𝜃 arcsin sin 𝜓 2 Logo a área é dada pela integral 𝐼 𝑅2 sin𝜓 𝜋arcsinsin 𝜓 2 arcsinsin 𝜓 2 𝑑𝜃 𝑑𝜓 𝜋 0 𝐼 𝑅2 sin 𝜓 𝑑𝜃 𝜋arcsinsin 𝜓 2 arcsinsin 𝜓 2 𝑑𝜓 𝜋 0 𝐼 𝑅2 sin 𝜓 𝜋 2 arcsin sin 𝜓 2 𝑑𝜓 𝜋 0 𝐼 𝑅2 sin 𝜓 𝜋 2 arcsin sin 𝜓 2 𝑑𝜓 𝜋 0 Aqui como não podemos resolver a integral deixamos o resultado em função da integral b o volume em coordenadas esféricas é dado pela seguinte integral 𝐼 𝜌2 sin𝜓 𝑑𝜌 𝑅 0 𝑑𝜃 𝜋arcsinsin 𝜓 2 arcsinsin 𝜓 2 𝑑𝜓 𝜋 0 𝐼 sin𝜓 𝜌2𝑑𝜌 𝑅 0 𝑑𝜃 𝜋arcsinsin 𝜓 2 arcsinsin 𝜓 2 𝑑𝜓 𝜋 0 𝐼 sin 𝜓 𝑅3 3 𝑑𝜃 𝜋arcsinsin 𝜓 2 arcsinsin 𝜓 2 𝑑𝜓 𝜋 0 𝐼 𝑅3 3 sin 𝜓 𝑑𝜃 𝜋arcsinsin 𝜓 2 arcsinsin 𝜓 2 𝑑𝜓 𝜋 0 𝐼 𝑅3 3 sin 𝜓 𝜋 2 arcsin sin𝜓 2 𝑑𝜓 𝜋 0 Aqui como não podemos resolver a integral deixamos o resultado em função da integral Questão 3 Temos 𝐼 cos𝑎𝑥 cos𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥 0 Escrevendo a integral como um limite ficamos com 𝐼 cos𝑎𝑥 cos𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥 0 lim 𝛿0 𝑀 cos𝑎𝑥 cos𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑀 𝛿 Manipulando obtemos 𝐼 lim 𝛿0 𝑀 cos𝑎𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑀 𝛿 cos𝑏𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑀 𝛿 Aplicando a substituição 𝑎𝑥 𝑡 e 𝑏𝑥 𝑡 nas integrais obtemos 𝐼 lim 𝛿0 𝑀 cos𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑀 𝑎𝛿 cos𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑏𝑀 𝑏𝛿 Com o integrando agora é o mesmo esta expressão equivale a 𝐼 lim 𝛿0 𝑀 cos𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑀 𝑏𝑀 cos𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝛿 𝑏𝛿 𝐼 lim 𝑀 cos𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑀 𝑏𝑀 lim 𝛿0 cos𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝛿 𝑏𝛿 Note que na primeira integral os limites de integração vão tendendo a infinito mas temos lim 𝑡 cos𝑡 0 e lim 𝑡 1 𝑡 0 Ou seja o integrando tende a zero no limite Portanto o resultado da integral é zero logo ficamos com 𝐼 lim 𝛿0 cos𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝛿 𝑏𝛿 𝐼 lim 𝛿0 cos𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑏𝛿 𝑎𝛿 Integrando por partes temos 𝑢 cos 𝑡 𝑑𝑣 1 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢 sin 𝑡 𝑑𝑡 𝑣 ln 𝑡 Logo 𝐼 lim 𝛿0 cos 𝑡 ln 𝑡𝑎𝛿 𝑏𝛿 ln 𝑡 𝑏𝛿 𝑎𝛿 sin𝑡 𝑑𝑡 𝐼 lim 𝛿0 cos 𝑏𝛿 ln 𝑏𝛿 cos 𝑎𝛿 ln 𝑎𝛿 ln 𝑡 𝑏𝛿 𝑎𝛿 sin𝑡 𝑑𝑡 Aqui note que usando LHoptal temos lim 𝑡0 ln 𝑡 sin𝑡 lim 𝑡0 ln 𝑡 1 sin 𝑡 lim 𝑡0 1 𝑡 cos 𝑡 sin2 𝑡 lim 𝑡0 sin 𝑡 𝑡 tan 𝑡 lim 𝑡0tan 𝑡 0 Ou seja o integrando da integral que sobrou é zero Logo a integral é zero Assim temos 𝐼 lim 𝛿0cos 𝑏𝛿 ln 𝑏𝛿 cos 𝑎𝛿 ln 𝑎𝛿 𝐼 lim 𝛿0ln𝑏𝛿cos𝑏𝛿 ln𝑎𝛿cos𝑎𝛿 𝐼 lim 𝛿0 ln 𝑏𝛿cos𝑏𝛿 𝑎𝛿cos𝑎𝛿 MAS PARA 𝑡 0 temos cos 𝑏𝛿 1 cos 𝑎𝛿 1 e portanto 𝐼 lim 𝛿0 ln 𝑏𝛿 𝑎𝛿 𝐼 lim 𝛿0 ln 𝑏 𝑎 𝑰 𝐥𝐧 𝒃 𝒂 Questão 1 a temos x2 y2z20 2 x y2z20 No plano xy temos z0 de modo que x2 y2 2 x y2 y1x 2 y22 x Esquema Assim temos duas regiões de integração e a área da base é delimitada por A 0 2 3 0 1x 2 dydx 2 3 1 0 22 x dydx A 0 2 3 1 x 2dx 2 3 1 22 x dx A x x 2 4 0 2 32 xx 22 3 1 A 2 3 2 3 2 4 212 2 3 2 3 2 A 2 3 4 9 41 4 34 9 A 2 31 91 12 9 4 9 A 6 91 91 8 9 A3 9 1 A 1 31 A2 3 b o centro de gravidade é dado pelas seguintes integrais xcg A 0 2 3 0 1x 2 xdydx 2 3 1 0 22x xdydx ycg A 0 2 3 0 1x 2 ydydx 2 3 1 0 22 x ydydx Mas notamos que pela simetria da região teremos ycgxcg logo calculamos apenas o x xcg A 0 2 3 x 0 1x 2 dydx 2 3 1 x 0 22x dydx xcg 2 3 0 2 3 x1 x 2dx 2 3 1 x 22 x dx xcg 2 3 0 2 3 xx 2 2 dx 2 3 1 2x2 x 2 dx 2 3 xcg x 2 2 x 3 6 0 2 3x 22 3 x 32 3 1 2 3 xcg 2 3 2 2 2 3 3 6 12 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 xcg 2 3 2 1 2 2 3 6 1 3 2 3 2 12 3 2 3 xcg2 3 1 21 9 1 22 314 9 xcg2 3 92 18 1 22 3 5 9 xcg1 3 7 9 1 210 27 xcg 7 27 1 210 27 xcg3 27 1 2 xcg627 54 xcg21 54 xcg 7 18 c o momento de inércia é dado por Ir 2dmr 2 ρdA x 2 y 2 ρdydx Como ρ1 temos I 0 2 3 0 1 x 2 x 2 y 2dydx 2 3 1 0 22x x 2 y 2dydx I 0 2 3 x 2 y y 3 3 0 1x 2dx 2 3 1 x 2 y y 3 3 0 22x dx I1 3 0 2 3 1 x 23 x 21 x 2 2 dx 1 3 2 3 1 22 x 3 x 222x 2dx I1 3 0 2 3 1 x 2 12 4 x 21x x 2 4 dx 1 3 2 3 1 22 x 3x 248x4 x 2dx I1 6 0 2 3 2x 13 4 x 21xdx1 3 2 3 1 22 x 7 x 248xdx I1 6 0 2 3 2x 13 4 x 21xdx2 3 2 3 1 1x 7 x 248 xdx I1 6 0 2 3 13 2 x 222 x 13 4 x 3xx 2dx 2 3 2 3 1 7 x 248x7 x 34 x8x 2dx I1 6 0 2 3 13 4 x 3 15 2 x 223 xdx2 3 2 3 1 7 x 315 x 2412 x dx I1 6 13 16 x 45 2 x 32 x3 2 x 20 2 3 2 3 7 4 x 45x 34 x6 x 223 1 I1 6 13 16 16 81 5 2 8 272 2 33 2 4 9 2 3 7 4 546 7 4 16 815 8 27 4 2 36 4 9 I1 6 13 81 20 27 4 32 32 3 7 4 3 28 81 40 27 8 38 3 I1 6 13 81 60 81 2 3 2 3 7 4 12 4 