Calculo de Limites e Derivadas de Funcoes - Crescimento, Decrescimento e Concavidade

CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Mariana Sacrini Ayres Ferraz A derivada em gráficos e aplicações Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Identificar os intervalos em que uma função é crescente decrescente ou constante Descrever a concavidade de uma função Encontrar os pontos críticos de uma função Introdução Gráficos de funções e dados são muito utilizados para a visualização e compreensão do seu comportamento Os gráficos mostram comportamentos diversos com períodos de flutuação crescimento decrescimento estabilidade ponto de máximo mínimo e assim por diante Assim entender essas características é crucial principalmente se o gráfico está modelando algum fenômeno como a variação do valor das ações na bolsa de valores Neste capítulo você saberá como identificar se as funções são crescentes decrescentes ou constantes descrever sua concavidade e encontrar seus pontos críticos Além disso verá diversos exemplos É importante destacar que esses conceitos serão abordados tanto algébrica quanto graficamente Funções crescentes decrescentes e constantes As funções podem ter intervalos nos quais elas sejam crescentes decrescentes ou constantes Pelo exemplo mostrado na Figura 1 intuitivamente podemos dizer que até x 0 a função é crescente de 0 a 2 é decrescente de 2 a 4 ela é crescente e a partir de 4 constante Figura 1 Exemplo de gráfico de função com intervalos crescente decrescente e constante Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 232 Embora possamos descrever intuitivamente a função existe uma definição formal para tal A Figura 2 a seguir mostra as definições de função crescente decrescente e constante Figura 2 Definição de funções crescente decrescente e constante Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 A derivada em gráficos e aplicações 2 Embora seja possível visualmente definir intervalos no gráfico da função com as diferentes características como na Figura 1 é impossível ter uma alta precisão fazendo dessa maneira Por isso é necessário ter uma metodologia mais precisa para tal Uma maneira de estudar essas características de uma função é utilizando derivadas Na Figura 3 a seguir note que para o intervalo cuja função é crescente as retas tangentes nos pontos indicados têm inclinação positiva para o intervalo cuja função é decrescente as retas tangentes nos pontos indicados têm inclinação negativa e para o intervalo cuja função é constante elas têm inclinação nula Figura 3 Comportamento das retas tangentes para as funções crescente decrescente e constante Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 233 As inclinações das retas tangentes nos pontos indicados representam as derivadas naqueles pontos Assim podemos usar as derivadas para estudar com mais precisão os intervalos das funções A Figura 4 mostra um teorema das características das funções usando derivadas 3 A derivada em gráficos e aplicações Figura 4 Teorema sobre derivadas e funções crescente decrescente e constante Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 234 Esse gráfico representa a função y fx x2 4x 3 Encontre os intervalos para os quais a função é crescente e decrescente Visualmente podemos dizer que a função é decrescente na sua metade esquerda e crescente na sua metade direita Para afirmarmos com maior precisão usaremos a derivada da função Calculando sua derivada obtemos que A derivada em gráficos e aplicações 4 Observando o resultado podemos dizer que Como y é contínua em todos os pontos podemos concluir que Podemos fazer um gráfico da derivada de y para a visualização como a imagem a seguir O gráfico em vermelho é a derivada de y e o ponto x 2 está representado em preto Abaixo desse ponto a derivada é negativa e acima ela é positiva Note que ela apresenta um comportamento linear indo de valores mais negativos para mais positivos passando por zero no ponto x 2 Concavidade de uma função Uma função pode apresentar concavidades Intuitivamente a Figura 5 mostra uma função côncava para cima ou côncava para baixo 5 A derivada em gráficos e aplicações Figura 5 As funções podem ser côncavas para cima ou côncavas para baixo Fonte Khan Academy 2019 documento online Embora visto na seção anterior a derivada da função nos indica se ela é crescente ou decrescente mas isso não é suficiente para nos dizer a concavidade Os gráficos mostrados na Figura 5 apresentam suas concavidades bastante acen tuadas mas nem sempre é assim Elas podem ser mais suaves como demonstrado na Figura 6 a seguir Embora a derivada no intervalo mostrado seja positiva a função apresenta inicialmente concavidade para cima e depois para baixo Figura 6 Exemplo de concavida des de uma função crescente Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 A derivada em gráficos e aplicações 6 Usando a derivada para estudar a concavidade podese dizer duas coisas Figura 7 ANTON BIVENS DAVIS 2014 a função f é côncava para cima se em um intervalo aberto as retas tangentes apresentam inclinações crescentes no mesmo intervalo e côncava para baixo se elas têm inclinações decrescentes no mesmo intervalo a função f é côncava para cima em um intervalo aberto se o gráfico está sempre acima de suas retas tangentes e côncava para baixo se o gráfico estiver