Cálculo 3 sobre Parametrização

ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DEP EST RENÊ BARBOUR FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ALIMENTOS Aluno a Data Professor Joilson Carvalho Lista 01 de Cálculo Diferencial e Integral III NOVA MUTUM MT 2024 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Joilson Carvalho Unidade I Integrais de linha 1 Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos 1 3 e 4 9 2 Encontre as equações paramétricas das curvas a Uma circunferência de raio 5 centrado na origem e orientado no sentido horário b A parte da circunferência x2y2 1 que está no terceiro quadrante orientada no sentido antihorário c A elipse x2 4 y2 9 1 orientada no sentido antihorário e A parte da parábola x y2 ligando 1 1 e 1 1 orientada de baixo para cima 3 Parametrize as curvas abaixo a x 12 4 y 12 9 1 b x 12 4 y 12 9 1 c x 12 y 2 d 2x2 3y2 2 e x2 2x y2 2y 1 0 4 Determine a parametrização das funções a fx x2 1 x 2 3 b fx x 1 x 0 10 c fx x2 1 2x x 1 5 5 Resolva os itens a seguir a Use um recurso gráfico para gerar a trajetória de uma partícula cujas equações do movimento no intervalo de tempo 0 t 5 são x 6t 1 2t3 y 6t 1 2t2 b Faça uma tabela das coordenadas x e y da partícula nos instantes t 0 1 2 3 4 5 c Em que instantes a partícula está sobre o eixo y d Durante qual intervalo de tempo temos y 5 e Em que instante a coordenada x da partícula atinge um máximo 6 Seja C a curva dada pela intersecção das superfícies z 3 3x2 y2 e z x2 2y Encontre uma parametrização para C 1 7 Seja C a curva dada pela interseção das superfícies z x24 y29 e z x2 1 Encontre uma parametrização para C 8 Encontre o comprimento de arco das curvas no intervalo indicado a γt t2 13t3 0 t 1 b γt cos3t sen3t 0 t π 9 Calcule em cada item a integral de linha ao longo da curva C a C 2x y zds onde C é o segmento de reta que liga os pontos A1 2 3 e B2 0 1 b C 3y zds onde C é o arco de parábola z y2 x 1 de A1 0 0 a B1 2 4 c C yx zds onde C é a intersecção das superfícies x2 y2 z2 9 e x z 3 d C x yds onde C é a interação das superfícies z x2 y2 e z 4 1 Passo 1 Vetor diretor da reta O vetor diretor da reta pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos dois pontos fornecidos Sejam os pontos P11 3 e P24 9 v P2 P1 4 1 9 3 3 6 Esse vetor v 3 6 será o vetor diretor da reta Passo 2 Equações paramétricas A equação paramétrica de uma reta é dada pela fórmula rt r0 tv Onde r0 é um ponto da reta podemos escolher P11 3 v é o vetor diretor e t é o parâmetro Substituindo os valores xt 1 3t yt 3 6t Resposta final As equações paramétricas da reta que passa pelos pontos 1 3 e 4 9 são xt 1 3t yt 3 6t 2 a Circunferência de raio 5 centrada na origem e orientada no sentido horário A equação paramétrica de uma circunferência de raio r centrada na origem e orientada no sentido antihorário é dada por 1 xt r cost yt r sint No caso do sentido horário trocamos o sinal de yt xt 5 cost yt 5 sint Portanto as equações paramétricas são xt 5 cost yt 5 sint b Parte da circunferência x2 y2 1 no terceiro quadrante orientada no sentido antihorário A equação da circunferência x2 y2 1 representa uma circunferência de raio 1 centrada na origem No terceiro quadrante temos x 0 e y 0 A equação paramétrica padrão no sentido antihorário é xt cost yt sint No terceiro quadrante os valores de t estão entre π e 3π2 Assim as equações paramétricas para essa parte da circunferência são xt cost π t 3π 2 yt sint π t 3π 2 2 c Elipse x2 4 y2 9 1 orientada no sentido antihorário A equação da elipse pode ser parametrizada como xt 2 cost yt 3 sint onde t varia de 0 a 2π para percorrer toda a elipse e Parte da parábola x y2 ligando 1 1 e 1 1 orientada de baixo para cima A equação x y2 pode ser parametrizada diretamente usando y como parâ metro Como queremos a parte que vai de 1 1 para 1 1 e orientada de baixo para cima o parâmetro será y variando de 1 a 1 Logo as equações paramétricas são xy y2 yt y Com y variando de 1 a 1 3 a Hiperbole x 12 4 y 12 9 1 A equação representa uma hipérbole com centro no ponto 1 1 com o eixo maior ao longo do eixo x A parametrização é feita usando as funções hiperbólicas cosht e sinht xt 1 2 cosht yt 1 3 sinht 3 b Elipse x 124 y 129 1 Essa equação representa uma elipse com centro no ponto 1 1 semieixo maior igual a 3 no eixo y e semieixo menor igual a 2 no eixo x A parametrização é feita usando seno e cosseno xt 1 2 cost yt 1 3 sint c Parábola x 12 y 2 Essa equação representa uma parábola com vértice no ponto 1 2 Podemos usar t como o parâmetro para x e então expressar y em função de t xt t yt t 12 2 d Elipse 2x2 3y2 2 Essa é uma elipse centrada na origem com semieixos de comprimento 1 no eixo x e 23 no eixo y A parametrização será xt 1 cost cost yt 23 sint 23 sint e Equação quadrática geral x2 2x y2 2y 1 0 Rearranjando a equação para completar o quadrado x 12 y 12 1 Isso é uma circunferência centrada em 1 1 com raio 1 A parametriza ção é dada por xt 1 cost yt 1 sint 4 a fx x2 1 x 2 3 Podemos parametrizar essa função definindo x como t ou seja t será o parâmetro e fx será yt Assim xt t yt t2 1 Com t 2 3 b fx x 1 x 0 10 Da mesma forma podemos definir t como o parâmetro xt t yt t 1 Com t 0 10 5 c fx x21 2x x 1 5 Para essa função novamente parametrizamos x como t xt t yt t2 1 2t Com t 1 5 5 a Use um recurso gráfico para gerar a trajetória da partícula xt 6t 1 2t3 yt 6t 1 2t2 6 b Faça uma tabela das coordenadas x e y da partícula nos instantes t 0 1 2 3 4 5 Vamos calcular os valores de xt e yt para esses instantes xt 6t 1 2t3 yt 6t 1 2t2 t xt yt 0 00 00 1 55 55 2 80 100 3 45 135 4 80 160 5 325 175 c Em que instantes a partícula está sobre o eixo y A partícula estará sobre o eixo y quando xt 0 Vamos resolver a equação 6t 1 2t3 0 6t 1 2t3 0 t6 1 2t2 0 Temos duas soluções t 0 ou 6 1 2t2 0 Vamos resolver para t 6 1 2t2 t2 12 t 12 2 3 346 Portanto a partícula está sobre o eixo y nos instantes t 0 e t 346 7 d Durante qual intervalo de tempo temos y 5 Vamos resolver a equação 6t 1 2t2 5 6t 1 2t2 5 1 2t2 6t 5 0 As raízes da equação são t1 090 e t2 1110 Como o intervalo de tempo é restrito a t 0 5 a partícula terá y 5 no intervalo 0 t 090 e Em que instante a coordenada x da partícula atinge um máximo Para encontrar o instante em que xt atinge um máximo precisamos calcu lar a derivada de xt 6t 1 2t3 e igualar a zero A derivada de xt se anula em t 2 e t 2 Como estamos conside rando o intervalo t 0 5 o máximo ocorre em t 2 6 z 3 3x2 y2 e z x2 2y Passo 1 Igualar as equações Como ambas representam z podemos igualar as duas expressões para z 3 3x2 y2 x2 2y Rearranjando a equação 3 3x2 y2 x2 2y 3 4x2 y2 2y 0 4x2 y2 2y 3 0 8 Passo 2 Completar o quadrado em y Para resolver essa equação completamos o quadrado em y A parte que envolve y é y2 2y Podemos escrever isso como y2 2y y 12 1 Substituindo na equação 4x2 y 12 1 3 0 4x2 y 12 4 0 4x2 y 12 4 x2 1 y 12 4 1 Isso representa uma elipse que pode ser parametrizada por xt cost yt 1 2 sint Passo 3 Encontrar z z x2 2y zt xt2 2yt zt cos2t 21 2 sint zt cos2t 21 4 sint zt cos2t 2 4 sint 9 Parametrização final A parametrização da curva C é xt cost yt 1 2 sint zt cos2t 2 4 sint 7 z x2 4 y2 9 e z x2 1 Passo 1 Igualar as equações Podemos igualar as duas expressões para z x2 4 y2 9 x2 1 Multiplicando ambos os lados por 36 o mínimo múltiplo comum de 4 e 9 para eliminar os denominadores 9x2 4y2 36x2 1 9x2 4y2 36x2 36 4y2 27x2 36 y2 27x2 36 4 Passo 2 Parametrizar x xt t 10 Passo 3 Encontrar yt Agora substituímos xt t na equação de y2 y2 27t2 364 yt 27t2 362 Passo 4 Encontrar zt