28 81 120 81 I1 6 47 81 54 81 2 3 5 4 92 81 I1 6 101 81 2 3 37 324 I101 486 37 486 I138 486 I 69 243 I23 81 d temos x2 y2z20 2 x y2z20 Subtraindo equações obtemos 2 xx y2 y0 xy0 yx Assim os planos se interceptam conforme a seguinte figura Devido à simetria a área gerada por ambos planos é a mesma e cada uma delas é dada como segue Note que podemos parametrizar a superfície do plano vermelho que se encontra abaixo do plano azul na área 2 da figura xx y y z1x y 2 Logo temos a parametrização rx y1 x 2 y Logo temos r x101 r y 011 2 A área da superfície é dada pela seguinte integral As r x X r yd y d x Calculando obtemos As i j k 1 0 1 0 1 1 2 dydx As1i 1 2 j1kdydx 1 2 2 1 21 2d yd x 9 4 dydx 3 2dydx 3 2 0 2 3 0 x dydx 2 3 1 0 22x dydx 3 2 0 2 3 x dx 2 3 1 22x dx 3 2 x 2 2 0 2 3 x 22 x 2 3 1 3 2 4 9 2 12 4 92 2 3 3 2 2 9 1 4 94 3 1 3 3 2 2 32 1 3 3 2 2 32 1 3 22 13 2 1 2 e o volume é dado pela integral calculando o volume embaixo do plano azul e multiplicando por 2 devido à simetria V dzdydx I2 0 2 3 0 x 1x y 2 dydx 2 3 1 0 22x 1x y 2dydx Calculando temos I2 0 2 3 yxy y 2 4 0 x dx 2 3 1 yxy y 2 4 0 22 x dx I2 0 2 3 xx 2 x 2 4 dx 2 3 1 22x x 22 x 22 x 2 4 dx I2 0 2 3 x5 4 x 2dx 2 3 1 24 x2x 248 x4 x 2 4 dx I2 0 2 3 x5 4 x 2dx 2 3 1 12 xx 2 dx I2 x 2 2 5 12 x 30 2 3xx 2 x 3 3 2 3 1 I2 1 2 4 9 5 12 8 2711 1 3 2 3 4 9 1 3 8 27 I2 18 8110 81 27 81 54 8136 81 8 81 I2 8 81 27 81 26 81 I2 9 81 I2 9 Questão 2 Mote que temos x 2 y 2z 2R 2 x 2 y 22Ry0 Da segunda equação temos x 2 y 22Ry R 2R 2 x 2 yR 2R 2 Assim vemos que as superfícies são como representado Note que podemos parametrizar a superfície da esfera por xRsinψ cosθ yRsinψ sinθ zRcosψ Logo temos a parametrização rR sinψ cosθ Rsinψ sinθ Rcosψ Logo temos r ψRcos ψcos θRcos ψsinθR sinψ r θRsinψsinθ Rsinψ cosθ0 A área da superfície é dada pela seguinte integral As r ψ X r θdψdθ Calculando obtemos As i j k Rcosψ cosθ Rcosψ sinθ Rsinψ Rsinψ sinθ Rsinψ cosθ 0 dψdθ AsRsinψ Rsinψcos θiRsinψ Rsinψ sinθ jRcos ψsinψ cos 2θRcosψ sinψ sin 2θ kdψdθ R sinψ Rsinψcos θiRsinψ Rsinψ sinθ jR 2cosψ sinψ cos 2θR 2cosψ sinψsin 2θkdψdθ R 2sin 2ψ cosθisin 2ψ sinθ jcosψ sinψ kdψdθ R 2sin 2ψcos θ 2sin 2ψ sinθ 2cosψ sinψ 2dψdθ R 2sin 4ψ cos 2θsin 4ψsin 2θcos 2ψ sin 2ψ dψdθ R 2sin 4ψcos 2ψ sin 2ψ dψdθ R 2sinψ sin 2ψcos 2ψ dψdθ R 2sinψ dψdθ Os limites de integração são descobertos por x 2 y 22Ry0 R 2sin 2ψ cos 2θR 2sin 2ψ sin 2θ2 RRsinψ sinθ0 sin 2ψ cos 2θsin 2ψsin 2θ2sinψ sinθ0 sin 2ψ2sinψ sinθ0 sinψ2sinθ0 θarcsin sinψ 2 Logo a área é dada pela integral IR 2 0 π arcsin sin ψ 2 πarcsin sin ψ 2 sinψ dθ dψ IR 2 0 π sinψ arcsin sinψ 2 πarcsin sinψ 2 dθ dψ IR 2 0 π sinψπ2arcsin sinψ 2 dψ IR 2 0 π sinψπ2arcsin sinψ 2 dψ Aqui como não podemos resolver a integral deixamos o resultado em função da integral b o volume em coordenadas esféricas é dado pela seguinte integral I 0 π arcsin sin ψ 2 πarcsin sin ψ 2 0 R ρ 2sinψ d ρd θ d ψ I 0 π sinψ arcsin sin ψ 2 πarcsin sinψ 2 0 R ρ 2dρdθ dψ I 0 π sinψ arcsin sin ψ 2 πarcsin sinψ 2 R 3 3 dθ dψ IR 3 3 0 π sinψ arcsin sinψ 2 πarcsin sinψ 2 dθ dψ IR 3 3 0 π sinψπ2arcsin sinψ 2 dψ Aqui como não podemos resolver a integral deixamos o resultado em função da integral Questão 3 Temos I 0 cos ax cosbx x dx Escrevendo a integral como um limite ficamos com I 0 cos ax cosbx x dx lim δ 0 M δ M cos ax cos bx x dx Manipulando obtemos I lim δ 0 M δ M cos ax x dx δ M cos bx x dx Aplicando a substituição axt e bxt nas integrais obtemos I lim δ 0 M aδ aM cost t d t bδ b M cos t t dt Com o integrando agora é o mesmo esta expressão equivale a I lim δ 0 M bM aM cos t t dt bδ aδ cos t t dt I lim M bM aM cost t dtlim δ 0 bδ aδ cost t dt Note que na primeira integral os limites de integração vão tendendo a infinito mas temos lim t cost 0 e lim t 1 t 0 Ou seja o integrando tende a zero no limite Portanto o resultado da integral é zero logo ficamos com Ilim δ 0 bδ aδ cos t t dt Ilim δ 0 aδ bδ cost t dt Integrando por partes temos ucost dv1 t dt dusint dt vln t Logo Ilim δ 0cost lnt aδ bδ aδ bδ ln t sint dt Ilim δ 0cosbδ ln bδcosaδ ln aδ aδ bδ ln t sint dt Aqui note que usando LHoptal temos lim t 0 ln t sintlim t 0 ln t 1 sint lim t 0 1 t cost sin 2t lim t0 sint t tan tlim t0 tant 0 Ou seja o integrando da integral que sobrou é zero Logo a integral é zero Assim temos Ilim δ 0 cosbδ ln bδcos aδ ln aδ Ilim δ 0 ln bδ cosbδln aδ cosaδ Ilim δ 0ln bδ cosbδ aδ cosaδ MAS PARA t 0 temos cos bδ 1 cos aδ 1 e portanto Ilim δ 0ln bδ aδ Ilim δ 0ln b a Iln b a