Cálculo 3

3 Determine um fator integrante e resolva a EDO dada a 3y2 x2 1dx 2xydy 0 b xy2 2dx 3x2ydy 0 c xydx x2 y2dy 0 d 3ydx xdy 0 e 2x 3ydx xdy 0 f 3xy 4ydx 2x2 4xdy 0 g xy 1dx 1y2 dy 0 a 3y2 x2 1 dx 2xy dy 0 Verificar se é exata A equação está na forma Mxy 3y2 x2 1 Nxy 2xy Calculamos as derivadas parciais My 6y Nx 2y Como My Nx a equação não é exata ➁ Determinar um fator integrante Um fator integrante possível é μxy 1y Multiplicamos a equação por 1y 3y2y x2y 1y dx y 2xyy dyy 3y x2y 1y dx 2x dy 0 Novos coeficientes são Mxy 3y x2y 1y Nxy 2x Verificamos novamente se é exata My 3 x2y2 1y2 Nx 2 Como My Nx a equação é exata ➂ Resolver a EDO exata Integramos Mxy em relação a x Mxydx 3y x2y 1y dx 3yx x33y xy Cy Cy é uma função que depende de y Derivamos em relação a y y 3yx x33y xy Cy 3x x33y2 xy2 Cy Isso deve ser igual a Nxy 2x 3x x33y2 xy2 Cy 2x Resolver Cy Cy 2x 3x x33y2 xy2 Cancelando parcialmente os termos de x Cy x33y2 xy2 Integrando em relação a y temos Cy x33y2 xy2 dy Constante com solução reduzida b xy2 2 dx 3x2 y dy 0 Verificar se é exata A equação está na forma Mxy x y2 2 Nxy 3x2 y Calculamos as derivadas parciais My 2xy Nx 6xy Como My Nx a equação não é exata ➁ Determinar um fator integrante Possível fator integrante é Nxy 1x2 Multiplicamos tudo por 1x2 resultando em xy2x2 2x2 dx 3x2 yx2 dy y2x 2x2 dx 3y dy Temos agora Mxy y2x 2x2 Nxy 3y Calculamos novamente My 2yx Nx 0 como My Nx a equação não é exata Resolver a EDO exata Integrando Mxy em relação a x Mxy dx y2x 2x2 dx y2 ln x 2x Cy Derivamos em relação a y y y2 ln x 2x Cy 2y ln x Cy Nxy 3y 2y ln x Cy 3y Resolver Cy Cy 3y 2y ln x Integrando a y Cy 3y 2y 2y ln x dy 3y22 y2 ln x SOLUÇÃO y2 ln x 2x 3y22 y2 ln x C ou simplificando 3y2 2 2x C c xy dx x2 y2 dy 0 Reorganizar a equação ou seja x dx x2 y2 dy Dividindo ambos os lados por xx2 y2 temos dxx dyx2 y2 Identificar o método adequado Não é possível separar diretamente as variáveis x e y devido à dependência cruzada no denominador Vamos verificar se a equação é exata ou aplicar um fator integrante Verificar se é exata Mxy y Nxy x2 y2 Calculamos as derivadas parciais Ny 0 Nx 2x Como My Nx não é exata Aplicar um fator integrante um fator integrante funcional é Nxy 1x Multiplicamos por 1x xx dx x2 y2x dy dx x y2x dy 0 Agora Mxy 1 Nxy x y2x Calculamos as derivadas novamente My 0 Nx 1 y2x2 Como My Nx é exata Resolver a EDO exata Integrar Mxy em relação a x Mxy dx 1 dx x Cy Determinar Cy Derivamos em relação a y Fy Cy ou seja Fy Nxy Logo Cy x y2x SOLUÇÃO Fxy x x y2x dy combinaçāo funcional cruzada