Substituímos xt na equação z x2 1 zt t2 1 Parametrização final A parametrização da curva C é xt t yt 27t2 362 zt t2 1 8 a γt t2 13 t3 com 0 t 1 A fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada γt xt yt é dada por L ab dxdt2 dydt2 dt No caso de γt t2 13 t3 xt t2 então dxdt 2t yt 13t3 então dydt t2 Substituímos na fórmula para o comprimento de arco L 01 2t2 t22 dt L 01 4t2 t4 dt O comprimento de arco para a curva γt t2 13 t3 no intervalo 0 t 1 é dado por L 553 83 b γt cos3t sin3t com 0 t π Para a curva γt cos3t sin3t temos xt cos3t então dxdt 3 sin3t yt sin3t então dydt 3 cos3t O comprimento de arco é dado por L 0π 3 sin3t2 3 cos3t2 dt L 0π 9 sin23t 9 cos23t dt L 0π 9sin23t cos23t dt L 0π 9 dt 3 0π dt L 3t 0π 3π O comprimento de arco da curva γt cos3t sin3t no intervalo 0 t π é 3π 9 a C 2x y z ds onde C é o segmento de reta que liga os pontos A1 2 3 e B2 0 1 1 Determinação da equação paramétrica do segmento de reta O segmento de reta pode ser parametrizado da seguinte forma rt 1 t 2 2t 3 2t 0 t 1 Aqui r0 A1 2 3 e r1 B2 0 1 2 Cálculo de ds Para calcular ds precisamos da derivada da curva drdt 1 2 2 O módulo dessa derivada nos dá o ds ds drdt dt 12 22 22 dt 9 dt 3 dt 3 Substituição na integral Agora substituímos x 1 t y 2 2t z 3 2t e ds 3 dt na integral 01 2x y z ds 01 21 t 2 2t 3 2t 3 dt Simplificando o integrando 21 t 2 2t 3 2t 2 2t 2 2t 3 2t 3 2t Portanto a integral se torna 3 01 3 2t dt 4 Resolvendo a integral 3 3t t201 3 31 12 30 02 33 1 3 4 12 b C 3y z ds onde C é o arco de parábola z y2 com x 1 de A1 0 0 a B1 2 4 1 Parametrização da curva Como x 1 é constante ao longo da curva podemos parametrizar a curva apenas em função de y utilizando a relação z y2 Assim a parametrização será ry 1 y y2 0 y 2 2 Cálculo de ds Para calcular ds precisamos da derivada da curva drdy 0 1 2y O módulo dessa derivada nos dá ds ds drdy dy 02 12 2y2 dy 1 4y2 dy 3 Substituição na integral Agora substituímos z y2 e ds 1 4y2 dy na integral 02 3y y2 1 4y2 dy Sabemos que y2 y Como y 0 no intervalo de integração podemos simplificar y2 y resultando na seguinte expressão 02 3y y 1 4y2 dy 02 4y 1 4y2 dy 4 Resolvendo a integral Podemos fazer a substituição u 1 4y2 o que implica du 8y dy Assim a integral se torna 12 117 u du 12 23 u32117 13 1732 132 Calculando 1732 1732 1717 17 4123 70091 c C yxz ds onde C é a interseção das superfícies x²y²z²9 e xz3 1 Parametrização da curva As duas superfícies dadas são Esfera x²y²z²9 Plano xz3 Podemos usar a equação do plano para expressar z em termos de x z3x Substituindo na equação da esfera x²y²3x²9 Expandindo e simplificando x²y²96xx²9 2x²y²6x0 y²6x2x² Assim temos a relação entre x e y e podemos parametrizar xt com t03 e expressar y e z em termos de t Sabemos que y²6t2t² então y6t2t² E z3t Portanto a parametrização da curva C é rtt 6t2t² 3t 0t3 2 Cálculo de ds Para calcular ds precisamos da derivada da curva drdt 1 ddt 6t2t² 1 Calculando a derivada de y6t2t² usando a regra da cadeia ddt 6t2t² 126t2t² 64t Portanto a derivada da curva é drdt 1 64t26t2t² 1 Agora calculamos o módulo dessa derivada para obter ds ds 1² 64t26t2t²² 1² dt 3 Substituição na integral Substituímos xt y6t2t² e z3t na integral ₀³ 6t2t² t3t ds ₀³ 6t2t²2t3 ds 3 Cálculo de ds O diferencial de arco ds para uma curva parametrizada por θ é dado por ds drdθ dθ Calculamos a derivada da parametrização em relação a θ drdθ 2 sinθ 2 cosθ 0 O módulo desta derivada é ds 2 sinθ² 2 cosθ² dθ 4 sin²θ 4 cos²θ dθ 4 dθ 2 dθ 4 Substituição na integral Agora substituímos x2 cosθ y2 sinθ e ds2 dθ na integral ₀²π xy ds ₀²π 2 cosθ 2 sinθ 2 dθ Simplificando 2 ₀²π 2 cosθ 2 sinθ dθ 4 ₀²π cosθ sinθ dθ 5 Resolvendo a integral ₀²π cosθ dθ 0 ₀²π sinθ dθ 0 Portanto a integral é 4 0 0 Portanto a integral é 1370091 1 13 69091 2303