Cálculo 3

c 7Ĉ 5Ḏ d 7Ĉ 5Ḏ e Ă Ḃ f Ă Ḃ Ḏ Questão 06 Se Ă 4 2 4 e Ĉ 6 3 0 Ache a cos θ se θ é o ângulo entre os vetores Ă e Ḃ b A componente de Ĉ na direção de Ă c O vetor projeção de Ĉ sobre Ă Questão 07 Ache o vetor unitário que passa pelos pontos A 3 1 4 e B 7 2 4 Questão 08 Se Ă 1 2 3 Ḃ 4 3 1 Ĉ 5 3 5 Ḏ 2 1 6 Ē 4 0 7 e Ḟ 0 2 1 Calcule a Ă Ḃ b Ḏ Ē c Ĉ Ḏ Ē Ḟ d Ĉ Ē Ḏ Ḟ Questão 09 Encontre as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos descritos em coordenadas polares a 4 7π6 b 2 5π6 c 4 π4 Questão 10 Converta os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas a 0 1 1 b 0 2 2 c 6 3 2 Questão 01 Se Ă 2 4 Ḃ 4 3 e Ĉ 3 2 calcule a Ă Ḃ b Ĉ Ḃ c 7Ă Ḃ d 2Ă 3Ḃ e Ă Ḃ f Ă Ḃ Questão 02 Ache a medida em radianos do ângulo de direção dos seguintes vetores a Ă 2i j b Ḃ 2i 3j Questão 03 Se α for o ângulo entre os vetores Ă e Ḃ ache cos α a Ă 4 3 e Ḃ 1 1 b Ă 2 3 e Ḃ 3 2 Questão 04 Ache a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A 1 3 2 e B 4 5 2 Questão 05 Considere os vetores Ă i 2j 3k Ḃ 4i 3j k Ĉ 5i 3j 5k e Ḏ 2i j 6k Calcule a Ă 5Ḃ b 7Ĉ 5Ḏ Questão 11 Converta os seguintes pontos em coordenadas esféricas para coordenadas retangulares a 4 7π6 π6 b 5 5π6 7π6 c 2 π 3π2 Questão 12 Transforme a seguinte equação na correspondente do sistema esférico 3x2 3y2 8z Questão 13 Resolva as seguintes integrais duplas a 02 x22x x3 4y dy dx b 02 0π r sen2 θ dθ dr Questão 14 Resolva as seguintes integrais triplas a R sen x y z dxdydz onde R 0 π 0 π 0 π b 01 0x2 01 xyz dz dy dx Questão 1 se A 24 B 43 e C 32 calcule a A B A B 24 43 61 b C B C B 32 43 32 43 75 c 7A B 7A B 724 43 7274 43 1428 43 1031 d 2A 3B 2A 3B 224 343 22 24 34 33 48 129 161 e A B A B 24 43 24 43 27 Logo A B 27 sqrt22 72 sqrt4 49 sqrt53 f A B A B 24 43 24 43 4 Questão 2 Ache a medida em radianos do ângulo de direção dos seguintes vetores a A 2i j O ângulo de direção θ do vetor A é dado por θ arctg 12 04632 radianos 4 Questão 4 Ache a equação paramétrica da reta que passa pelos pontos A 132 e B 452 Sabemos que as equações paramétricas de uma reta são dadas por P P0 tv P xyz onde P0 é um ponto da reta e v é o vetor diretor Neste caso o vetor diretor da reta que passa pelos pontos A e B é dado por v AB B A 452 132 380 Tomando P0 A temos P P0 tv xyz 132 t380 xt 1 3t yt 3 8t zt 2 que são as equações paramétricas procuradas 2 b B 2i 3j O ângulo de direção θ do vetor B é dado por θ arctg 32 09828 radianos Questão 3 Se α for o ângulo entre os vetores A e B ache cos α a A 43 e B 11 Temos que cos α é dado por cos α A B AB Neste caso A B 43 11 41 31 1 A sqrt43 sqrt42 32 sqrt16 9 sqrt25 5 e B sqrt11 sqrt12 12 sqrt1 1 sqrt2 Logo cos α 1 5 sqrt2 b A 23 e B 32 Neste caso A B 23 32 23 32 12 A sqrt23 sqrt22 32 sqrt4 9 sqrt18 e B sqrt32 sqrt32 22 sqrt9 4 sqrt13 Logo cos α 12 sqrt13 sqrt13 12 13 Questão 5 Considere os vetores A i 2j 3k B 4i 3j k C 5i 3j 5k e D 2i j 6k Calcule a A 5B Temos A 123 e B 431 Logo A 5B 123 5 431 123 54 35 15 123 20 15 5 21 13 2 21i 13j 2k b 7C 5D Temos que C 5 3 5 e D 2 1 6 Logo 7C 5D 7 5 3 5 5 2 1 6 75 7 3 7 5 52 51 56 35 21 35 10 5 30 35 21 35 10 5 30 25 26 5 25i 26j 5k c 7C 15D Temos que C 5 3 5 e D 2 1 6 Então 7C 7 5 3 5 35 21 35 e 15D 5 2 1 6 10 5 30 Logo 7C 35 21 35 35² 21² 35² 1225 441 1225 2891 e 15D 2 1 6 2² 1² 6² 4 1 36 41 Portanto 7C 15D 2891 41 d 7C 5D Do item anterior temos que 7C 10 5 30 e 5D 10 5 30 Logo 7C 5D 10 5 30 10530 1000 e 7C 5D 10 0 0 10² 0² 0² 100 10 e AB Temos A 1 2 3 e B 4 3 1 Logo AB 1 2 3 4 3 1 14 23 31 5 f AB D Temos A 1 2 3 B 4 3 1 e D 2 1 6 Então B D 4 3 1 2 1 6 2 2 5 e portanto AB D 1 2 3 2 2 5 12 22 35 13 Questão 6 Se A 4 2 4 e C 6 3 0 Ache a cos θ se θ é o ângulo entre os vetores A e C θ cos θ sendo θ o ângulo entre os vetores A e C é dado por cos θ A C A C Nesse caso A C 4 2 4 6 3 0 24 6 0 18 A 4 2 4 4² 2² 4² 16 4 16 36 6 e C 6 3 0 6² 3² 0² 36 9 45 35 Logo cos θ 18 6 35 18 185 1 5 5 5 b A componente de c na direção de A Precisamos determinar a projeção escalar de c sobre A que é dada por compa c c A A Nesse caso c A 424 630 46 2 3 40 18 e A 424 sqrt42 22 42 sqrt16 4 16 sqrt36 6 Logo compa c 18 6 3 c O vetor projeção de c sobre A O vetor projeção de c sobre A é dado por proja c c A A2 A Nesse caso c A 630 424 18 A2 4242 sqrt42 22 422 sqrt16 4 162 sqrt362 36 Logo proja c 18 36 424 12 424 212 Questão 7 Ache o vetor unitário que passa pelos pontos A 314 e B 724 O vetor unitário que passa pelos pontos A 314 e B 724 é dado por u AB AB Calculando o vetor AB AB B A 724 314 438 e portanto AB 438 sqrt42 32 82 sqrt16 9 64 sqrt89 Logo u AB AB 1 sqrt89 438 4sqrt89 3sqrt89 8sqrt89 Questão 8 Se A 123 B 431 C 535 D 216 E 407 e F 021 calcule a A x B O produto vetorial A x B é dado por A x B i j k 1 2 3 4 3 1 i92 j112 k38 7i 13j 11k 71311 b D x E O produto vetorial D x E é dado por D x E i j k 2 1 6 4 0 7 i70 j14 24 k0 4 7i 10j 4k 7104 c C x D E x F O produto vetorial C x D é dado por C x D i j k 5 3 5 2 1 6 i185 j30 10 k5 6 23i 20j 11k 232011 E x F i j k 4 0 7 0 2 1 14i 4j 8k 1448 Logo C x D E x F 232011 1448 23 14 20 4 11 8 322 80 88 490 d C x E D x F O produto vetorial C x E é dado por C x E i j k 5 3 5 4 0 7 21i j 3520 12k 21 15 12 e o produto vetorial D x F é dado por D x F i j k 2 1 6 0 2 0 i 112 j 20 k 40 11 2 4 Logo C x ED x F 21 15 1211 2 4 231 30 48 309 Questão 9 Encontre as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos descritos em coordenadas polares a 4 4π6 Temos r 4 e θ 4π6 Logo x r cos θ 4 cos 4π6 4 32 23 y r seno 4 cos 4π6 4 12 2 Portanto 4 4π6 em coordenadas cartesianas é 23 2 b 2 5π6 Temos r 2 e θ 5π6 logo x r cos θ 2 cos 5π6 2 32 3 y r seno 2 sen 5π6 2 12 1 Portanto 2 5π6 em coordenadas cartesianas é 3 1 c 4 π4 Temos r 4 e θ π4 logo x r cos θ 4 cos π4 4 22 22 y r seno 4 sen π4 4 22 22 Portanto 4 π4 em coordenadas cartesianas é 22 22 Questão 10 Converta os seguintes pontos em coordenadas cilíndricas a 0 1 1 Temos x 0 y 1 e z 1 Logo em coordenadas cilíndricas ρ x² y² 0² 1² 1 tg θ 10 θ π2 pois x0 e y0 e z1 Portanto 0 1 1 em coordenadas cilíndricas 1 π2 1 b 0 2 2 Temos x0 y2 e z2 logo em coordenadas cilíndricas ρ 0² 2² 4 2 tg θ 20 θ π2 pois x0 y0 e z2 Portanto 0 2 2 em coordenadas cilíndricas é 2 π2 2 c 6 3 2 Temos x6 y3 e z2 Logo em coordenadas cilíndricas ρ x² y² 6² 3² 45 35 tg θ 36 12 θ arctg 12 e z2 Portanto 6 3 2 em coordenadas cilíndricas é 35 arctg12 2 Questão 11 Converta os seguintes pontos em coordenadas esféricas para coordenadas retangulares a 4 7π6 π6 Em coordenadas esféricas temos que ρ4 θ7π6 e φπ6 Logo convertendo em coordenadas retangulares x ρ cos θ sen φ 4 cos 7π6 sen π6 3 y ρ sen θ sen φ 4 sen 7π6 sen π6 1 z ρ cos φ 4 cos π6 23 3 1 23 b 5 5π6 7π6 Em coordenadas esféricas temos que ρ 5 θ 5π6 ϕ 7π6 logo convertendo em coordenadas retangulares x ρ cos θ sen ϕ 5 cos 5π6 sen 7π6 534 y ρ sen θ sen ϕ 5 sen 5π6 sen 7π6 54 z ρ cos ϕ 5 cos 7π6 532 534 54 532 c 2 π 3π2 Em coordenadas esféricas temos que ρ 2 θ π ϕ 3π2 logo convertendo em coordenadas retangulares x ρ cos θ sen ϕ 2 cos π sen 3π2 2 y ρ sen θ sen ϕ 2 sen π sen 3π2 0 z ρ cos ϕ 2 cos 3π2 0 200 Questão 12 Transforme a seguinte equação na correspondente do sistema esférico 3x2 3y2 8z Em coordenadas esféricas temos que x ρ cos θ sen ϕ y ρ sen θ sen ϕ z ρ cos ϕ substituindo na equação temos 3 ρ cos θ sen ϕ2 3 ρ sen θ sen ϕ2 8 ρ cos ϕ 3 ρ2 cos2 θ sen2 ϕ 3 ρ2 sen2 θ sen2 ϕ 8 ρ cos ϕ 3 ρ2 sen2 ϕ cos2 θ sen2 θ 8 ρ cos ϕ 3 ρ2 sen2 ϕ cos 2θ 8 ρ cos ϕ ρ 0 3 ρ sen2 ϕ cos 2θ 8 cos ϕ Questão 13 Resolva as seguintes integrais duplas a 02 x22x x3 4y dy dx 02 x3 y 2y2 x22 dx 02 x3 2x 2 2x2 x3 x2 2 x22 dx 02 2x4 8x2 x5 2x4 dx 02 8x2 x5 dx 9 x33 x66 02 9 233 266 643 323 323 b 02 0π r sen2 θ dr Usando a identidade trigonométrica sen2 θ 1 cos 2θ2 temos 02 0π r sen2 θ dr 02 0π r 1 cos 2θ2 dθ dr 02 r2 θ sen 2θ2 0π dr 02 r2 π sen 2π2 0 sen 02 dr 02 r2 π dr π2 02 r dr π2 r22 02 π2 2 π Questão 14 Resolva as seguintes integrais triplas a R senxyz dx dy dz onde R 0π x 0π x 0π R senxyz dx dy dz 0π0π0π senxyz dx dy dz 0π0π cosxyz 0π dy dz 0π0π cosπyz cosyz dy dz 0π 2senyz 0π dz 0π 2senπz 2sen z dz 2cos z 0π 2cos z 0π 4cos z 0π 4cos π 4cos 0 4 4 8 b 0² 0 x² 0¹ xyz dz dy dx 0² 0 x² xy z²2 0¹ dy dx 0²0 x² xy2 dy dx 0² 12 xy dy dx 0² xy²4 0 x dx 0² x4 x⁴ dx 14 0² x⁵ dx 14 x⁶6 0² 14 2⁶6 14 646 14 323 83