sempre abaixo de suas retas tangentes Figura 7 As retas tangentes e as concavidades para cima e para baixo da função Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 235 A seguir a Figura 8 apresenta a definição de concavidade segundo Anton Bivens e Davis 2014 Figura 8 Definição de concavidade Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 As derivadas da função referemse à inclinação da reta tangente Podemos usar o teorema dado na seção anterior substituindo fx por fx Assim dize mos que f é crescente em um intervalo no qual f for positiva e decrescente em um intervalo no qual f for negativa Figura 9 Figura 9 Teorema sobre concavidade Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Como visto no exemplo anterior o gráfico da função fx x2 4x 3 sugere que a concavidade dessa função é para cima no intervalo Vamos checar esse resultado por meio do teorema dado Primeiramente encontramos a primeira derivada da função Assim temos que A derivada em gráficos e aplicações 8 Vamos analisar a concavidade mostrada no seguinte gráfico da função fx x³ Agora buscamos pela segunda derivada Assim Portanto temos que fx 2 0 Ou seja a função é côncava para cima No exemplo anterior vimos um caso cuja função é côncava para cima em todo intervalo Mas as funções podem ter diversas concavidades em intervalos diferentes como mostrado na Figura 6 Nesse sentido veremos um segundo exemplo com um desenvolvimento um pouco diferente do anterior usando uma função com mais de uma concavidade 9 A derivada em gráficos e aplicações Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 234 Primeiramente encontramos a primeira derivada Temos então que Ou seja a função é crescente em todo intervalo Agora buscamos pela segunda derivada da função Analisando a segunda derivada encontramos que Ou seja a função é côncava para baixo se o intervalo for 0 e côncava para cima no intervalo 0 A derivada em gráficos e aplicações 10 Pontos de inflexão No início desta seção você viu que uma mesma função poder ter concavidade para cima e para baixo O ponto exato em que a concavidade muda é de grande interesse em especial ele é chamado de ponto de inflexão Figura 10 Figura 10 Ponto de inflexão Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Dada a função fx x3 3x2 1 encontre os pontos de inflexão por meio das derivadas primeira e segunda Calculando as derivadas encontramos que 11 A derivada em gráficos e aplicações e Agora analisamos o sinal das derivadas iniciando pela derivada primeira Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 236 Vemos que a função f apresenta três comportamentos crescente em 0 decres cente em 0 2 e crescente em 2 Em seguida o sinal da segunda derivada Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 236 Aqui vemos que a função é côncava para baixo em 1 e côncava para cima em 1 conforme figura a seguir A derivada em gráficos e aplicações 12 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 236 Como as funções são muito utilizadas para a modelagem de fenômenos observáveis saber em que ponto a concavidade muda é identificar quando a taxa de variação da uma variável começa a crescer ou decrescer Ou seja conhecer o ponto de inflexão é muito importante em análises de dados como em que ponto começa uma alta ou baixa da bolsa de valores ou quando há altas e baixas do preço da gasolina Pontos críticos de uma função Além dos pontos de inflexão há outros bastante relevantes em uma função A Figura 11 mostra pontos em que a função tem valores maiores e pontos cuja função tem valores menores O ponto com valor da função maior em todo o intervalo é chamado de máximo absoluto ou global enquanto os picos menores são os máximos locais Já o ponto cuja função tem o seu menor valor em todo o intervalo é o mínimo absoluto ou global enquanto os vales menos profundos são chamados de mínimos locais 13 A derivada em gráficos e aplicações Figura 11 Exemplo de função com diversos pontos máximos e mínimos e definição desses pontos Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 A função f tem um máximo absoluto ou máximo global no ponto c se fc fx para todo x no domínio da função o número fc é chamado de máximo valor da função Similarmente f tem um mínimo absoluto no ponto c se fc fx para todo x no domínio da função o número da fc é chamado de valor mínimo de f Os valores máximo e mínimo de f são chamados de valores extremos de f STEWART 2007 A Figura 12 mostra alguns exemplos de funções a função y x² tem um ponto de mínimo absoluto e também local em x 0 a função y x³ não tem pontos extremos máximos nem mínimos e nem locais a função y x3 3x 3 tem um mínimo local em x 1 e um máximo local em x 1 já a função tem dois mínimos locais um em x 1 e x 2 sendo o ponto x 1 um mínimo absoluto e um máximo local em x 1 Figura 12 Exemplos de funções com pontos máximos e mínimos Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 245 A derivada em gráficos e aplicações 14 A seguir está mostrado o gráfico da função fx 3x4 16x3 18x2 Fonte Stewart 2007 p 206 Iniciamos analisando os pontos de máximo O ponto f1 5 é um máximo local e o ponto f1 37 é um máximo absoluto Note que nem o ponto f1 37 nem o ponto f4 são máximos locais pois eles são os pontos finais da função Portanto não existe um intervalo aberto que os contenha Agora vamos aos mínimos O ponto f0 0 