Sequência de Funções - Convergência Uniforme e Domínio de Funções

1 Sequência de Funções Uma sequência de funções é uma sequência n fr em que cada fu é uma função Fu A R alfna Seja B o conjunto de todos os a para os quais a seguên via numérica Fna converge Podemos então considerar a função F B IR dada por Fx limfna diremos então que fu converge af em B Exemplo Para cada natural n 1 seja Fna a Mostre que a sequência de funções En converge em 1 1 a função fdada por fx S 1s 2 1 O se11 Usaremos o seguinte resultado para sequências numéricas O 1VL1 limE da f3 fa 1 se v 1 fa 1 Paraa 1 fn 1 1n limfu1 I m Para1 1 limfula lima n 0 L Para a 1 limfula lim n 0 Para a 1 A subsequência para índices pares possui comportamento di ferente da subsequência para índices impares Logo o limite não existe Segue que para todoae 51 1 S 1 se x 1 limfula fla 0 11 Exemplo Determine o domínio da função f dada por fla lim n sense n 0 N O domínio de F é o conjunto de todos se para os quais a sequênciae sen s n21 converge w Para 2 0 limm on o 0 f0 0 n 0 N I Para 2 0 A lim n sen al lim sen al lim sen al a N a n 0 N n 0 i n o a N Segue que para todo as real fla limnsna a N Logo o domínio de F é IR e para todoa fla a 2Convergência Uniforme Na Seção 1 mostramos que a sequência de funções fr com fra an converge em 11 1 à função f dada por 1 se 2 1 fx E O se 121 As En são contínuas emalo1 mas a f não E que condições a continuidade das fu em so implica a continuidade de Fem ao Corema Seja fu uma sequência de funções e seja f B R dada por fla limfl Suponhamos qu e fu convirja uniformemente a fem B Nestas condições se cada fu for contínua em so B então f será também continua em alo Observação Seja f B H dada porfa limfna e seja n 0 Ho EB Se cada fu for continua em do e se não for conté nua neste ponto então a convergência de En a f não é uniforme Exemplo A sequência Fna a converge para fas S 1 se 2 1 O se a1 Observemos que f não é continua em a 1 Por outro lado fula é contínua em a 1 Segue do Corema que a convergência de En a f não é uniforme em 11 13 Exemplo Seja f dada por flas lim noemai n 0 a Calcule fa do e liminaem b Mostre que a sequência fu não converge uniformemente a f em 50 13 alflal limusenlim lim na n 0 Sofa da o Por outro lado N usena da edu na O nade limusemda Torema Seja F a b R dada por fla limfna em n 0 que cada fr é suporta continua em 2a b Nestas condições se fu convergir uniformemente a F em a b então b fla das limfuladee on seja limsfute das lim ena da Observação Seja F a b R dada porfa limfna em que cada fu é integrável em a b Se fla das limfala das a entãoa convergência de En a f não é uniforme em a b LetrabBemplo Como flas das liminadas então segue do Teorema an se terior que a convergência não é uniforme em 10 1