Lista de Edo

1 a 8y 2y y 0 y λ2 y λ1 λ y λ0 1 8λ2 2λ 1 0 λ 2 sqrt4 4 8 1 28 2 6 16 1 3 8 λ1 12 λ2 14 A solução é yx c1 eλ1 x c2 eλ2 x c1 ex2 c2 ex4 1 b 2y 3y 4y 0 2λ2 3λ 4 0 λ 3 sqrt9 4 24 22 λ 3 sqrt23 4 3 sqrt23 i 4 λ1 34 sqrt23 i 4 λ2 34 sqrt23 i 4 Solução yx Aeλ1 x Beλ2 x e34 x Aesqrt23i 4 x Besqrt23i 4 x yx e34 x c1 cossqrt23 x 4 c2 sinsqrt23 x 4 1 c y 5y 0 λ3 5 λ2 0 λ2 λ 5 0 λ1 λ2 0 λ3 5 Solução yx c2 eλ1 x c2 x eλ2 x c3 eλ3 x yx c1 c2 x c3 e5 x 1 d y 3y 4y 12y 0 λ3 3λ2 4λ 12 0 λ 2λ2 5λ 6 0 λ 2 0 λ1 2 λ2 5λ 6 0 λ 5 sqrt25 4 16 21 λ 5 1 2 λ2 2 λ3 3 Solução yx c1 eλ1 x c2 eλ2 x c3 eλ3 x yx c1 e2x c2 e2x c3 e3x Lista 02EDOpdf Somente leitura Somente Leitura Salvar uma cópia para editar Questão 01 Encontre a solução geral para as EDOs abaixo a 8y 2y y 0 b 2y 3y 4y 0 c y 5y 0 d y 3y 4y 12y 0 e d4ydx4 2d2ydx2 y 0 Questão 02 Resolva a EDO dada sujeita às condições iniciais indicadas y 2y y 0 y0 5 y0 10 Questão 03 Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados a 4y 9y 15 b y y 6y 2x c y 4y 3y cos 2x d y 16y 2e4x e y 5y 2x3 4x2 x 6 Questão 04 Encontre um operador diferencial que anule a função dada a x31 5x b x 3xe6x c 1 sen x Questão 05 Prove que o operador diferencial dado anula a função indicada D2 64 y 2 cos 8x 5 sen 8x Questão 06 Resolva cada EDO pelo método da variação dos parâmetros a y y tg x b y y sec2 x c y y sen x d y 9y 9xe3x Questão 07 Resolva a EDO dada pelo método de variação dos parâmetros sujeita à condição inicial informada 2y y y x 1 y0 1 y0 0 Tabela de Tentativas para Soluções Particulares do Método de Coeficientes Indeterminados gx Forma de yp 1 1 qualquer constante A 2 5x 7 Ax B 3 3x2 2 Arx2 Bx C 4 x3 x 1 Ax3 Bx2 Cx D 5 sen 4x A cos 4x B sen 4x 6 cos 4x A cos 4x B sen 4x 7 e5x Ae5x 8 9x 2e5x Ax Be5x 9 x2 e5x Ax2 Bx Ce5x 10 e3x sen 4x Ae3x cos 4x Be3x sen 4x 3 4y 9y 15 HOMOGÊNEA 4y 9y 0 4λ² 9 0 λ² 94 λ 32 i λ₁ 3i2 λ₂ 3i2 Yₙx Aeλ₁x Beλ₂x Ae3i2x Be3i2x Yₙx C₂ cos3x2 C₂ sen3x2 PARTICULAR Yₚx A₁ Yₚ Yₚ 0 4Yₚ 9Yₚ 15 0 9A 15 A 159 53 Yₚ 53 Solução geral γx Yₙx Yₚx C₁ cos3x2 C₂ sin3x2 53 1 e d²ydx⁴ 2 d²ydx² y 0 λ⁴ 2λ² 1 0 λ² 2λ 1 λ² 2λ 1 0 λ 1² λ 1² 0 λ₁ λ₂ 1 λ₃ λ₄ 1 Solução Yx C₁ eλ₁x C₂ x eλ₂x C₃ eλ₃x C₄ x eλ₄x Yx C₁ eˣ C₂ xeˣ C₃ eˣ C₄ xeˣ 2 y 2y y 0 y0 5 y0 10 λ² 2λ 1 0 λ 2 4 411 21 2 0 2 1 λ₁ λ₂ 1 Solução Yx C₁ eˣ C₂ xeˣ Derivada yx C₁ eˣ C₂ eˣ C₂ xeˣ y0 C₁ e⁰ 0 5 C₁ 5 y0 C₁ e⁰ C₂ e⁰ 0 10 C₂ 10 C₁ 5 C₁ C₂ 5 Yx 5eˣ x 1 3 e y y 6y 2x HOMOGÊNEA y y 6y 0 λ² λ 6 0 λ 1 1 416 21 1 5 2 λ₁ 2 λ₂ 3 Yₙx C₁e²ˣ C₂e³ˣ PARTICULAR Yₚx Ax B Yₚ A₁ Yₚ 0 Yₚ Yₚ 6Yₚ 2x 0 A 6Ax 6B 2x A 6B 0 B A6 118 6Ax 2x A 13 Yₚx x3 118 Solução geral Yx Yₙx Yₚx Yx C₁e²ˣ C₂e³ˣ x3 118 3 c y 4y 3y cos2x HOMOGÊNEA y 4y 3y 0 λ² 4λ 3 0 λ 4 16 413 21 λ 4 28 2 2 272 λ₁ 2 7 λ₂ 2 7 yₙx C₁e2 7x C₂e2 7x PARTICULAR ypx Acos2x Bsin2x ypx 2Asin2x 2Bcos2x ypx 4Acos2x 4Bsin2x yp 4yp 3yp cos2x 4Acos2x 4Bsin2x 42Asin2x 2Bcos2x 3Acos2x Bsin2x cos2x 4A 8B 3Acos2x cos2x 4B 8A 3B sin2x 0 8A 7B B 8A7 18 7A8 B 8113 1 7A8 B A 7113 ypx 7cos2x 8sin2x 113 solução geral yx yₙx ypx yx C₁e2 7x C₂e2 7x 1113 7cos2x 8sin2x 3 d y 16y 2e4x HOMOGÊNEA y 16y 0 λ² 16 0 λ 4 λ₁ 4 λ₂ 4 Yₙx C₁e4x C₂e4x Particular Ypx Axe4x Ypx Ae4x 4Axe4x Ypx 4Ae4x 4Ae4x 16Axe4x Ypx 16Axe4x 8Ae4x Yp 16Yp 2e4x e4x16Ax 8A 16Ax 2e4x 8A 2 A 14 Ypx x e4x 4 Solução geral yx Yₙx Ypx yx C₁ x4e4x C₂e4x 3 e y5y 2x3 4x2 x 6 Homogênea y 5y 0 λ2 5λ 0 λλ5 0 λ1 5 λ2 0 γnx1 c1 e5x c2 e0 c1 e5x c2 Particular γpx1 Ax3 Bx2 Cx D γpx1 3Ax2 2Bx C γpx1 6Ax 2B γp 5γp 2x3 4x2 x 6 6Ax 2B 53Ax2 2Bx C 2x3 4x2 x 6 x0 5C 2B 6 x1 6A 10B 1 x2 15A 4 x3 0 2x3 Essa solução particular não pode ser usada Vamos usar uma solução com grau 4 γpx Ax4 Bx3 Cx2 Dx E γpx 4Ax3 3Bx2 2Cx D γpx 12Ax2 6Bx 2C γp 5γp 2x3 4x2 x 6 12Ax2 6Bx 2C 54Ax3 3Bx2 2Cx D 2x3 4x2 x 6 x0 2C 5D 6 x1 6B 10C 1 x2 12A 15B 4 x3 20A 2 A 110 B 12A 415 1475 C 6B 110 53250 D 2C 65 697625 γpx x410 14x375 53x2250 697x625 Solução geral γx γnx γpx γx c1 e5x c2 x410 14x375 53x2250 697x625 4 a x315x x3 5x4 O grau do polinômio é 4 O operador diferencial que o anula é D5 d5dx5 4 b x 3xe6x D2 anula o polinômio de grau 1 Para o termo com exponencial D62 O operador que anula a função é D2D62 4 c 1 senx A constante 1 tem grau 0 O operador correspondente é D Para o seno D2 1 O operador que anula a função é DD2 1 5 D2 64 d2dx2 64 ddx 2 cos8x 5 sen8x 16 sen8x 40 cos8x d2dx2 2 cos8x 5 sen 8x ddx 16 sen8x 40 cos8x 128 cos8x 320 sen8x D2 64 y d2 ydx2 64 y 128 cos 8x 320 sen8x 64 2 cos 8x 5 sen8x cos 8x 128 128 sen 8x 320 320 0 0 0 6 y y tgx HOMOGÊNEA y y 0 λ2 1 0 λ i yn Aeix Beix yn C1 cosx C2 senx VARIAÇÃO DE PARÂMETROS yn C1 y1 C2 y2 y1 cosx y2 senx y1 senx y2 cosx Wronskiano W y1 y2 cosx senx y1 y2 senx cosx W cos2x sen2x 1 W1 0 senx 0 senx tgx sen2x tgx cosx cosx 0 W2 senx tgx cosx tgx 0 senx c1 W1 W dx sen2x cosx dx cosx sen2 x dx cos2x c1 cosx sen2x 1sen2x dx u senx du cosx dx c1 u2 du 1u2 du u2 1 du du u1u1 u c1 lnu1 2 lnu1 2 u c3 c1 12 ln senx 1 senx1 senx c3 c2 W2 W dx senx dx c4 cosx Solução geral yx y1 c1 y2 c2 yx C3 cosx C4 senx 12 cosx ln senx 1 senx 1 6 b A equação homogênea é idêntica à do item 6 a γn x c1 cosx c2 sinx VARIAÇÃO DE PARÂMETROS Y₁ cosx Y₂ sinx Y₁¹ sinx Y₂¹ cosx W 1 assim como em 6 a W₁ 0 sinx 0 sinx sec² x sinx cos²x sec²x cosx W₂ cosx 0 cosx sec² x 0 1 cosx sinx sec² x c₁ W₁ W dx sinx cos²x dx u cosx du sinx dx c₁ u² du 1 u c₃ 1 cosx c₃ c₂ W₂ W dx 1 cosx dx secx dx c₂ secx tgx secx tgx secx dx sec² x secx tgx secx tgx dx u tgx secx du sec²x secx tgx dx c₂ du u ln u C₄ ln tgx secx C₄ solução geral γx c₁ y₁ c₂ y₂ γx c₃ cosx c₄ sinx 1 sinx ln sinx 1 cosx pois tgx secx sinx 1 cosx 6 c A equação homogênea é idêntica à do item 6 a γn x c₁ cosx c₂ sinx e W 1 VARIAÇÃO DE PARÂMETROS W₁ 0 sinx 0 sin²x sin²x sinx cosx W₂ cosx 0 cosx sinx 0 cosx sinx sinx sinx c₁ W₁ W dx sin² x dx 12 dx 12 cos2x dx c₁ x 2 sin2x 4 c₃ c₂ W₂ W dx sinx cosx dx u du u² 2 c₄ u sinx c₂ sin² x 2 c₄ du cosx dx solução geral γ c₁ y₁ c₂ y₂ γx c₃ cosx c₄ sinx x cosx 2 sin³ x 2 sin2x cosx 4 6 d y 9y 9xe3x HOMOGÊNEA y 9y 0 λ2 9 0 λ 3 Ynx c1e3x c2e3x VARIAÇÃO DE PARÂMETROS W Y1 Y2 e3x e3x 3e3x3x 3e3x3x Y1 Y2 3e3x 3e3x W 3e0 3e0 6 W1 0 e3x 0 9xe3x3x 9e0x 9x 9xe3x 3e3x W2 e3x 0 9xe6x 0 9xe6x 3e3x gxe3x c1 W1W dx 96 x dx 32 x22 c3 34 x2 c3 c2 W2W dx 96 xe6x dx μ x1 du dx dv e6x dx1 σ e6x6 integração por partes c2 32 xe6x 6 e6x6 dx c4 c2 32 xe6x6 136 e6x c4 xe6x4 e6x24 c4 Solução geral yx c1 Y1 c2 Y2 yx c3 e3x c4 e3x e3x24 e3x43x2 x 7 2y y y x 1 y0 1 y0 0 HOMOGÊNEA 2y y y 0 2λ2 λ 1 0 2λ 1λ 1 0 λ1 1 λ2 12 Ynx c1 ex c2 ex2 VARIAÇÃO DE PARÂMETROS Y1 ex Y2 ex2 Y1 ex Y2 ex22 W Y1 Y2 ex ex2 ex x22 ex x2 Y1 Y2 ex ex22 W ex2 12 1 32 ex2 W1 0 ex2 0 x 1ex2 x 1ex2 x 1 ex22 W2 ex 0 x 1ex 0 x 1ex ex x 1 c1 W1W dx 23 x 1ex dx por partes u x 1 du dx dv ex dx v ex c₂ 23 x 1 ex ex dx 23 x 1 ex ex C₃ c₁ 23 xex C₃ c₂ W₂W dx 23 x 1 ex2 dx por partes u x 1 du dx dv ex2 v 2 ex2 c₂ 23 2x 1 ex2 2 ex2 dx c₂ 23 2 x 1 ex2 2 ex2 2 C₄ c₂ 23 2 x 3 ex2 C₄ 4x 33 ex2 C₄ Solução geral y C₁ y₁ C₂ y₂ yx C₃ ex C₄ ex2 2 x 2 yx dydx C₃ ex C₄ ex22 2 y0 C₃ e⁰ C₄ e⁰ 20 2 C₃ C₄ 4 1 y0 C₃ e⁰ C₄ e⁰2 2 C₃ C₄2 2 0 C₃ 4 1 C₄ 5 C₄ 5 C₄ C₄2 2 C₃ C₄2 2 7 3C₄2 C₄ 143 C₃ 13 yx ex3 14 ex23 2 x 2 ① a 8y 2 y y 0 y λ² y λ¹ λ y λ⁰ 1 8 λ² 2 λ 1 0 λ 2 4 4 8 1 2 8 2 616 1 38 λ₁ 12 λ₂ 14 A solução é yx C₁ eλ₁ x C₂ eλ₂ x C₁ ex2 C₂ ex4 ① b 2 y 3 y 4 y 0 2 λ² 3 λ 4 0 λ 3 9 4 2 42 2 λ 3 234 3 23 i4 λ₁ 34 23 i4 λ₂ 34 23 i4 Solução yx A en x B en₂ x e34 x A e23 i4 x B e 23 i4 x yx e34 x C₁ cos 234 x C₂ sin 234 x ① c y 5 y 0 λ³ 5 λ² 0 λ² λ 5 0 λ₁ λ₂ 0 λ₃ 5 Solução yx C₂ eλ₁ x C₂ x eλ₂ x C₃ eλ₃ x yx C₁ C₂ x C₃ e 5 x ① d y 3 y 4 y 12 y 0 λ³ 3 λ² 4 λ 12 0 λ 2 λ² 5 λ 6 0 λ 2 0 λ₁ 2 λ² 5 λ 6 0 λ 5 25 4 1 62 1 λ 5 12 λ₂ 2 λ₃ 3 Solução yx C₁ eλ₁ x C₂ eλ₂ x C₃ eλ₃ x yx C₁ e2 x C₂ e 2 x C₃ e 3 x 1 e d2ydx4 2 d2ydx2 y 0 λ4 2 λ2 1 0 λ2 2λ 1λ2 2λ 1 0 λ 12 λ 12 0 λ1 λ2 1 λ3 λ4 1 Solução yx c1 eλ1 x c2 x eλ2 x c3 eλ3 x c4 x eλ4 x yx c1 ex c2 x ex c3 ex c4 x ex 2 y 2y y 0 y0 5 y0 10 λ2 2λ 1 0 λ 2 4 411 21 2 0 2 1 λ1 λ2 1 Solução yx c1 ex c2 x ex Derivada yx c1 ex c2 ex c2 x ex y0 c1 e0 0 5 c1 5 y0 c1 e0 c2 e0 0 10 c2 10 c1 5 c1 c2 5 yx 5 ex x 1 3 a 4y 9y 15 HOMOGÊNEA 4y 9y 0 4 λ2 9 0 λ2 94 λ 32 i λ1 3i2 λ2 3i2 yhx Aeλ1 x Beλ2 x Ae3i2x Be3i2x yhx c1 cos3x2 c2 sen3x2 PARTICULAR ypx A yp yp 0 4 yp 9 yp 15 0 9A 15 A 159 53 yp 53 Solução geral yx yhx ypx c1 cos3x2 c2 sen3x2 53 3 b y y 6y 2x HOMOGÊNEA y y 6y 0 λ2 λ 6 0 λ 1 1 416 21 1 5 2 λ1 2 λ2 3 yhx c1 e2x c2 e3x PARTICULAR ypx Ax B yp A yp 0 yp yp 6 yp 2x 0 A 6Ax 6B 2x A 6B 0 B A6 118 6Ax 2x A 13 ypx x3 118 Solução geral yx yhx ypx yx c1 e2x c2 e3x x3 118 3 c y 4y 3y cos2x HOMOGÊNEA y 4y 3y 0 λ²4 λ 30 λ 4 16 4 13 2 1 λ 4 28 2 2 2 7 2 λ₁ 2 7 λ₂ 2 7 γₙx C₁ e 2 7 x C₂ e 2 7 x PARTICULAR γₚx A cos2x B sin2x γₚx 2 A sin2x 2 B cos2x γₚx 4 A cos2x 4 B sin2x γₚ 4γₚ 3γₚ cos2x 4 A cos2x 4B sin2x 4 2 A sin2x 2 B cos2x 3 A cos2x B sin2x cos2x 4A 8 B 3 A cos2x cos2x 4B 8 A 3 B sin2x 0 8A 7B B 8A7 18 7A8 B 8113 1 7A8 B A 7113 γₚx 7 cos2x 8 sin2x 113 28 solução geral γx γₙx γₚx γx C₁ e 2 7 x C₂ e 2 7 x 1113 7 cos2x 8 sin2x 29 3 d y 16 y 2 e 4x HOMOGÊNEA y 16 y 0 λ² 16 0 λ 4 λ₁ 4 λ₂ 4 γₙ x C₁ e 4x C₂ e 4x Particular γₚ x A x e 4x γₚ x A e 4x 4 Ax e 4x γₚ x 4 A e 4x 4 A e 4x 16 A x e 4x γₚ x 16 A x e 4x 8 A e 4x γₚ 16 γₚ 2 e 4x e 4x 16 A x 8A 16 A x 2 e 4x 8A 2 A 14 γₚ x x e 4x 4 solução geral γx γₙx γₚx γx C₁ x 4 e 4x C₂ e 4x 3 e y 5y 2x³ 4x² x 6 Homogênea y 5y 0 λ² 5λ 0 λλ 5 0 λ₁ 5 λ₂ 0 ynx C₁e⁵ˣ C₂e⁰ C₁e⁵ˣ C₂ Particular ypx Ax³ Bx² Cx D ypx 3Ax² 2Bx C ypx 6Ax 2B yp 5yp 2x³ 4x² x 6 6Ax 2B 53Ax² 2Bx C 2x³ 4x² x 6 x⁰ 5C 2B 6 x¹ 6A 10B 1 x² 15A 4 x³ 0 2x³ Essa solução particular não pode ser usada Vamos usar uma solução com grau 4 ypx Ax⁴ Bx³ Cx² Dx E ypx 4Ax³ 3Bx² 2Cx D ypx 12Ax² 6Bx 2C yp 5yp 2x³ 4x² x 6 12Ax² 6Bx 2C 54Ax³ 3Bx² 2Cx D 2x³ 4x² x 6 X⁰ 2C 5D 6 X¹ 6B 10C 1 X² 12A 15B 4 X³ 20A 2 A 110 B 12A 415 1475 C 6B 110 53250 D 2C 65 697625 Ypx x⁴10 14x³75 53x²250 697x625 Solução geral yx ynx ypx yx C1e5x C2 x⁴10 14x³75 53x²250 697x625 4 a x³1 5x x³ 5x⁴ O grau do polinômio é 4 O operador diferencial que o anula é D⁵ d⁵dx⁵ 4 b x 3xe⁶ˣ D² anula o polinômio de grau 1 Para o termo com exponencial D 6² O operador que anula a função é D²D 6² 4 c 1 senx A constante 1 tem grau 0 O operador correspondente é D Para o seno D² 1 O operador que anula a função é DD² 1 ⑤ D² 64 d²dx² 64 ddx 2 cos8x 5 sen8x 16 sen8x 40 cos8x d²dx² 2 cos8x 5 sen8x ddx 16 sen8x 40 cos8x 128 cos8x 320 sen8x D² 64y d²ydx² 64y 128 cos8x 320 sen8x 64 2 cos8x 5 sen8x cos8x128 128 sen8x320 320 0 0 0 ⑥ a y y tgx HOMOGÊNEA y y 0 λ² 1 0 λ i yₙ Aeⁱˣ Beⁱˣ yₙ C₁ cosx C₂ senx VARIAÇÃO DE PARÂMETROS yₙ C₁Y₁ C₂Y₂ Y₁ cosx Y₂ senx Y₁ senx Y₂ cosx Wronskiano W Y₁ Y₂ cosx senx Y₁ Y₂ senx cosx W cos²x sen²x 1 W₁ 0 senx 0 senx tgx sen²xcosx tgx cosx W₂ cosx 0 cosx tgx 0 senx senx tgx c₁ W₁W dx sen²xcosx dx cosx sen²x dxcos²x c₁ cosx sen²x dx 1 sen²x μ senx du cosx dx c₁ μ² du 1 μ² du μ² 1 du duu 1u 1 u c₁ lnu 12 lnu 12 u C₃ c₁ 12 ln sinx 1 sinx 1 senx C₃ c₂ W₂W dx senx dx C₄ cosx Solução geral yx y₁ c₁ y₂ c₂ yx C₃ cosx C₄ senx 12 cosx ln sinx 1 sinx 1 6 b A equação homogênea é idêntica à do item 6 a Yhx C1 cosx C2 sinx VARIAÇÃO DE PARÂMETROS Y1 cosx Y2 senx Y1 senx Y2 cosx W 1 assim como em 6 a W1 0 sinx 0 sinx sec2x sinx cos2x sec2x cosx W2 cosx 0 cosx sec2x 0 1 cosx sinx sec2x C2 W1 W dx sinx cos2x dx u cosx du sinx dx C1 u2 du 1µ C3 1 cosx C3 C2 W2 W dx 1 cosx dx secx dx C2 secx tgx secx tgx secx dx sec2x secx tgx secx tgx dx u tgx secx du sec2x secx tgx dx C2 du u lnu C4 ln tgx secx C4 Solução geral Yx C1 Y1 C2 Y2 Yx C3 cosx C4 sinx 1 sinx lnsinx 1 cosx depois tgx secx sinx 1 cosx 6 c A equação homogênea é idêntica à do item 6 a Yhx C1 cosx C2 sinx e W1 VARIAÇÃO DE PARÂMETROS W1 0 sinx 0 sin2x sin2x sinx cosx W2 cosx 0 cosx sinx 0 cosx sinx sinx sinx C1 W1 W dx sin2x dx 12 dx 12 cos2x dx C1 x2 sin2x4 C3 C2 W2 W dx sinx cosx dx u du u2 2 C4 μ sinx du cosx dx C2 sin2x 2 C4 Solução geral y C1 Y1 C2 Y2 Yx C3 cosx C4 sinx x cosx 2 sin3x 2 sin2x cosx 4 6 y 9y 9xe3x Homogênea y 9y 0 λ2 9 0 λ 3 yhx c1 e3x c2 e3x Variação de parâmetros W y1 y2 e3x e3x 3e3x3x 3e3x3x y1 y2 3e3x 3e3x W 3e0 3e0 6 W1 0 e3x 0 9xe3x3x 9e0x 9x 9xe3x 3e3x W2 e3x 0 9xe6x 0 9xe6x 3e3x 9xe3x c1 W1W dx 96 x dx 32 x22 c3 3x24 c3 c2 W2W dx 96 xe6x dx μ x du dx dv e6x dx v e6x6 integração por partes c2 32 xe6x6 e6x6 dx c4 c2 32 xe6x6 136 e6x c4 xe6x4 e6x24 c4 Solução geral yx c1 y1 c2 y2 yx c3 e3x c4 e3x e3x24 e3x43x2 x 7 2y y y x 1 y0 1 y0 0 Homogênea 2y y y 0 2λ2 λ 1 0 2λ 1λ 1 0 λ1 1 λ2 12 yhx c1 ex c2 ex2 Variação de parâmetros y1 ex y2 ex2 y1 ex y2 ex22 W y1 y2 ex ex2 exx22 exx2 y1 y2 ex ex22 W ex2 12 1 32 ex2 W1 0 ex2 0 x 1ex2 x 1ex2 x 1 ex22 W2 ex 0 x 1ex 0 x 1ex ex x 1 c1 W1W dx 23 x 1ex dx por partes μ x 1 du dx dv ex dx v ex c1 23 x1 ex ex dx 23 x1 ex ex c3 c1 23 x ex c3 c2 W2 W dx 23 x1 ex2 dx por partes u x 1 du dx dv ex2 v 2 ex2 c2 23 2 x1 ex2 2 ex2 dx c2 23 2 x1 ex2 2 ex2 2 c4 c2 23 2 x3 ex2 c4 4 x3 3 ex2 c4 Solução geral y c1 y1 c2 y2 yx c3 ex c4 ex2 2 x 2 yx dydx c3 ex c4 ex2 2 2 y0 c3 e0 c4 e0 202 c3 c4 4 1 y0 c3 e0 c4 e0 2 2 c3 c42 2 0 c3 4 1 c4 5 c4 5 c4 c42 2 c3 c4 2 2 7 3 c4 2 c4 14 3 c3 13 yx ex 3 14 3 ex2 2 x 2