é um ponto de mínimo local e o ponto f3 27 é um ponto de mínimo local e absoluto da função Vistos os exemplos anteriores passamos à definição de ponto crítico Um ponto crítico de uma função f é um ponto no seu domínio cuja derivada é zero reta tangente horizontal ou que f não seja diferenciável Figura 13 Dizemos que os pontos cuja derivada é igual a zero são chamados de estacionários 15 A derivada em gráficos e aplicações Figura 13 Teorema e esquema sobre pontos críticos Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Encontre os pontos críticos da seguinte função fx x3 3x 1 Para tal devemos encontrar os pontos cujas derivadas são nulas e pontos cuja função não é diferenciável Neste caso a função é diferenciável em toda parte ou seja ela só possui pontos críticos estacionários Derivando a função temos que Igualando a zero encontramos que A derivada em gráficos e aplicações 16 Assim os pontos críticos estacionários de f são x 1 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 245 Teorema do valor médio Muitos resultados deste capítulo dependem do teorema do valor médio Con tudo primeiramente veremos o teorema de Rolle Teorema de Rolle Seja f uma função que satisfaça as seguintes três hipóteses 1 f é contínua no intervalo fechado a b 2 f é diferenciável no intervalo aberto a b 3 fa fb Então existe um número c em a b tal que fc 0 Fonte Stewart 2007 p 214 17 A derivada em gráficos e aplicações A Figura 14 a seguir mostra alguns gráficos de funções Note que em todos os casos existe ao menos um ponto no intervalo que satisfaz o teorema No caso mostrado em a todos os pontos do intervalo satisfazem o teorema Em b existe um ponto que satisfaz o teorema nesse caso a função é crescente a partir do ponto a e para ela retornar ao mesmo valor fa no ponto b ela deve decrescer resultando em um ponto de máximo Exatamente o oposto ocorre no caso d Por fim em c é mostrado que pode haver mais de um ponto que satisfaz o teorema Figura 14 Funções para ilustração do teorema de Rolle Fonte Stewart 2007 p 215 O teorema do valor médio será apresentado a seguir por meio de dois exemplos Pode ser visto que inclinação das retas tangentes ao ponto c e a inclinação da reta que passa por a e b são as mesmas A derivada em gráficos e aplicações 18 Teorema do valor médio Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses 1 f é contínua no intervalo fechado a b 2 f é diferenciável no intervalo aberto a b Então existe um número c em a b tal que ou equivalentemente Fonte Stewart 2007 p 216 Teste das derivadas Podemos usar as derivadas para estudar os pontos críticos Dessa maneira intuímos que as funções apresentam extremos relativos se a primeira derivada troca de sinal no ponto em questão Figura 15 19 A derivada em gráficos e aplicações Figura 15 Funções com extremos relativos Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 246 A Figura 16 a seguir enuncia um teorema em relação às primeiras deri vadas e aos pontos críticos Figura 16 Teorema da derivada primeira Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 A derivada em gráficos e aplicações 20 A função fx 6x53 30x23 tem pontos críticos em x 2 e x 0 e derivada igual a fx 10x 2x13 Analise os pontos críticos Dividindo em intervalos em relação aos pontos críticos e analisando o sinal da derivada encontramos o seguinte Intervalo 10x 2x13 fx x 0 0 x 2 x 0 A derivada no ponto x 0 muda de positiva para negativa Assim o ponto é de máximo relativo Já no ponto x 2 a derivada muda de negativa para positiva Assim o ponto é de mínimo relativo A segunda derivada também pode ser utilizada para o estudo dos pontos críticos Na Figura 17 se a função for côncava para baixo temos um máximo relativo e se for côncava para cima temos um mínimo relativo Figura 17 Concavidades da função e pontos críticos estacionários Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 247 21 A derivada em gráficos e aplicações O teorema da derivada segunda está enunciado na Figura 18 a seguir Figura 18 Teorema da derivada segunda Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Encontre os pontos críticos da função fx 3x5 5x3 Primeiramente encontramos a primeira e a segunda derivada da função Assim e A derivada em gráficos e aplicações 22 Igualando a derivada a zero obtemos os pontos críticos da função Assim temos que os pontos críticos estacionários são x 0 x 1 e x 1 Agora fazemos o teste da derivada segunda Veja a seguir os valores e o sinal da segunda derivada em relação aos pontos críticos No ponto x 0 a análise é inconclusiva Assim usamos o teste da derivada primeira Veja a seguir os sinais da derivada primeira em relação aos pontos críticos Como não há mudança de sinal da derivada primeira em relação a antes e depois do ponto x 0 não há pontos de mínimos nem de máximos locais nesse ponto Veja o gráfico da função a seguir 23 A derivada em gráficos e aplicações ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v 1 KHAN ACADEMY Revisão de concavidade 2019 Disponível em httpsptkhanacademy orgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab56baconcavity review Acesso em 15 out 2019 STEWART J Single variable calculus 6th ed Pacific Grove Brooks Cole 2007 A derivada em gráficos e aplicações 24 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo saGaH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS